2026 年高考数学二级结论篇-核心知识背记手册
（知识清单）（全国通用）
目录
二级结论背记01 集合与常用逻辑用语................................................................4
1. 德摩根公式............................................................................................................................................................4
2. 容斥定理之集合中元素个数................................................................................................................................ 4
3. 充分必要条件的判断............................................................................................................................................ 4
4. 全称量词命题与存在量词命题的否定................................................................................................................4
二级结论背记02 复数...........................................................................................5
1. 复数模的运算性质（最核心、最常用）..........................................................................................................5
2. 常见复数的幂运算结论（速算）........................................................................................................................5
3. 复数与轨迹（几何意义延伸）............................................................................................................................5
二级结论背记03 平面向量...................................................................................5
1. 爪子定理................................................................................................................................................................5
2. 平面向量的系数和（等和线）（等值线）........................................................................................................6
3. 极化恒等式............................................................................................................................................................7
4. 奔驰定理................................................................................................................................................................7
5. 投影法....................................................................................................................................................................9
6. 向量矩形法............................................................................................................................................................9
二级结论背记04 不等式与基本不等式..............................................................10
1. 基本不等式链......................................................................................................................................................10
2. 权方和不等式的二维形式.................................................................................................................................. 10
3. 糖水不等式定理..................................................................................................................................................10
4. 糖水不等式的倒数形式:.................................................................................................................................... 10
5. 对数型糖水不等式.............................................................................................................................................. 10
6. 柯西不等式..........................................................................................................................................................11
二级结论背记05 三角函数与三角恒等变换.......................................................11
1. 常见非特殊角的三角函数值.............................................................................................................................. 11
2. 常见三角不等式..................................................................................................................................................12
3. 半角公式..............................................................................................................................................................12
4. 万能公式..............................................................................................................................................................12
5. 和差化积与积化和差公式.................................................................................................................................. 12
二级结论背记06 解三角形.................................................................................13
1. 常见三角恒等式..................................................................................................................................................13
2. 常见平面几何结论.............................................................................................................................................. 13
3. 三角形中常见不等式.......................................................................................................................................... 13
4. 内切圆半径..........................................................................................................................................................13
5. 海伦-秦九韶公式................................................................................................................................................ 13
6. 海伦-秦九韶公式推广........................................................................................................................................ 14
7. 三倍角公式..........................................................................................................................................................14
8. 射影定理..............................................................................................................................................................14
9. 角平分线定理......................................................................................................................................................14
10. 张角定理............................................................................................................................................................14
11. 倍角定理............................................................................................................................................................14
12. 中线长定理........................................................................................................................................................15
13. 三角恒等式........................................................................................................................................................15
14. 托勒密定理........................................................................................................................................................16
二级结论背记07 函数的基本性质......................................................................17
1. 周期性（差为常数有周期）.............................................................................................................................. 17
2. 对称性（和为常数有对称轴）..........................................................................................................................17
3. 周期性对称性综合问题...................................................................................................................................... 17
4. 奇偶性对称性综合问题...................................................................................................................................... 17
5. 与指数函数相关的奇函数和偶函数..................................................................................................................18
6. 与对数函数相关的奇函数和偶函数..................................................................................................................18
7. 奇函数+常函数....................................................................................................................................................18
8. F 型函数不等式................................................................................................................................................... 18
9. 平口单峰函数......................................................................................................................................................19
二级结论背记08 导数.........................................................................................20
1. 几个常用极限......................................................................................................................................................20
2. 两个重要的极限..................................................................................................................................................20
3. 函数极限的四则运算法则.................................................................................................................................. 20
4. 常用的近似计算公式.......................................................................................................................................... 20
5. 二阶导的定义......................................................................................................................................................21
6. 函数极值的第二判定定理.................................................................................................................................. 21
7. 曲线的凹凸性......................................................................................................................................................21
8. 曲线的拐点..........................................................................................................................................................22
9. 利用曲线的切线进行放缩证明不等式..............................................................................................................22
10. 利用曲线的相切曲线进行放缩证明不等式....................................................................................................22
11. 恒成立问题常见类型........................................................................................................................................ 23
12. 能成立（有解）问题常见类型........................................................................................................................24
13. 端点效应的类型................................................................................................................................................ 24
14. 洛必达法则：....................................................................................................................................................24
15. 常见的指对放缩................................................................................................................................................ 25
16. 常见的三角函数放缩........................................................................................................................................ 25
17. 其他放缩............................................................................................................................................................25
18. 放缩程度综合....................................................................................................................................................25
19. 常见函数的泰勒展开式.................................................................................................................................... 26
20. 常见函数的泰勒展开式的结论........................................................................................................................27
21. 极值点偏移的含义............................................................................................................................................ 27
22. 极值点偏移问题的一般题设形式....................................................................................................................28
23. 极值点偏移的判定定理.................................................................................................................................... 28
24. 对数平均不等式................................................................................................................................................ 29
25. 拉格朗日（Lagrange）中值定理....................................................................................................................30
二级结论背记09 数列.........................................................................................31
1. 等差数列任意前n 项和的关系.......................................................................................................................... 31
