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第19 讲 功与功率
目录
01、考情透视，目标导
航
02、知识导图，思维引航.............................................................................................3
03、考点突破，考法探究.............................................................................................3
考点一 功的分析和计算....................................................................................................................3
知识点1．做功的两个要素...................................................................................................3
知识点2．恒力功...................................................................................................................4
知识点3．功的正负...............................................................................................................4
知识点4．变力功的计算方法...............................................................................................4
考向1 功的正负判断...........................................................................................................5
考点2 恒力做功及总功的计算.............................................................................................5
考点二 求变力做功的五种方法........................................................................................................7
考察动向................................................................................................................................................8
考向1 利用微元法求变力做功.............................................................................................8
考向2．化变力为恒力求变力做功.......................................................................................9
考向3 利用平均力求变力做功.........................................................................................10
考向4 利用F-x 图像求变力做功......................................................................................11
考向5 利用动能定理求变力做功.......................................................................................11
考点三 功率的理解与计算................................................................................................................12
考察动向..............................................................................................................................................12
考向1 对功率的理解.........................................................................................................12
考向2 瞬时功率的分析与计算.........................................................................................13
考向3 平均功率的分析与计算.........................................................................................14
考点四 机车启动问题........................................................................................................................14
知识点1．两种启动方式.....................................................................................................14
知识点2．三个重要关系.....................................................................................................15
考察动向..............................................................................................................................................15
考向1 恒定功率启动问题...................................................................................................15
考向2 恒定加速度启动问题...............................................................................................17
04、真题练习，命题洞见............................................................................................................................18
考情
分析
2024·海南·高考物理试题
1
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2024·浙江·高考物理试题
