文档文本内容
第07 讲 利用导数研究双变量问题
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾..................................................................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................3
高频考点一:分离双参，构造函数...............................................................................................................3
高频考点二：糅合双参（比值糅合）........................................................................................................5
高频考点三：糅合双参（差值糅合）........................................................................................................7
高频考点四：利用对数平均不等式解决双变量问题..................................................................................9
第一部分：基础知识
1、导数中求解双变量问题的一般步骤：
（1）先根据已知条件确定出变量
满足的条件；
（2）将待求的问题转化为关于
的函数问题，同时注意将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方
法：①通过将所有涉及
的式子转化为关于
的式子，将问题转化为关于自变量
（
亦可）的函数
问题；②通过
的乘积关系，用
表示
（用
表示
亦可），将双变量问题替换为
（或
）的单变
量问题；
（3）构造关于
或
的新函数，同时根据已知条件确定出
或
的范围即为新函数定义域，借助新函数
的单调性和值域完成问题的分析求解.
2、破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等
式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果
3、对数均值不等式法
两个正数
和
的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：
（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当
时，等号成立．
4、指数不等式法
在对数均值不等式中，设
，
，则
，根据对数均值不等式有如下
关系：
第二部分：高考真题回顾
1．（2025·北京·高考真题）已知函数
的定义域是
，导函数
，设是
曲线
在点
处的切线．
(1)求
的最大值；
(2)当
时，证明：除切点A 外，曲线
在直线的上方；
(3)设过点A 的直线
与直线垂直，，
与x 轴交点的横坐标分别是
，
，若
，求
的
取值范围．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一:分离双参，构造函数
典型例题
例题1．（24-25 高二下·江西·阶段练习）已知函数
．
(1)求函数
的单调区间．
(2)设函数
有两个极值点
．
（i）求实数
的取值范围；
（ii）证明：
．
例题2．（24-25 高三下·云南临沧·阶段练习）已知函数
，
(1)当
时，求
在
处的切线方程
(2)若
恒成立，求
的范围
(3)若
在
内有两个不同零点
，
，求证：
．
精练高频考点
1．（24-25 高二下·广东广州·期中）已知函数
，
．
(1)当
时，求函数
在点
处的切线方程；
(2)已知函数
有两个零点
，
，
①求实数
的取值范围；
②证明：
．
2．（24-25 高三下·广东江门·阶段练习）已知函数
（
且
）.
(1)当
时，求
的极小值点与极小值；
(2)讨论函数
的单调性；
(3)若函数
有两个零点
，
（
），且
，证明：
.
高频考点二：糅合双参（比值糅合）
典型例题
例题1.（24-25 高二下·河南·期中）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有两个极值点
，求
的取值范围；
(3)在（2）的条件下，证明：当
时，
.
例题2．（23-24 高三上·广东广州·阶段练习）设函数
的两个极值点分别为
，
．
(1)求实数
的取值范围；
(2)若不等式
恒成立，求正数
的取值范围（其中
为自然对数的底数）．
精练高频考点
1．（22-23 高三上·山东德州·期中）已知函数
.
(1)求
在
的最小值；
(2)若方程
有两个不同的解
，且
成等差数列，试探究
值的符号.
2．（22-23 高三上·福建福州·阶段练习）已知函数
.且函数
有两个零点，
(1)求实数a 的取值范围；
(2)设
的两个零点
，
且
，求证：
.
高频考点三：糅合双参（差值糅合）
典型例题
例题1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
.
(1)若
是定义域上的增函数，求
的取值范围；
(2)当
时，证明：
；
(3)若函数
有两个极值点
，证明：
.
例题2．（23-24 高二下·江苏扬州·期末）已知函数
.
(1)当
时，直线
（
为常数）与曲线
相切，求
的值；
(2)若
恒成立，求
的取值范围；
(3)若
有两个零点
，求证：
.
精练高频考点
1．（2024·四川·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设
是函数
的两个零点，求证：
．
2．（23-24 高二上·陕西西安·期末）已知函数
.
(1)若
，求
的单调区间；
(2)若
，
，且
有两个极值点，分别为
和
，求
的最大值.
高频考点四：利用对数平均不等式解决双变量问题
典型例题
例题1．（24-25 高三下·广东江门·阶段练习）已知函数
，
，设
.
(1)若
，求
的最大值；
(2)求
在
上的最小值；
(3)若
有两个不同的零点
，求证：
.
例题2．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数
，
.
(1)当
时，证明：
；
(2)若
在
单调递增，求
的取值范围；
(3)若
且
，证明：
.
精练高频考点
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数
，
．
(1)若
存在零点，求a 的取值范围；
(2)若
，
为
的零点，且
，证明：
．
2．（2024·四川·一模）已知函数
．
(1)若
，求
的最小值；
(2)若
有2 个零点
，证明：
．
