第09 讲 抛物线多选题专项训练
目 录
题型01：抛物线定义理解...............................................................................................................................1
题型02：抛物线的简单几何性质....................................................................................................................3
题型03：直线与抛物线的位置关系.................................................................................................................5
题型04：焦点弦问题......................................................................................................................................8
题型05：阿基米德三角形.............................................................................................................................19
题型06：最值范围....................................................................................................................................... 36
题型07：面积问题....................................................................................................................................... 48
题型08：切线问题....................................................................................................................................... 51
题型09：四心问题....................................................................................................................................... 53
题型10：向量问题....................................................................................................................................... 59
题型11：定点定值定直线.............................................................................................................................63
题型01：抛物线定义理解
【典型例题1】已知抛物线
的焦点为
坐
原点，点
为
标
在抛物线
上，若
，
（
则 ）
A．
B．
C．
D．
的坐标为
【答案】ABC
【解析】由抛物线
，可得
，
因
点
为
在抛物线
上，且
，
根据抛物
的定
，可得
线
义
，解得
，
又因为
，所以
，即
，
则
.故
：
选ABC.
【变式训练1-1】已知点
在焦点为
的抛物线
上，其中
是各
均不
项
为
零的数列且
．若
，
（
则 ）
A．
B．数列
等差数列
为
C．
D．
【答案】ACD
【
度】
难
0.4
【知
点】抛物
定
的理解、裂
相消法求和、利用定
求等差数列通
公式、求等差数列前
识
线
义
项
义
项
n
和
项
【分析】由定
将抛物
上点到焦点的距离等于到准
的距离，由
义
线
线
得
，可得
是等差
数列，从而解得A；利用等差数列定
明
义证
，不是常数，故B
；利用放
法列
相消求和判
错误
缩
项
断C；利用并向求和判断D.
【
解】
详
抛物线
的焦点为
，
，
抛物
方程
线
为
，
又
在抛物
上，
线
则
，
，根据抛物
的定
，抛物
上点到焦点的距离等于到准
的距离，
线
义
线
线
准
方程
线
为
，则
，即
，
又
，
，则
，A 正确．
于数列
对
，
，不是常数，
数列
不是等差数列，故B
．
错误
当
，
时
，
当
，
时
，
上
综
，故C 正确，
，故D 正确．
故
：
选ACD
【变式训练1-2】已知抛物线
的焦点为
坐
原点，点
为
标
在抛物线
上，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
的坐标为
【答案】ABC
【分析】根据
意，利用抛物
的定
，求得点
题
线
义
的坐
，
合
，逐
判定，即可求解
标结
选项
项
.
【
解】由抛物
详
线
，可得
，
因
点
为
在抛物线
上，且
，
根据抛物
的定
，可得
线
义
，解得
，
又因为
，所以
，即
，
则
.
故
：
选ABC.
题型02：抛物线的简单几何性质
【典型例题2】下列关于抛物线
的
法正确的是（
说
）
A．焦点在x
上
轴
B．焦点到准
的距离等于
线
10
C．抛物
上横坐
线
标为1 的点到焦点的距离等于
D．由原点向
焦点的某直
作垂
，垂足坐
可能
过
线
线
标
为
【答案】ACD
【解析】抛物线
的焦点在x
上，
轴
，
正确，
；
错误
设
是
上的一点，则
，所以
正确；
由于抛物线
的焦点为
，
焦点的直
方程
过该
线
为
，
若由原点向
直
作垂
，垂足
该
线
线
为
，
时则
，此
存在符合
意的垂
，所以
时
题
线
正确.
故
：
选ACD.
【变式训练2-1】
于抛物
上
对
线
，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为
B．开口向上，焦点为
C．焦点到准
的距离
线
为4 D．准
方程
线
为
【答案】ACD
【解析】由已知抛物
准方程是
线标
，
，
，
所以焦点坐标为
，开口方向向上，A 正确，B
；
错误
焦点到准
的距离
线
为
，C 正确；
准
方程是
线
，D 正确．故
：
选ACD．
【变式训练2-2】已知抛物线
：
的焦点为
，
为
上一点，下列
法正确的是（
说
）
A．
的准
方程
线
为
B．直线
与
相切
C．若
，则
的最小值为
D．若
，则
的周
的最小
长
值为11
【答案】BCD
【解析】抛物线
：
，即
，所以焦点坐标为
，准
方程
线
为
，故A
；
错误
由
，即
，解得
，所以直线
与
相切，故B 正确；
点
设
，所以
，所以
，故C 正确
如
点
图过
作
准
，交于点
线
，
，
，
所以
，
当且
当
仅
、
、
三点共
取等号，故
线时
D 正确；
故
：
选BCD
题型03：直线与抛物线的位置关系
【典型例题】已知F
抛物
为
线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点，
点
过
F 且斜率为(
0)
k k
的直线l 与C 交于M ，N 两点，
点M 在x
上方，
轴
设O
坐
原点，若
为
标
2
1
1
1
4
,
4
OM ON
k
NF
MF
，
（
则 ）
A．
4
p
B．l 的
斜角
倾
为
π
6
C．
3
MF
NF
D．
MON
△
的面积为
16 3
3
【答案】ACD
【知
点】抛物
定
的理解、抛物
中的三角形或四
形面
、根据
达定理求参数
识
线
义
线
边
积问题
韦
【分析】
直
设
线l 的方程为
2
p
x
ty
，与抛物
方程
立，利用
达定理及已知条件求出
线
联
韦
,p t ，再逐
求解判断
项
.