2. 等比数列任意前n 项和的关系.......................................................................................................................... 31
3. 数列不动点..........................................................................................................................................................31
4. 错位相减---万能公式求和................................................................................................................................ 32
5. 通项公式的构造..................................................................................................................................................32
6. 数列不等式的放缩.............................................................................................................................................. 33
7. 取对数法..............................................................................................................................................................34
8. 数学归纳法..........................................................................................................................................................34
二级结论背记10 立体几何.................................................................................35
1. 球的组合体..........................................................................................................................................................35
2. 内切球体积..........................................................................................................................................................35
3. 外接球问题之双外心模型.................................................................................................................................. 35
4. 叉乘法快速求法向量.......................................................................................................................................... 35
5. 三垂线法求二面角.............................................................................................................................................. 36
6. 垂面法求二面角..................................................................................................................................................36
7. 射影面积法求二面角.......................................................................................................................................... 36
8. 三余弦定理..........................................................................................................................................................36
9. 三射线定理..........................................................................................................................................................37
10. 空间两点间的距离公式.................................................................................................................................... 37
11. 点
到直线距离.............................................................................................................................................37
12. 异面直线间的距离............................................................................................................................................ 37
13. 点
到平面
的距离....................................................................................................................................... 37
14. 异面直线上两点距离公式................................................................................................................................ 37
15. 欧拉定理(欧拉公式)........................................................................................................................................ 38
二级结论背记11 解析几何（直线与圆+圆锥曲线）..........................................38
1. 点关于点对称.........................................................................................................................................................38
2. 点关于线对称的一般性结论................................................................................................................................38
3. 线关于点对称的一般性结论................................................................................................................................38
4. 线关于线对称的一般性结论................................................................................................................................38
5. 入射关系与反射关系的一般性结论....................................................................................................................38
6. 直径端点圆的方程.............................................................................................................................................. 39
7. 解析几何中的切线方程...................................................................................................................................... 39
8. 解析结合中的切点弦方程.................................................................................................................................. 39
9. 相切的条件..........................................................................................................................................................39
10. 斜率关系............................................................................................................................................................40
11. 常见不等式........................................................................................................................................................40
12. 椭球体积............................................................................................................................................................40
13. 纵坐标之和........................................................................................................................................................40
14. 渐近线围成的四边形面积................................................................................................................................ 40
15. 帕斯卡定理........................................................................................................................................................40
16. 斜率定值............................................................................................................................................................40
17. 椭圆和双曲线的结论汇总................................................................................................................................ 41
18. 补充结论1......................................................................................................................................................... 43
19. 抛物线的结论....................................................................................................................................................44
20. 补充结论2......................................................................................................................................................... 45
21. 阿波罗尼斯圆....................................................................................................................................................45
22. 蒙日圆................................................................................................................................................................46
23. 硬解定理............................................................................................................................................................48
二级结论背记12 排列组合、二项式定理、概率统计..........................................50
1. 二项式系数的性质.............................................................................................................................................. 50
2. 二项式系数和......................................................................................................................................................50
3. 单条件排列..........................................................................................................................................................50
4. 分配问题..............................................................................................................................................................51
5. “错位问题”及其推广...................................................................................................................................... 51
6. 不定方程的解的个数.......................................................................................................................................... 52
7. 数学期望的性质..................................................................................................................................................52
8. 方差的性质..........................................................................................................................................................52
9. 方差与期望的关系.............................................................................................................................................. 52
10. 正态分布密度函数............................................................................................................................................ 52
二级结论背记01 集合
1. 德摩根公式
CU ( A∩B)=(CU A)∪(CU B)
CU ( A∪B)=(CU A)∩(CU B)
2. 容斥定理之集合中元素个数
card ( A∪B)=card ( A)+card (B)−card ( A∩B)
card ( A∪B∪C)=card ( A)+card (B)+card (C)−card ( A∩B)−card ( A∩C)
−card (B∩C)+card ( A∩B∩C)
3. 充分必要条件的判断
小充分大必要
4. 全称量词命题与存在量词命题的否定
改变量词，否定结论
二级结论背记02 复数
1. 复数模的运算性质（最核心、最常用）
已知
，
且
，
|z|
2= z⋅´z
|z1⋅z2|=|z1|⋅|z2|
|
z1
z2|=|z1|
|z2|(z2≠0)
|z
n|=|z|
n
三角不等式：||z1|-|z2||≤|z1± z2|≤|z1|+|z2|
2. 常见复数的幂运算结论（速算）
i
4 k =1,i
4 k +1=i,i
4 k +2=-1,i
4 k +3=-i
1
i =-i
(1±i)
2=±2i
1+i
1-i =i，1-i
1+i =-i
3. 复数与轨迹（几何意义延伸）
|z - z0|=r :以点Z0为 圆心，r为半径的圆。
|z - z1|=|z - z2|:线段Z1Z2的垂直平分线。
|z - z1|+|z - z2|=2a(2a>|Z1Z2|):以Z1,Z2为焦点，长轴为2a的椭圆。
‖z - z1|-|z - z2|∣=2a(2a<|Z1Z2|):以Z1,Z2为焦点，实轴为2a的双曲线。
二级结论背记03 平面向量
1. 爪子定理
形如
“爪”字型图及性质：
（1）已知
为不共线的两个向量，则对于向量
，必存在
，使得
。则
三点共线
当
，则
与
位于
同侧，且
位于
与
之间
当
，则
与
位于
两侧
时，当
，则
在线段
上；当
，则
在线段
延长线
上
（2）已知
在线段
上，且
，则
m
n
A
B
C
D
A
B
C
D
2. 平面向量的系数和（等和线）（等值线）
如图，
为
所在平面上一点，过
作直线
，由平面向量基本定理知：
存在
，使得
下面根据点
的位置分几种情况来考虑系数和
的值
①若
时，则射线
与无交点，由
知，存在实数
，使得
而
，所以
，于是
②若
时，
（i）如图1，当
在右侧时，过
作
，交射线
于
两点，则
，不妨设
与
的相似比为
由
三点共线可知：存在
使得：
所以
（ii）当
在左侧时，射线
的反向延长线与
有交点，如图1 作
关于
的对称点
，由
（i）的分析知：存在存在
使得：
所以
于是
综合上面的讨论可知：图中
用
线性表示时，其系数和
只与两三角形的相似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。
因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过
作
边的垂线
，
设点
在
上的射影为
，直线
交直线
于点
，则
(
的符号由点
的位置确定)，因
此只需求出
的范围便知
的范围
3. 极化恒等式
恒等式右边有很直观的几何意义:
向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的
，
恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系
如图在平行四边形
中,
则
在上述图形中设平行四边形
对角线交于
点, 则对于三角形来说:
4. 奔驰定理
如图，已知P 为
内一点，则有
.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.
（1）奔驰定理的证明
如图：延长
与
边相交于点
则
（2）奔驰定理的推论及四心问题
推论
是
内的一点,且
,则
有此定理可得三角形四心向量式
（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的
距离之比为2：1.
（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.
（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的
内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.
（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，
它到三角形三个顶点的距离相等.
奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，
有着决定性的基石作用.
已知点
在
内部，有以下四个推论：
①若
为
的重心，则
；
②若
为
的外心，则
；或
③若
为
的内心，则
；备注：若
为
的内心，则
也对.
④若
为
的垂心，则
，或
5. 投影法
如图，
对于
，其中
是
在
上的投影，
在Rt△PBH 中
，故
，
考虑到
可能为钝角，故写成
.
6. 向量矩形法
如图，在矩形
中，若对角线
和
交于点
，
为平面内任意一点，有以下
两个重要的向量关系：①
；②
.
证明：①连接
，根据极化恒等式
，
可得
；
②根据极化恒等式
，可得
.
推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和以及向量乘积相等.
二级结论背记04 不等式与基本不等式
1. 基本不等式链
2
1
a + 1
b
≤√ab ≤a+b
2 ≤√
a2+b2
2
拓展. m>n 时，
em+en
2
> em−en
m−n >e
m+n
2
2. 权方和不等式的二维形式
若
则
当且仅当
时取等.
(注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀)
3. 糖水不等式定理
若
, 则一定有
通俗的理解: 就是
克的不饱和糖水里含有
克糖, 往糖水里面加入
克糖,则糖水更甜;
4. 糖水不等式的倒数形式:
设
, 则有:
5. 对数型糖水不等式
（1） 设
, 且
, 则有
（2）设
, 则有
（3）上式的倒数形式：设
, 则有
6. 柯西不等式
二维形式的柯西不等式
(a
2+b
2)(c
2+d
2)≥(ac +bd)
2(a,b,c ,d ∈R , 当且仅当 ad =bc 时，等号成立.)
二维形式的柯西不等式的变式
(1) ❑√a
2+b
2⋅
❑√c
2+d
2≥|ac +bd|(a,b,c ,d ∈R, 当且仅当 ad =bc 时，等号成立.)
(2) ❑√a
2+b
2⋅
❑√c
2+d
2≥|ac|+|bd|(a,b,c ,d ∈R, 当且仅当 ad =bc 时，等号成立.)
(3) (a+b)(c +d)≥(❑√ac + ❑√bd)
2(a,b,c ,d ≥0, 当且仅当 ad =bc 时，等号成立.)
扩展： (a1
2+a2
2+a3
2+⋯+an
2)(b1
2+b2
2+b3
2+⋯+bn
2)≥(a1b1+a2b2+a3b3+⋯+anbn)
2
7. 拉格朗日数乘法
给定二元函数
和限制性条件
，为寻找二元函数
在附加条件
下
的极值点，对三变量函数
分别求导：
即
，
，
，即可求出x、y，那么二元函数的最值即在此处取到.