2024·江西·高考物理试题
2024·广西·高考物理试题
2024·福建·高考物理试题
2023·广东·高考物理试题
2023·山东·高考物理试题
2023·天津·高考物理试题
复习
目标
目标1.理解功的概念，会判断正、负功，会计算功的大小。
目标2.理解功率的概念，会求解平均功率和瞬时功率。
目标3.会分析、解决机车启动的两类问题。
2
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考点一 功的分析和计算
知识点1．做功的两个要素
(1)作用在物体上的_____。
(2)物体在力的方向上发生______。
知识点2．恒力功
公式：W＝Flcos α。
(1)α 是力与______方向之间的夹角，l 为_______的位移。
(2)该公式只适用于______做功。
(3)合外力做的功
方法一：先求合外力F 合，再用W 合＝F 合lcos α 求功。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W 合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功。
方法三：利用动能定理W 合＝Ek2－Ek1。
知识点3．功的正负
(1)当0≤α＜90°时，W＞0，力对物体做______。
(2)当90°＜α≤180°时，W＜0，力对物体做______，或者说物体_____这个力做了功。
(3)当α＝90°时，W＝0，力对物体_______。
知识点4．变力功的计算方法
(2)求变力做功的常用方法
①微元法求变力做功
将物体的位移分割成许多小段，因每一小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将
变力做功转化为在无数个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和。
②平均值法求变力做功
若物体受到的力的方向不变，而大小随位移是呈线性变化的，即力随位移均匀变化时，则可以认为物体受
3
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到一大小为＝的恒力作用，F1、F2分别为物体初、末态所受的力，然后用公式W＝l 求此力所做的功。
③用F－x 图像求变力做功
在F－x 图像中，图线与x 轴所围“面积”的代数和就表示力F 在这段位移所做的功，且位于x 轴上方的
“面积”为正功，位于x 轴下方的“面积”为负功。
④用W＝Pt 求变力做功
若机车以恒定功率行驶，在一定时间内机车牵引力做的功W＝Pt。
⑤应用动能定理求变力做功。
考向1 功的正负判断
1.图甲为一女士站在台阶式自动扶梯上匀速上楼(忽略扶梯对手的作用)，图乙为一男士站在履带式自动扶
梯上匀速上楼，两人相对扶梯均静止。下列关于做功的判断中正确的是( )
A．图甲中支持力对人做正功
B．图甲中摩擦力对人做负功
C．图乙中支持力对人做正功
D．图乙中摩擦力对人做负功
考点2 恒力做功及总功的计算
1.(多选)一位质量m＝60 kg 的滑雪运动员从高h＝10 m 的斜坡自由下滑，如图1 所示，如果运动员在下滑
过程中受到的阻力f＝50 N，斜坡的倾角θ＝30°，重力加速度g 取10 m/s2，运动员滑至坡底的过程中，关
于各力做功的情况，下列说法正确的是( )
A.重力做的功为6 000 J
B.阻力做的功为1 000 J
C.支持力不做功
4
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D.各力做的总功为零
2.如图所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2 kg 的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，在升降机
以5 m/s 的速度匀速上升4 s 的过程中。g 取10 m/s2，求：
(1)斜面对物体的支持力所做的功；
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功；
(3)物体重力所做的功；
(4)合外力对物体所做的功。
3.北京冬奥会后，冰雪运动蓬勃发展，如图所示，某滑雪者由静止开始沿斜坡从A 点自由滑下，然后在水
平面上前进至B 点停下。已知斜坡、水平面与滑雪板之间的动摩擦因数皆为μ，滑雪者(包括滑雪板)的质量
为m，A、B 两点间的水平距离为L。在滑雪者经过AB 段运动的过程中，克服摩擦力做的功( )
A．大于μmgL
B．小于μmgL
C．等于μmgL
D．以上三种情况都有可能
考点二 求变力做功的五种方法
变力做功常见的五种计算方法
方法
情境说明
方法总结
微元法
质量为m 的木块在水平面内做圆周运动，运
动一周克服摩擦力做的功为Wf＝Ff·Δx1＋
Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝
Ff·2πR
等效
转换
法
恒力F 把物块从A 拉到B，绳子对物块做的
功为
W＝F·
平均
弹簧由伸长量为x1被继续拉至伸长量为x2的
5
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力法
过程中，克服弹簧弹力做的功为W＝FΔx＝
·(x2－x1)
图像法
在F－x 图像中，图线与x 轴所围“面积”的
代数和就表示力F 在这段位移上所做的功
动能定
理法
用力F 把小球从A 处缓慢拉到B 处，F 做的
功为WF，则有WF－mgL(1－cos θ)＝0，得
WF＝mgL(1－cos θ)
考向1 利用微元法求变力做功
1．(多选)如图所示，在一半径为R＝6 m 的圆弧形桥面的底端A，某人把一质量为m＝8 kg 的物块(可看成
质点)用大小始终为F＝75 N 的拉力从底端缓慢拉到桥面顶端B(圆弧AB 在同一竖直平面内)，拉力的方向
始终与物块在该点的切线成37°角，整个圆弧桥面所对的圆心角为120°，g 取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos
37°＝0.8。在这一过程中，下列说法正确的是( )
A．重力做功为240 J
B．支持力做功为0
C．拉力F 做功约为376.8 J
D．摩擦力做功约为136.8 J
考向2．化变力为恒力求变力做功
2．(多选)如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，滑块用轻绳系着绕过光滑的定滑轮O。现以大小
【题后反思】将物体的位移分割成许多小段，因每一小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以
视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个位移上的恒力所做功的代数和。此法常用于求解大小不
变、方向改变的变力做功问题。
6
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不变的拉力F 拉绳，使滑块从A 点由静止开始上升，滑块运动到C 点时速度最大。已知滑块质量为m，滑
轮O 到竖直杆的距离为d，∠OAO′＝37°，∠OCO′＝53°，重力加速度为g(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝
0.8)。则( )
A．拉力F 大小为mg
B．拉力F 大小为mg
C．滑块由A 到C 过程，轻绳对滑块做的功为mgd
D．滑块由A 到C 过程，轻绳对滑块做的功为mgd
考向3 利用平均力求变力做功
3.如图所示，质量均为m 的A、B 两小物块用轻质弹簧相连，A 放置在光滑水平地面上，一轻绳通过光滑的
定滑轮与物块B 相连(连接物块B 的绳子恰好伸直但不绷紧)，弹簧的劲度系数k。现用一水平向右的拉力F
作用在轻绳上，使物块B 缓慢向上运动，已知重力加速度为g，当A 物块恰好离开地面时，F 所做功为(
)
A.F
B.F
C.