【
解】抛物
详
线
2
:
2
C y
px
的焦点
(
,0)
2
p
F
，
直
设
线l 的方程为
1
,
0
2
p
x
ty
t
k
，
由
2
2
2
y
px
p
x
ty
消去x
得：
2
2
2
0
y
pty
p
，设
1
1
2
2
(
,
),
(
,
)
M x
y
N x
y
，
则
2
1
2
1
2
2
,
y
y
pt y y
p
，
2
2
2
1
2
1
2
2
4
4
y y
p
x x
p
，
2
1
2
1
2
(
)
2
x
x
t y
y
p
pt
p
，
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)
(
)
4
2
1
x
x
t y
y
t
y
y
y y
pt t
，
由
2
4
OM ON
k
，得
1
2
1
2
2
4
x x
y y
t
，即
2
2
3
4
4
p
t
，则
4
3
pt
，
由
1
1
1
4
NF
MF
，得
2
1
1
1
1
4
2
2
p
p
x
x
，即
2
1
2
1
2
1
2
(
)
4(
)
2
4
p
p
x x
x
x
x
x
，
则
2
2 2
2
8
1
p
p t
pt t
，即
2
2 2
2
64
p
p t
t
，而
4
3
pt
，解得
1
4,
,
3
3
p
t
k
，
于
对
A，
4
p
，A 正确；
于
对
B，
3
k
，l 的
斜角
倾
为
π
3 ，B
；
错误
于
对
C，
1
2
1
2
8 ,
16
3
y
y
y y
，解得
1
2
4
4 3,
3
y
y
，
1
2
3
MF
y
NF
y
，C 正确；
于
对
D，
MON
△
的面积为
1
2
1
4
16 3
|
||
| 4 3
2
3
3
OF
y
y
，D 正确.
故
：
选ACD
【变式训练3-1】若直线
与抛物线
只有一个公共点，
数
则实
k 的
可以
（
值
为 ）
A．
B．0
C．8
D．-8
【解析】
立
联
与
得，
，
若
，直
与抛物
只有一个交点，
足要求，
线
线
满
若
，则
，所以
，
上可知
综
或
.故
：
选AB
【变式训练3-2】在平面直角坐
系
标
xOy 中，已知抛物线
的焦点为F，直线l 的
斜角
倾
为60°且
点
经过
F.若
l 与C 相交于
两点，
（
则 ）
A．
B．
C．
D．△AOB 的面积为
【解析】抛物线
的焦点坐标为
，所以直线：
，
则
，消去
得
，所以
，
，
所以
，故A
，
错误C 正确；
，故B 正确；
又
到直线：
的距离
，所以
，故D
；
错误
故
：
选BC
【变式训练3-3】
抛物
过
线
的焦点作一条直
与抛物
相交于
线
线
、
两点，它
的横坐
之和等于
们
标
，则这样
的直
方程
（
线
为 ）
A．
B．
C．
D．不存在
【解析】抛物线
的焦点为
，若直线
与
重合，
直
与抛物
只有一个交点，不合乎
意
轴
则该
线
线
题
.
直
设
线
的方程为
，
点
设
、
，
立
联
，可得
，
，
由
达定理可得
韦
，则
，解得
，
所以，直线
的方程为
，即
.故
：
选BC.
【变式训练3-4】在平面直角坐
系
标
中，已知
抛物
为
线
的焦点，点
在
抛物
上且位
该
线
于
的两
，
轴
侧
，
（
则 ）
A．
B．直线
点
过
C．
的面
最小
是
积
值
D．
与
面
之和的最小
是
积
值
【解析】设
：
，
，消
可得
.
，得
，
，∴
，则
或
∵
，∴
，∴
，
，故A
；
错
：
过
，故B
；
对
定点
设
，
，当且
当
仅
，取等号，故
时
C
；
对
又
，
不妨设
，又
，
，当且
当
仅
，取等号
时
，
故D 对.
故
：
选BCD.
