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专题 21.4 根与系数的关系【十大题型】
【人教版】
【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】.................................................................................................1
【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】.....................................................................2
【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】.....................................................................2
【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】.........................................................................................................2
【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】.........................................................................................3
【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】.............................................................................3
【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】.........................................................................................................4
【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】.....................................................................................................4
【题型9 根与系数关系中的新定义问题】..............................................................................................................5
【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】.......................................................................................5
【知识点 一元二次方程的根与系数的关系】
b
若一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的两根为x ，x ，则x +x =- ，
1 2 1 2 a
c
x ⋅x = ．
1 2 a
注意它的使用条件为，a≠0，Δ ≥0
【题型1 由根与系数的关系直接求代. 数式的值】
【例1】（2023春·广东广州·九年级统考期末）若x ，x 是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，则
1 2
的值是（ ）
x2+x2+x x
1 2 1 2
A．-7 B．-1 C．1 D．7
【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知m，n是一元二次方程x2+3x-2=0的两根，则
2 m+3n
- 的值是（ ）
m-n m2-n21 1
A．-3 B．-2 C．- D．-
3 2
√b √a
【变式1-2】（2023·上海·九年级假期作业）已知a，b是方程x2+6x+4=0的两个根，则b +a 的值
a b
．
2
【变式1-3】（2023春·九年级单元测试）已知x 、x 是方程x2-7x+8=0的两根，且x >x ，则
1 2 1 2 x +3x
1 2
的值为 ．
【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】
【例2】（2023春·浙江·九年级专题练习）设α、β是方程 x2+x+2012=0的两个实数根，则 α2+2α+β
的值为（ ）
A．－2014 B．2014 C．2013 D．－2013
【变式2-1】（2023春·湖北恩施·九年级统考期中）已知a，b是关于x的一元二次方程x2+3x-1=0的两
个实数根，则 的值为( )
(a+2) 2+b
3
A． B．5 C．2 D．-2
2
【变式2-2】（2023·江西萍乡·校考模拟预测）若α、β是一元二次方程x2-3x-9=0的两个根，则
α2-4α-β的值是 ．
【变式2-3】（2023春·安徽池州·九年级统考期末）已知α和β是方程x2+2023x+1=0的两个根，则
的值为（ ）
(α2+2024α+2)(β2+2024β+2)
A．-2021 B．2021 C．-2023 D．2023
【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】
【例3】（2023春·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）若p、q是方程x2-3x-1=0的两个不
相等的实数根，则代数式p3-4 p2-2q+5的值为 ．
【变式3-1】（2023春·山东日照·九年级统考期末）已知a，b是方程x2-x-3=0的两个根，则代数
a2+2b2+a+ab的值为 ．
【变式3-2】（2023春·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知α、β是方程x2+x-1=0的两根，则
α4β-β3+5的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式3-3】（2023春·九年级课时练习）已知a，b是方程x2-x-1=0的两根，则代数式2a3+5a+3b3+3b+1的值是（ ）
A．19 B．20 C．14 D．15
【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】
【例4】（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程x2-8x+m=0两根为x 、x ，且
1 2
x =3x ，则m的值为（ ）
1 2
A．4 B．8 C．12 D．16
【变式4-1】（2023·上海·九年级校考期中）已知关于x的方程 的两根为 满
x2+(2k-1)x+k2-1=0 x ,x
1 2
足： ，求实数k的值
x2+x2=16+x x
1 2 1 2
【变式4-2】（2023春·广东佛山·九年级校考阶段练习）方程 的两个实数根互为相
x2-(k2-4)x+k+1=0
反数，则k的值是 ．
【变式4-3】（2023春·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若m、n是关于x的方程
1 1
x2+(2k+3)x+k2=0的两个不相等的实数根，且 + =-1，则k的值为 ．
m n
【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】
【例5】（2023春·江苏南京·九年级专题练习）关于x的方程(x-2)(x+1)=p2（p为常数）根的情况，下列
结论中正确的是（ ）
A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实
数根
【变式5-1】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）方程2x2-3x+1=0根的符号是（ ）
A．两根一正一负 B．两根都是负数 C．两根都是正数 D．无法确定
【变式5-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知a、b、c是△ABC的三条边的
c
长，那么方程cx2+(a+b)x+ =0的根的情况是（ ）
4
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个不等的负实根 D．只有一个实数根
【变式5-3】（2023·九年级统考课时练习）已知a<0，b>0，c<0，则方程ax2-bx-c=0的根的情况是
（ ）.