D.
考向4 利用F-x 图像求变力做功
4．(2024·黑龙江大庆高三模拟)一质量为2 kg 的物体， 在水平恒定拉力的作用下，
【题后反思】有些变力做功问题通过转换研究对象，可转化为恒力做功，用W＝Flcos α 求解。此法常用
于轻绳通过定滑轮拉物体做功的问题中。
【题后反思】当物体受到的力方向不变，而大小随位移均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为
＝的恒力作用，F1、F2分别为物体在初、末位置所受到的力，然后用公式W＝lcos α 求此变力所做的功。
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以某一速度在粗糙的水平面上做匀速运动，当运动一段时间后拉力逐渐减小，且当拉力减小到零时，物体
刚好停止运动，图中给出拉力随位移变化的关系图像，则根据以上信息能精确得出或估算得出的物理量有
(取g＝10 m/s2)( )
A．物体与水平面间的动摩擦因数为μ＝0.25
B．物体在8 m 处的加速度为a＝4 m/s2
C．整个过程中拉力做功96 J
D．合力做的功为－32 J
考向5 利用动能定理求变力做功
5．运用动能定理不仅可以较简便地求解一些恒力做功问题，还可求解一些特殊情况下的变力做功问题。
请你解答下面的问题。雨滴在空中下落时会受到空气阻力，空气阻力f 的大小与雨滴下落速率v 的二次方
成正比，即f＝kv2，其中k 为常数。若质量为m 的雨滴，从高h 处以初速度v0竖直加速下落，接近落地前
开始做匀速直线运动。已知重力加速度为g，求该雨滴从高处下落到地面的过程中，空气阻力对其所做的
功。
6．(2023·新课标卷)无风时，雨滴受空气阻力的作用在地面附近会以恒定的速率竖直下落。一质量为m 的
雨滴在地面附近以速率v 下落高度h 的过程中，克服空气阻力做的功为(重力加速度大小为g)( )
A．0
B．mgh
C.mv2－mgh
D.mv2＋mgh
考点三 功率的理解与计算
1．定义：功与完成这些功所用_____之比。
2．物理意义：描述力对物体做功的______。
3．公式：
(1)P＝，P 描述时间t 内力对物体做功的______。
(2)P＝Fvcos α
①v 为平均速度，则P 为______功率。
②v 为瞬时速度，则P 为_______功率。
【题后反思】在F -x 图像中，图线与x 轴所围“面积”的代数和就表示力F 在这段位移内所做的功，且
位于x 轴上方的“面积”为正功，位于x 轴下方的“面积”为负功，但此方法只适用于便于求图线所围
面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。
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考向1 对功率的理解
1．关于某力做功的功率，下列说法正确的是( )
A．该力越大，其功率就越大
B．该力在单位时间内做的功越多，其功率就越大
C．功率越大，说明该力做的功越多
D．功率越小，说明该力做功的时间越少
考向2 瞬时功率的分析与计算
2．(2023·辽宁高考)如图(a)，从高处M 点到地面N 点有Ⅰ、Ⅱ两条光滑轨道。两相同小物块甲、乙同时从
M 点由静止释放，沿不同轨道滑到N 点，其速率v 与时间t 的关系如图(b)所示。由图可知，两物块在离开
M 点后、到达N 点前的下滑过程中( )
A．甲沿Ⅰ下滑且同一时刻甲的动能比乙的大
B．甲沿Ⅱ下滑且同一时刻甲的动能比乙的小
C．乙沿Ⅰ下滑且乙的重力功率一直不变
D．乙沿Ⅱ下滑且乙的重力功率一直增大
【题后反思】对功率的两点说明
(1)物体在发生一段位移过程中所对应的功率为平均功率，物体在某一时刻的功率为瞬时功率。
(2)力对物体做功的多少与地面是否光滑无关，但力对物体做功的功率大小与地面是否光滑有关。
细作2
瞬时功率的分析与计算
【题后反思】瞬时功率公式的理解与应用
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v 为t 时刻的瞬时速度。
(2)利用公式P＝FvF，其中vF为物体的速度 在力F 方向上的分速度。
(3)利用公式P＝Fvv，其中Fv为物体受到的外力F 在速度v 方向上的分力。
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考向3 平均功率的分析与计算
3．(2023·山东高考)《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简
化如下：两个半径均为R 的水轮，以角速度ω 匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n 个，与
水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m 的水，其中的60%被输送到高出水面H 处灌入稻田。
