文档文本内容
第08 讲 函数模型及其应用
目录
考情探究.........................................................................................................................2
知识梳理.........................................................................................................................2
探究核心考点.................................................................................................................3
考点一 指数函数模型..................................................................................................................3
考点二 对数函数模型..................................................................................................................4
考点三 建立拟合函数模型解决实际问题..................................................................................5
三阶突破训练.................................................................................................................6
基础过关........................................................................................................................................6
能力提升........................................................................................................................................9
真题感知......................................................................................................................................11
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023 年新I 卷，第10 题,5 分
对数函数模型的应用
对数的运算性质的应用
由对数函数的单调性解不等式
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他函数知识点考查，需要掌握函数的图
象与性质，难度中等偏下，分值为5 分
【备考策略】1.会选择合适的函数类型来模拟实际问题的变化规律.
2.会比较一次函数、二次函数、幂函数、对数函数、指数函数增长速度的差异
3.了解函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数
模型）的广泛应用
【命题预测】本节内容通常考查给定实际问题选择用合适的函数解析式来模拟或求对应的实际应用值，是
新高考复习的重要内容
知识点1 三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax
(a>1)
y＝logax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x 的增大逐渐表现为
与y 轴
平行
随x 的增大逐渐表
现为与x 轴
平行
随n 值变化而各有
不同
知识点2 常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b 为常数且k≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axα＋b(a，b，α 为常数，a≠0，α≠0)
知识点3 解函数模型问题的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：
考点一 指数函数模型
典例1．（2025·广东汕头·模拟预测）某食品保鲜时间
（单位：小时）与储藏温度
（单位：℃）满足函
数关系
（
，
为常数）若该食品在
的保鲜时间是168 小时，在
的保鲜时间是42 小时，则
该食品在
的保鲜时间是（ ）
A．21 小时
B．22 小时
C．23 小时
D．24 小时
典例2．（2025·北京房山·一模）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断
地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长
符合模型：
，其中
为种群起始个体数量，为增长系数，
为时刻的种群个体数量.当
时，种群个体数量是起始个体数量的2 倍.若
，则
（ ）
A．300
B．450
C．600
D．750
跟踪训练1．（2025·云南昆明·模拟预测）已知某种水果的保鲜时间
（单位：小时）与温度
（单位：
）近似满足函数关系
（
为常数，为自然对数底数），若该品种水果在
时的保鲜时间为
小时，在
时的保鲜时间为
小时，则在
时，该种水果的保鲜时间约为（ ）
A．12 小时
B．24 小时
C．36 小时
D．48 小时
跟踪训练2．（2025·北京平谷·一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量
（单位：
）与时间（单位：
）间的关系为
，其中
是正的常数，如果前
消除了
的污染物，那么从消除
的污染物到消除
的污染物大约需要经历（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二 对数函数模型
典例1．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）溶液酸碱度是通过
计量的．
的计算公式为
，其
中
表示溶液中氢离子的浓度（单位：
）．某强酸溶液加水稀释后
值增加2，则稀释后溶液
中氢离子的浓度与稀释前溶液中氢离子的浓度比值为（ ）
A．2
B．
C．100
D．
典例2．（2025·广东广州·二模）声强级
（单位：dB）由公式
给出，其中
为声强（单
位：
）.轻柔音乐的声强一般在
之间，则轻柔音乐的声强级范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练1．（2025·四川成都·二模）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.以织女星的
亮度
为标准，天体的星等
与亮度
满足
，已知北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，
则北极星与牛郎星的亮度之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．（2025·贵州六盘水·一模）20 世纪30 年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就
是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常
说的里氏震级M，其计算公式为
其中A 是被测地震的最大振幅，
是“标准地震”的振幅
（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．假设在一次地震中，一个距离震
中100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是50，此时标准地震的振幅是0.002，则这次地震的震级为（