如
，
，
，求
的最小值．
第一步：构造函数
．
第二步：求导，
，
，
第三步：联立待入，联立解得
，
，
，故
最小为12．
二级结论背记05 三角函数与三角恒等变换
1. 常见非特殊角的三角函数值
角度
正弦
余弦
正切
2. 常见三角不等式
（1）若
(0,
)
2
x
，则sin
tan
x
x
x
.
（2）若
(0,
)
2
x
，则1
sin
cos
2
x
x
.
（3）
| sin
|
| cos
| 1
x
x
.
3. 半角公式
(1)sin ＝± .
(2)cos＝± .
(3)tan＝± ＝＝.
以上称之为半角公式，符号由所在象限决定．
4. 万能公式
5. 和差化积与积化和差公式
二级结论背记06 解三角形
1. 常见三角恒等式
在任意△ABC 内，都有tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC
推论：在△ABC 内，若tanA+tanB+tanC<0，则△ABC 为钝角三角形
2. 常见平面几何结论
平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和
3. 三角形中常见不等式
在锐角三角形中sin A+sin B+sinC>cos A+cosB+cosC
4. 内切圆半径
在Rt△ABC 中，C 为直角，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，则△ABC 的内切圆半径为
a+b−c
2
5. 海伦-秦九韶公式
三角形的三边分别是a、b、c，
则三角形的面积为
其中
，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。
我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式:
6. 海伦-秦九韶公式推广
已知三角形三边x，y，z，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如√27 ，√28 ，√29 )
A+B=x2
B+C= y2
C+ A=z2
2S=√A⋅B+B⋅C+C⋅A
7. 三倍角公式
，
8. 射影定理
a=bcosC+ccos B ，b=acosC+ccos A ，c=acosB+bcos A
9. 角平分线定理
（
1）在Δ ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，则有
AB
BD = AC
CD
（2）
（3）
（库斯顿定理）
（4）
10. 张角定理
sin β
AB +sinα
AC =sin(α+β)
AD
11. 倍角定理
在
中,三个内角
的对边分别为
,
(1)如果
,则有:
(2)如果
,则有:
(3)如果
,则有:
倍角定理的逆运用
在
中,三个内角A、B、C 的对边分别为
,
(1)如果
,则有:
。
(2)如果
,则有:
。
(3)如果
,则有:
。
12. 中线长定理
为
的中线,则中线定理:
证明:
在
和
中,用余弦定理有:
13. 三角恒等式
在
中，
①
；
②
；
③
；
④
；
⑤
；
⑥
；
⑦
；
⑧
；
⑨
；
14. 托勒密定理
托勒密定理：在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．
如图，设四边形ABCD 内接于圆O，则有AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．
证明：不妨在AC 上取一点E，使∠ADE＝∠BDC，由∠DAE＝∠DBC，得△AED∽△BCD，所以
，
即AE·BD＝AD·BC① 又由∠ADB＝∠EDC，∠ADB＝∠ECD，△ABD∽△ECD，所以
，即
EC·BD＝AB·CD②，两式相加得AC·BD＝AB·CD＋AD·BC．
广义托勒密定理：在四边形ABCD 中，有AB·CD＋AD·BC≥AC·BD，当且仅当四边形ABCD 四点共圆时，等
号成立．
证明：在四边形ABCD 内取一点E 使∠ABE＝∠ACD，∠BAE＝∠CAD，则△ABE∽△ACD 所以
，又因为
，且∠BAC＝∠EAD，所以△ABC∽△AED，所以
；由①＋②得AB·CD＋AD·BC＝AC·（BE＋ED），所以AB·CD＋
AD·BC≥AC·BD，等号当且仅当点E 在BD 上，即A，B，C，D 四点共圆时成立．
二级结论背记07 函数的基本性质
1. 周期性（差为常数有周期）
①若f (x+a)=f (x)，则f (x) 的周期为：T=|a|
②若f (x+a)=f (x+b) ，则f (x)的周期为：T=|a−b|
③若f (x+a)=−f (x)，则f (x)的周期为：T=|2a|（周期扩倍问题）
④若
f (x+a)=± 1
f (x) ，则f (x)的周期为：T=|2a|（周期扩倍问题）
2. 对称性（和为常数有对称轴）
（1）轴对称
①若f (x+a)=f (−x)，则f (x)的对称轴为
x=a
2
②若f (x+a)=f (−x+b)，则f (x)的对称轴为
x=a+b
2
（2）点对称
①若f (x+a)=−f (−x)，则f (x)的对称中心为(
a
2 , 0)
②若
f (x+a)+f (−x+b)=c ，则f (x)的对称中心为(
a+b
2
, c
2)
3. 周期性对称性综合问题
①若f (a+x)=f (a−x)，f (b+x)=f (b−x)，其中a≠b ，则f (x)的周期为：T=2|a−b|
②若f (a+x)=−f (a−x)，f (b+x)=−f (b−x)，其中a≠b ，则f (x)的周期为：
T=2|a−b|
③若f (a+x)=f (a−x)，f (b+x)=−f (b−x)，其中a≠b ，则f (x)的周期为：
T=4|a−b|
4. 奇偶性对称性综合问题
①已知f (x)为偶函数，f (x+a)为奇函数，则f (x) 的周期为：T=4|a|
②已知
f (x)为奇函数，f (x+a)为偶函数，则f (x) 的周期为：T=4|a|
5. 与指数函数相关的奇函数和偶函数
f ( x)=ax+a−x ，（
，且
）为偶函数，
，（
，且
）为奇函数
和
，（
，且
）为其定义域上的奇函数
和
，（
，且
）为其定义域上的奇函数
为偶函数
6. 与对数函数相关的奇函数和偶函数
，（
且
）为奇函数，
，（
且
）为奇函数
7. 奇函数+常函数
在定义域内，若F (x)=f (x)+ A ，其中f (x)为奇函数，A 为常数，有f (a)+f (−a)=2 A
即f (a)+f (−a)=2倍常数
8. F 型函数不等式
单调性定义的等价形式：
（1）函数
在区间
上是增函数:
任取
，且
，都有
；
任取
，且
，
；
任取
，且
，
；
任取
，且
，
.
（2）函数
在区间
上是减函数:
任取
，且
，都有
；
任取
，且
，
；
任取
，且
，
；
任取
，且
，
.
利用单调性、奇偶性解不等式原理
（1）解
型不等式
①利用函数的单调性，去掉函数符号“
”，将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求解；
②若不等式一边没有函数符号“
”，而是常数（如
），那么我们应该将常数转化带有函数符号
“
”的函数值再解.
（1）
为奇函数，形如
的不等式的解法：
第一步：将
移到不等式的右边，得到
；
第二步：根据
为奇函数，得到
；
第三步：利用函数的单调性，去掉函数符号“
”，列出不等式求解.
