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专题 22.2 二次函数的图象【六大题型】
【人教版】
【题型1 二次函数的配方法】...............................................................................................................................1
【题型2 二次函数的五点绘图法】.......................................................................................................................3
【题型3 二次函数的图象与各系数之间的关系】................................................................................................6
【题型4 二次函数图象的平移变换】.....................................................................................................................7
【题型5 二次函数图象的对称变换】.................................................................................................................8
【题型6 利用对称轴、顶点坐标公式求值】.......................................................................................................9
【知识点1 二次函数的配方法】
y=ax2+bx+c(a≠0)
=a ( x2+ b x+ c) ①提取二次项系数；
a a
=a [ x2+ b x+ ( b ) 2 - ( b ) 2 + c] ②配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方；
a 2a 2a a
[( b ) 2 4ac-b2] ③整理：前三项化为平方形式，后两项合并同类项;
=a x+ +
2a 4a2
( b ) 2 4ac-b2
=a x+ + ④化简：去掉中括号.
2a 4a
二次函数的一般形式 配方成顶点式 ( b ) 2 4ac-b2，由此得到二次函数对
y=ax2+bx+c(a≠0) y=a x+ +
2a 4a2
称轴为 ，顶点坐标为 ．
【题型1 二次函数的配方法】
【例1】（2022秋•饶平县校级期末）用配方法将下列函数化成y＝a（x+h）2+k的形式，并指出抛物线的
开口方向，对称轴和顶点坐标．1
（1）y= x2﹣2x+3；
2
（2）y＝（1﹣x）（1+2x）．
【变式1-1】（2022•西华县校级月考）用配方法确定下列二次函数图象的对称轴与顶点坐标．
（1）y＝2x2﹣8x+7；
（2）y＝﹣3x2﹣6x+7；
（3）y＝2x2﹣12x+8；
（4）y＝﹣3（x+3）（x﹣5）．
【变式1-2】（2021•邵阳县月考）把下列二次函数化成顶点式，即y＝a（x+m）2+k的形式，并写出他们顶
点坐标及最大值或最小值．
1
（1）y＝﹣2x﹣3+ x2
2
（2）y＝﹣2x2﹣5x+7
（3）y＝ax2+bx+c（a≠0）
【变式1-3】（2022•监利市期末）用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题
例如：因为5a2≥0，所以5a2+1≥1，即：当a＝0时，5a2+1有最小值1．同样，因为﹣5（a2+1）≤0，
所以﹣5（a2+1）+6≤6有最大值1，即当a＝1时，﹣5（a2+1）+6有最大值6．
（1）当x＝ 时，代数式﹣3（x﹣2）2+4有最 （填写大或小）值为 ．
（2）当x＝ 时，代数式﹣x2+4x+4有最 （填写大或小）值为 ．
（3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是 14m，当花园与墙相邻的边长为多少时，
花园的面积最大？最大面积是多少？【知识点2 二次函数的五点绘图法】
利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，
然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及
关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 ， （若与 轴没有交点，则取两组关于
对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.
