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专题 24.6 切线的判定和性质【九大题型】
【人教版】
【题型1 有关切线的说法辨析】..............................................................................................................................1
【题型2 判断或补全使直线为切线的条件】.........................................................................................................2
【题型3 证明某直线是圆的切线（连半径证垂直）】.........................................................................................3
【题型4 证明某直线是圆的切线（作垂直证半径）】.........................................................................................4
【题型5 利用切线的性质求线段长度】..................................................................................................................6
【题型6 利用切线的性质求角度大小】..................................................................................................................7
【题型7 利用切线的性质证明】..............................................................................................................................8
【题型8 切线的判定与性质的综合运用】..............................................................................................................9
【题型9 过圆外一点作圆的切线】........................................................................................................................11
【知识点 切线的判定】
（1）切线判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）
③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线
（2）切线判定常用的证明方法：
①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；
②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
【题型1 有关切线的说法辨析】
【例1】（2023春·山东日照·九年级统考期中）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定
BC是⊙A切线的是（ ）
A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点【变式1-1】（2023春·九年级课时练习）下列直线中可以判定为圆的切线的是（ ）
A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线
C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线
【变式1-2】（2023春·西藏拉萨·九年级校考期末）下列四个选项中的表述，一定正确的是（ ）
A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线
【变式1-3】（2011秋·湖北黄冈·九年级统考期末）如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为B´C
的中点，DE垂直于AC的延长线于E，连接BC，若DE=6cm，CE=2cm，下列结论一定错误的是( )
A．DE是⊙O的切线 B．直径AB长为20cm
C．弦AC长为16cm D．C为A´D 的中点
【题型2 判断或补全使直线为切线的条件】
【例2】（2023春·北京·九年级统考期末）在下图中，AB是⊙O的直径，要使得直线AT是⊙O的切线，
需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可）
【变式2-1】（2023春·山东德州·九年级统考期中）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，
如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线．【变式2-2】（2023春·河南信阳·九年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作
⊙O交AB于D点，连接CD．
（1）求证：∠A=∠BCD；
（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．
【题型3 证明某直线是圆的切线（连半径证垂直）】
【例3】（2023春·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考开学考试）如图，在 中， ，
平分 交 于点D，O为 上一点，经过点A，D的 分别交 ， 于点E，F．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
【变式3-1】（2023春·全国·九年级专题练习）如图， 中， ，以 为直径的 交
于点 ，点 在 上 ， ， 的延长线交于点F．
(1)求证： 与 相切；(2)若 的半径为3， ，求 的长．
【变式3-2】（2023春·江西九江·九年级校考期中）如图， 为 的直径，C为 上一点，P为 延
长线上的一点，使得 ．
(1)求证： 是 的切线．
(2)F为 上一点，且 经过 的中点E．
①求证： ；
②若 ， ，求 的半径长．
【变式3-3】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，已知半径为 的 经过 轴上一点 ，与 轴
交于 、 两点，连接 、 ， 平分 ， ．
(1)判断 与 轴的位置关系，并说明理由；
(2)求 的长．
【题型4 证明某直线是圆的切线（作垂直证半径）】
【例4】（2023春·山东日照·九年级日照市新营中学校考期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，
AD∥BC，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．
（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由．
（2）若AB＝6，∠BDC＝60°，求图中阴影部分的面积．【变式4-1】（2023·江西南昌·九年级期末）如图， 为正方形 对角线上一点，以 为圆心， 长
为半径的 与 相切于点 .
（1）求证： 与 相切.
（2）若正方形 的边长为1，求半径 的长.
【变式4-2】（2023•武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB
上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作 D，AB＝5，EB＝3．
（1）求证：AC是 D的切线； ⊙
（2）求线段AC的⊙长．
【变式4-3】（2023•椒江区一模）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与 O相切于
点D．求证：AC是 O的切线． ⊙
⊙【知识点2 切线的性质】
（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径
（2）切线性质的推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
