文档内容
第二十四章 圆
专题16 垂径定理重难点题型专训（八大题型）
【题型目录】
题型一 利用垂径定理求值
题型二 利用垂径定理求平行弦问题
题型三 利用垂径定理求同心圆问题
题型四 利用垂径定理求解其他问题
题型五 垂径定理的推论
题型六 垂径定理的实际应用
题型七 利用弧、弦、圆心角的关系求解
题型八 利用弧、弦、圆心角的关系求证
【知识梳理】
知识点一、圆的对称性
（1）对称中心
圆既是中心对称图形，又是轴对称图形和旋转对称图形。
将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆周绕圆
心旋转任意一个角度都能与自身重合，这说明圆是旋转对称图形。
1. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
2. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量
都分别相等。
3. 将整个圆分为 等份，每一份的弧对应 的圆心角，我们也称这样的弧为 的弧。圆心角的度数和
它所对的弧的度数相等．
（2）对称轴
经过圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，
任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。
（3）垂径定理
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
几何语言：垂径定理的几个基本图形：
垂径定理在基本图形中的应用：
2．其它正确结论：
⑴ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
⑵ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
⑶ 圆的两条平行弦所夹的弧相等．
3．知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推三．
注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径．
4．常见辅助线做法：
⑴过圆心，作垂线，连半径，造 ，用勾股，求长度；
⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．
知识点二、确定圆的条件
1．过已知点作圆
条件 过不在同一条直
过一点作圆 过两点作圆
类别 线上的三点作圆
经过平面内一个点 作圆 经过平面内的两个点 ， 经过不在同一条直线上的三点 ，
理论
时，只要以点 以外任意 作圆，由于圆心到这两 ， 作圆，圆心到这三个点的距离相
依据
一点为圆心，以这点到点 个点的距离相等，所以圆 等。因此，圆心是线段 ， 的垂直平分线的交点 ，以点 为圆
心在线段 的垂直平分
的距离为半径就能作出
线上，这样的圆心有无数 心，以 （或 ， ）为半径
一个圆，这样的圆能作出
多个，这样的圆能作无数 可作出经过 ， ， 三点的圆，这
无数多个
多个
样的圆只有一个
A
O
1 A
圆形
A O
O O O
1 2 3
O 3 O 2 B B C
结论 不在同一条直线上的三个点确定一个圆
2．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；
⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．
3．三角形的外接圆
⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做
三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
⑵三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无
数个，这些三角形的外心重合.
⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角
形外接
圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.
A A A
B C
O B O C O
B C
图1 图2 图3
【经典例题一 利用垂径定理求值】
1．（2023·陕西渭南·统考一模）如图， 是 的外接圆，过点 作 于点 ， 于
点 ，连接 ，若 ，则 的长为（ ）A．3 B．4 C．1 D．2
2．（2023春·辽宁鞍山·九年级统考阶段练习）如图， 的半径 垂直于弦 ，垂足为点 ，连接
并延长交 于点 ，连接 ， ．若 ， ，则 的面积为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．18
3．（2023秋·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，把一个宽度为 的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度
尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位： ），那么光
盘的半径是 ．
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，将半径为 的 折叠，弧 恰好经过与 垂直的半径
的中点D，已知弦 的长为 ，则 ．5．（2023·江苏·九年级假期作业）如图， ， 交 于点 ， ， 是半径，且 于
点F．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 的半径．
6．（2023·江苏·九年级假期作业）在同心圆中，大圆的弦 交小圆于C，D两点．
(1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7， ，则 的长为 ___________．
(2)如图②，大圆的另一条弦EF交小圆于G，H两点，若 ，求证 ．
【经典例题二 利用垂径定理求平行弦问题】
1．（2023秋·天津和平·九年级校考期末） 半径为5，弦 ， ， ，则 与 间
的距离为（ ）
A．1 B．7 C．1或7 D．3或4
2（2023秋·广东广州·九年级校考期末）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2 ，CD=1，则BE的长是
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）在半径为4cm的 中，弦CD平行于弦AB， ，
，则AB与CD之间的距离是 cm．
4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知⊙ 的直径为26cm，AB、CD是⊙ 的两条弦， ，
AB=24cm，CD=10cm，则 、 之间的距离为 cm．
5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求
AB、CD间的距离．
6．（2023·浙江·九年级假期作业）如图， 的两条弦 （AB不是直径），点E为AB中点，连接
EC，ED．
（1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由；
（2）求证： ．
【经典例题三 利用垂径定理求同心圆问题】
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过 ， ，O三
点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（ ）A．点D B．点E C．点F D．点G
2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在
桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底
有水面AB的宽度是（ ）cm.
