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专题 22.2 二次函数综合——线段周长问题
【典例1】如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．已知点 的坐标是
y=ax2+bx+3(a≠0) x A B y C A
(−1,0)，抛物线的对称轴是直线x=1．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）在对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小．求点P的坐标和PA+PC的最小值；
（3）第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，连接BC交MN于点Q．依题
意补全图形，当MQ+❑√2CQ的值最大时，求点M的坐标．
【思路点拨】
（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可；
（2）根据抛物线的对称性，得到PA+PC=PB+PC≥BC，得到当P,B,C三点共线时，PA+PC的值最
小，为BC的长，求出直线BC的解析式，解析式与对称轴的交点即为点P的坐标，两点间的距离公式求出
BC的长，即为PA+PC的最小值；
（3）根据题意，补全图形，设 ，得到 ， ，将 的
M(m,−m2+2m+3) N(m,0) Q(m,−m+3) MQ+❑√2CQ
最大值转化为二次函数求最值，即可得解．
【解题过程】
（1）解：∵点A(−1,0)关于对称轴的对称点为点B，对称轴为直线x=1，
∴点B为(3,0)；
（2）当x=0时，y=3，
∴C(0,3)，连接BC，
∵B(3,0)，
∴ ，
BC=❑√32+32=3❑√2
∵点A关于对称轴的对称点为点B，
∴PA+PC=PB+PC≥BC，
∴当P,B,C三点共线时，PA+PC的值最小，为BC的长，
设直线BC的解析式为：y=kx+n，
{ n=3 ) { n=3 )
则： ，解得： ，
3k+n=0 k=−1
∴y=−x+3，
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴P(1,2)；
∴点P(1,2)，PA+PC的最小值为3❑√2；
（3）过点M作MN⊥x轴，垂足为N，连接BC交MN于点Q，如图所示，
∵A(−1,0),B(3,0)，
设抛物线的解析式为：y=a(x+1)(x−3)，
∵C(0,3)，
∴3=−3a，
∴a=−1，
∴y=−(x+1)(x−3)=−x2+2x+3，设 ，则： ，
M(m,−m2+2m+3) N(m,0)
由（2）知：直线BC：y=−x+3，
∴Q(m,−m+3)，
∴MQ=−m2+2m+3+m−3=−m2+3m，
∵C(0,3),B(3,0)，
∴OC=OB=3，BN=3−m，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠NQB=∠OBC=45°，
∴BQ=❑√2BN=❑√2(3−m)，
∴CQ=BC−BQ=3❑√2−3❑√2+❑√2m=❑√2m，
∴MQ+❑√2CQ=−m2+3m+❑√2⋅❑√2m=−m2+5m=− ( m− 5) 2 + 25 ，
2 4
5 (5 7)
∴当m= 时，MQ+❑√2CQ有最大值，此时M , ．
2 2 4
1．（2023·山东潍坊·统考二模）已知抛物线y=ax2+bx−4(a≠0)交x轴于点A(4，0)和点B(−2，0)，
交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点P是抛物线上位于直线AC下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点
D，交x轴于点E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标．1
2．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，已知抛物线y=− (x+2)(x−m)(m>0)与x轴相交于点B、C，与
m
y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线过点M(4,4)，求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）若m=4，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+EH最小，并求出点H的坐标．
3．（2023·天津河北·统考二模）已知抛物线y=−x2+bx+c（b,c为常数），抛物线与x轴交于点A(−1,0)
，点B，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）当b=2时，求该抛物线的顶点坐标；
（2）若点E(b,y)是抛物线在第一象限内的点，有一点P(5,0)，当AP=AE时，求b的值；
（3）在（1）的条件下，连接BC，点Q是第一象限内的抛物线上的一动点，过点Q作QF⊥BC于点F，
连接OQ，当QF最大时，求OQ的长．
4．（2023秋·云南玉溪·九年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(1,0)，且OA=OC=4OB，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象经过A，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，若点P是直线AC上方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当00)个单位长度时，
与线段DE只有一个公共点，请求出k的取值范围．
9．（2022秋·河南洛阳·九年级河南省洛阳市第二十三中学校考期中）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的
图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为(−3,0)，与y轴交于点C，点D(−2,−3)在抛物线上；（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAD周长最小，若存在，求出P点的坐标及△PAD周长的最
小值；
（3）若点M是直线AC下方的抛物线上的一动点，过M作y轴的平行线与线段AC交于点N，求线段MN
的最大值．
10．（2023·天津河西·统考一模）已知抛物线y=ax2+bx+3(a<0)与x轴相交于A，B两点（点A在点B
右侧），与y轴相交于点C，点B(−3,0)．
（1）若已知A(1,0)．
①求抛物线的顶点坐标；
②若点P是第二象限内抛物线上一动点，过点P作线段PF⊥x轴，交直线BC于点F，当线段PF取得最
大值时，求此时点P的坐标；
（2）若取线段BC的中点E，向右沿x轴水平方向平移线段BC，得到线段B′E′，求CB′ +CE′的最小
值，并求此时点B′的坐标．
