文档文本内容
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第18 讲 功和功率
目录
考情探究...........................................................................................................................
知识梳理...........................................................................................................................
探究核心考点...................................................................................................................
考点一 恒力做功问题....................................................................................................................
考点二 变力做功问题....................................................................................................................
考点三 功率的分析与计算............................................................................................................
考点四 机车功率............................................................................................................................
三阶突破训练...................................................................................................................
基础过关..........................................................................................................................................
能力提升..........................................................................................................................................
真题感知..........................................................................................................................................
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2021 年浙江卷，第11 题
2021 年全国乙卷，第6 题
2023 年新课标卷，第2 题
2023 年江苏卷，第11 题
2023 年北京卷，第11 题
2024 年新课标卷，第11 题
恒力做功问题
匀变速直线运动规律
受力平衡
牛顿第二定律
2021 年山东卷，第18 题
变力做功问题
匀变速直线运动规律
1
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2021 年江苏卷，第14 题
2021 年全国乙卷，第11 题
2022 年全国乙卷，第7 题
2024 年山东卷，第7 题
2025 年广东卷，第14 题
受力平衡
牛顿第二定律
圆周运动
功率
动能定理
弹性势能
动量定理
2021 年湖北卷，第15 题
2021 年广东卷，第9 题
2022 年湖南卷，第7 题
2023 年山东卷，第7 题
2023 年辽宁卷，第3 题
2023 年湖南卷，第8 题
2024 年江西卷，第5 题
2025 年广西卷，第12 题
功率的分析与计算
匀变速直线运动规律
v-t 图像
牛顿第二定律
向心力
动能定理
功能关系
能量守恒定律
动量守恒定律
2021 年湖南卷，第3 题
2021 年北京卷，第8 题
2022 年广东卷，第9 题
2022 年浙江6 月卷，第13 题
2023 年山东卷，第8 题
2023 年湖北卷，第4 题
2024 年上海卷，第4 题
2024 年江苏卷，第14 题
2025 年山东卷，第5 题
2025 年四川卷，第7 题
机车功率
匀变速直线运动规律
牛顿第二定律
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本讲内容是新高考卷的必考内容。本类试题主要考查功和功率的计算及动能定理。常与圆周
运动进行综合。
【备考策略】1.理解、掌握功的物理意义，会计算恒力做的功和变力做的功。
2.理解、掌握功率的物理意义，会计算瞬时功率和平均功率。
3.具备数形结合的思想意识。
4.熟悉机车功率问题。
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，可选择、可计算。
2
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一、恒力做功的分析和计算
1．做功的两个要素
(1)作用在物体上的 ．
(2)物体在力的方向上发生 ．
2．公式W＝Flcos α
(1)α 是力与位移方向之间的夹角，l 为物体的位移．
(2)该公式只适用于 力做功．
3．功的正负
(1)当0≤α＜时，W＞0，力对物体做正功．
(2)当α＝时，W＝0，力对物体不做功．
(3)当＜α≤π 时，W＜0，力对物体做负功，或者说物体 这个力做功．
二、是否做功及做功正负的判断
(1)根据力与位移的方向的夹角判断；
(2)根据力与瞬时速度方向的夹角α 判断：0≤α＜90°，力做 功；α＝90°，力不做功；90°＜α≤180°，力做
功．
三、合外力做的功
方法一：先求合外力F 合，再用W 合＝F 合lcos α 求功．
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W 合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功．
方法三：利用动能定理W 合＝Ek2－Ek1.
四、求变力做功的五种方法
方法
举例
法
质量为m 的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩
擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
等效
转换法
恒力F 把物块从A 拉到B，绳子对物块做功W＝
F·(－)
图像法
一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，F－x
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图线与 所围面积表示拉力所做的功，W＝x0
平均
值法
当力与位移为线性关系，力可用平均值＝表示，W＝Δx，可得
出弹簧弹性势能表达式为Ep＝k(Δx)2
应用动
能定理
用力F 把小球从A 处缓慢拉到B 处，F 做功为WF，则有：
WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)
五、功率的分析和计算
1．平均功率的计算方法
(1)利用＝.
(2)利用＝F·cos α，其中为物体运动的 速度，F 为 力，F 与的夹角α 不变．
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v 为t 时刻的瞬时速度．F 可为恒力，也可为 力，α 为F 与v 的夹角，
α 可以不变，也可以变化．
(2)公式P＝Fvcos α 中，Fcos α 可认为是力F 在速度v 方向上的分力，vcos α 可认为是速度v 在力F 方向
上的分速度．
六、机车启动问题
1．两种启动方式
两种方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P－t 图像
和v－t 图像
OA 段
过程
分析
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
a＝不变⇒F 不变⇒P＝Fv↑直
到P＝P 额＝Fv1
运动
性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动，持续时间t0
＝
AB 段
过程
分析
F＝F 阻⇒a＝0⇒vm＝
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
运动
性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的加速直线运动
BC 段
F＝F 阻⇒a＝0⇒以vm＝做匀速
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直线运动
2.三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其 运动时的速度，即vm＝.
(2)机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度 最大，v＝<vm＝.
