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专题 24.1 圆的基本认识【九大题型】
【人教版】
【题型1 圆的有关概念辨析】..................................................................................................................................1
【题型2 求圆中弦的条数】......................................................................................................................................2
【题型3 求圆内最长一点的弦】..............................................................................................................................2
【题型4 圆的周长与面积问题】..............................................................................................................................3
【题型5 确定圆的条件】..........................................................................................................................................4
【题型6 点与圆的位置关系】..................................................................................................................................5
【题型7 圆中角度的计算】......................................................................................................................................5
【题型8 圆中线段长度的计算】..............................................................................................................................6
【题型9 求一点到圆上点的距离的最值】..............................................................................................................7
【知识点1 圆的有关概念】
圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
弦:连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，
弧:圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做
半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
【题型1 圆的有关概念辨析】
【例1】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）已知线段AB的中点为M，动点P满足AB=2PM，则点P
的轨迹是（ ）
A．以AB为直径的圆 B．AB的延长线 C．AB的垂直平分线 D．平行AB的直线
【变式1-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·九年级乌市八中校考期中）下列说法中，不正确的是（ ）
A．直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等
C．长度相等的弧是等弧 D．圆既是轴对称图形又是中心对称
【变式1-2】（2023春·山东临沂·九年级统考期中）下列说法中正确的有 （填序号）．
（1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
【变式1-3】（2023春·黑龙江绥化·九年级统考期末）一个长方形的长是4厘米，宽是2厘米，在长方形内
画一个最大的圆，其直径等于 ．
【题型2 求圆中弦的条数】
【例2】（2023春·河南濮阳·九年级统考期末）如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条
直线上，图中弦的条数有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【变式2-1】（2023春·北京昌平·九年级校考期末）过圆内的一点(非圆心)有 条弦，有 条
直径．
【变式2-2】（2023春·湖北恩施·九年级校考期中）如图，图中的弦共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【变式2-3】（2013秋·北京海淀·九年级统考期中）如图，⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为√10，
如果过点P作弦，那么长度为整数值的弦的条数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【题型3 求圆内最长一点的弦】
【例3】（2023春·浙江杭州·九年级统考期末）已知AB是半径为2的圆的一条弦，则AB的长可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式3-1】（2023·浙江·九年级专题练习）已知⊙O中最长的弦为16cm，则⊙O的半径为
cm
【变式3-2】（2023春·福建福州·九年级统考期中）已知AB是直径为10的圆的一条弦，则AB的长度不可
能是（ ）
A．2 B．5 C．9 D．11
【变式3-3】（2023春·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，AB为⊙O的直径，AB＝6cm，点C在AB延长
线上且BC＝3cm，点P为⊙O上动点，则 OPC的面积的最大值是 cm2．
△
【题型4 圆的周长与面积问题】
1
【例4】（2023春·上海青浦·九年级校考期末）如果大圆周长比小圆周长大 ，那么小圆面积比大圆面积
4
小（ ）
3 1 9 9
A． B． C． D．
4 5 16 25
【变式4-1】（2023春·上海徐汇·九年级上海市徐汇中学校考期末）某同学用所学过的圆与扇形的知识设计
了一个问号，如图中阴影部分所示，已知图中的大圆半径为4，两个小圆的半径均为2，请计算图中阴影部
分的周长和面积．
【变式4-2】（2023春·九年级统考期末）如图所示，两个圆的圆心相同，圆环的面积是8，则阴影部分的
面积是 ．（结果保留π）【变式4-3】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）（1）①倍圆问题；如图1，已知⊙O，请你用圆规和
无刻度的直尺作一个以O为圆心，面积是原⊙O的两倍的圆；
②均分问题：如图2，已知⊙O，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以O为圆心，面积是原⊙O的一半的
圆；（不写作法，但需保留作图痕迹）
（2）若⊙O的半径为5，则上述所作圆的周长分别是 ， ．
【知识点2 确定圆的条件】
不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的
三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条
直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的
三点能画且只能画一个圆．
【题型5 确定圆的条件】
【例5】（2023·浙江·九年级假期作业）已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，
则以下P点坐标不满足要求的是（ ）
A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（1，2） D．（1，﹣2）
【变式5-1】（2023春·浙江·九年级统考期末）给定下列条件可以确定唯一的一个圆的是（ ）
A．已知圆心 B．已知半径 C．已知直径 D．不在同一直线上的三个点
【变式5-2】（2023·江西·统考中考真题）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其
中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式5-3】（2023·全国·九年级专题练习）已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四
点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出( )．
A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆
【知识点3 点与圆的位置关系】
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则有：
点P在圆外 d＞r；
点P在圆上 d=r；
点P在圆内 d＜r.