【变式训练3-5】曲线C 是平面内与三个定点
1
2
( 1,0),
(1,0)
F
F
和
3(0,1)
F
的距离的和等于2 2 的点的
迹，
轨
P 为C 上
一点，
（
则 ）
A．曲线C 关于y
称
轴对
B．存在点P，使得
3
2
2
PF
C．
1
2
F PF
面
的最大
大于
积
值
1
D．存在点P，使得
1
2
150
F PF
【答案】ABD
【
度】
难
0.65
【知
点】由方程研究曲
的性
、求平面
迹方程
识
线
质
轨
【分析】A
，由已知表示出曲
选项
线C 的方程，
察方程的
称性可以判断
果；
观
对
结
B
，假
成立，推理出曲
存
选项
设结论
线
在，符合
意；
题
C
，点
选项
P 在
上
点
，
椭圆
顶
时
1
2
F PF
面
最大；
积
D
，
找曲
选项寻
线C 上的一个特殊点P，验证
1
2
150
F PF
.
【
解】
曲
详
设
线C 上任意一点
,
P x y ，
由
意可知
题
C 的方程为
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2 2
x
y
x
y
x
y
.
于
对
A，在方程中，用x
替代x ，方程不
，可得曲
变
线C 关于y
称，故
轴对
A 正确；
于
对
B，若
3
2
2
PF
，则
1
2
1
2
3 2
2
2
PF
PF
F F
，所以
的点
这样
P 存在，故B 正确；
于
对
C，
1
2
1
2
3
2 2
PF
PF
PF
PF
PF
，P
在
应该
椭圆D：
2
2
1
2
x
y
内（含
界），
边
曲线C 与椭圆D 有唯一的公共点
3 0,1
F
，
此时
1
2
2
F F
，
3
1
OF ，
当点P 为
3F
点
，
时
1
2
F PF
的面
最大，最大
是
积
值
1，故C 不正确；
在曲线C 上再
找一个点
寻
0,
P
y ，0
1
y
，若
1
2
150
F PF
，
则
1
1
tan30
tan 75
2
3
1
tan30
OF
OP
，即
1
2
3
y
，解得
2
3
y
,
所以0
2
3
y
，故存在点P ，使
1
2
150
F PF
，故D 正确.
故
：
选ABD.
题型04：焦点弦问题
【典型例题】抛物
有如下光学性
：由其焦点射出的光
抛物
反射后，沿平行于抛物
称
的方向射出；
线
质
线经过
线
线对
轴
反之，平行于抛物
称
的入射光
抛物
反射后必
抛物
的焦点．已知抛物
线对
轴
线经
线
过
线
线
的焦点为
坐
为
标
原点，一束平行于
的光
轴
线从点
射入，
抛物
上的点
经过
线
反射后，再
抛物
上另一点
经
线
反射后，沿直线
射出，
下列
中正确的是（
则
结论
）
A．
B．若点
，则
C．直线与
的距离最小
间
值为2
D．直线与直线
相交于点
，则
三点共线
【答案】ABD
【知
点】斜率公式的
用、直
与抛物
交点相关
、根据抛物
方程求焦点或准
、抛物
的焦半径公式
识
应
线
线
问题
线
线
线
【分析】根据
定条件可得直
给
线
点
过
，
出
设
的方程并与抛物
方程
立，利用
达定理
合
条件逐
线
联
韦
结
选项
一求解判断.
【
解】由抛物
的光学性
知，直
详
线
质
线
抛物
的焦点
过
线
，
直
设
线
的方程为
，由
消去
得
，
然
显
，
于
对
A，
，A 正确；
于
对
B，点
，则
，
，因此
，
， B 正确；
于
对
C，直线与
的距离
间
，
当且
当
仅
，
时
取最小值4，C
；
错误
于
对
D，直线与
相交于点
，
直
则
线
的斜率为
，
又直线
的斜率为
，即
，因此
三点共
，
线D 正确.
故
：
选ABD
【变式训练4-1】已知
是抛物线
上两
点，
动
抛物
为
线
的焦点，
（
则 ）
A．直线
焦点
过
，
时
最小值为4
B．直线
焦点
过
且
斜角
倾
为
（点
时
在第一象限），
C．若
中点
的横坐标为3，则
最大值为8
D．点
坐标
，且直线
斜率之和为
与抛物
的另一交点
线
为
，
直
，
则
线
方程
：
为
【答案】ACD
【分析】
于
对
A，由
意，
焦点，
垂直
题
过
则
最小，可得答案；
轴时
于
对
B，已知直
的
斜角，可根据抛物
焦半径公式，可得答案；
线
倾
线
于
对
C，根据三角形三
性
，可得不等式，由于中点坐
已知，根据抛物
定
与梯形中位
，可得答案；
边
质
标
线
义
线
于
对
D，利用中点弦的斜率公式，可求得点
的
坐
，
而求得
点的坐
，根据可以，求得
纵
标进
该
标
的斜率，同
方法
样
，
可得点
的坐
，可得答案
标
.