）（精确到0.1，参考数据：
）
A．4.4
B．4.7
C．5
D．5.4
考点三 建立拟合函数模型解决实际问题
典例1．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2023 年全年投入研发资金130 万元，
在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元的
年份是（ ）(参考数据：
)
A．2026 年；
B．2027 年；
C．2028 年；
D．2029 年．
典例2．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关．经验表明，某种绿茶，用一定
温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感．某研究员在泡制茶水的过程中，每
隔1min 测量一次茶水温度，收集到以下数据：
时间/min
0
1
2
3
4
5
水温/℃
85
79
73.6
68.74
64.34
60.24
设茶水温度从85°C 开始，经过min 后温度为
℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律．现有以下两种
函数模型供选择：①
；②
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3 组数据，求出函数模型的解析式；
(2)若茶水温度降至55°C 时饮用，可以产生最佳口感，根据（1）中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放
置多长时间才能达到最佳饮用口感？
（参考数据：
）
跟踪训练1．人工放射性核素碘-131 可发射
射线治疗甲亢，已知该物质的半衰期为8 天，设质量为
的
碘-131 经过
天后剩留的质量为
，则
关于
的函数解析式是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
跟踪训练2．近几年，直播平台逐渐被越来越多的人们关注和喜爱．某平台从2021 年初建立开始，得到了
很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021 到2024 年，该平台会员每年年．末的人数如下表所示：
（注：第4 年数据为截止至2024 年10 月底的数据）
建立平台第
年
1
2
3
4
会员人数
（千
人）
16
28
52
86
(1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算建立该平台
年后平台会员
人数
（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024 年年末会员人数：
①
，②
且
，③
且
；
(2)为了更好的维护管理平台，该平台规定会员人数不能超过
千人，请根据（1）中你选择的函
数模型求
的最小值．
一、单选题
1．（2025·福建漳州·一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气中的污染物含量
单位：
与时间
单位：
间的关系为
，其中
，
，若在前5h 内消除了
的污染物，则
15h 后污染物含量还剩余（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·广西北海·模拟预测）Deep Seek 是一款人工智能助手，其用户满意度评分
随时间（单位：
月）的变化满足对数型函数模型：
，其中
是常数．若Deep Seek 在经过3 个月后评分
增长到70，则满意度评分
为（ ）
A．60
B．61
C．62
D．63
3．（2025·甘肃天水·三模）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严
重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数
）与体重W（单位：Kg）
的
次方成反比．若A、B 为两个睡眠中的恒温动物，A 的体重为2Kg、脉搏率为210 次
，B 的脉搏
率是70 次
，则B 的体重为（ ）
A．6Kg
B．8Kg
C．18Kg
D．54Kg
4．（2025·福建莆田·三模）沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏（如图）上方装有
的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过分钟时剩余的细沙量为
，且
（
为常
数），经过
分钟时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的
，需经过的时间为（ ）
A．
分钟
B．
分钟
C．
分钟
D．
分钟
5．（2025·江西·二模）遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘
的规律.某同学根据自己记忆100 个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率
（记住的单词个数占总单词数的百分比）与初次记忆经过的时间
（单位：小时）的函数关系式为
，当记住的单词仅剩25 个时，则离初次记忆经过了（ ）（参考数据：
）
A．100 小时
B．300 小时
C．1000 小时
D．3000 小时
6．（2025·浙江·二模）尽管目前人类还是无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，
例如，地震时释放出的能量
（单位：焦耳）与地震里氏震级
之间的关系为：
.若记
2025 年1 月7 日西藏日喀则发生里氏6.8 级地震释放出来的能量为
，2022 年5 月20 日四川雅安发生里氏
4.8 级地震释放出来的能量为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·湖南长沙·模拟预测）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出
发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为
，其中M 表示每一轮优化时使用的学习
率，
表示初始学习率，E 表示衰减系数，
表示训练迭代轮数，
表示衰减速度．已知某个指数衰减
的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为16，且当训练迭代轮数为16 时，学习率衰减为0.48，则学
习率衰减到0.2 以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）
（参考数据：
）
A．75
B．77
C．79
D．81
8．（2025·北京海淀·二模）中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是
五分视力记录方式（缪氏记录法）：
，其中，
为被测试眼睛的视力值，
为该眼睛能分辨清
楚的最低一行“
”形视标的笔划宽度（单位：毫米），
为眼睛到视标的距离（单位：米），如图1 所
示，
是与
无关的常量．图2 是标准视力表的一部分，一个右眼视力值为5.0 的人在距离该视力表5 米
处进行检测，能分辨的最低一行视标为图2 中虚线框部分．因条件所限，小明在距离该视力表3 米处进行
检测，若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为图2 中虚线框部分，不考虑其它因素的影响，则与小明
右眼的实际视力值最接近的为（ ）（参考数据：
）
A．4.5
B．4.6
C．4.8
D．5.0
二、填空题
9．（2025·江苏南通·模拟预测）心理学家有时使用函数
来测定在时间
内能够记忆的
量
，其中
表示需要记忆的量，
表示记忆率.假设一个学生有200 个单词要记忆，心理学家测定在
后该学生记忆了20 个单词.该学生记忆38 个单词大约需要
.
10．（2025·云南昆明·模拟预测）根据统计数据可将某池塘里浮萍的面积
单位：
与时间
单位：月
的关系近似表示为如图所示函数关系，已知第1 个月时，浮萍面积为
，第5 个月时，浮萍面积就会超
过
，下列函数模型：①
，②
，③
，④
中，最符合浮萍面积y 与时间t 关系的模型是
填写序号，若浮萍蔓
延到
，所经过的时间
.