单调性和奇偶性综合求不等式范围问题
①奇函数单调性不改变，当
为定义在R 上的奇函数时，若
时，
单调递增，则
时，
也单调递增，即
；同理，若
时，
单调递减，则
时，
也单调递减，即
；
②偶函数单调性改变，当
为定义在R 上的偶函数时，若
时，
单调递增，则
时，
单调递减，即
；
；同理，若
时，
单调递
减，则
时，
单调递增，即
；
．
9. 平口单峰函数
平口函数就是在区间的左右端点同时取最大值（最小值）的一类函数总称．
1.所有的平口函数
一定满足一个共性：
出现求
时，一定为平口函数；若
有一个极值点，也叫平口单峰函数，若
，此为平口单峰函数的万能招数．
关于平口单峰函数的处理策略：
（1）构造平口单峰函数：
若题目给的基本函数为非平口单峰，则我们需要构造平口单峰，构造平口单峰函数的后边应为一次函数．
（2）三点（多点）控制法：
在这类求最大值的最小值问题中，多点控制也是一个非常好用的处理手段，这里给到大家一些总结，怎么
取点控制：
①对于二次函数一般用三点控制，这三点分别是区间的两个端点和区间中点；
②对于平口打勾函数一般用三点控制，这三点分别是区间的两个端点和极值点，对于一般的打勾函数，这
三点分别是区间的两个端点和打勾函数两区间端点连线平行且与打勾函数相切的直线与打勾函数的切点，
③对于一般的三次函数，一般需要四点控制，这四点分别是区间的两个端点和分别靠近两端点的两个四等
分点．
注意：对于缺少常数项的二次函数和缺项的三次函数，选取点的原则可能会发生改变，视情况而定．
二级结论背记08 导数
1. 几个常用极限
（1）
，
（
）；
（2）
，
.
2. 两个重要的极限
（1）
；
（2）
(e=2.718281845…).
3. 函数极限的四则运算法则
若
，
，则
(1)
；
(2)
;
(3)
.
4. 常用的近似计算公式
（当|x|足够小时）
(1)√1+x≈1+ 1
2 x
;
n√1+x≈1+ 1
n x
；
(2)
；
1
1+x ≈1−x
；
(3)ex≈1+x ；
(4)ln(1+x)≈x ；
(5)sin x≈x （x 为弧度）；
(6)tan x≈x （x 为弧度）；
5. 二阶导的定义
定义 1 : 若函数
的导函数
在点
处可导, 则称
在点
的导数为
在点
的二阶导数, 记作
, 同时称
在点
为二阶可导.
定义 2: 若
在区间
上每一点都二阶可导, 则得到一个定义在
上的二阶可导函数, 记作
6. 函数极值的第二判定定理
若
在
附近有连续的导函数
, 且
（1）若
, 则
在点
处取极大值;
（2）若
, 则
在点
处取极小值
7. 曲线的凹凸性
设函数 y = f (x) 在区间 (a,b) 内可导, 如果对应的曲线段位于其每一点的 切线的上方, 则称曲线在
(a,b) 内是凹的, 如果对应的曲线段位于其每一点 的切线的下方, 则称曲线在 (a,b) 内是凸的。从图象
上来看, 曲线段向上弯 曲是凹的, 曲线段向下弯曲是凸的。
设函数
在
内具有二阶导数, 如果在
内
, 那么对应的曲线在
内是凹的, 如果在
内
, 那么对 应的曲线在
内是凸的 设
在区间
上连续, 如果对
上任意两点
, 恒有
则称
在
上的图形是凹的, 简称为凹弧;
如果恒有
则称
在
上的图形是凸的, 或简称为凸弧。
8. 曲线的拐点
曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。因此拐点一定是使
的点, 但是使
的点
不一定都是拐点。
9. 利用曲线的切线进行放缩证明不等式
设
上任一点
的横坐标为
，则过该点的切线方程为
，即
，由此可得与
有关的不等式：
，其中
，
，等号当且
仅当
时成立．特别地，当
时，有
；当
时，有
．
设
上任一点
的横坐标为
，则过该点的切线方程为
，即
，
由此可得与
有关的不等式：
，其中
，
，等号当且仅当
时成立．特别
地，当
时，有
；当
时，有
．
利用切线进行放缩，能实现以直代曲，化超越函数为一次函数．
10. 利用曲线的相切曲线进行放缩证明不等式
由图可得
；由图
可得
；由图
可得，
（
），
（
）；由图
可得，
（
），
（
）．
综合上述两种生成，我们可得到下列与
、
有关的常用不等式：
与
有关的常用不等式：
（1）
（
）；
（2）
（
）．
与
有关的常用不等式：
（1）
（
）；
（2）
（
）；
（3）
（
），
（
）；
（4）
（
），
（
）．
用
取代
的位置，相应的可得到与
有关的常用不等式．
11. 恒成立问题常见类型
假设
为自变量，其范围设为
，
为函数；
为参数，
为其表达式，
（1）
的值域为
①
，则只需要
，则只需要
②
，则只需要
，则只需要
（2）若
的值域为
①
，则只需要
，则只需要
（注意与（1）中对应情况进行对比）
②
，则只需要
，则只需要
（注意与（1）中对应情况进行对比）
12. 能成立（有解）问题常见类型
假设
为自变量，其范围设为
，
为函数；
为参数，
为其表达式，
（1）若
的值域为
①
，则只需要
，则只需要
②
，则只需要
，则只需要
（2）若
的值域为
①
，则只需要
（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
②
，则只需要
（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
13. 端点效应的类型
1.如果函数
在区间
上,
恒成立,则
或
.
2.如果函数
在区问
上,
恒成立,且
(或
),则
或
.
3.如果函数
在区问
上,
恒成立,且
(或
,
则
或
.
14. 洛必达法则：
法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1)
及
；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3)
，
那么
=
。
型
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1)
及
；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3)
，
那么
=
。
型
15. 常见的指对放缩
ex≥x+1，ex≥ex ，
1−1
x ≤ln x≤x−1
，
ln x≤x
e
16. 常见的三角函数放缩
sin x<x<tan x , x∈(0, π
2)
17. 其他放缩
ln x<√x−1
√x ( x>1)
，
ln x>√x−1
√x (0<x<1)
，
ln x< 1
2 ( x−1
x )( x>1)
，
ln x> 1
2 ( x−1
x )(0<x<1)
，
ln x>−1
2 x2+2 x−3
2 ( x>1)
，
ln x<−1
2 x2+2 x−3
2 (0<x<1)
ln x> 2( x−1)
x+1
( x>1)
，
ln x< 2( x−1)
x+1
(0<x<1)
18. 放缩程度综合
1−1
x < 1
2 ( x−1
x )<√x−1
√x <ln x< 2( x−1)
x+1
<−1
2 x2+2 x−3
2 <x−1(0<x<1)
1−1
x <−1
2 x2+2 x−3
2 < 2( x−1)
x+1
<ln x<√x−1
√x < 1
2 ( x−1
x )<x−1(1<x<2)
−1
2 x2+2 x−3
2 <1−1
x < 2( x−1)
x+1
<ln x<√x−1
√x < 1
2 ( x−1
x )<x−1( x>2)
x+1<ex<
1
1−x ( x<1)
，
1
1−x <x+1<ex( x>1)
19. 常见函数的泰勒展开式
（1）
，其中
；
（2）
，其中
；
（3）
，其中
；
（4）
，其中
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
．
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
，
，
，
，
，
，
，
，
．
20. 常见函数的泰勒展开式的结论
结论1
．
结论2
．
结论3
（
）．
结论4
．
结论5
；
；
．
结论6
；
结论7
结论8
．
结论9
．
21. 极值点偏移的含义
众所周知，函数f ( x)满足定义域内任意自变量x 都有f ( x)=f (2m−x)，则函数f ( x)关于直线
x=m 对称；可以理解为函数f ( x)在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若f ( x)为单峰函数，则
x=m 必为f ( x)的极值点. 如二次函数f ( x)的顶点就是极值点x0，若f ( x)=c 的两根的中点为
x1+x2
2
，
则刚好有
x1+x2
2
=x0 ，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.