【
解】
于
详
对
A
，直
选项
线
焦点
过
，当
垂直于
，
轴时
取最小值
，故正确；
于
对
B
，由
意，作
如下：
选项
题
图
则
，
，
轴
，即
轴
，
，
，
，即
，
，
，
，
，
，故
；
错误
于
对
C
，由于
选项
两
点，所以
为
动
，当且
当直
仅
线
焦点
过
等号成立，故
时
正确；
于
对
D
，依
意，
选项
题
，故
，即
，由
意，
题
，同理可
得
，故直线
方程为
，故正确.
故
：
选ACD.
【变式训练4-2】已知抛物线
，准线为，
焦点
过
的直
交抛物
线
线
于
两点，过
分别
作的垂
，垂足分
线
别为
，
（ ）
则
A．
B．若
，
直
则
线
的斜率为
C．
三点共
（其中
线
坐
原点）
为
标
D．
【答案】ACD
【分析】由抛物
的定
可得
线
义
，
，再利用角的关系即可得出
；根据定
可得
义
，
即可得出角
，
而得出直
进
线
的斜率为
；设
，则
，
明
证
即可；由
可得
题
，结
合焦半径公式即可
明
证
.
【
解】
详
接
连
，根据抛物
定
可知
线
义
，所以
，
又由于
，所以
轴
，
所以
，同理可证
，
所以
，
即
，故
正确；
过
作
于
，设
，则
，
，
所以
，
所以
，由
称性可知直
对
线
的斜率为
，故B
；
错误
设
，则
，
由于
，由于
三点共
，
线
则
，
又由于
，则
，由于
，
则
，所以
，
，
所以
，
即
，所以
三点共
，故
线
C 正确；
由于
，则
，即
，所以
，
所以
，故D 正确．
故
：
选ACD．
【变式训练4-3】已知抛物线
的焦点为F，其准线l 与x
交于点
轴
A，O
坐
原点，
为
标
过F 的直
与
线
C 交于
B，D 两点，过B，D 作l 的垂
，垂足分
线
别为E，G，
（ ）
则
A．若直线BD 的斜率为1，则
B．以BD
直径的
与
为
圆
y
相切
轴
C．
D．B，O，G 三点共线
【答案】ACD
【分析】
于
对
A，
立直
联
线
方程与抛物
方程，
合焦点弦
公式以及
达定理即可判断；
于
线
结
长
韦
对
B，由抛物
的性
即可判断；
于
线
质
对
C，
合内
角相等即可得
；
于
结
错
证对
D，
直
设
线OB 与准线l 交于
，只需
明
说
重合即可.
【
解】抛物
详
线
的焦点
，准线
，点
，设
，
于
对
A，直线
，由
，
消去y 得
，所以
，所以
，故A 正确：
于
对
B，
，
段
线
BD 中点横坐标
，
弦BD 中点到准
的距离
线
为
，因此以BF
直径的
与准
相切，故
为
圆
线
B
；
错误
于
对
C，由
，得
，同理
，
则
，故C 正确．
于
对
D，
直
设
线
，
立
联
，得
，则
，
直线
，直线OB 与准线l 交于
，
立
联
，解得
，
又
，所以
，即H 与G 重合，所以B，O，G 三点共
．故
线
D 正确．
故
：
选ACD
【变式训练4-4】已知
，
是抛物线
上的两点，若直线
抛物
的焦点
过
线
且倾
斜角为
.
下列命
正确的是（
则
题
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】
于
对
选项A，
直
设
线
的方程为
，代入
，再利用
达定理，即可得到
；
韦
结论
于
对
选项B，利用抛物
的定
和
线
义
选项A 中的
，表示出
结论
即可；
于
对
选项C，由抛物
的定
，在直角三角形
线
义
中，运用余弦函数的定
，即可得到
义
的
，同理可得
长
的长，
即可判断；
于
对
选项D，选项A 中的
行判断即可
结论进
.
【
解】
于
详
对
选项A，
直
设
线
的方程为
，代入
，
可得
，所以
，
，选项A 正确；
于
对
选项B，因为
是
抛物
过
线
的焦点的弦，
所以由抛物
定
可得
线
义
，
由选项A 知，
，
，
所以
.
即
，解得
，
当
，
时
，所以
，
当
，
时
，所以
，
当
，
时
也适合上式，所以
，选项B 正确；
于
对
选项C，不妨设
，点A 在x
上方，
轴
设
，
是
，
在准
上的射影，
线
，
所以
，同理可得
，
所以
，同理可证
，等式也成立，
时
选项C 正确；
于
对
选项D，由上可知：
，
，
所以
，选项D 不正确，
故
：
选ABC.