(3)机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt.由动能定理得：Pt－F 阻x＝ΔEk.此式经常用于求解机车以
恒定功率启动过程的位移大小和时间．
考点一 恒力做功问题
典例1．（2025·福建省泉州市·一模） 2025 年亚洲皮划艇静水锦标赛中，中国队获得冠军。如图，皮划艇
第一次划桨过程由静止开始做匀加速直线运动，经时间t=0.5s，速度大小v=2m/s。在此过程中：
（1）求皮划艇加速度a 的大小；
（2）已知运动员与皮划艇的总质量m=200kg，划桨的水平推力F=1000N，求皮划艇受到阻力f 的大小和推
力做的功W。
典例2．（2025·青海省海东市第二中学·二模）如图所示，倾角为
、足够长的光滑斜面固定在水平地面上，
斜面底端有一质量
的物块，
时刻物块在沿斜面向上的恒力
的作用下，从斜面底端由静止
开始运动，
时物块到达
点并撤去
，
时物块恰好返回斜面底端，
，取重力加速
度大小
。
（1）求撤去
后物块的加速度大小
；
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（2）求恒力
对物块做的功
；
（3）若
时刻物块在沿斜面向上的变力
的作用下，从斜面底端由静止开始运动，
时物块到
达
点并撤去
，此过程中物块的加速度与速度成反比，
时物块返回斜面底端，求变力
的最
小值
。
典例3．（2025·云南省怒江傈僳族自治州民族中学·一模）（多选）在某平直公路上，汽车由静止开始做匀
加速运动，当速度达到某一值时，立即关闭发动机后滑行至停止，其v-t 图像如图所示。汽车牵引力为F，
运动过程中所受的摩擦阻力恒为Ff，全过程中牵引力所做的功为W1，克服摩擦阻力所做的功为W2，则下
列关系中正确的是（ ）
A. F:Ff=4:1
B. F:Ff=1:3
C. W1:W2=4:3
D. W1:W2=1:1
跟踪训练1．（2025·重庆市·三模）（多选）如图1 所示，足够长的水平地面上，一同学坐在木箱中，受到
水平向右的拉力F 作用从静止开始运动，拉力F 的冲量I 随时间t 变化的关系如图2 所示。整个过程中，该
同学和木箱始终保持相对静止。已知该同学和木箱的总质量为50kg，木箱与水平地面间的动摩擦因数
μ=0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g 取
，不计空气阻力，则（ ）
A. t=2s 时刻，该同学的速度大小为8m/s
B. 0~2s 内，该同学的位移大小为4m
C. t=8s 时刻，该同学还在继续向右运动
D. 0~8s 内，木箱克服地面摩擦力做功为1200J
跟踪训练2．（2025·湖南省郴州市·一模）如图所示，一个质量约为
的小朋友从高约为
，长约
为
的滑梯顶端滑至滑梯底部，若下滑过程中，小朋友所受阻力大小恒为
，
取
，在整
个过程中（ ）
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A. 小朋友的重力做负功
B. 小朋友的阻力做正功
C. 小朋友的重力做功约为
D. 小朋友的阻力做功约为
跟踪训练3．（2025·江西省·三模）如图所示，粗糙水平地面AB 与半径
的光滑半圆轨道BCD 相
连，且在同一竖直平面内，O 是BCD 的圆心，BOD 在同一竖直线上。质量为
的小物块在恒力F
的作用下（方向未知），从A 点由静止开始做匀加速直线运动。已知
，小物块与水平地面间的
动摩擦因数为
，当小物块运动到B 点时撤去恒力F，重力加速度g 取
。
（1）若物块恰能通过D 点，求物块在AB 段的加速度及F 做功的最小值和此时的F 的大小。
（2）若物块恰能通过D 点，求F 的最小值和此时F 所做的功。
考点二 变力做功问题
典例1．（2025·云南省丽江市第一高级中学·一模）如图甲所示，轻质弹簧放置在倾角为30°的光滑斜面上，
底部固定，上端与质量为m 的物块相连，当弹簧压缩量为l1时，物块由静止开始向下运动，当弹簧压缩量
为l2时，物块的速度正好为0。在此运动过程中，弹簧对物块的弹力F 与弹簧的压缩量l 的关系图像如图乙
所示，重力加速度为g，下列说法中错误的是（ ）
A. 物块的动能与弹簧的弹性势能都增加
B. 物块重力势能变化量的大小为
C. 此过程中物块克服弹簧弹力做功为
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D. 当弹簧的压缩量等于
时，物块的速度最大
典例2．（2025·湖南省郴州市·一模）如图所示，运动员把质量为400g 静止的足球从水平地面踢出，足球
在空中到达的最大高度是4m，在最高点的速度为10m/s，不考虑空气阻力，g 取10m/s2。求：
（1）足球在最高点时的动能Ek；
（2）足球上升至最高点这一过程，克服重力所做的功WG；
（3）运动员踢球时对足球做的功。
典例3．（2025·广西壮族自治区·三模）野外山地滑雪是一项既危险又充满刺激的挑战运动。如图所示，山
区某一滑雪道由坡道AB、水平道BC 和缓冲道CD 三段组成，且各段均平滑连接，坡道倾角θ=37°，缓冲
道为一段半径R=15m 的圆弧。一质量为m（含装备）=60kg 的滑雪者从坡道上的A 点由静止开始自由滑下，
最终恰好能到达缓冲道上的D 点，已知坡道上AB 两点相距20m，滑雪者在坡道上所受阻力恒定，大小为
所受支持力的k 倍，k=0.05，圆弧CD 所对的圆心角也为θ，不计空气阻力，当地重力加速度g 取
，
，
，求：
（1）滑雪者滑至B 点时的速度大小（用根式表示）；
（2）滑雪者从B 点经C 滑至D 点的过程克服阻力所做的功。
