文档文本内容
第08 讲 函数与方程
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾..................................................................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................3
高频考点一：函数零点所在区间的判断....................................................................................................3
高频考点二：函数零点个数的判断............................................................................................................6
高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数................................................................................11
高频考点四：比较零点大小关系..............................................................................................................15
高频考点五：求零点和.............................................................................................................................19
高频考点六：根据零点所在区间求参数...................................................................................................23
高频考点七：二分法求零点..................................................................................................................... 25
第一部分：基础知识
1、函数的零点
对于一般函数
，我们把使
成立的实数
叫做函数
的零点．注
意函数的零点不是点，是一个数.
2、函数的零点与方程的根之间的联系
函数
的零点就是方程
的实数根，也就是函数
的图象与
轴的交点的横坐标
即方程
有实数根
函数
的图象与
轴有交点
函数
有零点．
3、零点存在性定理
如果函数
在区间
上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
，那么，函数
在区间
内有零点，即存在
，使得
，这个
也就是方程
的根.
注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.
4、二分法
对于在区间上连续不断且
的函数
，通过不断地把函数
的零点所在的区
间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程
的近似解就是求函数
零点的近似值．
5、高频考点技巧
①若连续不断的函数
( )
f x 是定义域上的单调函数，则
( )
f x 至多有一个零点；
②连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
③函数
有零点
方程
有实数根
函数
与
的图象有交
点；
④函数
有零点
方程
有实数根
函数
与
的图象有交点
，其中
为常数.
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【知识点】正弦函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数
【分析】画出两函数在
上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数
的最小正周期为
，
函数
的最小正周期为
，
所以在
上函数
有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6 个交点.
故选：C
2．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线
与
在
上有两个不同的交点，则
的
取值范围为 ．
【答案】
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数图象及性质
【分析】将函数转化为方程，令
，分离参数
，构造新函数
结合
导数求得
单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.
【详解】令
，即
，令
则
，令
得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
，
因为曲线
与
在
上有两个不同的交点，
所以等价于
与
有两个交点，所以
.
故答案为：
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数零点所在区间的判断
典型例题
例题1．（2025·湖北十堰·模拟预测）函数
的零点所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】判断零点所在的区间、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】根据零点存在性定理即可求解.
【详解】函数
的定义域为
，因为
在
上连续且为增函数．
且
，则
．
由零点存在定理可知，函数
的零点所在的区间是
．
故选：C.
例题2．（2026 高三·全国·专题练习）函数
的零点所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】由对数（型）的单调性求参数、判断零点所在的区间
【分析】根据题意，得到
在
在
上是增函数，结合
，利用零点的存在性定
理，即可求解.
【详解】由函数
的定义域为
，
因为
和
在
都是增函数，可得
在
上是增函数，
又因为
，可得
，
根据函数零点存在定理，可得函数
有唯一零点，且零点在区间
内．
故选：B.
精练高频考点
1．（2025·河北沧州·二模）函数
的零点所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】判断零点所在的区间、判断指数函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】首先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断即可.
【详解】因为
与
均在定义域上单调递增，
所以
在
上单调递增，
又
，
，
，
，
又
，
函数
的零点所在区间是
．
故选：B．
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知
有且仅有1 个零点
，若
，则
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、判断零点所在的区间、函数与方程的综合应用、利用导数研
究函数的零点
【分析】求导，分析出函数的单调性，然后得出零点的大概位置，构造函数，求出函数值域即可得出答
案；或者参变分离，转换成函数图像交点问题.