当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为( )
A．
B．
C．
D．nmgωRH
考点四 机车启动问题
知识点1．两种启动方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P-t 图像和
v-t 图像
OA 段过程
分析
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
a＝不变⇒F 不变⇒P＝Fv↑直到P 额＝
Fv1
运动性质
加速度减小的加速运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB 段过程
分析
F＝F 阻⇒a＝0⇒vm＝
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
运动性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的加速运动
BC 段
无
F＝F 阻⇒a＝0⇒以vm＝做匀速运动
【题后反思】平均功率的计算方法
(1)利用P＝求解。
(2)利用P＝Fvcos α 求解，其中v 为物体运动的平均速度。
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知识点2．三个重要关系
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都为vm＝。
(2)机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束后功率最大，速度不是最大，即v＝<vm＝。
(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt，由动能定理得Pt－F 阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车
以恒定功率启动过程的位移、速度或时间。
考向1 恒定功率启动问题
1. (多选)发展新能源汽车是当前一项国家战略，更是世界发展的潮流。假设有一辆纯电动客车质量m＝
1×103 kg，客车沿平直的公路以恒定功率P 从静止开始启动，如图所示为牵引力F 与速度v 的关系图像，
加速过程在图中的B 点结束，所用的时间t＝10 s，10 s 后客车做匀速运动。若客车所受阻力始终不变，下
列说法正确的是( )
A.客车的功率P＝64 kW
B.图中A 点对应的时刻为5 s
C.图中A 点对应时刻客车的加速度大小为4 m/s2
D.0～10 s 客车通过的路程为128 m
2.(多选)一汽车的加速度a 和速度倒数的关系如图所示，图上标的值均为已知量，汽车所受阻力恒定，则(
)
A．汽车牵引力的功率不变
B．汽车的牵引力不变
C．可以求得汽车所受阻力
D．当汽车速度为时，汽车的加速度为a0
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考向2 恒定加速度启动问题
3.(多选)质量m＝200 kg 的小型电动汽车在平直的公路上由静止启动，如图甲表示汽车运动的速度与时间的
关系，图乙表示汽车牵引力的功率与时间的关系。设汽车在运动过程中阻力不变，在18 s 末汽车的速度恰
好达到最大，则下列说法正确的是( )
A.汽车受到的阻力为800 N
B.8～18 s 过程中汽车牵引力逐渐增大
C.0～8 s 过程中汽车牵引力做的功为6.4×104J
D.0～18 s 过程中汽车的位移大小为127.5 m
4.(多选)某兴趣小组对一辆遥控小车的性能进行研究。他们让这辆小车在水平的直轨道上由静止开始运动，
并将小车运动的全过程记录下来，通过处理转化为v-t 图像，如图所示(除2～10 s 时间段图像为曲线外，其
余时间段图像均为直线)。已知在小车运动的过程中，2～14 s 时间段内小车的功率保持不变，在14 s 末停
止遥控而让小车自由滑行，小车的质量为1 kg，可认为在整个运动过程中小车所受到的阻力大小不变。则
下列选项正确的是( )
A．小车两段匀变速直线运动的加速度大小相同
B．小车所受到的阻力为1.5 N
C．小车额定功率为6 W
D．小车在变加速运动过程中位移为36 m
1．（2024·海南·高考真题）神舟十七号载人飞船返回舱于2024 年4 月30 日在东风着陆场成功着陆，在飞
船返回至离地面十几公里时打开主伞飞船快速减速，返回舱速度大大减小，在减速过程中（ ）
A．返回舱处于超重状态
B．返回舱处于失重状态
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C．主伞的拉力不做功
D．重力对返回舱做负功
2．（2024·浙江·高考真题）一个音乐喷泉喷头出水口的横截面积为
，喷水速度约为10m/s，水的
密度为
