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专题 14.4 因式分解【九大题型】
【人教版】
【题型1 因式分解的意义】......................................................................................................................................1
【题型2 利用因式分解求系数的值】......................................................................................................................2
【题型3 利用公式法进行因式分解求代数式的值】.............................................................................................2
【题型4 利用平方差公式进行因式分解确定整除问题】.....................................................................................3
【题型5 因式分解】..................................................................................................................................................3
【题型6 利用添项进行因式分解】..........................................................................................................................4
【题型7 利用拆项进行因式分解】..........................................................................................................................4
【题型8 利用因式分解确定三角形的形状】.........................................................................................................4
【题型9 因式分解在阅读理解中的运用】..............................................................................................................4
【知识点1 因式分解】
定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把
这个多项式分解因式。
以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法
分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法
分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
【题型1 因式分解的意义】
【例1】（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2） D．x（x﹣1）＝x2﹣x
【变式1-1】（2022秋•儋州校级期末）下列各式不能因式分解的是（ ）
A．a2﹣b2 B．a2﹣2a+1 C．ab﹣a D．a2+b2
【变式1-2】（2022春•青川县期末）下列各式因式分解正确的是（ ）
1 1
A． a2+a+ =a2+2a+1＝（a+1）2
2 2
B．a2+ab﹣6b2＝a（a+b）﹣6b2
C．a2﹣b2﹣a﹣b＝（a+b）（a﹣b）﹣a﹣b
D．a﹣2a2+a3＝a（1﹣2a+a2）＝a（1﹣a）2
【变式1-3】（2022秋•德惠市期末）给出六个多项式：①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy+y2；④x4﹣1；⑤x
1
（x+1）﹣2（x+1）；⑥m2﹣mn+ n2．其中，能够分解因式的是 ②③④⑤⑥ （填上序号）．
4
【题型2 利用因式分解求系数的值】
【例2】（2022•攀枝花模拟）若关于x的多项式x2﹣px﹣6含有因式x﹣2，则实数p的值为（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1
【变式2-1】（2022春•聊城期末）如果100x2+kxy+49y2能分解为（10x﹣7y）2，那么k＝ ．
【变式2-2】（2022春•南山区校级期中如果x3+ax2+bx+4有两个因式（x+1）和（x+2），则a+b的值为
．
【变式2-3】（2022秋•青羊区校级期中）已知x2+x﹣6是多项式2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1的因式，则a＝
；b＝ ．
【题型3 利用公式法进行因式分解求代数式的值】
【例 3】（2022 春•渠县校级期中）若 a＝1999x+2000，b＝1999x+2001，c＝1999x+2002，则多项式
a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式3-1】（2022春•新吴区校级期中）（1）已知x+y＝4，xy＝2，求2x3y+4x2y2+2xy3的值；
1
（2）已知x=1 ，化简并计算：（1﹣2x）2（2x+1）2﹣（3+2x）2（3﹣2x）2．
2
【变式 3-2】（2022春•洪泽区期中）一个长、宽分别为 m、n的长方形的周长为 16，面积为 6，则
m2n+mn2的值为 ．
【变式3-3】（2022•安顺模拟）已知m2＝4n+a，n2＝4m+a，m≠n，则m2+2mn+n2的值为（ ）A．16 B．12 C．10 D．无法确定
【题型4 利用平方差公式进行因式分解确定整除问题】
【例4】（2022秋•新泰市月考）两个连续的奇数的平方差总可以被k整除，则k等于（ ）
A．6 B．8 C．6的倍数 D．8的倍数
【变式4-1】（2022秋•河北区期末）对于任意整数n，多项式（n+7）2﹣n2都能被（ ）
A．2整除 B．n整除 C．7整除 D．n+7整除
【变式4-2】（2022秋•荔城区校级期中）对于任意的正整数n，能整除代数式（3n+1）（3n﹣1）﹣（3﹣
n）（3+n）的整数是（ ）
A．3 B．6 C．10 D．9