【详解】解法一：由题可得，
，定义域为
，
．
设
，则
，所以
在
上单调递增，
即
在
上单调递增．
设
，则
，
当
时，
，所以
单调递增；
当
时，
，所以
单调递减，
所以
，所以
，即
，当且仅当
时取等号．
所以
，又
，
所以存在唯一的
，使得
，即
．
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增．
因为函数
有唯一的零点
，所以
，所以
，即
，
所以
．
设
，则
，
所以
在
上单调递减，又因为
，
，所以
．
故选：B．
解法二：由题可得，
，定义域为
．
因为
有且仅有1 个零点
，所以
有且只有一个根，
即
只有1 个根，即直线
与函数
图象只有一个交点．
设
，则
．
令
，所以
，
显然
恒成立，所以
在
上单调递增，
又
，
，所以存在
，使得
，
当
时，
，此时
，则
单调递减；
当
时，
，此时
，则
单调递增，
则
，当
时，
，当
时，
．
作出直线
与函数
的大致图象如图所示，
显然当
取到极小值
时，直线
与函数
的图象只有1 个交点，此时
，所以
．
故选：B．
高频考点二：函数零点个数的判断
典型例题
例题1．（2025·浙江·二模）定义在
上的函数
满足
，当
时，
，则函数
在区间
内的零点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【知识点】求抽象函数的解析式、求函数零点或方程根的个数
【分析】由题设条件可得
，从而可先分析
在
上的零点个数为1，再结合前
者可得
内的零点个数.
【详解】因为
，故
，故
，
即
，
而当
时，
，
故当
时，
，故
，
故
，
当
时，
，
而
在
上为减函数，在
为增函数，
故
在
有有且只有一个实数解为
；
当
时，
，
而
，故
，此时
在
上无解；
故当
时，
，则
，
结合
上
的性质可得
在
上有且只有一个实数解，
且该实数解为
，在
无实数解，
而
且
，
故
在
上的实数解为
，
，
，
，共4 个实数解，
故
共有4 个不同的零点.
故选：B.
例题2．（2025 高三·全国·专题练习）函数
的零点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【知识点】求函数零点或方程根的个数
【分析】将
变形为
，从而转化为研究
的性
质判断零点个数.
【详解】易知0 不是函数的零点，故
，
令
，则
在
，
上单调递减，
又
，
，
，
，
故
在
，
上各有一个零点，即零点个数为2，
故选：B．
例题3．（2025·福建南平·三模）设
表示不超过实数
的最大整数，如
，则方
程
解的个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【知识点】求函数零点或方程根的个数
【分析】作出函数
和
的图象，数形结合即可得解.
【详解】方程
解的个数等价于函数
和
的图象交点个数，
作函数
和
的图象如图所示：
由图可知函数
和
的图象的交点个数为5.
方程
解的个数为5.
故选：B
精练高频考点
1．（2025·河北保定·一模）已知
是定义在
上的函数，且有
，当
时，
，则方程
的根的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【知识点】函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数
【分析】由已知，讨论
的范围，求出函数的解析式，画出函数的图象，然后判断方程根的个数即可．
【详解】
是定义在
上的函数，且有
，
当
时，
，
则
时，
，则
时，
时，
时，
画出函数
与函数
的图象，
由图象可知方程
的根的个数为3.
故选：C.
2．（24-25 高一上·福建龙岩·期末）若函数
，则函数
的零点个数为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．无数个
【答案】B
【知识点】函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数
【分析】根据函数表达式确定函数
在
（
）上是增函数且
，零点个数转化为函
数
与
的图象交点个数，作出它们的大致图象后，观察可得交点个数，从而得结论．
【详解】由
得，
在区间
上的函数值都是区间
上相应函数值的一半，
，
又
时，
是增函数，即
，
记
，因此
时，
，
函数
的零点个数，即
的正解的个数，即
的正解的个数，
即函数
与函数
的交点个数，
令
，它在
上是减函数，
，
，
，
，当
时，
，
作出
和
在
上图象，如图，由图可知：
在
时，
的图象与
的图象没有交点，所以在
上，它们只有三个交点，
所以
的零点个数为3.
故选：B．
【点睛】关键点点睛：利用函数零点的意义，将函数
的零点转化为函数
的图象交
点，并作出图象是求解的关键.