跟踪训练1．（2025·江苏省南京市·二模）如图甲所示，倾角为
、长为2l 的斜面AC，AB 段光滑，BC 段
粗糙，且AB=BC=l。质量为m 的小物体由A 处静止释放，到C 点恰好停下，BC 段动摩擦因数自上而下逐
渐增大，具体变化如图乙所示，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A. 动摩擦因数最大值μm=2tan
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B. 小物块的最大速度为
C. 重力在AB、BC 两段路面上做功不相等
D. 重力在AB 段中间时刻瞬时功率等于在BC 段中间时刻瞬时功率
跟踪训练2．（2025·江苏省南京市·二模）如图，足够长的细线一端与倾角为α=37°的斜面A 相连，另一端
跨过墙面上和斜面顶端的三个小滑轮与小滑块B 相连，一水平推力作用于A 上，使A、B 系统保持静止，
四段细线分别与水平地面、竖直墙面或斜面平行，A 的质量M=0.63kg，B 的质量m=0.21kg，B 距离水平
面的高度h=0.6m，不计一切摩擦，取重力加速度g=10m/s2．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）求细线对B 的拉力大小；
（2）撤去水平推力，求A 滑动的位移
m 时，B 的位移大小；
（3）若撤去水平推力的同时剪断细线，求B 沿斜面运动的过程中对A 做的功。
跟踪训练3．（2025·湖南省长沙市周南中学·二模）（多选）无风的情况下，在离地面高为
处，将质量
为
的球以速度
水平抛出，球在空气中运动时所受的阻力大小
是球的速度，
是已知的常数，
阻力的方向与速度方向相反，并且球在着地前已经竖直向下做匀速运动。已知重力加速度为
，则下列说
法中正确的是（ ）
A. 球着地前瞬间的速度大小为
B. 从球抛出到落地，球位移的水平分量
C. 球从抛出到着地过程中克服空气阻力做的功
D. 其他条件不变，若将球从同一地点由静止释放，则两种情况下球
空中运动时间相同
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考点三 功率的分析与计算
典例1．（2025·广东省·一模）如图所示，两个完全相同的小球
、
，在同一高度处以相同大小的初速度
分别水平抛出和竖直向上抛出，则（ ）
A. 两小球落地时的速度相同
B. 两小球落地时，重力的瞬时功率相同
C. 从开始运动至落地，重力对两小球做功相同
D. 从开始运动至落地，重力对两小球做功的平均功率相同
典例2．（2025·山东省潍坊市·二模）（多选）如图所示，半径为R 的光滑圆环固定在竖直平面内，a 为圆
环上最高点，c 为圆环上最低点，圆环上b、d 两点与圆心等高。原长为2R 的轻弹簧一端固定在d 点，另
一端与小球栓接，小球套在圆环上，从a 点由静止释放，经b 点下滑至c 点，下列说法正确的是（ ）
A. 由a 到b 过程，重力的瞬时功率一直变大
B. 由a 到b 过程，弹簧弹力的瞬时功率一直变大
C. 由a 到c 过程，重力的平均功率大于弹簧弹力的平均功率
D. 由a 到c 过程，小球的机械能一直变大
典例3．（2025·江苏省常州市前黄高级中学·二模）高空坠物事件频发，危害巨大。现有一重物在无风的情
况下从高空被斜向下抛出，如图所示。已知重物所受空气阻力的大小与坠落速率成正比，则该重物在下落
过程中重力的瞬时功率P 随时间t 变化的图像可能是（ ）
10
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A.
B.
C.
D.
跟踪训练1．（2025·广西壮族自治区河池市·二模）穿越机比无人机有着更高的速度，更强的机动性。如图，
某穿越机沿水平方向做加速直线运动，某时刻空气对其作用力F 与运动方向成θ 夹角，速度为v，穿越机
重力为G，则此时（ ）
A. 重力的功率为
B. 重力的功率为
C. 空气对其作用力的功率为
D. 空气对其作用力的功率为
跟踪训练2．（2025·湖南省长沙麓山国际实验学校·二模）（多选）如图所示，运动场上，一位同学将铅球
抛出，铅球做斜抛运动。如果不计空气阻力，关于铅球抛出后在空中的运动，下列说法正确的是（ ）
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A. 在相等的时间内铅球的速度变化量都相等
B. 铅球所受重力的瞬时功率与时间成正比
C. 铅球在运动过程中处于失重状态
D. 在任意相等时间内铅球动能的变化量相等
跟踪训练3．（2025·湖南省常德市·二模）（多选）汽车工程学中将加速度随时间的变化率称为急动度
，
急动度
是评判乘客是否感到舒适的重要指标。了解“急动度”有助于我们在日常驾驶中采取更合理的驾
驶习惯，保护车辆，延长其使用寿命。一辆汽车沿平直公路以
的速度做匀速运动，
时刻
开始加速，0~12.0s 内汽车运动过程的急动度随时间变化的图像如图所示。已知该汽车质量
，
运动过程中所受阻力
。则（ ）
A. 急动度
，其中
为加速度
B. 汽车在
内做匀加速直线运动
C. 在
内，汽车牵引力等于所受阻力
D.
时，汽车牵引力的功率为
考点四 机车功率
典例1．（2025·重庆市·三模）中国高铁交通运行举世瞩目。设定某高铁运行时所受阻力大小f 与车速v 之
间的关系为
（k 为定值），在甲、乙两段水平轨道上匀速直线行驶的速度大小分别为300km/h、
200km/h。则该高铁在甲、乙两段水平轨道上匀速直线行驶时，其发动机的输出功率的比值为（ ）
A.
B.
C.
D.