【变式训练4-5】已知抛物线
的焦点为
，准线为，过
的直
与
线
交于
，
两点，分别过
，
作的垂
，垂足
线
为
，
，
，
，
为
中点，
下列
正确的是（
则
结论
）
A．直线
的斜率为
B．
等腰直角三角形
为
C．
D．
，
，
三点共线
【答案】CD
【分析】
点
过
向准线作垂
，垂足
线
为
，设
，
，其中
，
，
点
过
作
，交
于
，利用
角三角函数即可判断
锐
A，利用反
法
明
证
证
B，
直
设
线
的方程为
，
立直
与抛物
方程
联
线
线
，
消元、列出
达定理，根据焦半径公式即可得到
韦
，再由A 中
及
结论
求出
，即可判断C，最后
求出
、
坐
，从而求出
标
，
，即可判断D.
【
解】解：
点
详
过
向准线作垂
，垂足
线
为
，设
，
，其中
，
，
点
过
作
，交
于
，设
，因为
，则
，所以
，则
，
所以
，
，在
中
，
所以
，所以直线
的斜率为
，故A
；
错误
假设
等腰直角三角形，
为
则
，则
、
、
、
四点共
且
的半径
圆
圆
为
，
又因为
，所以
，
所以
，所以
，
然不成立，故
显
B
；
错误
依
意直
题
线
的斜率存在，
直
设
线
的方程为
，
由
，整理可得
，
则
，
，
所以
，
，
所以
，
即
，
由A 根据
称性不妨取直
对
线
的斜率为
，
又
，所以
，
所以
，故C 正确；
由
，解得
或
，所以
，
，则
，
所以
，
，所以
，
，
三点共
，故
线
D 正确；
其中
的
明
程如下：可知
证
过
，
，
，
所以
，
，
所以
，
，即
.
故
：
选CD
【变式训练4-6】已知抛物线
的焦点为
，准线为，过
的直
交抛物
于
线
线
两点，
段
线
的
中点为
，
在上的射影分别为
，下列
正确的
（
结论
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】根据抛物
定
和梯形中位
性
可求得
线
义
线
质
，知A 正确；根据等腰三角形性
和平行直
的性
质
线
质
可推
得到
导
，
而确定
进
，知B 正确；由角度关系可推
得到
导
，由此可知C 正确；若D 正确，由
的性
知
圆
质
，可知不恒成立，则
D 错误.
【
解】
详
于
对
A，由抛物
定
可知：
线
义
，
，
为
中点，
，
，A 正确；
于
对
B，
，
，
，
，则
，又
，
，
，
，即
，B 正确；
于
对
C，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即
，C 正确；
于
对
D，若
，
由
则
知：
在以
心，
为圆
半径的
上，
为
圆
，又
，
（当且
当
仅
重合
取等号），
时
不恒成立，D 错误.
故
：
选ABC.
【变式训练4-7】若直线
抛物
过
线
的焦点
，且与抛物线
交于
、
两点，
下列
法正确的是（
则
说
）
A．
B．
重心的横坐
的最小
标
值为
C．
D．以
段
线
直径的
被
为
圆
截得的弦
定
轴
长为
值
【答案】BC
【
解】
于
详
对
选项A：易知直线
恒
定点
过
，即
，
所以
，解得
，故A
；
错误
于
对
选项B：由选项A 知抛物线
，设
，
立方程
联
，消去x 可得
，
则
，
则
，
，
所以知
的重心的横坐标为
，
当且
当
仅
，等号成立，故
时
B 正确；
于
对
选项C：因为
，故C 正确；
于
对
选项D：设
的中点为
，
则
，
，
，
即
心
圆
为
，半径
，
可知
心到
圆
y
的距离
轴
，
所以
被
圆
截得的弦
轴
长为
，不
定
，故
为
值
D
；
错误
故
：
选BC
【变式训练4-8】已知抛物线
，焦点为
，过
的直
交
线
于点
，
，其中
在第一象限，
在第四象限，
坐
原点，
接
为
标
连
交抛物
的准
于点
线
线
，
下列
法正确的是（ ）
则
说
A．
的最小
是
值
4
B．
C．直线
平行于
轴D．
的面
的最大
积
值为
【答案】AC
【分析】设过
的直线为
，
立直
与抛物
方程，列出
达定理，利用焦点弦公式判断
联
线
线
韦
A，利用焦半径
公式判断B，设
点坐标为
，推
出
导
，即可判断C，由面
公式，再构造函数，利用
数求出面
最小
积
导
积
值，
即可判断D.