3．（2025·江苏盐城·三模）设函数
，若关于
的方程
的解的个
数是
【答案】5
【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、求函数零点或方程根的个数、函数与方程的综合应用
【分析】求出
或2，分别求出
和
时的解，得到答案.
【详解】
或2，
当
时，若
，则
，无解，
若
，
，故
或
，解得
或
，
当
时，若
，则
，解得
，
若
，
，故
或
，解得
或
，
所以方程
的解的个数有5 个.
故答案为：5
高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数
典型例题
例题1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知函数
有唯一零点，则
（ ）
A．0
B．
C．2
D．
【答案】C
【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、由奇偶性求参数
【分析】根据函数是偶函数计算求参，再代入检验即可.
【详解】定义域为
，
，所以函数
为偶函数，
又因为函数
有唯一零点，根据零点关于
轴对称，得出
，所以
，
当
时，函数
有唯一零点，符合题意；
当
时，函数
有零点
，不符合题意舍；
故选：C.
例题2．（24-25 高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数
，若函数
有三个不同的零点，则实数b 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、函数图象的应用、根据对数型函数图象判断参数的范围
【分析】转化问题为函数
与
有3 个交点，进而结合图象求解即可.
【详解】由题意，函数
有三个不同的零点，
即方程
有3 个解，
即函数
与
有3 个交点，
画出函数
的大致图象：
由图可知，要使函数
与
有3 个交点，
则
，
所以实数b 的取值范围为
.
故选：D.
例题3．（2024 高三·全国·专题练习）设函数
，若函数
有且只有2 个不同的
零点，则实数a 的取值范围为 .
【答案】
【知识点】根据零点求函数解析式中的参数
【分析】令
，将问题转化为方程组
的解中的
值来进行求解，结合
与
的
图象列不等式来求得
的取值范围.
【详解】令
，则所求函数的零点即为方程组
的解中的
值.
根据题意，由方程②解出t（不妨设为
、
，
），代入到方程①，则方程①只有2 解.
分别作出方程①两边函数
与
（其中
或
）的图象（如图），
由题意，两图象只有2 个交点.
的值域为
，
故方程②的两个解
、
必须满足：
（i）
，
或（ii）
.
对于情形（i），只要
，解得
；
对于情形（ii），只要
且
，此时a 不存在.故所求参数a 的取值范围为
.
故答案为：
.
精练高频考点
1．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
的两个零点为2，3．若函数
的
两个零点分别在区间
内，则实数m 的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】零点存在性定理的应用、根据二次函数零点的分布求参数的范围、根据零点求函数解析式中的
参数
【分析】先根据函数的零点定义求得
的值，即得
，再结合二次函数的图象性质与
函数的零点存在定理列出不等式组，解之即得.
【详解】依题意，
为方程
的两根，
则
，解得
，
故
，则
，
因函数
的两个零点分别在区间
内，
则
，即
，解得
，
故实数m 的取值范围是
．
故答案为：
2．（23-24 高三上·四川遂宁·期末）已知函数
若
恰有2 个零点，则实数a 的取
值范围是 .
【答案】
或
【知识点】根据零点求函数解析式中的参数
【分析】先求出
和
的根，再根据
恰有2 个零点，以及
的解析式可得
的
范围.
【详解】又
，得
，得
；
由
，得
，得
或
，
因为
恰有2 个零点，
所以若
和
是函数
的零点，则
不是函数
的零点，则
；
若
和
是函数
的零点，则
不是函数
的零点，则
，
若
和
是函数
的零点，
不是函数
的零点，则不存在这样的
.
综上所述：实数a 的取值范围是
或
.
故答案为：
或
.
3．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知函数
，
，若关于x 的方程
有三个不同实数根，则实数t 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、根据二次函数零点的分布求参数的范围
【分析】令
，作出函数
的图象，结合图象得出关于
的方程
根的情况，再根据一
元二次方程根的分布情况分类讨论即可得解.