若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数f ( x)的极值点为m ，且函数f ( x)满足定义域内
x=m 左侧的任意自变量x 都有f ( x)>f (2m−x)或f ( x)<f (2m−x)，则函数f ( x)极值点m 左右侧
变化快慢不同. 故单峰函数f ( x)定义域内任意不同的实数x1, x2满足f ( x1)=f ( x2)，则
x1+x2
2
与极值点
m 必有确定的大小关系：
若
m< x1+x2
2
，则称为极值点左偏；若
m> x1+x2
2
，则称为极值点右偏.
如函数
g( x)= x
ex 的极值点x0=1刚好在方程g( x)=c 的两根中点
x1+x2
2
的左边，我们称之为极值点左
偏.
22. 极值点偏移问题的一般题设形式
1. 若函数f ( x)存在两个零点x1, x2且x1≠x2，求证：x1+x2>2 x0 （x0 为函数f ( x)的极值点）；
2. 若函数f ( x)中存在x1, x2且x1≠x2 满足f ( x1)=f ( x2)，求证：x1+x2>2 x0 （x0 为函数f ( x)的极
值点）；
3. 若函数f ( x)存在两个零点x1, x2且x1≠x2，令
x0= x1+x2
2
，求证：f '( x0)>0 ；
4. 若函数f ( x)中存在x1, x2且x1≠x2满足f ( x1)=f ( x2)，令
x0= x1+x2
2
，求证：f '( x0)>0 .
23. 极值点偏移的判定定理
对于可导函数y=f ( x)，在区间(a,b)上只有一个极大（小）值点x0，方程f ( x)=0 的解分别为
x1, x2，且a<x1<x2<b ，
（1）若f ( x1)<f (2 x0−x2)，则
x1+x2
2
<(>)x0，即函数y=f ( x)在区间( x1, x2)上极（小）大值
点x0右（左）偏；
（2）若f ( x1)>f (2 x0−x2)，则
x1+x2
2
>(<)x0，即函数y=f ( x)在区间( x1, x2)上极（小）大值
点x0右（左）偏.
证明：（1）因为对于可导函数y=f ( x)，在区间(a,b)上只有一个极大（小）值点x0 ，则函数f ( x)
的单调递增（减）区间为(a,x0)，单调递减（增）区间为(x0,b)，由于a<x1<x2<b ，有x1<x0 ，且
2 x0−x2<x0，又f ( x1)<f (2 x0−x2)，故x1<(>)2 x0−x2，所以
x1+x2
2
<(>)x0，即函数极（小）大
值点x0右（左）偏；
（2）证明略.
左快右慢（极值点左偏
⇔m< x1+x2
2
） 左慢右快（极值点右偏
⇔m> x1+x2
2
）
左快右慢（极值点左偏
⇔m< x1+x2
2
） 左慢右快（极值点右偏
⇔m> x1+x2
2
）
24. 对数平均不等式
两个正数
和
的对数平均定义：
对数平均与算术平均几何平均的大小关系：
､
（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当
时，等号成立．
只证：当
时，
．不失一般性，可设
．
证明如下：
（I）先证：
……①
不等式①
（其中
）
构造函数
，则
．
因为
时，
，所以函数
在
上单调递减，
故
，从而不等式①成立；
（II）再证：
……②
不等式②
（其中
）
构造函数
，则
．
因为
时，
，所以函数
在
上单调递增，
故
，从而不等式成立；
综合（I）（II）知，对
，都有对数平均不等式
成立，
当且仅当
时，等号成立．
运用判定定理判定极值点偏移的方法
（1）求出函数f ( x)的极值点x0；
（2）构造一元差函数F( x)=f ( x0+x)−f ( x0−x)；
（3）确定函数F(x)的单调性；
（4）结合F(0)=0 ，判断F(x)的符号，从而确定f ( x0+x)、f ( x0−x)的大小关系.
25. 拉格朗日（Lagrange）中值定理
若函数f（x）满足如下条件：
（1）f（x）在闭区间[a，b]上连续；
（2）f（x）在开区间（a，b）内可导．
则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得
．
拉格朗日中值定理的几何意义
如图所示，在满足定理条件的曲线
上至少存在一点P（ξ，f（ξ）），该曲线在该点处的切线平行
于曲线两端的连线．
需要注意的地方（逆命题不成立）
拉格朗日中值定理没有逆定理,即对曲线的任一切线,并不一定存在割线,使割线斜率等于
切线斜率,如f (x)= x
3在x =0处的切线斜率为0,但f (x)不存在割线使割线斜率等于0
拉格朗日公式还有下面几种等价形式
，
，
．
注：拉格朗日公式无论对于
还是
都成立，而ξ 则是介于a 与b 之间的某一常数．显然，当
时，
．
二级结论背记09 数列
1. 等差数列任意前n 项和的关系
Sm+n=Sm+Sn+mnd
2. 等比数列任意前n 项和的关系
Sm+n=Sm+qm⋅Sn
3. 数列不动点
定义：方程
x
x
f
)
(
的根称为函数
)
(x
f
的不动点
利用递推数列
)
(x
f
的不动点，可将某些递推关系
)
(
1
n
n
a
f
a
所确定的数列化为等比数列或较易求
通项的数列，这种方法称为不动点法
定理1：若
),
1
,0
(
)
(
a
a
b
ax
x
f
p 是
)
(x
f
的不动点，
n
a 满足递推关系
)1
(
),
(
1
n
a
f
a
n
n
，则
)
(
1
p
a
a
p
a
n
n
，即
}
{
p
an
是公比为a 的等比数列.