典例2．（2025·宁夏回族自治区银川一中·一模）目前，我国在人工智能和无人驾驶技术方面已取得较大突
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破．为早日实现无人驾驶，某公司对汽车性能进行了一项测试，让质量为m 的汽车沿一山坡直线行驶．测
试中发现，下坡时若关掉油门，则汽车的速度保持不变；若以恒定的功率P 上坡，则从静止启动做加速运
动，发生位移s 时速度刚好达到最大值vm．设汽车在上坡和下坡过程中所受阻力的大小分别保持不变，下
列说法正确的是
A. 关掉油门后的下坡过程，汽车的机械能守恒
B. 关掉油门后的下坡过程，坡面对汽车的支持力的冲量为零
C. 上坡过程中，汽车速度由
增至
，所用的时间可能等于
D. 上坡过程中，汽车从静止启动到刚好达到最大速度vm，所用时间一定小于
典例3．（2025·天津市和平区·一模）一款能垂直起降的遥控无人机质量m=200kg，发动机的功率最大值
Pm =24000W， 最大竖直升力Fm = 3000N ，执行侦察任务时悬停在离地高度h1= 200m 的高空。执行任务
后需要尽快竖直上升到离地高度超过h2=238.4m 的安全区域。忽略空气阻力，g 取10m/s2。求：
（1）该过程的最大上升速度大小；
（2）若执行任务后，无人机立即以最大升力上升，求到达最大功率所用的时间t1；
（3）在（2）的基础上，以最大功率继续上升，求到达安全区域需要的时间t2（到达安全区域之前已经达
到最大速度）。
跟踪训练1．（2025·河南省郑州市登封市·一模）铁路提速要解决许多技术问题，其中提高机车牵引力功率
是一个重要问题．已知列匀速运动时，列车所受阻力与速度的平方成正比，即
．设提速前最大速
度为
，提速后最大速度为
，则提速前与提速后，机车牵引力的功率之比为（ ）
A.
B.
C.
D.
跟踪训练2．（2025·湖南省长沙麓山国际实验学校·二模）（多选）目前，世界上最先进的起重机是我国的
“XCA4000”轮式起重机，满足170 米的吊装高度，230 吨的极限吊装重量。被誉为“全球第一吊”，将质量m
的重物悬空静止后，由静止开始以加速度为a 匀加速向上提升重物，经过时间t 达到额定功率P，重力加速
度为g，下面说法正确的是（ ）
A. 重物匀速的最大速度为
B. 重物匀速的最大速度为
C. 重物的机械能增量为
D. 起重机达到额定功率
跟踪训练3．（2025·辽宁省辽西重点高中·二模）一款能垂直起降的遥控无人机质量m = 200 kg，发动机的
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功率最大值Pm = 24000 W，最大竖直升力Fm = 3000 N，执行侦察任务时悬停在离地高度h1 = 189.6 m 的
高空。执行任务后需要尽快竖直上升到离地高度超过h2 = 240 m 的安全区域。忽略空气阻力，g 取10
m/s2。求：
（1）该过程的最大上升速度大小与最大上升加速度大小；
（2）执行任务后，无人机立即以最大竖直升力上升，到最大功率时所用的时间及该过程位移的大小；
（3）执行任务后，为尽快到达安全区域，无人机至少需要运动的时间（到达安全区域之前已经达到最大
速度）。
1．（2025·福建省·二模）如图所示为某同学投篮时的情景，篮球在空中划出一道美妙的弧线后精准进入篮
框，不计空气阻力，则篮球飞行过程中（ ）
A. 加速度先减小后增大
B. 动能先减小后增大
C. 机械能先增大后减小
D. 重力的功率先增大后减小
2．（2025·黑龙江省名校协作体·一模）如图所示，将完全相同的小球1、2 从同一高度处同时由静止释放，
其中斜面固定在地面上且表面光滑，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A. 两个小球同时落地
B. 两个小球落地瞬间的速度相同
C. 两个小球落地瞬间的动能相同
D. 两个小球落地瞬间重力的功率相同
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3．（2025·天津市河北区·二模）航母上的舰载机采用滑跃式起飞，故甲板是由水平甲板和上翘甲板两部分
构成。为了便于研究舰载机的起飞过程，假设上翘甲板BC 是与水平甲板AB 相切的一段圆弧，示意如图
所示，AB 长
，BC 水平投影
，图中C 点切线方向与水平方向的夹角
（
）。若舰载机从A 点由静止开始做匀加速直线运动，经t=6 s 到达B 点进入BC。已知飞行
员的质量
，g 取10 m/s2，求：
（1）舰载机水平运动
过程中，飞行员受到的水平力所做功W；
（2）舰载机刚进入BC 时，飞行员受到竖直向上的压力FN多大。
4. （2025·黑龙江省哈尔滨市阿城区第一中学校·二模）2025 年1 月7 日，中国航天实现开门红，实践25 号
双机械臂的在轨服务卫星成功发射，标志我国在该领域技术水平居于世界前列。研发过程中，实验室测试
机械臂抛投物体，把质量为m 的小球从同一高度的A、B 两点抛出，均能垂直击中竖直墙壁上的目标点P，
轨迹如图。忽略空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A. A 点抛出的初速度的竖直分量更大
B. B 点抛出的运动时间更长
C. 两抛体击中P 点时速度大小相等
D. A 点抛出时机械臂对物体做功更多
5．（2025·福建省宁德市·三模）滑板运动由冲浪运动演变而来，已被列为奥运会正式比赛项目。如图所示，
某滑板爱好者从斜坡上距平台
高处由静止开始下滑，水平离开A 点后越过壕沟落在水平地面的
B 点，A、B 两点高度差
，水平距离
。已知人与滑板的总质量
，取重力加速度
，不计空气阻力，求：
（1）人与滑板从A 点离开时的速度大小；
（2）人与滑板从A 点运动到B 点重力做功的平均功率；
（3）人与滑板从斜坡下滑到A 点过程克服阻力做的功。
6．（2025·甘肃省·二模）如图所示，是我国某型号“双引擎”汽车在平直公路上由静止启动时，牵引力
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随时间变化的图像。已知该汽车质量为
，行驶时所受阻力恒为
，
时刻汽车达到
的临界速度并自动切换引擎，此后保持牵引力功率恒定。下列说法正确的是（ ）
A. 汽车刚启动时的加速度大小为
B.