【变式4-3】（2022春•招远市期末）已知424﹣1可以被60﹣70之间的某两个整数整除，则这两个数是（
）
A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64
【题型5 因式分解】
【例5】（2022秋•梅里斯区期末）因式分解
（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4；
（2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）．
【变式5-1】（2022春•聊城期末）把下列各式分解因式：
（1）9xy2﹣15x3y；
（2）﹣9x2y+3xy2﹣6xyz；
（3）3m2n﹣6mn+3m；
（4）﹣24a2b﹣8ab2+28ab3．
【变式5-2】（2022•碑林区校级开学）把下列各式分解因式：
（1）4xyz﹣4x2yx﹣12xy2z；
（2）20am+1b2m+4﹣12a2m+1bm+2；
（3）﹣20c（a﹣b）2﹣25（b﹣a）3；
（4）x（x﹣2）﹣x+2．
【变式5-3】（2022•寻乌县模拟）把下列各式分解因式：
（1）6（a﹣b）2+3（a﹣b）；
（2）x（x﹣1）﹣3x+4；
（3）x2（y2﹣1）+2x（y2﹣1）+（y2﹣1）；1 1
（4）a5- a3b2+ ab4．
2 16
【题型6 利用添项进行因式分解】
【例6】（2022秋•河北区期末）因式分解：x4+4y4
【变式6-1】（2022•寻乌县模拟）因式分解：x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．
【变式6-2】（2022春•永定区期中）把多项式x4+324因式分解．
【变式6-3】（2022•柳南区二模）分解多项式a5﹣1的结果是 ．
【题型7 利用拆项进行因式分解】
【例7】（2022秋•江油市期末）分解因式：m2+6m+8．
【变式7-1】（2022秋•微山县月考）分解因式：a2﹣6a+8．
【变式7-2】（2022•寻乌县模拟）把x2﹣4x+3因式分解．
【变式7-3】（2022秋•微山县月考）分解因式：a4+10a2b2+9b4．
【题型8 利用因式分解确定三角形的形状】
【例8】（2022秋•鱼台县期末）已知：a，b，c为△ABC的三边长，且2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，试判
断△ABC的形状，并证明你的结论．
【变式8-1】（2022春•市中区期末）△ABC三边a，b，c满足2a2+b2+c2＝2a（b+c），判断△ABC的形状
并说明理由．
【变式8-2】（2022春•乐平市期末）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
【变式8-3】（2022秋•临沂期末）已知a，b，c为△ABC的三边，且b2+2ab＝c2+2ac，试判断△ABC的形
状并说明理由．
【题型9 因式分解在阅读理解中的运用】
【例9】（2022春•市中区期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
＝（1+x）[1+x+x（x+1）]
＝（1+x）2（1+x）
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 ，共用了 次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，则结果是 ．
（3）依照上述方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．
【变式9-1】（2022秋•徐闻县期末）阅读下列材料：
材料1、将一个形如 x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足 q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）
（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）
材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
【变式9-2】（2022春•盱眙县期末）（1）学习“完全平方公式”时，小明遇到课本上一道题目“计算
（a+b+c）2”，他联系所学过的知识和方法，想到两种解决思路；
①可以用“整体思想”把三项式转化为两部分：[（a+b）+c]2或[a+（b+c）]2，然后可以利用完全平方公
式解决，请你选择一种变形方法写出计算过程；
②可以用“数形结合”的方法，画出表示（a+b+c）2的图形，根据面积关系得到结果．请你在下面方框
中画出图形，并作适当标注．
（2）利用（1）的结论分解因式：x2+y2+4﹣2xy+4x﹣4y＝ ；
（3）小明根据“任意一个数的平方不小于0”，利用配方法求出了一些二次多项式的最大值或最小值，
方法如下：
①x2﹣6x+7 ②﹣x2﹣2x+3
＝x2﹣6x+9﹣2 ＝﹣（x2+2x+1）+4
＝（x﹣3）2﹣2 ＝﹣（x+1）2+4
∵（x﹣3）2≥0 ∵﹣（x+1）2≤0
∴（x﹣3）2﹣2≥﹣2． ∴﹣（x+1）2+4≤4
故当x＝3时代数式x2﹣6x+7的最小值为﹣2 故当x＝﹣1时代数式﹣x2﹣2x+3的最大值为4
请你参考小明的方法，求当x，y取何值时代数式2x2+y2﹣2xy﹣2x+20有最小值，并确定它的最小值．
【变式9-3】（2022秋•丰台区校级期中）阅读下列材料在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要
分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，使于观察如何进行因式分解我们把这种因式分解
的方法称为“换元法”
下面是小涵同学用换元法对多项式（x2+4x+1）（x2+4x+7）+9进行因式分解的过程．解：设x2+4x＝y
原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2+4x+4）2（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ．
A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法
（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ．
（3）请你用换元法对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解
（4）当x＝ 时，多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）﹣1存在最 值（填“大”或“小”）．请
你求出这个最值.