定理2 ：设
)
0
,0
(
)
(
bc
ad
c
d
cx
b
ax
x
f
，
}
{
n
a
满足递推关系
1
),
(
1
n
a
f
a
n
n
，初值条件
)
(
1
1
a
f
a
(1)若
)
(x
f
有两个相异的不动点
q
p,
，则
q
a
p
a
k
q
a
p
a
n
n
n
n
1
1
（这里
qc
a
pc
a
k
）
(2)若
)
(x
f
只有唯一不动点p ，则
k
p
a
p
a
n
n
1
1
1
（这里
d
a
c
k
2
）
定理3：设函数
)
0
,0
(
)
(
2
e
a
f
ex
c
bx
ax
x
f
有两个不同的不动点
2
1, x
x
,且由
)
(
1
n
n
u
f
u
确定着数
列
}
{
n
u
,那么当且仅当
a
e
b
2
,0
时,
2
2
1
2
1
1
1
)
(
x
u
x
u
x
u
x
u
n
n
n
n
4. 错位相减---万能公式求和
{an}为公差为d 的等差数列，{bn}为公比为q 的等比数列，若数列{cn}满足cn=an⋅bn ，则数列{cn}的前
n 项和Sn 为
Sn= cn+1−q2cn+c1
(q−1)2
5. 通项公式的构造
（1）已知an+1=pan+q ，我们可以用待定系数法构造an+1+λ=p(an+λ)，从而转化为我们熟悉的等比
数列求解
（2）已知an+1=pa n+f (n)用an+An +B=p[an−1+ A (n−1)+B]求通项
（3）已知an+1=pa n+qn
用
an+1
qn+1= p
q⋅an
qn + 1
q 求通项公式，其本质是除以一个指数式
（4）已知an+2=pa n+1+qa n用an+2−kan+1=h(an+1−kan)求通项公式，其本质是待定系数法
（5）已知an−1−an=pan−1an用
1
an
−1
an−1
=p
求通项公式，其本质是除以an−1an
（6）已知
an+1=
ma n
pa n+q 用
1
an+1
=m
q
1
an
+ m
p 求通项公式，其本质是取到数
（7）已知an+1=pa
nq( p>0,an>0)用lgan+1=qlgan+lg p 求通项公式，其本质是取对数
6. 数列不等式的放缩
1．分组放缩
先将数列
的前n 项和
分成若干组，再对每组单独确定放缩或不放缩．
2．等比放缩
如果数列
满足
，则有
，
因此数列
的前n 项和
满足
．
3．裂项放缩
（1）分式裂项放缩：若数列
的通项是一个分式，譬如
，
，…，
则可将
放缩成一个可以分式裂项相消求和的式子，
如
，
，
等．
（2）根式裂项放缩：若数列
的通项是含根式的，譬如
，
，…，
则可将
放缩成一个可以根式裂项相消求和的式子．下面就是根式裂项放缩中比较常用的两个放缩式．
①
．
②
．
（3）指分结构裂项放缩：若数列
的通项公式为
，则
．
证明: 因为
，
，所以
，
所以
，即
．
4．基本不等式放缩
如果数列
的某些项的和符合基本不等式的形式，可以直接利用基本不等式来进行放缩，这种放缩方式
称为基本不等式放缩．
5．递推放缩
如果题目只给了递推关系式
，而根据这个递推关系式没办法直接求出
的通项，然而又需要
我们证明一个不等式，此时就需要直接利用递推关系式
，构建一个放缩式．这种利用题目中给
出的递推关系式直接进行放缩的放缩方式称为递推放缩．
一般来说我们采用以下两种思路处理这类问题：
①写出递推关系式
，然后通过恒等变形得到放缩式．
②写出
，
，然后将
与
这两个关系式进行加减乘除（更多的
是相减和相除），再恒等变形得到放缩式．
7. 取对数法
取对数法求通项主要适用以下题型：
1、若
，则取对数后为
，显然我们可以构造出等比数列．
2、若
，则
，同时取以A 为底的对数可以得到
，运用模型一即可求解．
8. 数学归纳法
在证明一些数列相关问题时，如果直接证明不太好证明，可以考虑使用数学归纳法证明，这是证明数列相
关问题的一种独特的方法，具体步骤如下：
第一步（归纳奠基）：证明当
时命题成立．
第二步（归纳递推）：假设当
时命题成立，推出当
时命题也成立．
第三步：综合前两步可得，命题对所有从
开始的正整数
都成立．
注：
1．在第二步证明当
时命题也成立的过程中，需要用到假设当
时命题成立得到的结论．
2．数学归纳法的本质就是通过第一步进行归纳奠基之后，再通过第二步进行归纳递推，进而证明命题．
二级结论背记10 立体几何
1. 球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外
接球的直径是正方体的体对角线长.
(3) 球与正四面体的组合体:
棱长为
的正四面体的内切球的半径为
,外接球的半径为
.
2. 内切球体积
任意的简单n 面体内切球半径为
3V
S表(V 是简单n 面体的体积，S表是简单n 面体的表面积)
3. 外接球问题之双外心模型
如图所示，点O 为四面体ABCD 的外接球球心，点
为
的外接圆圆心，点
为
的外接圆圆
心，点E 为AB 的中点，则四面体ABCD 的外接球半径R 满足以下关系：
．
有了双外心模型，我们只要能找到三棱锥的相邻两个面的外接圆圆心，就能通过连接公共边的中点与外心，
求出该三棱锥的外接球半径．
4. 叉乘法快速求法向量
向量
＝（x ，y ，z ），
＝（x ，y ，z ）是平面
内的两个不共线向量，则向量
＝（y z －y z
，－（x z －x z ），x y －x y ）是平面
的一个法向量.
如果用二阶行列式表示，则
＝（
，－
，
） ，这更便于记忆和计算.
结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处略去），但你可以验证
一定满足
；
∵
、
不共线，∴
一定不是
.
5. 三垂线法求二面角
已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。
6. 垂面法求二面角
已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可
知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。
7. 射影面积法求二面角
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公
式（cosθ = S射
S斜
=
S△A
' B
'C
'
S△ABC
,如图)求出二面角的大小
8. 三余弦定理
设AC 是α 内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO 与AB 所成的角为
，AB 与AC 所成的角为
，AO 与AC 所成的角为
．则
.
9. 三射线定理
若夹在平面角为
的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是
,
,与二面角的棱所成的
角是θ，则有
;
(当且仅当
时等号成立).
长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为
，夹角分别为
,则有
.
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.
10. 空间两点间的距离公式
若A
，B
，则
=
.
11. 点
到直线距离
(点
在直线上，直线的方向向量a=
，向量b=
).
12. 异面直线间的距离
(
是两异面直线，其公垂向量为
，
分别是
上任一点，
为
间的距
离).
13. 点
到平面
的距离
（
为平面
的法向量，
是经过面
的一条斜线，
）.
14. 异面直线上两点距离公式
.
.
（
）.
(两条异面直线a、b 所成的角为θ，其公垂线段
的长度为h.在直线a、b 上分别取两点E、F，
,
,
).
15. 欧拉定理(欧拉公式)
(简单多面体的顶点数V、棱数E 和面数F).
（1）
=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为
的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：
；
（2）若每个顶点引出的棱数为
，则顶点数V 与棱数E 的关系：
.