时刻前，汽车牵引力的功率保持不变
C. 切换引擎后，汽车做匀加速直线运动
D.
时刻汽车的速率为
7．（2025·四川省眉山市·一诊） 2024 年7 月四川籍运动员邓雅文在奥运会赛场上获得自由式小轮车比赛
冠军，比赛场景及简化图如图所示。某段比赛中运动员骑着小轮车仅靠惯性向下经历一段竖直平面内的曲
面轨道直到水平地面，已知曲面轨道与水平地面平滑连接，空气阻力不可忽略。则在该过程中运动员（
）
A. 一直处于失重状态
B. 机械能一定减小
C. 惯性越来越大
D. 重力的功率一直增大
8．（2025·湖北省黄石市第二中学·二模）荡秋千是孩子们喜欢的一项运动。如图所示，秋千由两根长度均
为L 的细绳悬挂于固定横梁上，质量为m 的小孩坐在秋千座椅上，初始时，大人用一水平外力使秋千静止，
此时两绳与竖直方向夹角均为
。不计秋千的质量，小孩可视为质点。重力加速度为g。
（1）当秋千静止时，求水平外力的大小F。
（2）将秋千从静止释放，秋千自由摆动，若不计空气阻力，求秋千摆到最低点时每根绳子的拉力大小T。
（3）若考虑空气阻力，求秋千从静止释放到停下
过程中空气阻力所做的功
。
9．（2025·湖北省黄石市第二中学·一模）随着低空经济的发展，小型电动飞机将成为人们的通勤选择。现
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有某款新型号电动飞机，工程技术人员通过研究空气阻力对飞机运动的影响，验证飞机气动布局性能。如
图所示，在平直跑道上，技术人员调整飞机动力输出单元，使飞机在大小为
的恒定牵引力作用下由静止
开始加速运动，发现经时间
飞机的速度不再增加。已知飞机的质量为
，飞机所受阻力大小
，
其中
为常数，不计飞机轮胎与地面间的滚动摩擦，下列说法正确的是（ ）
A.
时间内飞机滑行的距离
B. 驱动飞机的电机输出功率随时间线性增大
C. 若
时刻飞机刚好达到额定功率
，则
D.
时间内飞机克服阻力所做的功
10．（2025·广东省揭阳市·一模）（多选）一只半径为R 的半球形碗固定不动，碗的内壁光滑，碗口水平，
O 点为球心，A、B 均为碗内壁上的点，且A 点是最低点，B 点与圆心等高，C 点是圆弧AB 的中点（点
O、A、B、C 在同一竖直平面内）重力加速度大小为g。有一只质量为m 的小球静止在碗底部，现对小球
施加一水平恒力F，则（ ）
A. 若
，小球将有可能到达B 点
B. 若F=mg，小球将一定到达B 点
C. 若F=mg，小球经过C 点时，合力的功率最大
D. 若F=2mg，小球从最低点到其轨迹最高点过程中机械能的增量为6mgR
11.（2025·黑龙江省哈尔滨市阿城区第一中学校·二模）（多选）哈尔滨至齐齐哈尔高铁动车组共8 节，由
4 节动车和4 节拖车编组而成，每节动车额定功率为
，行驶时阻力与车重成正比。若动车组以最大速度
行驶，下列说法正确
是（ ）
A. 关闭发动机后滑行距离与速度平方成正比
B. 保持额定功率行驶，速度为
时加速度为
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C. 若改为6 节动车，2 节拖车，动车组最大速度变为
D. 乘客站立时，车厢对其作用力包含支持力和向心力
1．（2025·福建省龙岩市·一模）一辆汽车在夜间以速度
匀速行驶，驶入一段照明不良的平直公路时，司
机迅速减小油门，使汽车的功率减小为某一定值，此后汽车的速度
与时间的关系如图所示。设汽车行
驶时所受的阻力恒定为
，汽车的质量为
，则下列说法正确的是（ ）
A.