【详解】如图，作出函数
的图象，
令
，
由图可知，当
时，关于
的方程
有
个不同的实数根，
当
或
时，关于
的方程
只有个实数根，
因为关于x 的方程
有三个不同实数根，
所以关于
的方程
的一个根在
上，另一个根在
上，
或方程的两个根一个为
，另一个在
上，
若
为方程
的根时，则
，
当
时，方程的另一个根为
，不符题意，
当
时，方程的另一个根为
，不符题意，
若
为方程
的根时，则
或
，
当
时，方程的另一个根为
，不符题意，
当
时，方程只有一个根为
，不符题意，
若关于
的方程
的一个根在
上，另一个在
上时，
令
，
则
，即
，解得
，
综上所述，实数t 的取值范围是
.
故选：B.
【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素：
（1）二次项系数的符号；
（2）判别式；
（3）对称轴的位置；
（4）区间端点函数值的符号.
结合图象得出关于参数的不等式组求解.
高频考点四：比较零点大小关系
典型例题
例题1．（24-25 高三上·全国·课后作业）设
，
，
均为实数，且
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】指数函数图像应用、对数函数图象的应用、比较零点的大小关系
【分析】利用指数函数与对数函数的图象与性质画出图象，即可得出结论.
【详解】由题意得
，分别是函数
与
，
，
图象的交点横坐
标．
在同一坐标系内作出函数
，
，
，
的图象，
如图所示，由图可得
．
故选：A.
例题2．（多选）（25-26 高三上·全国·课后作业）已知实数
是函数
的两个零
点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【知识点】比较零点的大小关系、由对数函数的单调性解不等式、根据指对幂函数零点的分布求参数范
围、对数的运算
【分析】由
得到
，由
与
的图象，可以直接判断
，
；再由
得到
，结合
进一步得到
.
【详解】令
，则
，分别作函数
与
的图象，如图所示.
不妨设
，则由图可得
，所以
成立，故D 正确.
因为
，所以
，故C 错
误.
又因为
，所以
，即
，所以
，故A
错误，B 正确.
故选：BD.
精练高频考点
1．（多选）（2025·四川达州·模拟预测）若实数
都是一次函数
的零点，则下列不
等关系中可能成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【知识点】比较零点的大小关系、根据指对幂函数零点的分布求参数范围
【分析】首先由条件转化为
，再结合函数图象的交点情况，即可判断选项.
【详解】由题意可得，
，即
，在同一坐标系下作出
的图象如图.
根据图象可知，
时，
，
时，
，有
或
，故B 错误；
若
，则
，所以
，故A 正确；
若
，则
，所以
，故D 正确；
当
时，
单调递增，因为
，所以
，使得
，所以
，即
，故C 正确.
故选：ACD
2．（多选）（2024·河北·模拟预测）已知函数
的零点分别为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【知识点】求函数的零点、函数与方程的综合应用、比较零点的大小关系、求零点的和
【分析】对于A，由题意得
，进而得
即可求解判断；对于B，先明确零点取
值范围，由
取值范围再结合
即
即可求解判断；对于C，由
即
以及零点
的取值范围即可求解判断；对于D，结合AB 以及将
转化成
即可判断.
【详解】对于A，由题
，
，
所以
即
，
所以
，故
，故A 正确；
对于B，由
得
，
故函数
与
图象交点横坐标和
与
图象交点的横坐标即为函数
和
的零点
，
如图，由图象性质可知
，
又由A 得
，故
，
所以
，故B 错；
对于C，由上
即
，
以及
得：
，故C 对；
对于D，由AB 得
，
，
，
所以
，故D 对.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是由
和
得
即
，二是
数形结合明确零点的取值范围为
且
，接着对所判式子进行变形放缩等即可判断.
