文档文本内容
第08 讲 函数与方程
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾..................................................................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................2
高频考点一：函数零点所在区间的判断....................................................................................................2
高频考点二：函数零点个数的判断............................................................................................................3
高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数..................................................................................3
高频考点四：比较零点大小关系................................................................................................................4
高频考点五：求零点和...............................................................................................................................5
高频考点六：根据零点所在区间求参数....................................................................................................6
高频考点七：二分法求零点.......................................................................................................................6
第一部分：基础知识
1、函数的零点
对于一般函数
，我们把使
成立的实数
叫做函数
的零点．注
意函数的零点不是点，是一个数.
2、函数的零点与方程的根之间的联系
函数
的零点就是方程
的实数根，也就是函数
的图象与
轴的交点的横坐标
即方程
有实数根
函数
的图象与
轴有交点
函数
有零点．
3、零点存在性定理
如果函数
在区间
上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
，那么，函数
在区间
内有零点，即存在
，使得
，这个
也就是方程
的根.
注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.
4、二分法
对于在区间上连续不断且
的函数
，通过不断地把函数
的零点所在的区
间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程
的近似解就是求函数
零点的近似值．
5、高频考点技巧
①若连续不断的函数
( )
f x 是定义域上的单调函数，则
( )
f x 至多有一个零点；
②连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
③函数
有零点
方程
有实数根
函数
与
的图象有交
点；
④函数
有零点
方程
有实数根
函数
与
的图象有交点
，其中
为常数.
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
2．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线
与
在
上有两个不同的交点，则
的
取值范围为 ．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数零点所在区间的判断
典型例题
例题1．（2025·湖北十堰·模拟预测）函数
的零点所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2026 高三·全国·专题练习）函数
的零点所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
精练高频考点
1．（2025·河北沧州·二模）函数
的零点所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知
有且仅有1 个零点
，若
，则
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
高频考点二：函数零点个数的判断
典型例题
例题1．（2025·浙江·二模）定义在
上的函数
满足
，当
时，
，则函数
在区间
内的零点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
例题2．（2025 高三·全国·专题练习）函数
的零点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
例题3．（2025·福建南平·三模）设
表示不超过实数
的最大整数，如
，则方
程
解的个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
精练高频考点
1．（2025·河北保定·一模）已知
是定义在
上的函数，且有
，当
时，
，则方程
的根的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（24-25 高一上·福建龙岩·期末）若函数
，则函数
的零点个数为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．无数个
3．（2025·江苏盐城·三模）设函数
，若关于
的方程
的解的个
数是
高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数
典型例题
例题1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知函数
有唯一零点，则
（ ）
A．0
B．
C．2
D．
例题2．（24-25 高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数
，若函数
有三个不同的零点，则实数b 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题3．（2024 高三·全国·专题练习）设函数
，若函数
有且只有2 个不同的
零点，则实数a 的取值范围为 .
精练高频考点
1．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
的两个零点为2，3．若函数
的
两个零点分别在区间
内，则实数m 的取值范围为 ．
2．（23-24 高三上·四川遂宁·期末）已知函数
若
恰有2 个零点，则实数a 的取
值范围是 .
3．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知函数
，
，若关于x 的方程
有三个不同实数根，则实数t 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
高频考点四：比较零点大小关系
典型例题
例题1．（24-25 高三上·全国·课后作业）设
，
，
均为实数，且
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（多选）（25-26 高三上·全国·课后作业）已知实数
是函数
的两个零
点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
精练高频考点
1．（多选）（2025·四川达州·模拟预测）若实数
都是一次函数
的零点，则下列不
等关系中可能成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（多选）（2024·河北·模拟预测）已知函数
的零点分别为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
高频考点五：求零点和
典型例题
例题1．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知函数
的零点分别为
，
，，则
（ ）
A．0
B．2
C．4
D．6
例题2．（多选）（24-25 高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数
若方程
有4 个不同的零点
，
，
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的取值范围为
例题3．（24-25 高三上·湖北·期中）设函数
关于x 的方程
有三个不等实根
，且
，则
的取值范围是 .
精练高频考点
1．（多选）（23-24 高一上·广东江门·阶段练习）已知函数
，若方程
有4 个不同的零点
，
，
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
满足
，若函数
有6 个零
点，则6 个零点的和为 ．
3．（24-25 高三上·北京平谷·期中）设函数
，
的单调递减区间是 ；
若互不相等的实数
，
，
满足
，则
的取值范围是 ．
高频考点六：根据零点所在区间求参数
典型例题
例题1．（23-24 高三上·广东深圳·期末）已知函数
在
内有零点，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2023·宁夏银川·三模）函数
在区间
上存在零点，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
精练高频考点
1．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数
在
上有零点，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数
在区间
内有零点，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
高频考点七：二分法求零点
典型例题
例题1．（23-24 高三上·云南昆明·阶段练习）下列函数图象与
轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐
标的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（25-26 高三上·全国·课后作业）设
，某同学用二分法求方程
的近
似解（精确度为0.5），列出了对应值表如下：
0.125
0.4375
0.75
2
0.49
3.58
依据此表格中的数据，得到的方程近似解
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题3．（25-26 高三上·全国·课后作业）用二分法求函数
的一个正实数零点时，经计算，
，则函数的一个精确度为
的正实数零点的近似值可取（ ）
A．
B．
C．
D．
精练高频考点
1．（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数
在
内的零点近似值，若精确度要求
为
，则需重复相同步骤的次数至少为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 高三下·全国·专题练习）下列函数图象与
轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（20234·广东梅州·二模）用二分法求方程
近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