时刻，汽车的功率减小为
B. 整个减速过程中，汽车的牵引力不断变小
C. 整个减速过程中，克服阻力做功大于
D. 整个减速过程中，汽车牵引力的冲量大小为
2．（2025·黑龙江省哈尔滨市第三中学校·三模）研发小组在平直的封闭道路上测试某无人驾驶汽车的性能，
当汽车的速度为
时开始无动力滑行，此刻作为计时起点，经时间
后以额定功率
加速行驶，
时刻达
到最大速度
，用电脑记录汽车的速度—时间（v-t）图像如图所示，汽车的总质量为m，行驶过程中受到
的阻力f 保持不变，则下列表述中正确的是（ ）
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A. 汽车受到的阻力为
B. 汽车的最大速度为
C. 汽车加速过程的位移为
D. 汽车在
时间内牵引力做功为
3．（2025·江苏省苏州市南京航空航天大学苏州附属中学·一模）如图所示， O 为固定在地面上的铰链，A
球通过铰链用轻杆分别连接于O、B 球。 现对 B 球施加水平推力F，使系统处于静止状态，此时两杆间
的夹角α=60°。撤去F 后，A、B 在同一竖直平面内运动。已知两球质量均为 m，杆长均为L，重力加速度
为g， 忽略一切摩擦。求：
（1） 推力F 的大小；
（2）两杆间的夹角变为120°时， B 球动能；
（3）A 球落地时重力的功率。
4．（2025·甘肃省·二模）为了将质量
的货物（可视为质点）从平台
平稳运送到平台
上，某
兴趣小组设计了如图所示的传送装置。平台
左端的竖直墙壁上固定一水平轻弹簧（弹簧自然长度小于
平台
的长度），将货物向左压缩弹簧至
点后由静止释放（弹簧在弹性限度范围内），货物能从
点
滑出，并恰好沿着与
点相切的方向进入圆心角为
、半径
的竖直固定光滑圆弧轨道内侧做圆
周运动。从圆弧轨道最低点
水平滑出后，又立即滑到与
点等高、原来静止在光滑水平地面的长木板
上，并与木板摩擦使其向右运动，木板与平台
相碰时被立即锁定，货物滑行到与木板等高的平台
上。
已知
间的水平距离
，货物通过
点时对圆弧轨道的压力大小等于
，木板长度为
，质
量
，木板右端距离平台
左侧的初始距离为，货物与平台
、长木板之间的动摩擦因数均
为
，空气阻力和其余摩擦均忽略不计，
，求：
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（1）货物经过
点时的速度大小（结果可保留根号）；
（2）弹簧弹力对货物做的功
；
（3）要使货物能滑上平台
，木板长度
与初始距离需满足怎样的关系（复杂的不等式组写出关系式即
可）。
5．（2025·湖南省怀化市·二模）如图所示装置，可以将一质量为m＝1kg 的小球（可视为质点）从地面缓
慢抬升至任意高度后再以任意速度水平打出。若需要将小球一次性投入（不与地面发生碰撞）距发射台l
＝4m 的收集孔里，则装置对小球做的功至少为（忽略一切阻力，g＝10m/s²）（ ）
A. 20 J
B. 30 J
C. 40 J
D. 50 J
6．（2025·云南省怒江州民族中学·三模）（多选）如图所示，质量m=2kg 的物体（可看质点）静置在倾角
为37°粗糙斜面上的A 点，现利用固定在B 点的电动机通过跨过斜面顶端光滑小定滑轮的轻绳将该物体从A
点拉升到斜面顶端O 点，轻绳均与所在的斜面和平面平行。物体与斜面间的动摩擦因数μ=0.25，轻绳可承
受最大的力F=20N，电动机的额定功率P=320W，AO 的距离s=175m。若要用最短的时间将物体拉到斜面
顶端O 点，且物体到达O 点前已经达到最大速度。则（已知sin37°=0.6，重力加速度取g=10m/s2）
（ ）
A. 物体运动过程中的最大速度v=16m/s
B. 物体上升过程中最大的加速度am=2m/s2
C. 在将物体从A 拉到O 点的过程中，电动机共做功3200J
D. 物体从A 运动到O 共用时14s
7．（2025·湖南省岳阳市·二模）（多选）如图所示，一劲度系数
的弹性绳一端系于
点，绕过
处的小滑轮，另一端与质量为
、套在粗糙竖直固定杆
处的圆环相连，
、
、
三点等高，弹性绳的
原长恰好等于
间距，圆环与杆间的动摩擦因数为0.5.在竖直向上的外力
作用下将滑环从与
点等高的
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点缓慢移动到
点（图中未标出），在
点处外力
恰好为零。已知
、
两点间距为
，弹性绳受到
的拉力与伸长量的关系始终遵循胡克定律，重力加速度为
。则下列说法正确的是（ ）
A. 滑环从
点缓慢移动到
点的过程中，圆环所受的摩擦力始终为
B. 滑环从
点缓慢移动到
点的过程中，外力先增大后减小
C. 滑环静止在
点时，撤去外力，滑环运动过程中最大动能为
D. 滑环静止在
点时，撤去外力，滑环能运动至最低点
，则滑环从
点第一次运动至最低点
所需要
的时间等于从
点运动到
点时间的2 倍
8．（2025·云南省丽江市第一高级中学·二模）（多选）如图，轻质定滑轮固定在天花板上，物体
和
用
不可伸长的轻绳相连，悬挂在定滑轮上，质量
，
时刻将两物体由静止释放，物体
的加速
度大小为
。
时刻轻绳突然断开，物体
能够达到的最高点恰与物体
释放位置处于同一高度，取
时刻物体
所在水平面为零势能面，此时物体
的机械能为
。重力加速度大小为
，不计摩擦和空
气阻力，两物体均可视为质点。下列说法正确的是（ ）
A. 物体
和
的质量之比为
B.
时刻物体
的机械能为
C.
时刻物体
重力的功率为
D.
