文档内容
专题 24.3 垂径定理【十大题型】
【人教版】
【题型1 利用垂径定理求线段长度】......................................................................................................................1
【题型2 利用垂径定理求角度】..............................................................................................................................5
【题型3 利用垂径定理求最值】..............................................................................................................................9
【题型4 利用垂径定理求取值范围】....................................................................................................................13
【题型5 利用垂径定理求整点】............................................................................................................................18
【题型6 利用垂径定理求面积】............................................................................................................................22
【题型7 垂径定理在格点中的运用】....................................................................................................................26
【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】...................................................................................................33
【题型10 垂径定理的应用】....................................................................................................................................37
【知识点1 垂径定理及其推论】
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
【题型1 利用垂径定理求线段长度】
【例1】（2022•雨花区校级开学）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于
点E，连接EC．若AB＝8，EC＝2√13，则CD的长为（ ）
A．1 B．3 C．2 D．4【变式1-1】（2022•宁津县二模）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，
则OP的长为（ ）
A．6 B．6√2 C．8 D．8√2
【变式1-2】（2022•建华区二模）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC
＝30°，则CD的长为（ ）
A．5 B．2√3 C．4√2 D．2√2+√3+1
【变式1-3】（2022春•徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA
交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为 ．
【题型2 利用垂径定理求角度】
【例2】（2022•泰安模拟）如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O上找一点C，使
OA2+AB2＝BC2，则∠OAC的度数为（ ）A．15°或75° B．20°或70° C．20° D．30°
【变式2-1】（2022秋•天心区期中）如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧^AB上
的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（ ）
A．60° B．90° C．120° D．135°
【变式2-2】（2022秋•青田县期末）如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，OC＝2，OE=√2．
（1）求弦AB的长；
（2）求∠CAB的度数．
【变式2-3】（2022秋•开州区期末）如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E
为AC的中点，连接DE．
（1）若AB＝6，求DE的长；
（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．
【题型3 利用垂径定理求最值】
【例3】（2022•威海模拟）⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的
最大值是（ ）1 3
A． B．1 C． D．2
2 2
【变式3-1】（2022•河北模拟）如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P
为⊙O上任意一点，连接PA，PB，若⊙O的半径为1，则 S 的最大值为（ ）
△PAB
2√3 3√3 3√3
A．1 B． C． D．
3 4 2
【变式3-2】（2022秋•龙凤区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD
边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为 ．
【变式3-3】（2022秋•延平区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、
BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（ ）
9 6 8 12
A． B． C． D．
10 5 5 5【题型4 利用垂径定理求取值范围】
【例4】（2022•包河区校级二模）如图，在⊙O中，直径AB＝10，CD⊥AB于点E，CD＝8．点F是弧
BC上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m＝PC+PF，则m的取值范围是（ ）
A．8＜m≤4√5 B．4√5＜m≤10 C．8＜m≤10 D．6＜m＜10
【变式4-1】（2022•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的
长度范围．
【变式4-2】（2022秋•盐都区校级月考）如图，点P是⊙O内一定点．
（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，
①求过点P的弦的长度m范围；
②过点P的弦中，长度为整数的弦有 条．
【变式4-3】（2022秋•天河区校级期中）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离OH＝3，点P是圆上
一动点，设过点P且与AB平行的直线为l，记直线AB到直线l的距离为d．
（1）求AB的长；
（2）如果点P只有两个时，求d的取值范围；
（3）如果点P有且只有三个时，求连接这三个点所得到的三角形的面积．【题型5 利用垂径定理求整点】
【例5】（2022•山海关区一模）已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝
4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（ ）
A．1个 B．3个 C．6个 D．7个
【变式5-1】（2022秋•新昌县期末）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB
上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式5-2】（2022•桥西区校级模拟）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，
如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段 OC长是 3 ，⊙C
上的整数点有 个．【变式5-3】（2022秋•肇东市期末）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所
在直线的距离为2的点有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【题型6 利用垂径定理求面积】
【例6】（2022•武汉模拟）如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，
120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（ ）
√3 √2
A．√2 B．1 C． D．
2 2
【变式6-1】（2022秋•黄州区校级月考）如图，矩形 MNGH的四个顶点都在⊙O上，顺次连接矩形各边
的中点，得到菱形ABCD，若BD＝12，DF＝4，则菱形ABCD的面积为 ．
【变式6-2】（2022秋•西城区校级期中）如图，AB为⊙O直径，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点
D，CD∥AB．
（1）求证：E为OD的中点；
（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．
【变式6-3】（2022•新洲区模拟）如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，
BC⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（ ）125π 275π 125π 275π
A． B． C． D．
4 4 9 9
【题型7 垂径定理在格点中的运用】
【例7】（2022秋•襄都区校级期末）如图所示，一圆弧过方格的格点 AB，试在方格中建立平面直角坐标
系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）
【变式7-1】（2022春•海门市期中）如图所示，⊙P过B、C两点，写出⊙P上的格点坐标．
【变式7-2】（2022•商城县三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正
方形的顶点上，点C同时也在^AB上，若点P是^BC的一个动点，则△ABP面积的最大值是 ．
【变式7-3】（2017秋•靖江市校级月考）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条
圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：（1）利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为 ；
（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为 ，∠ADC的度数 ．
【题型8 垂径定理在坐标系中的运用】
【例8】（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B
（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（ ）
A．(4-2√6，0) B．(-4+2√6，0) C．(-4+√26，0) D．(4-√26，0)
【变式8-1】（2022秋•西林县期末）如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横
坐标为﹣4．则⊙P的半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式8-2】（2022•印江县三模）如图，直线l为y＝x，过点A （1，0）作AB⊥x轴，与直线l交于点
1 1 1
B，以原点O为圆心，OB 长为半径画圆弧交x轴于点A；再作AB⊥x轴，交直线l于点B，以原点O
1 1 2 2 2 2
为圆心，OB 长为半径画圆弧交x轴于点A；…，按此作法进行下去，则点A 的坐标为 ．
2 3 2022【变式8-3】（2015•宜春模拟）如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y
＝﹣2x+m图象过点P，则m＝ ．
【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】
【例9】（2022秋•化德县校级期末）⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝12cm，CD＝16cm，则AB
和CD的距离为（ ）
A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm
【变式9-1】（2022•包河区二模）已知圆O的半径为5，弦AB＝8，D为弦AB上一点，且AD＝1，过点D
作CD⊥AB，交圆O于C，则CD长为（ ）
A．1 B．7 C．8或1 D．7或1
【变式9-2】（2022秋•方正县期末）如图，⊙O的弦AB与半径OC垂直，点D为垂足，OD＝DC，AB＝2
√3，点E在⊙O上，∠EOA＝30°，则△EOC的面积为 ．
【变式9-3】（2022秋•淮南月考）如图，已知⊙O的半径为2．弦AB的长度为2，点C是⊙O上一动点，
若△ABC为等腰三角形，则BC2的长为 ．【题型10 垂径定理的应用】
【例10】（2022秋•武昌区校级期末）某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长）24m，拱高
（弧的中点到弦的距离）4米，则求拱桥的半径为（ ）
A．16m B．20m C．24m D．28m
【变式10-1】（2022•望城区模拟）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西
方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一
尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1
寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材
的直径是（ ）
A．13寸 B．6.5寸 C．26寸 D．20寸
【变式10-2】（2022秋•西城区校级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加
简约．如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏
时长为 分钟．
【变式10-3】（2022•浙江）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，
∠AOB＝120°，从A到B只有路^AB，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通
过计算可知，这些市民其实仅仅少走了 步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：
√3≈1.732，π取3.142）
