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特训 07 利用导数解决双变量问题（三大题型）
如果两个变量之间不存在具体直观的等量关系，但可以通过适当的代数变形将两个变量化为某种结
构的整体，常见如x₂-x, ，这种通过换元实现双变量合二为一目的，把双变量转化为单变量的手段分别
称为“差值代换”和“比值代换”.
注：如果所给条件能转化为关于变量x₁,x₂的齐次式，常常建立关于 的函数 .
导数中解决双变量问题的步骤：
(1)先根据已知条件确定出两个变量x₁,x₂ 满足的条件；
(2)将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方法：
① 将所有涉及x₁,x₂的式子转化为关于 的式子，令 ,将问题转化为关于自变量t 的函数问题；
② 令t=x₂-x₁,将问题转化为关于自变量t的函数问题.
注：需要关注新元的范围即为新函数的定义域，借助新函数的单调性和值域完成问题的分析求解.
目录：
01 ：转化为同源函数解决
02 ：整体代换
03 ： 构造具体函数解决双变量问题
01 ：转化为同源函数解决
例1 已知函数f(x)＝ln x－ax＋1，其中a为实常数.对于函数图象上任意不同的两点 A(x ，f(x))，B(x ，
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f(x))，直线AB的斜率为k，若x＋x＋k＞0恒成立，求a的取值范围.
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解 由题意，k＝，则原不等式化为x ＋x ＋＞0，不妨设x ＞x ＞0，则(x ＋x)(x －x)＋f(x)－f(x)＞0，即
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x－x＋f(x)－f(x)＞0，
1 2
即f(x)＋x＞f(x)＋x.
1 2
设g(x)＝f(x)＋x2＝ln x＋x2－ax＋1，
则g′(x)＝＋2x－a＝，
由已知，当x＞x＞0时，不等式g(x)＞g(x)恒成立，则g(x)在(0，＋∞)上是增函数.
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所以当x＞0时，g′(x)≥0，即2x2－ax＋1≥0，
即a≤＝2x＋恒成立，因为2x＋≥2，当且仅当2x＝，
即x＝时取等号，
所以 ＝2.
min
故a的取值范围是(－∞，2].
感悟提升 此类问题一般是给出含有x ，x ，f(x)，f(x)的不等式，若能通过变形，把不等式两边转化为结
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构形式相同的代数式，即转化为同源函数，可利用该函数单调性求解.
训练1 已知函数f(x)＝aln x＋x2，在其图象上任取两个不同的点P(x ，y)，Q(x ，y)(x ＞x)，总能使得＞
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2，则实数a的取值范围为( )
A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)
C.(1，2) D.[1，2]
答案 B
解析 由＞2，x＞x＞0，
1 2
∴f(x)－f(x)＞2x－2x，
1 2 1 2
∴f(x)－2x＞f(x)－2x，
1 1 2 2
构造函数g(x)＝f(x)－2x＝aln x＋x2－2x，
则g(x)＞g(x)，
1 2
∴函数g(x)在(0，＋∞)上为增函数，
由于g′(x)＝＋x－2，则g′(x)≥0对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，
由g′(x)＝＋x－2≥0，
可得a≥－x2＋2x，
当x＞0时，则y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时，等号成立，
∴a≥1，因此实数a的取值范围为[1，＋∞).
02 ：整体代换
例2 设函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋aln x，g(x)＝2aln x－4x＋b，其中a＞0，b∈R.已知a＞2，且方程f(x)＝g(x)
在(1，＋∞)上有两个不相等的实数根x，x，求证：f′＞0.
1 2
证明 方程f(x)＝g(x)，即x2－(a－2)x－aln x＝b，
在(1，＋∞)上有两个不等实根x 和x，不妨设1＜x＜x，
1 2 1 2
则x－(a－2)x－aln x＝b①，
1 1
x－(a－2)x－aln x＝b②，
2 2
①－②得a＝，
∵a＞2，f′(x)＝2x－(a＋2)＋＝＝，x＞0，
则f(x)在上单调递减，上单调递增，
∴当x∈时，f′(x)＜0，
当x∈时，f′(x)＞0，
若证f′＞0，只需证＞，
即a＜x＋x，
1 2只需证＜x＋x，
1 2
∵x＜x，∴x＋ln x＜x＋ln x，
1 2 1 1 2 2
即需证x＋2x－x－2x＞(x＋x)(x＋ln x－x－ln x)，
1 2 1 2 1 1 2 2
整理得ln x－ln x＜，
1 2
即证ln ＜，
令t＝∈(0，1)，设h(t)＝ln t－，
h′(t)＝＞0，
显然h(t)在(0，1)上单调递增.
∴h(t)＜h(1)＝0，故f′＞0得证.
感悟提升 (1)解此类题的关键是利用代入消元法消去参数a，得到仅含有x ，x 的式子.(2)与极值点x ，x
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有关的双变量问题，一般是根据x ，x 是方程f′(x)＝0的两个根，确定x ，x 的关系，再通过消元转化为只
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含有x 或x 的关系式，再构造函数解题，即把所给条件转化为 x ，x 的齐次式，然后转化为关于的函数，
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把看作一个变量进行整体代换，从而把二元函数转化为一元函数来解决问题.
训练2 设a∈R，函数f(x)＝ln x－ax，若f(x)有两个相异零点x，x，求证：ln x＋ln x＞2.
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证明 由已知得ln x－ax＝0，ln x－ax＝0，
1 1 2 2
所以a＝＝，
所以ln x＋ln x＞2等价于ln ＞2，
1 2
即ln ＞2，
设x＞x，令t＝＞1，g(t)＝ln t－，
1 2
则g′(t)＝－＝＞0，
所以g(t)＞g(1)＝0，
即ln t＞，
即得ln t＞2，所以原题得证.
03 ： 构造具体函数解决双变量问题
例3 已知函数f(x)＝x(1－ln x).
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设a，b为两个不相等的正数，且bln a－aln b＝a－b，证明：2<＋0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.
所以函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减. ………………3分
(2)证明 由题意，a，b是两个不相等的正数，且bln a－aln b＝a－b，两边同时除以ab，得－＝－，即＝，
即f＝f.
令x＝，x＝，……………………5分
1 2
由(1)知f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且当00，当x>e时，f(x)<0，不妨设x2：
1 2
要证x＋x>2，即证x>2－x，
1 2 2 1
因为02－x>1，
2 1
又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
所以即证f(x)0，
即当00，
所以F(x)在(0，1)上单调递增，
所以当02成立. ……………………9分
1 2
再证x＋xx，
直线y＝x与直线y＝m的交点坐标为(m，m)，则x0，所以函数h(x)在(1，e)上单调递增，
所以当1