时刻物体
的速度大小
9．（2025·宁夏回族自治区吴忠市盐池县·二模）（多选）如甲图所示，顺时针旋转的传送带的速度为
，
传送带右端有一固定在墙上的轻质弹簧，弹簧的劲度系数为
。将一可视为质点、质量为
的物块由静止
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轻放在传送带左端，乙图为物块运动的
图像，图中
和
已知，重力加速度为
，弹簧始终处于弹性
限度内，下列说法正确的是（ ）
A. 物块与传送带之间的动摩擦因数为
B. 0 时刻
与弹簧左端的距离为
C. 从0 时刻到
时刻，传送带因运送物块而多做的功为
D. 从
时刻到弹簧压缩到最短，物块所受摩擦力做的功为
10．（2025·宁夏回族自治区吴忠市盐池县·一模）如图所示，倾角θ=37°的固定斜面上有一点O，斜面上O
点以下的部分光滑，O 点以上的部分粗糙。斜面底端有一固定挡板，挡板上连接一轻质弹簧，弹簧上端连
接一质量为m 的可视为质点的物块A，弹簧处于自然长度时A 位于O′点，O 与O′间的距离为d。在弹簧的
作用下，A 恰能无摩擦地静止于O 点。现用沿斜面向下的外力推动A，使其从O 缓慢下移距离d。接着撤
去外力，此后A 沿斜面最高运动至OO′的中点。设弹簧均在弹性限度内，已知弹簧弹性势能表达式为
，其中k 与x 分别为弹簧劲度系数与形变量大小，重力加速度为g，sin37°=0.6。
（1）求外力对物体A 做的功；
（2）已知物体仅在轻弹簧弹力与一恒力的作用下沿轻弹簧方向做直线运动的过程（如吊在天花板上的竖
直弹簧振子），可视为一段简谐运动，且这样的简谐运动周期只与振子质量与弹簧劲度系数有关。求物块
A 静止释放后第一次沿斜面向上运动过程中，在光滑部分与粗糙部分运动的时间之比；
（3）现有另一质量为2m 的可视为质点的物块B，其与斜面粗糙部分间的动摩擦因数为
，将物体A 重
新静置于O 点，并使物块B 从上端滑下，滑到O′时动能为Ek0（图中未画出），两物块发生完全非弹性碰
撞但不粘连。已知此后A、B 两物块首次分离时，二者的速度恰好为0，求上述Ek0所满足的条件。
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11.（2025·福建省福州第一中学·一模）（多选）水平力F 方向确定，大小随时间变化如图中所示。用力F
拉静止在水平桌面上的小物块，物块质量为1kg，在F 从0 开始逐渐增大的过程中，物块的加速度随时间
变化如图乙所示，取g=10m/s2，由图像可知（ ）
A. 小物块所受滑动摩擦力的大小为6N
B. 4s 时小物块的速度为8m/s
C. 在0~4s 时间内，合外力的功为64J
D. 在0~4s 时间内，摩擦力的冲量大小为16N·s
1．（2025 年四川卷第7 题）如图所示，倾角为
的光滑斜面固定在水平地面上，安装在其顶端的电动
机通过不可伸长轻绳与小车相连，小车上静置一物块。小车与物块质量均为m，两者之间动摩擦因数为
。电动机以恒定功率P 拉动小车由静止开始沿斜面向上运动。经过一段时间，小车与物块的速度刚好
相同，大小为
。运动过程中轻绳与斜面始终平行，小车和斜面均足够长，重力加速度大小为g，忽略其
他摩擦。则这段时间内（ ）
A. 物块的位移大小为
B. 物块机械能增量为
C. 小车的位移大小为
D. 小车机械能增量为
2. （2025 年山东卷第5 题）一辆电动小车上的光伏电池，将太阳能转换成的电能全部给电动机供电，刚好
维持小车以速度v 匀速运动，此时电动机的效率为
。已知小车的质量为m，运动过程中受到的阻力
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（k 为常量），该光伏电池的光电转换效率为
，则光伏电池单位时间内获得的太阳能为（ ）
A.
B.
C.
D.
3. （2025 年广西卷第12 题）图甲为某智能分装系统工作原理示意图，每个散货经倾斜传送带由底端A 运
动到顶端B 后水平抛出，撞击冲量式传感器使其输出一个脉冲信号，随后竖直掉入以与水平传送带共速度
的货箱中，此系统利用传感器探测散货的质量，自动调节水平传送带的速度，实现按规格分装。倾斜传送
带与水平地面夹角为
，以速度
匀速运行。若以相同的时间间隔
将散货以几乎为0 的速度放置在倾
斜传送带底端A，从放置某个散货时开始计数，当放置第10 个散货时，第1 个散货恰好被水平抛出。散货
与倾斜传送带间的动摩擦因数
，到达顶端前已与传送带共速。设散货与传感器撞击时间极短，撞
击后竖直方向速度不变，水平速度变为0。每个长度为d 的货箱装总质为M 的一批散货。若货箱之间无间
隔，重力加速度为g。分装系统稳定运行后，连续装货，某段时间传感器输出的每个脉冲信号与横轴所围
面积为I 如图乙，求这段时间内：
（1）单个散货的质量。
（2）水平传送带的平均传送速度大小。
（3）倾斜传送带的平均输出功率。
4. （2025 年广东卷第14 题）如图所示，用开瓶器取出紧塞在瓶口的软木塞时，先将拔塞钻旋入木塞内，
随后下压把手，使齿轮绕固定支架上的转轴转动，通过齿轮啮合，带动与木塞相固定的拔塞钻向上运动。
从0 时刻开始，顶部与瓶口齐平的木塞从静止开始向上做匀加速直线运动，木塞所受摩擦力f 随位移大小x
的变化关系为
，其中
为常量，h 为圆柱形木塞的高，木塞质量为m，底面积为S，加速度
为a，齿轮半径为r，重力加速度为g，瓶外气压减瓶内气压为
且近似不变，瓶子始终静止在桌面上。
（提示：可用
图线下的“面积”表示f 所做的功）求：
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（1）木塞离开瓶口的瞬间，齿轮的角速度
。
（2）拔塞的全过程，拔塞钻对木塞做的功W。
（3）拔塞过程中，拔塞钻对木塞作用力的瞬时功率P 随时间t 变化的表达式。
5. （2024 年山东卷第7 题）如图所示，质量均为m 的甲、乙两同学，分别坐在水平放置的轻木板上，木
板通过一根原长为l 的轻质弹性绳连接，连接点等高且间距为d（d<l）。两木板与地面间动摩擦因数均为
μ，弹性绳劲度系数为k，被拉伸时弹性势能E=
kx2（x 为绳的伸长量）。现用水平力F 缓慢拉动乙所坐木
板，直至甲所坐木板刚要离开原位置，此过程中两人与所坐木板保持相对静止，k 保持不变，最大静摩擦
力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，则F 所做的功等于（ ）
A.