高频考点五：求零点和
典型例题
例题1．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知函数
的零点分别为
，
，，则
（ ）
A．0
B．2
C．4
D．6
【答案】A
【知识点】求零点的和、反函数的性质应用
【分析】将问题转化为
与
、
、
的交点横坐标，结合指数函数与对数函数的对
称性计算可得.
【详解】由题设，
，
，
，
所以问题可转化为
与
、
、
的交点问题，函数图象如下：
因为
与
关于
对称，而
与
互相垂直，
所以
，
，则
.
故选：A
例题2．（多选）（24-25 高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数
若方程
有4 个不同的零点
，
，
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的取值范围为
【答案】ABD
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求零点的和、求函数的零点
【分析】先作出函数
和
的图象，结合题设即可判断ABC，接着求出方程
和
的根即可计算判断D.
【详解】由题得
，所以作出
和
的图象如下：
因为方程
有4 个不同的零点
，
，
，
，且
，
所以
，令
，则由图可知
，
故
，
，故C 错误，AB 正确，
令
，则
或
；
令
，则
或
，所以
所以
，故D 正确.
故选：ABD
例题3．（24-25 高三上·湖北·期中）设函数
关于x 的方程
有三个不等实根
，且
，则
的取值范围是 .
【答案】
【知识点】求零点的和、分段函数的性质及应用、画出具体函数图象、函数与方程的综合应用
【分析】画出函数图象，数形结合得到
，
，求出答案.
【详解】画出函数
的图象，观察图形知，仅当
时，方程
有三个不等实根，
分别对应直线
与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上，
不妨设
，显然
关于
对称，则
，
另一个交点位于直线
上，在
中，当
时，
，即
，
因此
，所以
.
故答案为：
精练高频考点
1．（多选）（23-24 高一上·广东江门·阶段练习）已知函数
，若方程
有4 个不同的零点
，
，
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【知识点】函数与方程的综合应用、求零点的和
【分析】画出函数草图，数形结合，分析各选项的准确性.
【详解】如图：
由图象可知，若方程
有4 个不同的解，须有
，故A 错误；
当
时，方程
有4 个不同的解，且
.
所以
，且
，
故B 正确；
又
，且
关于直线
对称，所以
，故C 错误；
由
，又
.所以
，故D 正确.
故选：BD
【点睛】方法点睛：根据函数的解析式，作出函数草图，数形结合，可非常直观的得到方程的根的性质.
2．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
满足
，若函数
有6 个零
点，则6 个零点的和为 ．
【答案】6
【知识点】函数对称性的应用、求零点的和
【分析】根据题意，得到函数
的图象关于点
对称，结合对称性，进而求得所有零
点的和.
【详解】由
，可得
，即
的图象关于点
对称，
又由函数
的图象也关于点
对称，
所以函数
的图象关于点
对称，
因为函数
有6 个零点，可得该函数的零点之和为
．
故答案为：6.
3．（24-25 高三上·北京平谷·期中）设函数
，
的单调递减区间是 ；
若互不相等的实数
，
，
满足
，则
的取值范围是 ．
【答案】
（区间开闭均可）
【知识点】求零点的和、根据解析式直接判断函数的单调性、函数图象的应用
【分析】画出图形，结合图象即可得单调区间；根据图形分析可得
，
进而求出范围.
【详解】解：作出函数
图像如下
由图象可知
的单调递减区间是
（区间开闭均可）；
若互不相等的实数
，
，
满足
不妨设
，则
关于
对称，所以
根据图像可得
所以
，所以
的取值范围为
.
故答案为：
（区间开闭均可）；
.
高频考点六：根据零点所在区间求参数
典型例题
例题1．（23-24 高三上·广东深圳·期末）已知函数
在
内有零点，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】根据零点所在的区间求参数范围
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理，即可列式求解.
【详解】
是增函数，
也是增函数，所以
是
上的增函数.
因为
在
内有零点，
所以
，解得
.
