文档内容
特训 08 利用导数解决恒成立问题（三大题型）
洛必达法则
法则1若函数 和 满足下列条件：
(1) 及 ；
(2)在点 的去心邻域 内， 与 可导且 ；
(3) ，
那么 = 。
法则2若函数 和 满足下列条件：(1) 及 ；
(2) ， 和 在 与 上可导，且 ；
(3) ，
那么 = 。
法则3若函数 和 满足下列条件：
(1) 及 ；
(2)在点 的去心邻域 内， 与 可导且 ；
(3) ，
那么 = 。
注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：（1）将上面公式中的 ， ， ， 洛必达法则也成立。
（2）洛必达法则可处理 ， ， ， ， ， ， 型。
（3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足 ， ， ， ， ， ， 型定式，否
则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，
应从另外途径求极限。
（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
，如满足条件，可继续使用洛必达法则。
目录：
01 ：分离参数法求参数范围
02： 分类讨论法求参数范围
03： 双变量的恒(能)成立问题
01 ：分离参数法求参数范围
例1已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
(2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1，求a的取值范围.
感悟提升 分离参数法解决恒(能)成立问题的策略
(1)分离变量.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x) ；
max
a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x) ；
min
a≥f(x)能成立⇔a≥f(x) ；
min
a≤f(x)能成立⇔a≤f(x) .
max
训练1 已知函数f(x)＝.
(1)若函数f(x)在区间上存在极值，求正实数a的取值范围；
(2)如果当x≥1时，不等式f(x)－≥0恒成立，求实数k的取值范围.
02：分类讨论法求参数范围
例2 已知函数f(x)＝ex－1－ax＋ln x(a∈R).
(1)若函数f(x)在x＝1处的切线与直线3x－y＝0平行，求a的值；
(2)若不等式f(x)≥ln x－a＋1对一切x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围.
感悟提升 根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数
分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段
内的函数值不满足题意即可.
训练2 已知函数f(x)＝ln x－a(x－1)，a∈R，x∈[1，＋∞)，且f(x)≤恒成立，求a的取值范围.
03：双变量的恒(能)成立问题
例3 设f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3.
(1)如果存在x，x∈[0，2]，使得g(x)－g(x)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
1 2 1 2
(2)如果对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围.感悟提升 含参不等式能成立问题(有解问题)可转化为恒成立问题解决，常见的转化有：
1.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， .
2.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ， ， ， .
（1）若 ， ，有 成立，则 ；
（2）若 ， ，有 成立，则 ；
（3）若 ， ，有 成立，则 ；
（4）若 ， ，有 成立，则 的值域是 的值域的子集.
训练3 已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax.
(1)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，求实数a的最小值；
(2)若函数g(x)＝，对∀x∈，∃x∈，使f′(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围.
1 2 1 2
方法技巧 洛必达法则
在解决不等式恒(能)成立，求参数的取值范围这一类问题时，最常用的方法是分离参数法，转化成求函数
的最值，但在求最值时如果出现“”型或“”型的代数式，就设法求其最值.“”型的代数式，是大学数学中
的不定式问题，解决此类问题的有效方法就是利用洛必达法则.
例 已知函数f(x)＝x(ex－1)－ax2(a∈R).
(1)若f(x)在x＝－1处有极值，求a的值；
(2)当x＞0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围.
一、解答题
1．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ， 为函数 的两个零点，求证： ．
2．（2024·浙江绍兴·三模）若函数 有且仅有一个极值点 ，函数 有且仅有一个极值点 ，且
，则称 与 具有性质 ．(1)函数 与 是否具有性质 ？并说明理由．
(2)已知函数 与 具有性质 ．
（i）求 的取值范围；
（ii）证明： ．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)若 存在零点，求a的取值范围；
(2)若 ， 为 的零点，且 ，证明： ．
4．（2024·安徽阜阳·一模）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性．
(2)已知 是函数 的两个零点 ．
（ⅰ）求实数 的取值范围．
（ⅱ） 是 的导函数．证明： ．
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 有3个极值点 ，其中 是自然对数的底数．
(1)求实数 的取值范围；
(2)求证： ．
6．（2023·福建龙岩·二模）已知函数 ， ．
(1)若 满足 ，证明：曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线；
(2)若 ，且 ，证明： ．
7．（2023·新疆·三模）已知函数 ， ．(1)讨论 的单调性；
(2)若方程 有两个不相等的实根 ，求实数 的取值范围，并证明 ．
8．（2023·上海松江·模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求函数 的极值点；
(2)若不等式 恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若函数 有三个不同的极值点 、 、 ，且 ，求实数a的取值范围.
9．（2023·山东德州·三模）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若 存在两个极值点 的取值范围为 ，求 的取值范围．
10．（2023·全国·模拟预测）已知函数 .
(1)设函数 ，若 恒成立，求 的最小值；
(2)若方程 有两个不相等的实根 、 ，求证： .
11．（2023·天津河西·模拟预测）已知函数 .
(1)若函数 为增函数，求 的取值范围；
(2)已知 .（i）证明： ；
（ii）若 ，证明： .
12．（2023·天津河西·模拟预测）已知 ．
(1)求 在 处的切线方程；
(2)对 ，有 恒成立，求 的最大整数解；
(3)令 ，若 有两个零点分别为 ，且 为 的唯一的极值点，
求 的取值范围，并证明： ．
13．（2023·四川遂宁·模拟预测）已知函数 ， ，其中e为自然对数的底
数．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，有 ，求证：对 ，有 ；
(3)若 ，且 ，求实数a的取值范围．
14．（2023·浙江嘉兴·二模）已知 .
(1)若存在实数 ，使得不等式 对任意 恒成立，求 的值；
(2)若 ，设 ，证明：
①存在 ，使得 成立；② .
15．（2023·湖北咸宁·模拟预测）已知函数 ，其中 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 存在三个零点 、 、 （其中 ），证明：
（i）若 ，函数 ，使得 ；
（ii）若 ，则 .
16．（2024·浙江温州·二模）如图，对于曲线 ，存在圆 满足如下条件：
①圆 与曲线 有公共点 ，且圆心在曲线 凹的一侧；
②圆 与曲线 在点 处有相同的切线；
③曲线 的导函数在点 处的导数（即曲线 的二阶导数）等于圆 在点 处的二阶导数（已知圆
在点 处的二阶导数等于 ）；
则称圆 为曲线 在 点处的曲率圆，其半径 称为曲率半径．
(1)求抛物线 在原点的曲率圆的方程；
(2)求曲线 的曲率半径的最小值；
(3)若曲线 在 和 处有相同的曲率半径，求证： ．