B.
C.
D.
6.（2024 年新课标卷第11 题）将重物从高层楼房的窗外运到地面时，为安全起见，要求下降过程中重物与
楼墙保持一定的距离。如图，一种简单的操作方法是一人在高处控制一端系在重物上的绳子P，另一人在
地面控制另一根一端系在重物上的绳子Q，二人配合可使重物缓慢竖直下降。若重物的质量
，
重力加速度大小
，当P 绳与竖直方向的夹角
时，Q 绳与竖直方向的夹角
（1）求此时P、Q 绳中拉力的大小；
（2）若开始竖直下降时重物距地面的高度
，求在重物下降到地面的过程中，两根绳子拉力对重
物做的总功。
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7. （2024 年江西卷第5 题）庐山瀑布“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”瀑布高150m，水流量
10m3/s，假设利用瀑布来发电，能量转化效率为70%，则发电功率为（ ）
A. 109
B. 107
C. 105
D. 103
8. （2024·江苏卷·第14 题）如图所示，粗糙斜面的动摩擦因数为μ，倾角为θ，斜面长为L。一个质量为m
的物块，在电动机作用下，从 A 点由静止加速至 B 点时达到最大速度v，之后作匀速运动至C 点，关闭电
动机，从 C 点又恰好到达最高点D。求：
（1）CD 段长x；
（2）BC 段电动机的输出功率P；
（3）全过程物块增加的机械能E1和电动机消耗的总电能 E2的比值。
9. （2024·上海卷·第4 题）一辆质量
的汽车，以
的速度在平直路面上匀速行
驶，此过程中发动机功率
，汽车受到的阻力大小为______N。当车载雷达探测到前方有障码物
时，主动刹车系统立即撤去发动机驱动力，同时施加制动力使车辆减速。在刚进入制动状态的瞬间，系统
提供的制动功率
，此时汽车的制动力大小为______N，加速度大小为______
。（不计传动
装置和热损耗造成的能量损失）
10. （2023 年北京卷第11 题）如图所示，一物体在力F 作用下沿水平桌面做匀加速直线运动。已知物体质
量为m，加速度大小为a，物体和桌面之间的动摩擦因数为
，重力加速度为g，在物体移动距离为x 的过
程中（ ）
A. 摩擦力做功大小与F 方向无关
B. 合力做功大小与F 方向有关
C. F 为水平方向时，F 做功为
D. F 做功的最小值为
11. （2023 年江苏卷第11 题）滑块以一定的初速度沿粗糙斜面从底端上滑，到达最高点B 后返回到底端。
利用频闪仪分别对上滑和下滑过程进行拍摄，频闪照片示意图如图所示。与图乙中相比，图甲中滑块（
）
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A. 受到的合力较小
B. 经过A 点的动能较小
C. 在A、B 之间的运动时间较短
D. 在A、B 之间克服摩擦力做的功较小
12. （2023 年新课标卷第2 题）无风时，雨滴受空气阻力的作用在地面附近会以恒定的速率竖直下落。一
质量为m 的雨滴在地面附近以速率v 下落高度h 的过程中，克服空气阻力做的功为（重力加速度大小为
g）（ ）
A. 0 B. mgh C.
D.
13. （2023 年湖南卷第8 题）（多选）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC 由直线段AB 和圆弧段BC
组成，两段相切于B 点，AB 段与水平面夹角为θ，BC 段圆心为O，最高点为C、A 与C 的高度差等于圆弧
轨道的直径2R。小球从A 点以初速度v0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C 点，下列说法正确的是（
）
A. 小球从B 到C 的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B. 小球从A 到C 的过程中，重力的功率始终保持不变
C. 小球的初速度
D. 若小球初速度v0增大，小球有可能从B 点脱离轨道
14. （2023 年辽宁卷第3 题）如图（a），从高处M 点到地面N 点有Ⅰ、Ⅱ两条光滑轨道。两相同小物块甲、
乙同时从M 点由静止释放，沿不同轨道滑到N 点，其速率v 与时间t 的关系如图（b）所示。由图可知，两
物块在离开M 点后、到达N 点前的下滑过程中（ ）
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A. 甲沿I 下滑且同一时刻甲的动能比乙的大
B. 甲沿Ⅱ下滑且同一时刻甲的动能比乙的小
C. 乙沿I 下滑且乙的重力功率一直不变
D. 乙沿Ⅱ下滑且乙的重力功率一直增大
15.（2023 年山东卷第4 题） 《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引
水过程简化如下：两个半径均为R 的水轮，以角速度ω 匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有
n 个，与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m 的水，其中的60%被输送到高出水面H 处
灌入稻田。当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为（ ）
A.
B.
C.
D. nmgωRH
16. （2023 年湖北卷第4 题）两节动车的额定功率分别为
和
，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别
为
和
。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上
能达到的最大速度为（ ）
A.
B.
C.
D.
17. （2023 年山东卷第8 题）质量为M 的玩具动力小车在水平面上运动时，牵引力F 和受到的阻力f 均为
恒力，如图所示，小车用一根不可伸长的轻绳拉着质量为m 的物体由静止开始运动。当小车拖动物体行驶
的位移为
时，小车达到额定功率，轻绳从物体上脱落。物体继续滑行一段时间后停下，其总位移为
。
物体与地面间的动摩擦因数不变，不计空气阻力。小车的额定功率P0为（ ）
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B.
C.
D.
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