【
解】抛物
详
线
的焦点为
，准
方程
线
为
，
设过
的直线为
，
将其与抛物
立可得
线联
，消去
整理得
，
所以
，
，
于
对
A：
，当且
当
仅
取等号，即
时
的最小
是
值
，故A 正确；
于
对
B：
，故B
；
错误
于
对
C：设
点坐标为
，则
，
因为
，故
，故直线
平行于
，故
轴
C 正确；
于
对
D：
，
函数
设
，
，
则
，所以当
时
，当
时
，
所以
在
上
增，
单调递
在
上
减，
单调递
故
的最小值为
，即
的面
的最小
积
值为
，故D
，
错误
故
：
选AC．
题型05：阿基米德三角形
【典型例题】抛物
的弦与
弦端点的两条切
所
成的三角形常被称
阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些
线
过
线
围
为
有趣的性
，如：若抛物
的弦
焦点，
弦的端点的两条切
的交点在其准
上．
抛物
质
线
过
则过
线
线
设
线
，弦
焦
过
点
为
的中点，
坐
原点，
为
标
其阿基米德三角形，
（
为
则 ）
A．存在点
，使得
B．任意点
，都有
C．任意点
，都有
D．
面
的最小
积
值为4
【答案】BCD
【
解】
详
设
，
直
设
线
，
立
联
得
，则
．
点
设过
的切线为
，则
立
联
,整理可得
，
由
，可得
，
同理可得
点
过
的切
斜率
线
为
．
于
对
A，因为
，所以
，故A
；
错误
于
对
B，可得
的切
方程分
：
处
线
别为
，∵
，
即
；
同理
的切
方程分
：
处
线
别为
由
及
，
得
，
可得
，因为
，所以
，
又因
直
为
线
的斜率为
，所以
，故B 正确；
于
对
C，因为
，所以
，故C 正确；
于
对
D，
，
当
，
时
面
取得最小
积
值为4，故D 正确．
故
：
选BCD．
【点睛】关
点点睛：
键
设
且
，
，
立抛物
用
达定理有
联
线应
韦
，求过
的切
，
而确定
线进
在准
上且
线
，利用面
公式求出最小
积
值.
【变式训练5-1】抛物
的弦与
弦的端点的两条切
所
成的三角形叫做阿基米德三角形．已知抛物
线
过
线
围
线
，
阿基米德三角形
，弦
过
的焦点
，其中点
在第一象限，
下列
法正确的是（
则
说
）
A．点
的
坐
纵
标为
B．
的准
方程
线
为
C．若
，则
的斜率为
D．
面
的最小
积
值为16
【答案】AD
【分析】设
，
，直线
，
立方程
，求得
联
组
，
，求得
，
两点
的
处
切
方程，可求得点
线
判断A；求得准
方程判断
线
B；由
，可求得
，
而可求得
进
，判断C；
，
，
而可得
进
，可求
的最小
，判断
值
D.
【
解】
于
详
对
A
，
项设
，
，直线
，
立
联
，消去
，得
，
，
所以
，
，
由
，得
，
点
则
的切
：
处
线
①，
同理点
的切
：
处
线
②，
立①②，得
联
，
，
所以，点
，故A 正确；
于
对
B
，准
方程
项
线
为
，故B
；
错误
于
对
C
，
项
，得
，所以
，
，故C
；
错误
于
对
D
，
项
，点
到直线
的距离
：
为
，
所以
，
当
，
时
的面
有最小
积
值16.故D 正确.
故
：
选AD.
【变式训练5-2】古希腊著名数学家阿波
尼斯（
公元前
罗
约
262 年至前190 年）与欧几里得､阿基米德
名，著有《
齐
圆锥
曲
》八卷．他
平面内到两个定点的距离之比
定
线论
发现
为
值
的点所形成的
形是
．后来人
将
个
以他
图
圆
们
这
圆
的名字命名，称
阿波
尼斯
．已知在平面直角坐
系
为
罗
圆
标
中，
．点
足
满
，
点
设
的轨
迹
曲
为
线
，下列
正确的是（
结论
）
A．曲线
的方程为
B．曲线
的周长为
C．曲线
上的点到直线
的最小距离为
D．若点
抛物
为
线
上的
点，抛物
动
线
的焦点为
，则
的最小值为2
【答案】ACD
【分析】根据
意求出
题
的
迹，
合
中的相关知
行分析判断即可
轨
结
圆
识进
.
【
解】
于
详
对
A，设
，则
，
化
得，
简
，即
，则选项A 正确；
于
对
B，可知曲线
的半径为1，周长为
，故B
；
错误
于
对
C，
曲
设
线
上的
心
圆
，
所以
心
圆
到直线
的距离
：
为
，
曲线
上的点到直线
的最小距离为
，故C 正确；
于
对
D，由抛物
的定
知，
线
义
，
，
的准
方程
：
线
为
，
所以
的最小值为
点到直线
的距离减半径，
即为
，故D 正确.
故
：
选ACD.
【变式训练5-3】阿基米德是
大的物理学家，更是
大的数学家，他曾
高中教材中的抛物
做
系
而深入的
伟
伟
经对
线
过
统
研究，定
了抛物
阿基米德三角形：抛物
的弦与弦的端点
的两条切
成的三角形称
抛物
阿基米德三角形
义
线
线
处
线围
为
线
.