kg/m3，则该喷头喷水的功率约为（ ）
A．10W
B．20W
C．100W
D．200W
3．（2024·江西·高考真题）庐山瀑布“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”瀑布高150m，水流量
10m3/s，假设利用瀑布来发电，能量转化效率为70%，则发电功率为（ ）
A．109W
B．107W
C．105W
D．103W
4．（2024·广东·高考真题）如图所示，探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞。在接近某行星表面
时以
的速度竖直匀速下落。此时启动“背罩分离”，探测器与背罩断开连接，背罩与降落伞保持连
接。已知探测器质量为1000kg，背罩质量为50kg，该行星的质量和半径分别为地球的
和
。地球表面
重力加速度大小取
。忽略大气对探测器和背罩的阻力。下列说法正确的有（ ）
A．该行星表面的重力加速度大小为
B．该行星的第一宇宙速度为
C．“背罩分离”后瞬间，背罩的加速度大小为
D．“背罩分离”后瞬间，探测器所受重力对其做功的功率为30kW
5.（2023·北京·高考真题）如图所示，一物体在力F 作用下沿水平桌面做匀加速直线运动。已知物体质量为
m，加速度大小为a，物体和桌面之间的动摩擦因数为
，重力加速度为g，在物体移动距离为x 的过程中
（ ）
A．摩擦力做功大小与F 方向无关
B．合力做功大小与F 方向有关
C．F 为水平方向时，F 做功为
D．F 做功的最小值为
6.（2023·山东·高考真题）《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过
程简化如下：两个半径均为R 的水轮，以角速度ω 匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n 个，
与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m 的水，其中的60%被输送到高出水面H 处灌入稻
田。当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为（ ）
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A．
B．
C．
D．nmgωRH
7．（2023·天津·高考真题）2023 年我国首套高温超导电动悬浮全要素试验系统完成首次悬浮运行，实现重
要技术突破。设该系统的试验列车质量为m，某次试验中列车以速率v 在平直轨道上匀速行驶，刹车时牵
引系统处于关闭状态，制动装置提供大小为F 的制动力，列车减速直至停止。若列车行驶时始终受到大小
为f 的空气阻力，则（ ）
A．列车减速过程的加速度大小
B．列车减速过程F 的冲量为mv
C．列车减速过程通过的位移大小为
D．列车匀速行驶时，牵引系统的输出功率为
8．（2023·山东·高考真题）质量为M 的玩具动力小车在水平面上运动时，牵引力F 和受到的阻力f 均为恒
力，如图所示，小车用一根不可伸长的轻绳拉着质量为m 的物体由静止开始运动。当小车拖动物体行驶的
位移为
时，小车达到额定功率，轻绳从物体上脱落。物体继续滑行一段时间后停下，其总位移为
。物
体与地面间的动摩擦因数不变，不计空气阻力。小车的额定功率P0为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2023·湖北·高考真题）两节动车的额定功率分别为
和
，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为
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和
。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能
达到的最大速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2023·广东·高考真题）人们用滑道从高处向低处运送货物．如图所示，可看作质点的货物从
圆弧
滑道顶端
点静止释放，沿滑道运动到圆弧末端
点时速度大小为
。已知货物质量为
，滑道高度
为
，且过
点的切线水平，重力加速度取
。关于货物从
点运动到
点的过程，下列说法正确
的有（ ）
A．重力做的功为
B．克服阻力做的功为
C．经过
点时向心加速度大小为
D．经过
点时对轨道的压力大小为
11．（2024·福建·高考真题）两绳拉木板，每条拉力F = 250N，15s 内匀速前进20m，θ = 22.5°，cos22.5°
≈ 0.9。求：
（1）阻力f 大小；
（2）两绳拉力做的功；
（3）两绳拉力的总功率。
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