A．有两个负根 B．两根异号且正根绝对值较大C．有两个正根 D．两根异号且负根绝对值较大
【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】
13
【例6】（2023·四川成都·三模）若方程x2+（m﹣4）x+ ﹣m＝0有两个不相等的实数根x 和x，且x+x
1 2 1 2
4
21
＞﹣3，xx＜ ，则m的取值范围为多少？
1 2
4
【变式6-1】（2023·山东日照·日照港中学统考二模）已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0的实数
根x ,x ，满足3x x -x -x >5，则m的取值范围是 ．
1 2 1 2 1 2
【变式6-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知关于x的方程
4x2-(k+5)x-k-9=0有两个不相等的实数根x ，x ，且x =-1，08
【变式8-3】（2023春·九年级单元测试）一元二次方程M:ax2+bx+c=0；N:cx2+bx+a=0，其中
ac≠0，a≠c，给出以下四个结论：①若方程M有两个不相等的实数根，则方程N也有两个不相等的实数
1
根；②若方程M的两根符号相同，则方程N的两根符号也相同；③若m是方程M的一个根，则 是方程
m
N的一个根；④若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根必是x=1，其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【题型9 根与系数关系中的新定义问题】
【例9】（2023春·山东日照·九年级日照市田家炳实验中学校考阶段练习）定义：如果实数a、b、c满足
a²+b²=c²， 那么我们称一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)为“勾股”方程；二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)为“勾
股”函数．
(1)理解：下列方程是“勾股”方程的有 ．
1 1 1
①x²-1=0；② x2-x+√2=0；③ x2+ x+ =0；④4x²+3x=5
3 4 5(2)探究：若m、n是“勾股”方程 ax²+bx+c=0 的两个实数根，试探究m、n之间的数量关系．
【变式9-1】（2023春·河南安阳·九年级校联考期中）定义运算：a*b=a(1-b)．若a，b是方程
x2-x+m=0(m<0)的两根，则b*b-a*a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
【变式9-2】（2023春·广东揭阳·九年级校联考阶段练习）定义：如果一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)
满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知x2+mx+n=0是“凤凰”方程，且有两个相
等的实数根，求m2+n2的值．
【变式9-3】（2023春·辽宁鞍山·九年级校考阶段练习）已知：α、β(α>β)是一元二次方程x2-x-1=0的
两个实数根，设 ， ， ．
S =α+β S =α2+β2 ……S =αn+βn
1 2 n
根据根的定义，有 、 ，将两式相加，得 ，于是
α2-α-1=0 β2-β-1=0 (α2+β2 )-(α+β)-2=0
S -S -2=0
2 1
根据以上信息，解答下列问题．
(1)求α、β的值，并利用一元二次方程根与系数关系，求出S 的值．
2
(2)猜想：当n⩾3时，S 、S 、S 之间满足的数量关系，并证明你的猜想．
n n-1 n-2
【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】
【例10】（2023春·广东广州·九年级广州白云广雅实验学校校考阶段练习）已知关于x的方程
1
x2-(k+1)x+ k2+1=0有两实数根x ，x ，
4 1 2
(1)若x x =5，求k的值．
1 2
(2)是否存在实数k满足 ，若存在请求出k的值，若不存在请说明理由．
|x |=x
1 2
【变式10-1】（2023春·黑龙江大庆·九年级统考阶段练习）已知关于x的方程x2+2x+m=0有两个不相等
的实数根．
(1)求m的取值范围．
(2)若两个实数根分别是 ， ，且 ，求m的值．
x x (x x -1) 2+2(x +x )=0
1 2 1 2 1 2
【变式10-2】（2023·安徽·模拟预测）关于x的一元二次方程 有两个实数根 ， ，
x2-(k-1)x-k+2=0 x x
1 2
若(x -x +2)(x -x -2)+2x x =-3，则k= ．
1 2 1 2 1 21
【变式10-3】（2023·浙江·九年级假期作业）已知，关于x的方程x2-(k+1)x+ k2+1=0有两个实数根．
4
(1)求k的取值范围．
(2)若方程的两实根为 且满足 ，求k的值．
x ，x |x |+|x |=4x x -5
1 2 1 2 1 2
(3)当k为何值时，式子有最小值，并求出该最小值．