抛物
设
线
：
上两个不同点
横坐
分
标
别为
，
，以
切点的切
交于
为
线
点.
关于阿基米德三角形
则
的
法正确的有（
说
）
A．若
抛物
的焦点，
过
线
则
点一定在抛物
的准
上
线
线
B．若阿基米德三角形
正三角形，
其面
为
则
积为
C．若阿基米德三角形
直角三角形，
其面
有最小
为
则
积
值
D．一般情况下，阿基米德三角形
的面积
【答案】ABC
【分析】
出直
设
线
的斜截式方程、点
的坐
，根据
数的几何意
求出切
标
导
义
线
的方程，
而求出点
进
的坐
，将直
标
线
的方程和抛物
方程
立，得到一元二次方程以及
方程两根的和、
的关系
线
联
该
积
.
A：把抛物
焦点的坐
代入直
线
标
线
的斜截式方程中，根据抛物
的准
方程
行判断即可；
线
线
进
B：根据正三角形的性
，
合正三角形的面
公式
行判断即可；
质结
积
进
C：根据直角三角形的性
，
合直角三角形的面
公式
行判断即可；
质结
积
进
D：根据点到直
距离公式、两点
距离公式
行求解判断即可
线
间
进
..
【
解】由
意可知：直
详
题
线
一定存在斜率，
所以
直
设
线
的方程
：
为
，
由
意可知：点
题
，不妨设
，
由
，所以直
切
线
线
的方程分
：
别为
，
两方程
立得：
联
，
解得：
，所以
点坐
：
标为
，
直线
的方程与抛物
方程
立得：
线
联
.
A：抛物线
：
的焦点坐标为
，准
方程
线
为
，
因为
抛物
的焦点，所以
过
线
，而
，
然
显
点一定在抛物
的准
上，故本
法正确；
线
线
选项说
B：因
阿基米德三角形
为
正三角形，所以有
为
，
即
，
因
为
，所以化
得：
简
，
此时
，
点坐
：
标为
，
因
阿基米德三角形
为
正三角形，所以有
为
，
所以
，
因此正三角形
的边长为
，
所以正三角形
的面积为
，
故本
法正确；
选项说
C：阿基米德三角形
直角三角形，当
为
，
时
所以
，
直线
的方程
：
为
所以
点坐
：
标为
，点
到直线
的距离
：
为
，
，
因为
，所以
，
因此直角
的面
：
积为
，
当且
当
仅
，取等号，
然其面
有最小
时
显
积
值
，故本
法正确；
说
D：因为
，所以
，
点
到直线
的距离
：
为
所以阿基米德三角形
的面积
，
故本
法不正确
选项说
.
故
：
选ABC
【点睛】关
点睛：解决本
的关
就是一元二次方程根与系数关系的整体代
用，本
重点考
了数学运算核心素
键
题
键
换应
题
查
养的
用
应
.
【变式训练5-4】若
点
过
可以作抛物
的两条切
，切点分
是
线
线
别
，
称
则
“阿基米德三角形”．已知抛物
为
线
的焦点为
，过
的直线交
于
两点，以
点的“阿基米德三角形”
为顶
为
，
（
则 ）
A．点
的横坐标为
B．
C．
D．
面
的最小
积
值为16
【答案】ABD
【分析】
出直
设
线的方程，代入抛物
，写出
达定理，利用
数求得切
，
立求交点，可得
线
韦
导
线联
A 的正
；通
两直
误
过
线
垂直的斜率性
，可得
质
B、C 的正
，利用
曲
中的弦
公式以及两点之
距离公式，
合三角形的面
公式，可
误
圆锥
线
长
间
结
积
得D 的正误.
【
解】
于
详
对
A，
，设
，代入
，
整理可得
，设
（不妨设
），
则
.
由抛物线
，整理可得函数
，则
，
点
设过
A 的切
斜率
线
为
，易知
，
切
方程
则
线
为
，即
，同理可得：过
点
的切
方程
线
为
，
立可得
联
，解得
，即故
；
所以点
的横坐标为
，故A 正确；
于
对
B，由A 可知：直线
，直线
，
由
，则
，即
，故B 正确；
于
对
C，由选项A 可知
，
直
则
线
的斜率
，
由
，则
.由选项B 可知
，
所以
，得
，即
，故C
；
错误
于
对
D，由C 可得：
，
，
，
则
，当
，
时
取得最小值为16，故D 正确；
故
：
选ABD.
【点睛】方法点睛：直
与
曲
的位置关系中的定点、定
、最
，一般可通
立方程
并消元得到关于
线
圆锥
线
值
值问题
过联
组
或
的一元二次方程，再把要求解的目
代数式化
关于两个的交点横坐
或
坐
的关系式，
关系中含有
标
为
标
纵
标
该
或
，最后利用
达定理把关系式
化
若干
量的方程（或函数），从而可求定点、定
、最
韦
转
为
变
值
值
问题.