二级结论背记11 解析几何（直线与圆+圆锥曲线）
1. 点关于点对称
设点
对称中心为
, 则
关于
的对称点为
2. 点关于线对称的一般性结论
点
(x,y)关于直线Ax+By+C=0 的对称点坐标为(x−2 A(Ax +By +C )
A2+B2
, y−2B(Ax +By +C )
A2+B2
)
3. 线关于点对称的一般性结论
设原直线
, 对称中心
则对称直线
方程为：
或
推导：由轨迹法，将
代入
整理即得。
公式2：斜截式速算
若
, 对称中心
则
方程为：
结论：斜率不变（因平行），仅截距变化。
4. 线关于线对称的一般性结论
对于任意直线
和对称轴
, 对称直线
的方程可由对称点性质推导，
公式如下：
5. 入射关系与反射关系的一般性结论
.入射点
的坐标公式
设镜面
. 则入射点
的坐标为：
其中
(若分母为0, 需单独处理)。
推导逻辑：利用
在
上且
在
上联立方程。实战建议：优先用对称点法，此公式备用。
6. 直径端点圆的方程
若圆的直径端点
，则圆的方程为
7. 解析几何中的切线方程
①过圆( x−a)2+( y−b)2=r2
上任意一点P(x0, y0)的切线方程为( x0−a)( x−a)+( y0−b)( y−b)=r2
②过椭圆
x2
a2 + y2
b2 =1(a>0,b>0)
上任意一点P(x0, y0)的切线方程为
xx 0
a2 +
yy 0
b2
=1
③
过双曲线
x2
a2−y2
b2 =1(a>0,b>0)
上任意一点P(x0, y0)的切线方程为
xx 0
a2 −
yy 0
b2
=1
④设 P(x0, y0) 为抛物 线 y
2=2 px 上的点, 则过该点的切线方程为y y0= p(x + x0)
8. 解析结合中的切点弦方程
平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程
①圆x2+ y2+Dx +Ey +F=0 的切点弦方程为
x0 x+ y0 y+ x0+x
2
D+ y0+ y
2
E+F=0
②椭圆
x2
a2 + y2
b2 =1(a>0,b>0)
的切点弦方程为
x0 x
a2 + y0 y
b2 =1
③双曲线
x2
a2−y2
b2 =1(a>0,b>0)
的切点弦方程为
x0 x
a2 −y0 y
b2 =1
④抛物线y2=2 px ( p>0)的切点弦方程为y0 y=p( x0+x)
⑤二次曲线的切点弦方程为
Ax 0 x+B x0 y+ y0 x
2
+Cy 0 y+D x0+x
2
+E y0+ y
2
+F=0
9. 相切的条件
①椭圆
x2
a2 + y2
b2 =1(a>0,b>0)
与直线Ax +By +C=0( A·B≠0)相切的条件是A2a2+B2b2=C2
②双曲线
x2
a2−y2
b2 =1(a>0,b>0)
与直线Ax +By +C=0( A·B≠0)相切的条件是A2a2−B2b2=C2
10. 斜率关系
若A、B、C、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线
AC、BD 的斜率存在且不等于零,并有kAC +kBD =0 ,(k AC ,kBD 分别表示AC 和BD 的斜率)
11. 常见不等式
已知椭圆方程为
x2
a2 + y2
b2 =1(a>b>0)
，两焦点分别为F1，F2，设焦点三角形PF 1F2中∠PF 1F2=θ ，
则cosθ≥1−2e2
(cosθmax=1−2e2
)
12. 椭球体积
椭圆
x2
a2 + y2
b2 =1(a>b>0)
绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为
V =4
3 πab
13. 纵坐标之和
y=kx+m 与椭圆
x2
a2 + y2
b2 =1(a>b>0)
相交于两点，则纵坐标之和为
2mb 2
a2k2+b2
14. 渐近线围成的四边形面积
过双曲线
x2
a2−y2
b2 =1(a>0,b>0)
上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为
ab
2
15. 帕斯卡定理
如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上
16. 斜率定值
过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值
−a2
b2 (a>b>0)
推论1：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值
−a2
b2 (a>b>0)
推论2：过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、B 两点，则直线AB 的斜率为定值
17. 椭圆和双曲线的结论汇总
椭圆
双曲线
标准方程
焦点
焦点
焦半径
为离心率，
为点
的横坐标.
为离心率，
为点
的横坐标.
焦半径范围
为椭圆上一点，
为焦点.
为双曲线上一点，
为焦点.
通径
过焦点与长轴垂直的弦称为通径.
通径长为
过焦点与实轴垂直的弦称为通径.
通径长为
如图，直线过焦点
与椭圆相交于
两点.则
的周长为
.
（即
）
如图，直线过焦点
与双曲线相交于
两点.则
.
焦点弦
倾斜角为
的直线过焦点
与椭圆相交
于
两点.
焦点弦长
.
最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径.
倾斜角为
的直线过焦点
与双曲线相
交于
两点.
焦点弦长
.
与
直线过焦点
与椭圆相交于
两点，
直线过焦点
与双曲线相交于
两
数量关系
则
.
点，则
.
已知点
是椭圆上一点，
坐标原点，
则
.
已知点
是双曲线上一点，
坐标原点，
则
.
焦三角形
如图，
是椭圆上异于长轴端点的一点，
已知
，
，
，则
（1）
；
（2）离心率
.
如图，
是双曲线上异于实轴端点的一
点，已知
，
，
，则
（1）
；
（2）离心率
.
垂径定理
如图，已知直线与椭圆相交于
两
点，点
为
的中点，
为原点，则
.
如图，已知直线与双曲线相交于
两
点，点
为
的中点，
为原点，则
.
（注：直线与双曲线的渐近线相交于
两点，其他条件不变，结论依然成
立）
周角定理
如图，已知点
椭圆长轴端点（短轴端
点），
是椭圆上异于
的一点，
则
.
如图，已知点
双曲线实轴端点，
是
双曲线上异于
的一点，
则
.
推广：如图，已知点
是椭圆上关于原
点对称的两点，
是椭圆上异于
的一
点，若直线
的斜率存在且不为
零，
推广：如图，已知点
是双曲线上关于
原点对称的两点，
是双曲线上异于
的一点，若直线
的斜率存在且不
为零，
.
直线过焦点
与椭圆相交于
两点，点
，
则
（即
）.
直线
过焦点
与双曲线相交于
两点，点
，
则
（即
）.
切线方程
已知点
是椭圆上一点，则椭圆
在点
处的切线方程为
.
已知点
是双曲线上一点，则双
曲线在点
处的切线方程为
.
18. 补充结论1
1．过定点（定点在双曲线外且不在渐近线上）的直线与双曲线交点个数问题：
设斜率为
的直线过定点
，双曲线方程为
，过点
与双曲线相
切时的斜率为
.
（1）当
时，直线与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的两支上；
（2）当
时，直线与双曲线只有一个交点；
（3）当
时，直线与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的同一支上；
（4）当
时，直线与双曲线只有一个交点；
（5）当
时，直线与双曲线没有交点.
2．如图，
是双曲线
的焦点，过点
作
垂直双曲线的其中一条渐近
线，垂足为
，
为原点，则
.
3．点
是双曲线
上任意一点，则点
到双曲线的渐近线的距离之积为定值
.
4．点
是双曲线
上任意一点，过点
作双曲线的渐近线的平行线分别与渐近线
相交于
两点，
为原点，则平行四边形
的面积为定值
.
19. 抛物线的结论
如图，抛物线方程为
，准线
与
轴相交于点
，过焦点
的直线与抛
物线相交于
，
两点，
为原点，直线的倾斜角为
.
1．
2．焦半径：
，
，
.
3．焦点弦：
.
4．
的数量关系：
，
.
5．三角形
的面积
.
6．以焦点弦
为直径的圆与准线相切；以焦半径
为直径的圆与
轴相切.
7．直线
的斜率之和为零（
），即
.
8．点
三点共线；点
三点共线.
9．如图，点
是抛物线
，
为原点，若
，则直线
过定点
.
20. 补充结论2
1.已知椭圆
（a＞b＞0），O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且
.则
（1）
;
（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为
;
（3）
的最小值是
.
2.与
共轭的双曲线方程为
，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以原点为圆
心，C 为半径的圆上；③
。
3.与
有相同焦点的双曲线方程为
4.与
有相同焦点的椭圆方程为：
5.与
有相同焦点的双曲线方程为：
6.与
有相同离心率的双曲线方程为：
①焦点在
轴上时：
②焦点在
轴上时：
7.与
有相同的渐近线方程为：
；
21. 阿波罗尼斯圆
平面内到两个定点A，B 的距离之比为定值
的点M 的轨迹是圆（，此圆被称为阿波罗尼斯圆．
特别的，当
时，点M 的轨迹是线段AB 的中垂线.