故选：A
例题2．（2023·宁夏银川·三模）函数
在区间
上存在零点，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】零点存在性定理的应用、根据零点所在的区间求参数范围、解不含参数的一元二次不等式
【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理可得.
【详解】若函数
在区间
上存在零点，
由函数
在
的图象连续不断，且为增函数，
则根据零点存在定理可知，只需满足
，
即
，
解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：D.
精练高频考点
1．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数
在
上有零点，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】根据零点所在的区间求参数范围、对数的运算
【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理列式计算即可.
【详解】因为
在
上单调递增，
所以
，即
，
解得
．
故选：D.
2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数
在区间
内有零点，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】根据零点所在的区间求参数范围
【分析】令
，分析可知函数
在
上为增函数，且该函数在区间
内有零点，可得出
，即可解得实数
的取值范围.
【详解】当
时，由
可得
，
令
，
因为函数
、
在
上均为增函数，
故函数
在
上为增函数，
因为函数
在区间
内有零点，则函数
在区间
内有零点，
所以，
，解得
，
因此，实数
的取值范围是
.
故选：D.
高频考点七：二分法求零点
典型例题
例题1．（23-24 高三上·云南昆明·阶段练习）下列函数图象与
轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐
标的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】用二分法求近似解的条件
【分析】根据二分法的要求结合零点存在性定理分析判断.
【详解】由题意可知：二分法求零点要求函数连续不断且满足零点存在性定理，即
成立，
对比选项可知：ACD 均符合，
但选项B：
恒成立，不满足零点存在性定理，故B 错误.
故选：B.
例题2．（25-26 高三上·全国·课后作业）设
，某同学用二分法求方程
的近
似解（精确度为0.5），列出了对应值表如下：
0.125
0.4375
0.75
2
0.49
3.58
依据此表格中的数据，得到的方程近似解
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】二分法求方程近似解的过程
【详解】由表格数据可知，
，又因为函数
在
上连续，且函数
在
上单调递增，所以函数
在区间
上存在一个零点.又因为
，所以方程
的近似解（精确度为0.5）可以是区间
上的任意一
个数，观察四个选项可知C 正确.
例题3．（25-26 高三上·全国·课后作业）用二分法求函数
的一个正实数零点时，经计算，
，则函数的一个精确度为
的正实数零点的近似值可取（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】二分法求方程近似解的过程
【详解】因为
，所以零点在区间
内．因为
，又零
点是精确度为
的正实数，所以零点的近似值可取
上的任意一个值．
精练高频考点
1．（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数
在
内的零点近似值，若精确度要求
为
，则需重复相同步骤的次数至少为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】二分法求方程近似解的过程
【分析】二分法每次取区间中点，区间长度变为原来的一半，由题可得区间初始长度为，则第一次使用
二分法后区间长度变为
，第二次使用二分法后区间长度变为
，第三次使用二分法后区间长度变为
，以此类推，当区间长度小于精确度时即可停止.
【详解】解：原始区间长度为
，
第一次，区间长度减半，为
，
第二次，区间长度减半，为
，
第三次，区间长度减半，为
，
第四次，区间长度减半，为
，
故至少需要重复四次.
故选：B.
2．（2025 高三下·全国·专题练习）下列函数图象与
轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】用二分法求近似解的条件
【分析】结合结论二分法只能求变号零点，结合图象确定正确选项.
【详解】根据二分法的概念可知二分法只能求变号零点，
观察选项A 中的函数图象可知该函数没有变号零点，观察选项BCD 中的函数图象可知对应的函数都存在变
号零点，
所以选项A 中函数不能用二分法求零点．
故选：A.
3．（20234·广东梅州·二模）用二分法求方程
近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】二分法求方程近似解的过程
【分析】先判断函数
的单调性，再判断区间端点处的函数值的符号，结合零点存在性定
理判断即可.
【详解】设函数
，
因为函数
和
都是增函数，
所以函数
在
上单调递增；
又
，
，
因此，所取的第一个区间可以是
，
故选：B.