A．6 B． C． D．
3．（2019·浙江杭州·九年级）如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形 的边 和 分别是两
圆的弦，则矩形 面积的最大值是 ．
4．（2019秋·浙江台州·九年级统考期末） 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直
线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，
AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm5．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在两个同心圆 中，大圆的弦 与小圆相交于
C，D两点．
(1)求证： ．
(2)若 ，大圆的半径 ，求小圆的半径r．
6．（2021·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）（1）如图①， 为等边三角形，若 ，则
的面积为__________；
（2）如图②，在矩形 中， ．如果点P是 边上一点，且 ，那么 边上是否
存在一点Q，使得线段 将矩形 的面积平分？若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，有一个平行四边形花园 米， 米， ，点E在 边上，且
．现需在花园内开辟四边形区域 种植一种红色花卉．根据设计要求，F为花园内（含边
界）一点，满足 ，同时过点F修建一条笔直的小路 （点G、H为该花园入口，其中点G、
H分别在平行四边形 的边 、 上），且使 平分该平行四边形花园 的面积．那么是否
存在这样的点F，使四边形 的面积最大且使 平分该平行四边形花园 的面积？若存在，请
求出此时四边形 的面积及线段 的长度；若不存在，请说明理由．（小路宽度忽略不计）【经典例题四 利用垂径定理求解其他问题】
1．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图， 是锐角三角形 的外接圆， ，
垂足分别为 ，连接 ．若 的周长为21，则 的长为（ ）
A．8 B．4 C．3.5 D．3
2．（2023秋·浙江·九年级期中）如图， 是以 为直径的半圆 上一点，连接 ， ，分别以 ，
为边向外作正方形 ， ， ， ，弧 ，弧 的中点分别是 、 、 、 ，若
， ，则 （ ）A． B． C．11 D．15
3．（2023春·江西南昌·九年级统考期末）如图， 是半圆O的弦， 过圆心O，过O作
于点D．若 ，则 cm．
4．（2023春·天津和平·九年级校考阶段练习）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点 ，点 ，
点 均在格点上，并且在同一个圆上，取格点 ，连接 并延长交圆于点 ．
（1）线段 的长为 ．
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画图：
①确定圆心 ；并求出四边形 外接圆的半径为 ；
②画出线段 ，使 平分 ，且点 在圆上并简要说明点 的位置是如何找到的（不要求证明）
．
5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）不过圆心的直线 交 于 、 两点， 是 的直径，
于 ， 于 ．(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；
(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论 除外 不再标注其他字
母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；
(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．
6．（2023春·全国·九年级专题练习）在平衡直角坐标系 中，线段 ，点 ， 在线段 上，
且 ， 为 的中点，如果任取一点 ，将点 绕点 顺时针旋转 得到点 ，则称点 为点
关于线段 的“旋平点”．
(1)如图1，已知 ， ， ，知果 为点 关于线段 的“旋平点”，画出示意图，
写出 的取值范围；(2)如图 ， 的半径为 ，点 ， 在 上，点 ，如果在直线 上存在点 关于线段 的
“旋平点”，求 的取值范围．
【经典例题五 垂径定理的推论】
【例5】（2022春·九年级课时练习）如图，在△ABC中， ，点D是AB的中点，将△ACD沿
CD对折得△A′CD．连接 ，连接AA′交CD于点E，若 ， ，则CE的长为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）如图，矩形 中， ， ， ， 分别是 ， 边上
的动点， ，以 为直径的 与 交于点 ， ．则 的最大值为（ ）．
A．48 B．45 C．42 D．40
2．（2021·浙江·九年级自主招生）如图，在 中， ，以该三角形的三条边为边向形外
作正方形，正方形的顶点E，F，G，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为 ， 面积为 ，则 的
值是 ．3．（2022秋·浙江嘉兴·九年级校联考期中）如图， 是以 为直径的半圆 上一点，连结 ，
分别以 为直径作半圆，其中 分别是 为直径作半圆弧的中点，弧 ，弧 的中
点分别是 ，若 ， ，则 的长是 ．
4．（2023秋·全国·九年级专题练习） ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是 ABC的外接圆．
△ △
（1）如图①，求⊙O的半径；
（2）如图②，∠ABC的平分线交半径OA于点E，交⊙O于点D．求OE的长．
5．（2021·上海·九年级专题练习）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的
⊙O交边DC于E、F两点，AD＝1，BC＝5，设⊙O的半径长为r．（1）联结OF，当OF∥BC时，求⊙O的半径长；
（2）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，设OH＝y，试用r的代数式表示y；
（3）设点G为DC的中点，联结OG、OD，△ODG是否能成为等腰三角形？如果能，试求出r的值；如
不能，试说明理由．
【经典例题六 垂径定理的实际应用】
【例6】（2023·广西·统考中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱
桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为 ，拱高约为 ，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）为了测量圆形工件的直径．
甲：如图1，在工作台上用边长相同的两个立方体小木块顶在圆形工件的两侧，测得两木块间的距离b和小木块的边长a即可；