【题型5 利用切线的性质求线段长度】
【例5】（2023春·河南·九年级校联考期末）如图，AB为⊙O的直径，C，E是⊙O上不同于A，B的两
点，过点C的切线垂直于AE交AE的延长线于点D，连接AC．
(1)求证：E´C=B´C；
(2)若AC=4√3，CE=3√3，则CD的长为__________．
【变式5-1】（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）如图，AB是⊙O的直径，点C在
⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点B作BD⊥l于点D．
(1)求证：BC平分∠ABD；
(2)连接OD，若∠ABD=60°，CD=√3，求OD的长．【变式5-2】（2023春·广东韶关·九年级校考期末）如图，已知△ABC内接于 O，AB是 O的直径，点
F在 O上，且点C是弧BF的中点，过点C作 O的切线交AB的延长线于D⊙点，交AF的⊙延长线于E点．
⊙ ⊙
(1)求证：AE⊥DE；
(2)若∠D=30°，AE=3，求CD的长．
【变式5-3】（2023春·广东汕头·九年级统考期末）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与
过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，G是△ACB的内心，连接CG并延
长，交⊙O于E，交AB于点F，连接BE．
(1)求证：AC平分∠DAB；
(2)连接BG，判断△EBG的形状，并说明理由；
(3)若BC=2√2，AC=4√2，求线段EC的长．
【题型6 利用切线的性质求角度大小】
【例6】（2023春·重庆南岸·九年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）如图，AC是⊙O的直径，AB，
BC是⊙O的弦，CD是⊙O的切线，C为切点，OD与⊙O交于点E．若点C为B´E的中点，∠D=32°，
则∠ACB的度数为（ ）A．56° B．58° C．61° D．68°
【变式6-1】（2023春·河南信阳·九年级校联考期末）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO
交⊙O于点C，连接BC，PA．若∠P=36°，且PA与⊙O相切，则此时∠B等于（ ）
A．27° B．32° C．36° D．54°
【变式6-2】（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图：P是⊙O的直径CD的延长线上一点，PA是
⊙O的切线，A为切点，∠P=40°，则∠ACP= ．
【变式6-3】（2023春·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考期末）如图，点A，B在圆O上，且
∠AOB＝30°，点P是射线OB上一动点（不与点O重合），连接AP，将△APO沿AP折叠得到△APO'，
当△APO'的边所在的直线与圆O相切时，∠OPA的度数为 ．
【题型7 利用切线的性质证明】
【例7】（2023春·河北邢台·九年级校联考期末）如图，BD是⊙O的直径，BA是⊙O的弦，过点A的切
线交BD的延长线于点C，AB=AC．求证：△ACO≌△ABD．
【变式7-1】（2023春·河南驻马店·九年级统考期中）如图所示，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延
长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB.试证明：
(1)CB是∠ECP的角平分线；
(2)CF=CE．
【变式7-2】（2023春·广东江门·九年级统考期末）如图，点A、B、C在⊙O上，直线l与⊙O相切于点
A．
(1)试问：∠1与∠ACB有怎样的大小关系？证明你的结论；
(2)如果我们把形如∠1这样的角称为“弦切角”，请你用文字表述你在（1）中得出的结论．
【变式7-3】（2023·安徽·九年级统考期中）已知：如图，点P是⊙O外一点，过点P分别作⊙O的切线
PA、PB，切点为点A、B，连接OA，过点O作OD∥PA交PB于点D，过点D作DC⊥PA于C.
（1）求证：四边形OACD是矩形；
（2）若∠P=45°，⊙O的半径为r，试证明四边形OACD的周长等于2(√2+1)r.
【题型8 切线的判定与性质的综合运用】
【例8】（2023春·湖北·九年级期末）AB为⊙O的直径，PA为⊙O的切线，BC∥OP交⊙O于C，PO交
⊙O于D，（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）过点D作DE⊥AB于E，交AC于F，PO交AC于H，BD交AC于G，DF＝FG，DF＝5，CG＝6，求
⊙O的半径．
【变式8-1】（2023春·湖北随州·九年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是
AB上一点，以CE为直径的⊙O交BC于点F，连接DO，且∠DOC＝90°．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若DF＝2，DC＝6，求BE的长．
【变式8-2】（2023春·河南周口·九年级淮阳第一高级中学校考期末）如图，∠PBC=30∘，点O是线段
PB的一个三等分点，以点O为圆心，OB为半径的圆交PB于点A，交BC于点E，连接PE.
(1)求证:PE是⊙O的切线；
(2)点D为⊙O上的一动点，连接OD.
①当∠AOD= 时，四边形BEPD是菱形;
②当∠AOD= 时，四边形ADBE是矩形.【变式8-3】（2023春·湖北·九年级期末）已知AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的角平分线交⊙O于点
D，DE⊥AC于E．
（1）如图（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如图（1）若AB＝10，AC＝6，求ED的长；
ED
（3）如图（2）过点B作⊙O的切线，交AD延长线于F，若ED＝DF，求 的值．
AD
【题型9 过圆外一点作圆的切线】
【例9】（2023·北京海淀·九年级期末）已知：点A，B，C在⊙O上，且∠BAC=45°．
求作：直线l，使其过点C，并与⊙O相切．
作法：①连接OC；
②分别以点B，点C为圆心，OC长为半径作弧，两弧交于⊙O外一点D；
③作直线CD．
直线CD就是所求作直线l．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接OB，BD，
∵OB=OC=BD=CD，∴四边形OBDC是菱形，
∵点A，B，C在⊙O上，且∠BAC=45°，
∴∠BOC=______°（_________________）（填推理的依据）．
∴四边形OBDC是正方形，
∴∠OCD=90°，即OC⊥CD，
∵OC为⊙O半径，
∴直线CD为⊙O的切线（_________________）（填推理的依据）．
【变式9-1】（2023·天津和平·统考三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A在格点
上，点B在格点上，圆心在线段AB上，圆与网格线相交于点C，过点C作圆的切线与网格线交于点P．
（1）AB= ；
（2）过点P作圆的切线，切点为M（点M不与点C重合）．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画
出点M，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【变式9-2】（2023春·江苏宿迁·九年级统考期中）已知：⊙O和⊙O外一点P．
(1)如图甲，PA和PB是⊙O的两条切线，A、B分别为切点，求证：PA=PB；
(2)尺规作图：在图乙中，过P点作⊙O的两条切线PE、PF、E、F为切点（要求：保留作图痕迹，不写
作法）．
【变式9-3】（2023·北京海淀·九年级期末）按要求作图：(1)如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，利用无刻度直尺画出这个圆的一条
直径；
(2)如图2，BA，BD是⊙O中的两条弦，C是BD上一点，BAC50，利用无刻度直尺在图中画一个含有
50角的直角三角形；
(3)如图3，利用无刻度直尺和圆规，以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（不写作法，保留作图
痕迹）；
(4)如图4，AB与圆相切，且切点为点B，利用无刻度直尺在网格中找出点B的位置．