【题型2 二次函数的五点绘图法】
【例2】（2022•东莞市模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 5 2 1 2 5 …
（1）求该二次函数的表达式；
（2）当x＝6时，求y的值；
（3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象．
【变式2-1】（2022•竞秀区一模）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3
（1）求出该抛物线顶点坐标．
（2）选取适当的数据填入表格，并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象．
x … …
y … …【变式2-2】已知二次函数y＝ax2﹣2的图象经过（﹣1，1）．
（1）求出这个函数的表达式；
（2）画出该函数的图象；
（3）写出此函数的开口方向、顶点坐标、对称轴．
1
【变式2-3】（2022•越秀区模拟）如图，已知二次函数y=- x2+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，
2
﹣6）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求该二次函数图象的顶点坐标、对称轴以及二次函数图象与x轴的另一个交点；
（3）在右图的直角坐标系内描点画出该二次函数的图象及对称轴．【知识点3 二次函数的图象与各系数之间的关系】
① 二次项系数 ：总结起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向， 的大小决定
开口的大小．
②一次项系数 ：在 确定的前提下， 决定了抛物线对称轴的位置，对称轴 在 轴左边则
，在 轴的右侧则 ，概括的说就是“左同右异”
③常数项 ：总结起来， 决定了抛物线与 轴交点的位置．
【题型3 二次函数的图象与各系数之间的关系】
【例 3】（2022 春•玉山县月考）函数 y＝ax2﹣a 与 y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是
（ ）
A． B．
C． D．【变式3-1】（2022•邵阳县模拟）二次函数y＝ax2+b的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象可能是
（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2022•凤翔县一模）一次函数y＝kx+k与二次函数y＝ax2的图象如图所示，那么二次函数 y
＝ax2﹣kx﹣k的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（2022•澄城县三模）已知m，n是常数，且n＜0，二次函数y＝mx2+nx+m2﹣4的图象是如图
中三个图象之一，则m的值为（ ）
A．2 B．±2 C．﹣3 D．﹣2
【知识点4 二次函数图象的平移变换】
（1）平移步骤：①将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；
②保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax2 y=ax2+k
向右(h>0)【或左(h<0)】
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位
平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
（2）平移规律：在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．概括成八个字“左
加右减，上加下减”．
【题型4 二次函数图象的平移变换】
【例4】（2022•绍兴县模拟）把抛物线y＝ax2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，
所得的图象的解析式是y＝（x﹣3）2+5，则a+b+c＝ ．
【变式4-1】（2022•澄城县二模）要得到函数y＝﹣（x﹣2）2+3的图象，可以将函数y＝﹣（x﹣3）2的图
象（ ）
A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
【变式4-2】（2022秋•滨江区期末）将抛物线 y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，
5），则4a﹣2b﹣1的值是 ．
【变式4-3】（2022•澄城县二模）二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）图象的对称轴为直线x＝2，
将该二次函数的图象沿y轴向下平移k个单位，使其经过点（0，﹣1），则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．2 D．6
【知识点5 二次函数图象的对称变换】
（1）关于 轴对称
关于 轴对称后，得到的解析式是 ；关于 轴对称后，得到的解析式是 ；
（2）关于 轴对称
关于 轴对称后，得到的解析式是 ；
关于 轴对称后，得到的解析式是 ；
（3）关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是 ；
关于原点对称后，得到的解析式是 ；
（4）关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
关于顶点对称后，得到的解析式是 ；
关于顶点对称后，得到的解析式是 ．
【题型5 二次函数图象的对称变换】
【例5】（2022•绍兴县模拟）在同一平面直角坐标系中，若抛物线 y＝x2+（2a﹣b）x+b+1与y＝﹣x2+
（a+b）x+a﹣4关于x轴对称，则a+b的值为（ ）
A．﹣5 B．3 C．5 D．15
【变式5-1】（2022•苍溪县模拟）抛物线y＝﹣（x+2）2关于y轴对称的抛物线的表达式为 ．
【变式5-2】（2022•蜀山区校级二模）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x+3绕着原点旋转180°，所
得抛物线的解析式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣（x+1）2﹣2
C．y＝﹣（x﹣1）2+2 D．y＝﹣（x+1）2+2
【变式5-3】（2022春•仓山区校级期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线 L ：y＝kx2+4kx+8（k≠0）与
1
抛物线L 关于x轴对称，且它们的顶点相距8个单位长度，则k的值是（ ）
2
A．﹣1或3 B．1或﹣2 C．1或3 D．1或2
【题型6 利用对称轴、顶点坐标公式求值】
【例 6】（2022•苍溪县模拟）已知二次函数 y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1图象经过原点，则 a的取值为
（ ）
A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝﹣1 D．a＝0
【变式6-1】（2022•合肥模拟）如果抛物线y＝x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是4，则c的值等于 ．
【变式6-2】（2022•襄城区模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c的顶点在x轴上，点A（m﹣1，n）和点B（m+3，n）均在二次函数图象上，求n的值为 ．
【变式6-3】（2022•公安县期中）已知二次函数y＝x2+mx+m﹣1，根据下列条件求m的值．
（1）图象的顶点在y轴上．
（2）图象的顶点在x轴上．
（3）二次函数的最小值是﹣1．