乙：如图2，把两个小木块换成两个相同的小圆柱，量得圆柱半径n和两个圆心之间的距离m即可．
下面的说法正确的是（ ）
A．甲对乙不对 B．甲不对乙对 C．两人都不对 D．两人都对
2．（2023秋·河北石家庄·九年级校联考期末）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，
“图上”太阳与海平线交于 ， 两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米， 厘米．若从日前太阳
所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为8分钟，则①现在“图上”太阳与海平线的位置关系是 ；
②“图上”太阳升起的平均速度为 厘米/分．
3．（2022秋·浙江温州·九年级温州绣山中学校考期中）如图1是某学校食堂墙壁上“光盘行动，从我做
起”的长方形宣传画，画的左侧为一个圆盘上摆放一双筷子，画的下边缘为水平线，图2是其示意图，水
平线 上的点 在圆心 的正下方，筷子与 右下方交于 ， 两点，线段 ， 分别垂直 于点 ，
．测得 ， ，则圆盘 的半径为 ．
4．（2022秋·广西河池·九年级统考期末）将图中破损的轮子复原，已知点 ， ， 在弧 上．(1)尺规作图：作出该轮子的圆心（不写作法，用黑色笔将作图痕迹加黑）；
(2)连接 ，若点 是弧 的中点， ，点 到 的距离是 ，求轮子的半径 ．
5．（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明
朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，
筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的 ．如图②， 始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当
时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时 ，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数
据， ）
问题解决：
(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时， 的度数；(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到 米）
【经典例题七 利用弧、弦、圆心角的关系求解】
【例7】（2023·江苏·九年级假期作业）如图， 的顶点A、B、C均在 上，点A是 中点，则下
列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（2023·江苏·模拟预测）将半径为5的 如图折叠，折痕 长为8，C为折叠后 的中点，则
长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
2．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在半圆O中半径为 ， ， 与交于点D
（1） ＝ ；
（2）当点D恰好为 的中点时， ＝ ．
3．（2022春·山东烟台·九年级校联考期中）如图，以 的半径为半径，自 上的A点起，在圆上依次
画弧截取点B，C，D，E，F．正方形EFGH的中心为 ，连接FA， ，则 ．
4．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，在半圆O中半径为 ， ， ，
与 交于点D，
(1) __________；
(2)当点D恰好为 的中点时， __________．
5．（2023秋·湖北鄂州·九年级统考期末）请仔细阅读以下材料：
定理一：一般地，如图，四边形 中，如果连接两条对角线后形成的 ，则 四点共圆．
我们由定理可以进一步得出结论： ， ， ．
定理二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
温馨提示：下面问题的关键地方或许能够用到上述定理，如果用到，请直接运用相关结论；如果你有自己
更好的做法，那就以自己的做法为主，只要正确，一样得分．
探究问题：如图，在 和 中，
， ， ，连接 交于点 ， 交 于点 ，连接 ．
(1)求证 ；
(2)请直接写出 ___________度， ___________度；
(3)若 ，求证 ．
【经典例题八 利用弧、弦、圆心角的关系求证】【例8】．（2023·江苏·九年级假期作业）如图， 为 的直径，点 是 的中点，过点 作
于点 ，延长 交 于点 ．若 ， ，则 的直径长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023春·河北承德·九年级校联考阶段练习）已知锐角 ，观察下图中的作图痕迹，判断下列结
论错误的是（ ）
A．当 时， B．
C． 与 互相垂直平分 D．连接 、 ， 是等腰三角形
2．（2022秋·九年级单元测试）判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）：
（1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等．
（2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等．
（3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等．
（4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等．
3．（2023秋·北京·九年级清华附中校考期中）如图， 是 的直径，弦 ，分别过 、 作
的垂线，垂足为 、 ，以下结论① ；
② ；
③若四边形 是正方形，则 ；
④若 为弧 的中点，则 为 中点．
所有正确结论的序号是 ．
4．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图 为圆O的直径， 为圆O的弦，C为O上一点， ，
，垂足为D．
(1)连接 ，判断 与 的位置关系，并证明；
(2)若 ， ，求圆O的半径；
5．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图 ， 和 是 的两条
弦（即折线 是弦 的一条折弦）， ， 是弧 的中点，则从 向 所作垂线的垂足
是折弦 的中点，即 ，下面是运用“截长法”证明 的部分证明过程
证明：如图2，在 上截取 ，连接 ， ， 和
是弧 的中点，
∴ ，
……(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)实践应用：如图3， 内接于 ， ， 是弧 的中点， 于点 ，依据
阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为______.
(3)如图4，等腰 内接于 ， ， 为弧 上一点，连接 ， ， ，
，求 的周长.
