文档内容
第 08 讲 利用洛必达法则解决导数问题
（高阶拓展、竞赛适用）
（2 类核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分
【备考策略】1能用导数解决函数问题
2能用洛必达法则解决极限等问题
【命题预测】洛必达法则只是一个求极限的工具，是在一定条件下通过对分子分母分别求导再求极限来确
定未定式极限值的方法。详细的洛必达法则应用是大学高等数学中才介绍，这里用高中生最能看懂的方式
说明，能备考使用即可.
知识讲解
洛必达法则：
法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1) 及 ；
(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3) ，那么 = 。 型
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1) 及 ； (2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3) ，那么 = 。 型
注意：
1. 将上面公式中的 换成 洛必达法则也成立。2. 洛必达法则可处理 型。
3. 在着手求极限前, 首先要检查是否满足 , 型定式, 否则滥用洛必达法则会
出错。当不满足三个前提条件时, 就不能用洛必达法则, 这时称洛必达法则不适用, 应从另外途径求极限。
4. 若条件符合, 洛必达法则可连续多次使用, 直到求出极限为止。
, 如满足条件, 可继续使用洛 必达法则。
考点一、 洛必达法则的直接应用
1．（23-24高二下·北京朝阳·期中）两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，
为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定
式值的方法，如 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若
函数 ， 的导函数分别为 ， ，且 ，则
.
②设 ，k是大于1的正整数，若函数 满足：对任意 ，均有 成立，且
，则称函数 为区间 上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断 是否为区间 上的2阶无穷递降函数；
(2)计算： ； (3)证明： ， .
1．（21-22高二下·重庆万州·阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为 型，比如：当时， 的极限即为 型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在
1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：
，则 ．
2．（21-22高三上·湖北襄阳·期末）我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为 型，比如：当
时， 的极限即为 型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他
的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，
法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．
如： ，则 ．
3．（2024·河北邢台·二模）在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式 型或 型极限的一种重
要方法，其含义为：若函数 和 满足下列条件：
① 且 （或 ， ）；
②在点 的附近区域内两者都可导，且 ；
③ （ 可为实数，也可为 ），则 ．
(1)用洛必达法则求 ；
(2)函数 （ ， ），判断并说明 的零点个数；
(3)已知 ， ， ，求 的解析式．
参考公式： ， ．
考点二、 利用洛必达法则解决函数综合问题
1．（全国高考）已知 恒成立, 求 的取值范围2．（天津高考） 恒成立, 求 的取值范围
3．（全国高考） 恒成立, 求 的取值范围
1．若不等式 对于 恒成立，求 的取值范围.
2．已知函数 .
(1)若 在 时有极值，求函数 的解析式；
(2)当 时， ，求 的取值范围.
3．已知函数 .
（1）若函数 在点 处的切线 经过点 ，求实数 的值；
（2）若关于 的方程 有唯一的实数解，求实数 的取值范围.
4．已知 .
（1）求 的单调区间；
（2）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
1．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 ， ，若 对于任意 恒成立，
求 的取值集合．
2．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 ，若当 时，恒有 成立，求实
数 的取值范围．
3．（22-23高三·宁夏吴忠·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；
(2)若 且 恒成立，求a的取值范围.
4．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）已知函数
(1)当 时，求函数 的最小值；(2) ， ，求 的取值范围.
5．（21-22高三上·江苏连云港·阶段练习）已知 ， R．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若对任意的 ， 恒成立，求整数a的最小值．
6．（2021·陕西汉中·模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围.
7．（22-23高三上·北京·阶段练习）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求证：当 时， ；
(3)若 对 恒成立，求实数k的最大值．
8．（22-23高二下·北京·阶段练习）已知函数 .
(1)求 在点 处的切线方程；
(2)求证：当 时， .
(3)若 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
9．（22-23高三上·江西抚州·期中）已知函数 ，其中
为自然对数的底数.
(1)讨论函数 的单调性，
(2)若 ，当 时， 恒成立时，求 的最大值.（参考数据： ）
10．（2023高三·全国·专题练习）设函数 ，曲线 恒与x轴相切于坐标原
点．
(1)求常数b的值；
(2)当 时， 恒成立，求实数a的取值范围；
(3)求证： 恒成立．1.（全国高考） 恒成立, 求 的取值范围
2.（全国高考） 恒成立, 求 的取值范围.
3.（全国高考） 恒成立, 求 的取值范围