11．（2023·天津·统考二模）已知抛物线y=ax2+4ax−12a（a为常数，a<0）与x轴相交于点A，点B
（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）当a=−1时，求点C，D的坐标；9
（2）直线x=m（m是常数）与抛物线相交于第二象限的点P，与AC相交于点Q，当PQ的最大值为
2
时，求抛物线的解析式；
（3）将线段AC沿x轴方向平移至A′C′，A′为点A的对应点，C′为点C的对应点，连接DA′，OC′．当a
为何值时，DA′+OC′的最小值为5，并求此时点C的坐标．
12．（2023·天津红桥·统考三模）已知拋物线y=ax2+bx+2（a,b为常数，a≠0）经过点
A(−1,0),B(3,0)，与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点E．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BC，在该拋物线上是否存在点P，使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存
在，请说明理由；
（3）Q为x轴上方拋物线上的动点，过点Q作直线AQ,BQ，分别交抛物线的对称轴于点M,N．点Q在运
动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，调求出该定值；若不是，请说明理由．
1
13．（2023·福建福州·校考三模）如图，直线：y= x+2交x轴于点A，交y轴于点B，点C在y轴上，
2
CB=OB，经过点A，C的抛物线：y=ax2−x+c交直线AB于另一点D．（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线AB上方抛物线上一点，过点P作PF⊥x轴于点F，交AB于点E．当PE=2EF时，求点
P的坐标；
（3）抛物线与x轴的另一个交点为K，过点T(t,−1)(t<0)的任意直线MN（不与y轴平行）与抛物线交于
点M、N，直线KM、KN分别交y轴于点G、H，是否存在t的值使得OG与OH的积为定值？若存在，求
t的值，若不存在，请说明理由．
❑√6 2❑√3
14．（2021·四川广安·统考三模）抛物线y=− x2− x+❑√6与x轴交于点A，B（点A在点B的左
6 3
边），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；
（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB
1
沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O B ，当PE+ EC的值最大时，求四边形PO B C周长的最小
1 1 2 1 1
值，并求出对应的点O 的坐标．
1
15．（2022·福建福州·统考一模）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，当
x>0时，抛物线最低点的纵坐标为−4：当x≤0时，抛物线最低点的纵坐标为−3．（1）求a，b的关系式（用含b的代数式表示a）；
（2）若OA=OB，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，M为抛物线对称轴上一点，过点M的直线交抛物线于C，D两点，E为线段CD
的中点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，探究是否存在定点M，使得CD=4EF总成立，若存在，
求出点M的坐标：若不存在，请说明理由．
16．（2023·天津西青·统考一模）已知抛物线y=(x+1)(x−m)（m为常数，m>1）的顶点为P．
（1）当m=5时，求该抛物线顶点P的坐标；
（2）若该抛物线与x轴交于点A，C（点A在点C左侧），与y轴交于点B．
①点Q是该抛物线对称轴上一个动点，当AQ+BQ的最小值为2❑√2时，求该抛物线的解析式和点Q的坐
标．
②连接BC，与抛物线的对称轴交于点H，过点P作PD⊥BC，垂足为D，若BC=8PD，求该抛物线的
解析式．
17．（2022·天津·九年级专题练习）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的顶点D(1,4)，( 17)
抛物线与x交于点A(−1,0)和B，与y轴交于点C．平面直角坐标系内有点G(2,0)和点H 0, ．
4
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找一点E，使HE+AE的值最小，求点E的坐标；
（3）若F为抛物线对称轴上的一个定点，
①过点H作y轴的垂线l，若对于抛物线上任意一点P(m,n)都满足P到直线l的距离与它到定点F的距离
相等，求点F的坐标；
②在①的条件下，抛物线上是否存在一点P，使FP+GP最小，若存在，求出点P的坐标及FP+GP的最
小值；若不存在，请说明理由．
1
18．（2023·湖北襄阳·统考二模）函数y= x2−2x+a−1（a为常数，a≠0）．
a
（1）求出此函数图像的顶点坐标（用含a的式子表示）；
（2）当a=4时，此函数图像交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点P为x轴下方图像
上一点，过点P作PQ∥y轴交线段BC于点Q，求线段PQ的最大值；
（3）点M(2a−1,−a−3)，N(0,−a−3)，连接MN，当此函数图像与线段MN恰有两个公共点时，求
出a的取值范围．
19．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，抛物线 的图象经过 ， ，
y =ax2+bx+c A(−6,0) B(−2,0)
1C(0,6)三点，且一次函数y=kx+6的图象经过点B．
（1）求抛物线和一次函数的解析式．
（2）点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的
E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标：如果不存在，请说明理由．
（3）将抛物线 的图象向右平移 个单位长度得到抛物线 ，此抛物线的图象与 轴交于
y =ax2+bx+c 8 y x M
1 2
，N两点（M点在N点左侧）．点P是抛物线y 上的一个动点且在直线NC下方．已知点P的横坐标为m．
2
1
过点P作PD⊥NC于点D．求m为何值时，CD+ PD有最大值，最大值是多少？
2
20．（2023·湖北咸宁·校联考一模）如图，抛物线y=ax2+bx−4(a≠0)与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，其对称轴为x=1．过点A的直线y=x+2与抛物线交于另一点E．
（1）该抛物线的解析式为 ；
（2）点Q是x轴上的一动点，当△AQE为等腰三角形时，直接写出Q点的坐标；
（3）点P是第四象限内抛物线上的一个点，过点P作PH⊥AE于H．若PH取得最大值时，求这个最大
值：
（4）M是抛物线对称轴上一点，过M点作MN⊥y轴于点N．当EM+AN最短时，求点M的坐标．