【题型6 点与圆的位置关系】
【例6】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=14，点
D在边BC上，CD=6，以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，则
r的取值范围是（ ）
A．8<r<10 B．6<r<8 C．6<r<10 D．2<r<14
【变式6-1】（2023春·云南昭通·九年级统考期末）若⊙O的半径为3√3，圆心O为坐标系的原点，点P
的坐标是(3,5)，点P在⊙O ．
【变式6-2】（2023春·山东滨州·九年级统考期末）已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程
x2-4x-5=0的一个根，则点P在（ ）
A．⊙O的内部 B．⊙O的外部
C．⊙O上或⊙O的内部 D．⊙O上或⊙O的外部
【变式6-3】（2023春·河南南阳·九年级校考期末）已知点P为平面内一点，若点P到⊙O上的点的最长
距离为5，最短距离为1，则⊙O的半径为 ．
【题型7 圆中角度的计算】
【例7】（2023春·河南洛阳·九年级统考期末）如图，AB为半圆O的直径，OC⊥AB，OD平分∠BOC，
交半圆于点D，AD交OC于点E，则∠AEO的度数是( )A．75° B．67.5° C．60° D．30°
【变式7-1】（2023春·河北石家庄·九年级校考期中）如图所示，MN为⊙O的弦，∠N=50°，则
∠MON的度数为（ ）
A．100° B．40° C．50° D．80°
【变式7-2】（2023春·江苏淮安·九年级校考期末）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D
在⊙O上，且CD=OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠E=40°，那么∠C= ．
【变式7-3】（2023春·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABO=32°，
∠ACO=36°，则∠BOC等于 ．
【题型8 圆中线段长度的计算】
【例8】（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考一模）如图，在⊙O中，直径为MN，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM=45°．
(1)若AB=2，求PD的长度；
(2)若半径是5，求正方形ABCD的边长．
【变式8-1】（2023春·浙江衢州·九年级统考期末）如图， ▱ABCO的顶点A，B，C在⊙O上，若AB＝2，
则 ▱ABCO的周长是 ．
【变式8-2】（2023春·安徽滁州·九年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，若以
点C为圆心，CB的长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于（ ）
A．5cm B．6cm C．5√2cm D．5√3cm
【变式8-3】（2023春·山东济宁·九年级校考阶段练习）如图，AC是⊙O的弦，AC=5，点B是⊙O上
的一个动点，且∠ABC=45°，若点M、N分别是AC，BC的中点，则MN的最大值是 ．【题型9 求一点到圆上点的距离的最值】
【例9】（2023春·山东泰安·九年级校考期末）如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为(6，8)，点P是
⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则
AB的最大值为（ ）
A．13 B．14 C．12 D．28
【变式9-1】（2023春·河南新乡·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
AC=BC=2√2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP=1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点
为点Q，连接DQ．则DQ的长度的取值范围是 ．
【变式9-2】（2023春·广东茂名·九年级期末）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，动点E在矩形的边
AB上运动，连接DE，作点A关于DE的对称点P，连接BP，则BP的最小值为 ．【变式9-3】（2023春·广东汕尾·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E，F分
别是AD，DC边上的动点，且EF=4，点G为EF的中点，点P为BC上的一动点，则PA+PG的最小值为
．
