文档内容
专题 24.2 圆心角、弧、弦的关系【九大题型】
【人教版】
【题型1 圆心角、弧、弦的概念】.......................................................................................................................1
【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】...................................................................................................2
【题型3 利用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】............................................................................................3
【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】...................................................................................................4
【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】...................................................................................................5
【题型6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】............................................................................................6
【题型7 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】................................................................................................7
【题型8 圆心角、弧、弦中的证明问题】...........................................................................................................8
【题型9 圆心角、弧、弦中的的倍数关系】.......................................................................................................9
【知识点1 弧、弦、角、距的概念】
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其
余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧
或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推
二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与
原图形完全重合．
【题型1 圆心角、弧、弦的概念】
【例1】（2022秋•余姚市期中）下列语句中，正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②等弦对等弧；
③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】（2022秋•长沙县期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAC＝∠DAC，则下列正确的是
（ ）
A．AB＝AD B．BC＝CD C．^AB=^AD D．∠BCA＝∠DCA
【变式1-2】（2022秋•凯里市校级期中）如图，在⊙O中，^AB=C^D，则下列结论中：① AB＝CD；
②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④^AC=^BD，正确的是 （填序号）．
【变式1-3】（2022秋•武汉期末）如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为C^BD的中点，连接AF、
BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①C^F=^DF；②HC＝BF：③MF＝
FC：④^DF+^AH=^BF+^AF，其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】
【例2】（2022•资中县一模）如图，AB，CD是⊙O的直径，^AE=^BD，若∠AOE＝32°，则∠COE的度
数是（ ）A．32° B．60° C．68° D．64°
【变式2-1】（2022•灌阳县一模）如图，在⊙O中，^AB=C^D，∠1＝45°，则∠2＝（ ）
A．60° B．30° C．45° D．40°
【变式2-2】（2022秋•天河区期末）如图，在⊙O中，AC＝BD，若∠AOC＝120°，则∠BOD＝ ．
【变式2-3】（2022秋•亭湖区期末）如图，AB是⊙O的直径，^BC=C^D=^DE，∠COD＝34°，则∠AEO
的度数是 ．
【题型3 利用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】
【例3】（2022春•永嘉县校级期末）如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD．且AC⊥BD于E，连接AB，
AD，若AD＝2√2，则半径R的长为（ ）A．1 B．√2 C．2 D．2√2
【变式3-1】（2022•桂平市二模）如图，在Rt△ACB中∠ACB＝60°，以直角边AB为直径的⊙O交线段
AC于点E，点M是弧AE的中点，OM交AC于点D，⊙O的半径是6，则MD的长度为（ ）
√3 3
A． B． C．3 D．2√3
2 2
【变式3-2】（2022•渝中区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB
于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝2，⊙O的直径为10，则AC长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
1
【变式3-3】（2022秋•曾都区期中）如图，在⊙O中，AC= AB，直径BC＝2√5，^BD=C^D，则AD＝
2
．
【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】
【例4】（2022秋•龙口市期末）如图，已知⊙O的半径等于1cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且^AD=^DC=C^B，则四边形ABCD的周长等于（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【变式4-1】（2022秋•海口期末）如图，A、B是半径为3的⊙O上的两点，若∠AOB＝120°，C是^AB的
中点，则四边形AOBC的周长等于 ．
【变式4-2】（2022秋•西林县期末）如图，在⊙O中，∠AOB＝60°，弦AB＝3cm，那么△AOB的周长为
．
【变式4-3】（2022•江北区校级开学）如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝3√6
，则⊙O的周长为 ．
【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】
【例5】（2022•海丰县模拟）如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是^AB的中点，若⊙O的半径
为5，则四边形ACBO的面积为（ ）25√3 25√3
A．25 B．25√3 C． D．
4 2
【变式5-1】（2022•嘉兴二模）如图所示，在10×10的正方形网格中有一半径为5的圆，一条折线将它分
成甲、乙两部分．S 表示甲的面积，则S ＝ ．
甲 甲
【变式5-2】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在⊙O中，^AC=C^B，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点
E．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．
【变式5-3】（2022•浙江自主招生）如图，在半径为1的⊙O上任取一点A，连续以1为半径在⊙O上截
取AB＝BC＝CD，分别以A、D为圆心A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心O到E的距
离为半径画弧，交⊙O于F．则△ACF面积是（ ）√3+2√2 √3+3
A．√2 B．√3 C． D．
4 4
【题型6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】
【例6】（2022•下城区校级四模）如图，等腰△ABC的顶角∠CAB为50°，以腰AB为直径作半圆，交BC
于点D，交AC于点E，则^DE的度数为（ ）
A．50° B．25° C．80° D．65°
【变式6-1】（2022秋•亭湖区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，
BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（ ）
A．28° B．64° C．56° D．124°
【变式6-2】（2022•新昌县模拟）如图在给定的圆上依次取点A，B，C，D，连接AB，CD，AC＝BD，设
AC，BD相交于点E，弧AD＝100°，AB＝ED，则弧AB的度数为 ．
【变式6-3】（2022•浙江）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则
^BC的度数是（ ）A．120° B．135° C．150° D．165°
【题型7 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】
【例7】（2022秋•顺义区期末）如图，在⊙O中，如果^AB=2^AC，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正
确的是（ ）
A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＞2AC D．AB＜2AC
【变式7-1】（2022秋•西林县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD的是⊙O中非直径的任意一条弦，试比
较AB与CD的大小，并说明理由．
【变式7-2】（2022秋•余姚市月考）如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果
^AB+C^D=^EF，那么AB+CD与EF的大小关系是（ ）
A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF
C．AB+CD＞EF D．大小关系不确定
【变式7-3】（2022天河区一模）如图，AB为半圆的直径，点C、D在半圆上．
（1）若^BC=3^AD，C^D=2^AD，求∠DAB和∠ABC的大小；
（2）若点C、D在半圆上运动，并保持弧CD的长度不变，（点C、D不与点A、B重合）．试比较
∠DAB和∠ABC的大小．【题型8 圆心角、弧、弦中的证明问题】
【例8】（2022秋•自贡期末）如图，AB为⊙O的直径，^BE=C^E，CD⊥AB于点D，交BE于F，连接
CB．
求证：BC＝CF．
【变式8-1】（2022秋•西林县期末）如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB．求证：^BD=^BE．（用
两种不同的方法证明）
【变式8-2】（2022秋•福清市期末）如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，
OD，若OD∥BC，求证：D为^AC的中点．
【变式8-3】（2022•眉山模拟）如图所示，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC，
求证：
（1）^AD=^BC；
（2）AE＝CE．【题型9 圆心角、弧、弦的的倍数关系】
【例9】（2022•原州区期末）在⊙O中，AB是直径，CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，则C^E与^BE之
间的等量关系是什么？请证明你的结论．
【变式9-1】（2022•铁岭模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，^AC
恰好经过点O，则^BC与^AC的关系是（ ）
1 1
A．^BC= ^AC B．^BC= ^AC C．^BC=^AC D．不能确定
2 3
【变式9-2】（2022•陵城区模拟）圆的一条弦把圆分为度数比为1：3的两条弧，则弦心距与弦长的比为（
）
A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．1：2
【变式9-3】（2022•长安区二模）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且^AC=3^BC，则弦AC
与弦BC的关系是（ ）
A．AC＝3BC B．AC=√3BC C．AC＝（√2+1）BC D．√3AC＝BC