一、单选题
11．（2025·甘肃平凉·模拟预测）我们曾学习过碳14 的半衰期约为5730 年（即碳14 大约每过5730 年衰减
为原来的一半），即经过年后，碳14 的含量
（
为碳14 的初始含量，
为常数），则碳14
含量由原来的
衰减为
大约需要经过（ ）
（参考数据：
）
A．2292 年
B．2456 年
C．2674 年
D．2838 年
12．（2025·贵州·模拟预测）2023 年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练
算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek 的算力每年增长
．截
止至2025 年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek 的算力预计在
哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ）
（参考数据：
，
，
）
A．
年
B．
年
C．
年
D．
年
13．（2025·河北邯郸·模拟预测）某金融产品的价格增长模型遵循连续复利模型，公式为
，其
中r 为年收益率，t 为投资时间（单位：年），为自然对数的底数，
为初始资金，
为t 年后的资金，
已知某产品年收益率
，则使初始资金翻倍至少需要（参考数据：
）（ ）
A．12 年
B．13 年
C．14 年
D．15 年
14．（2025·陕西咸阳·模拟预测）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，
声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉
水越高.已知听到的声强
与标准声强
（
约为
，单位：
）之比的常用对数称作声强的声强
级，记作
（贝尔），即
，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的
声音响度
（分贝）与喷出的泉水高度
（米）满足关系式
，现知
同学用喇叭大喝一声激起的涌
泉最高高度为2 米，若
同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10 倍，则
同学大
喝一声激起的涌泉最高高度约为（ ）
A．1.75 米
B．1.5 米
C．1.25 米
D．1 米
15．（2025·湖北黄冈·二模）如图，某池塘里浮萍的面积
（单位：
）与时间（单位：月）的关系为
，关于下列说法，其中正确的说法是（ ）
①浮萍每月的增长率相同；
②若函数
与
的图像关于直线
对称，则函数
的值域为
的充要条件是
；
③若
，则当
时，
恒成立；
④若浮萍蔓延到
所经过的时间分别是
，则
.
A．①③④
B．③④
C．②③④
D．①②④
二、多选题
16．（2025·河南南阳·模拟预测）Cobb-Douglas 生产函数是宏观经济学和微观经济学中最常用的生产函数之
一，函数的数学形式为
，其中
是总产出，
是资本存量，
是劳动力，
是技术参数，
是资本和劳动的产出弹性.当
不变时，下列说法正确的是（ ）
A．若
与
均变为原来的
倍，且
，则
变为原来的
倍
B．若
与
均变为原来的
倍，且
则
最少可变为原来的
倍
C．若
与
均变为原来的
倍，且
，则
最少可变为原来的
倍
D．若
均不变，则函数
的增长速度越来越慢
17．（2025·重庆·二模）从2024 年3 月1 日起，新的酒驾检验标准开始实施，只要每
血液中乙醇含
量大于或等于
，就是酒驾，属于违法行为；而大于或等于
则认定为醉驾，属于犯罪行为．张
师傅某次饮酒后，若其血液中的乙醇含量
（单位：
）与酒后代谢时间
（单位：
）的数量关系
满足
．则张师傅此次饮酒后（ ）
A．当代谢时间
时，血液中的乙醇含量最低
B．血液中的乙醇含量开始是代谢时间
的增函数，然后是代谢时间
的减函数
C．若执意驾车，完全不可能被认定为酒驾违法行为，更不可能被认定为醉驾犯罪行为
D．若执意驾车，饮酒后
接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾
18．（2025·甘肃定西·模拟预测）声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体､液体､气
体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强
.但在实际生活中，常用声音的声强级
来度量，声强级
与声强
的关系
近似满足
，经过多次测定，得到如下数据：
声强
声强级
10
20
30
已知烟花的噪声的声强级一般在
，其声强为
；鞭炮的噪声的声强级一般在
，其声强为
；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在
，其声强为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（2025·广西·模拟预测）环境监测设备在污染物浓度实时监测中起到关键作用.研究发现，设备对污染
物的动态响应关系可用“环境监测函数”近似描述，其监测值
，
，
其中x
表示污染物浓度，a 为设备灵敏度参数
越大，灵敏度越高，则（ ）
A．
过定点
B．
在污染物浓度区间
上单调递增
C．
关于
对称
D．取定x 的值
，灵敏度越高，监测值越大
三、填空题
20．（2025·上海青浦·模拟预测）道路通行能力指单位时间（1 小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，
是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市
道路通行能力，现给出如下假设：
假设1：车身长度均为4.8 米；
假设2：所有车辆以相同的速度（单位：千米／小时）匀速行驶；
假设3：安全距离
（单位：米）与车辆速度近似满足
.
该城市道路通行能力的最大值约为 .（结果保留整数）
一、单选题
21．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N 个单位的数据量所需要的时间
（单位：h），其中k 为常数．在此条件下，已知训练数据量N 从
个单位增加到
个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N 从
个单位增加到
个单位时，训练时间
增加（ ）
A．2h
B．4h
C．20h
D．40h
二、多选题
22．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声
压级
，其中常数
是听觉下限阈值，
是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽
车
10
电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车
处测得实际声压分别为
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