证明 以直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，并设
，
，
．
因为
，所以
，所以
，
所以
，
所以
，
所以
，所以点M 的轨迹是圆．
2．阿波罗尼斯圆的性质——三角形相似
当把点A，B 的坐标分别记为
，
时，其阿波罗尼斯圆的方程为
，
即
，则阿波罗尼斯圆圆心为
，半径为
，
此时有
，于是
与
相似．
若取
，
，则如下图所示．虽然是取特殊坐标推导的，但结论具有普遍性，即当M 为阿波罗尼斯
圆上一点，且M 不与O，A，B 三点所在直线共线时，
相似于
．
22. 蒙日圆
与曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）相切的两条动直线交于一点，求离心率、曲线方程、点到直线的距
离等问题．
1.蒙日圆的相关定理：
（1）与椭圆
相切的两条垂直切线的交点在圆
上．
（2）与双曲线
相切的两条垂直切线的交点在圆
上，此时双曲线的离心
率满足
．
（3）与抛物线
相切的两条垂直切线交点的轨迹，就是该抛物线的准线．
（4）与圆
相切的两条垂直切线的交点在圆
上．
蒙日圆的证明（以椭圆为例）：
①当平面中两条互相垂直的切线的斜率不存在或斜率为0 时，可得
的坐标为
．
②当两条切线的斜率存在，且设其中一条的斜率为
，交点为
，则过
的切线方程为
．由
消去
得
．
令
，整理得
．
∵
是关于
的一元二次方程的两个根，
∴
．
由
，得
，
即
．命题得证．
双曲线，抛物线的定理均可按照这种方式证明．
2.蒙日圆的性质：
性质1：过圆
上的动点
作椭圆
的两条切线
，切点为
，则
，且
平分弦
．
性质2：
为圆
上任一点，过
作椭圆
的两条切线
，切点分别
为
，延长
交圆
于
两点，则
（1）
三点共线；
（2）
；
（3）
；
（4）当
位于
轴上时，弦
取得最大值．
23. 硬解定理
椭圆&双曲线的硬解定理
如果直线
与曲线
（m ，n 至少一个为正数）有两个交点
，
．
先将直线方程
与曲线方程
进行联立，得到
，
于是判别式
，
再根据韦达定理得到
于是有
，
从而
．
特别地，对于最常见的斜截式
来说，可令
，
，
，
则有以下结论：
①判别式
．
②
③
．
④
．
抛物线
的硬解定理
如果
与抛物线
有两个交点
，
．先将直线
与抛物线
进行联立，
得到
，于是判别式
，
再根据韦达定理得到
于是有
，
从而
．
抛物线
的硬解定理
如果直线
与抛物线
有两个交点
，
．先将直线
与抛物线
进行联立，
得到
，于是判别式
，
再根据韦达定理得
于是有
，
从而
．
（实际上与抛物线
的硬解定理的区别就是把A，B 对调了一下）
二级结论背记12 排列组合、二项式定理、概率统计
1. 二项式系数的性质
性质
内容
对称性
与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即Cn
m=Cn
n−m
增减性
当k＜时，二项式系数逐渐增大；
当k＞时，二项式系数逐渐减小
最大值
当n 是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为Cn
n
2
；
当n 是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为Cn
n−1
2
或Cn
n+1
2
2. 二项式系数和
(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…
＝2n−1.
3. 单条件排列
以下各条的大前提是从
个元素中取
个元素的排列.
（1）“在位”与“不在位”
①某（特）元必在某位有An−1
m−1
种；②某（特）元不在某位有An
m−An−1
m−1
（补集思想）=An−1
1
An−1
m−1
（着
眼位置）=An−1
m + Am−1
1
An−1
m−1
（着眼元素）种.
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
①定位紧贴：k(k≤m≤n)个元在固定位的排列有Ak
k An−k
m−k
种.
②浮动紧贴：
个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有An−k+1
n−k+1 Ak
k
种.注：此类问题常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有k、h 个（k≤h+1），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近
的所有排列数有Ah
h Ah+1
k
种.
（3）两组元素各相同的插空
个大球
个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
当n>m+1时，无解；当n≤m+1时，有
Am+1
n
An
n =Cm+1
n
种排法.
（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为Cm+n
n
.
4. 分配问题
（1）(平均分组有归属问题)将相异的
、
个物件等分给
个人，各得
件，其分配方法数共有
N=Cmn
n ⋅Cmn−n
n
⋅Cmn−2n
n
⋅⋯⋅C2n
n ⋅Cn
n=(mn )!
(n!)m
.
（2）(平均分组无归属问题)将相异的
·
个物体等分为无记号或无顺序的
堆，其分配方法数共有
N=
Cmn
n ⋅Cmn−n
n
⋅Cmn−2n
n
...⋅C2n
n ⋅Cn
n
m!
= (mn )!
m!(n!)m
.
（3）(非平均分组有归属问题)将相异的p( p=n1+n2+⋯+nm)个物体分给
个人，物件必须被分完，
分别得到
，
，…，
件，且
，
，…，
这
个数彼此不相等，则其分配方法数共有
N=C p
n1⋅C p−n1
n2
...Cnm
nm¿m!=
p!m!
n1!n2!...nm! .
（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的p( p=n1+n2+⋯+nm)个物体分给
个人，物件必须被
分完，分别得到
，
，…，
件，且
，
，…，
这
个数中分别有a、b、c、…个相等，则其
分配方法数有
N=
C p
n1⋅C p−n1
n2
...Cnm
nm¿m!
a!b!c!...
.
（5）(非平均分组无归属问题)将相异的p( p=n1+n2+⋯+nm)个物体分为任意的
，
，…，
件无记号的
堆，且
，
，…，
这
个数彼此不相等，则其分配方法数有
N=
p!
n1!n2!...nm! .
（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的p( p=n1+n2+⋯+nm)个物体分为任意的
，
，…，
件无记号的
堆，且
，
，…，
这
个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有
N=
p!
n1!n2!...nm!(a!b!c!...) .
（7）(限定分组有归属问题)将相异的
（p( p=n1+n2+⋯+nm)）个物体分给甲、乙、丙，……等
个人，物体必须被分完，如果指定甲得
件，乙得
件，丙得
件，…时，则无论
，
，…，
等
个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有
N=C p
n1⋅C p−n1
n2
...Cnm
nm=
p!
n1!n2!...nm! .
5. “错位问题”及其推广
贝努利装错笺问题:信
封信与
个信封全部错位的组合数为
.
推广:
个元素与
个位置,其中至少有
个元素错位的不同组合总数为
.
6. 不定方程的解的个数
不定方程
的解的个数
(1)方程
（
）的正整数解有
个.
(2) 方程
（
）的非负整数解有
个.
(3) 方程
（
）满足条件
(
,
)的非负整数解有
个.
(4) 方程
（
）满足条件
(
,
)的正整数解有
个.
7. 数学期望的性质
（1）
.
（2）若
～
,则
.
（3）若
服从几何分布,且
，则
.
8. 方差的性质
（1）
；
（2）若
～
，则
.
（3） 若
服从几何分布,且
，则
.
（4）超几何分布的期望：若X ~ H(n,N ,M )，则
E( X )=nM
N (其中
M
N 为符合要求元素的频率)，
D( X )=n M
N (1−M
N )(1−n−1
N−1 )
9. 方差与期望的关系
.
10. 正态分布密度函数
，式中的实数μ ，σ （σ >0 ）是参数，分别表示个体的平均
数与标准差.标准正态分布密度函数
.