【变式训练5-5】抛物
的弦与
弦的端点的两条切
所
成的三角形称
阿基米德三角形
线
过
线
围
为
.
抛物
设
线
，弦
焦点
过
其阿基米德三角形，
下列
一定成立的是（
为
则
结论
）
A．存在点
，使得
B．
C．
于任意的点
对
，必有向量
与向量
共线
D．
面
的最小
积
值为
【答案】BCD
【分析】设
，
，
直
设
线
，
立抛物
方程，
合
达定理可得
联
线
结
韦
，利用直
与抛物
相切条件分
求得
点
线
线
别
过
的切
斜率
线
为
.
于
对
A，
算
计
，从而可判断；
于
对
B，求得点A ，B
的切
方程分
：
处
线
别为
，从而可得
，
而可得
进
，从而有
，根据数量
的定
和相似三角形的性
即可判断；
于
积
义
质
对
C，
设AB 的中点为
，得到
，从而
，而
轴
，即可判断；
于
对
D，
准
与
设
线
的交点
轴
为
，由
面
的
积
，可知当
最短
（最短
时
为
），
也最短，最短为
，即可判断.
【
解】
详
设
，
，
直
设
线
，
立
联
，化为
，而
，
所以
.
点
设过
的切线为
，
立
联
，整理可得
，
由
，可得
.
同理可得
点
过
的切
斜率
线
为
.
于
对
A，
，
，
，故A
；
错
于
对
B，可得点A ，B
的切
方程分
：
处
线
别为
，
可得
,
又因
直
为
线AB 的斜率为
，
，
又由A
可知
选项
，所以
，所以
，
，故B 正确；
于
对
C，设AB 的中点为
，
由
则
，
轴
而向量
，
向量
与向量
共
，故
线
C 正确；
于
对
D，如
，
准
与
图设
线
的交点
轴
为
，
面
的
积
，可知当
最短
（最短
时
为
），
也最短，
最短为
，所以
面
的最小
积
值为
，故D 正确.
故
：
选BCD.
【点睛】方法点睛：利用
达定理法解决直
与
曲
相交
的基本步
如下：
韦
线
圆锥
线
问题
骤
（1）
直
方程，
交点坐
设
线
设
标为
；
（2）
立直
与
曲
的方程，得到关于
联
线
圆锥
线
（或
）的一元二次方程，必要
算
时计
；
（3）列出
达定理；
韦
（4）将所求
或
中的关系
化
问题
题
转
为
、
（或
、
）的形式；
（5）代入
达定理求解
韦
.
【变式训练5-6】
曲
的弦与
弦端点的两条切
所
成的三角形叫做“阿基米德三角形”，如
圆锥
线
过
线
围
图
是抛物
线
（
）的阿基米德三角形，弦
焦点
经过
，（其中
点在
点上方），
，
均垂直于准线，且
，
垂足，
下列
法正确的有（
为
则
说
）
A．以
直径的
必与准
为
圆
线相切
B．
定
为
值4
C．
点
设
，则
周
的最小
长
值为
D．若弦
的
斜角
角，
倾
为锐
则
的最小值为
【答案】ABD
【分析】根据抛物
的切
方程，相似关系，
立直
与抛物
方程后根与系数的关系，两角和的正切公式代入即可求
线
线
联
线
线
解.
【
解】先
明出抛物
详
证
线
在其上一点
的切
方程
处
线
为
明如下：
证
由于点
在抛物线
上，
则
，
立
联
即
，
，
所以抛物线
在其上一点
的切
方程
处
线
为
设
，
，
直
设
线
的方程为
，
立
联
消去
得
，
然
显
，
根据根与系数的关系可得
，
所以
，
，
所以以AB
直径的
的
心到准
的距离
为
圆
圆
线
为
，
即以AB
直径的
必与准
为
圆
线l 相切于
点，故A 正确；
又抛物线
在点A
的切
方程
处
线
为
，即
同理可知，抛物线
在点B
的切
方程
处
线
为
，
由
意知
题
，
，
直线MA 的斜率为
，直线MB 的斜率为
，
，
所以
，即点M 在以AB
直径的
上，
为
圆
立
联
，解得
，
所以点
的横坐标为
，
所以点
在抛物
的准
上，
线
线
当AB 垂直于x
，由抛物
的
称性可知，点
轴时
线
对
抛物
的准
与
为
线
线
x
的交点，
轴
此时
，则
，
，
又此时
，则
定
为
值4，
当AB 不与x
垂直
，直
轴
时
线AB 的斜率为
，
直线
的斜率为
，
，
则
，在
中，
，
又以AB
直径的
与准
为
圆
线l 相切于M 点，
以
设
AB
直径的
的
心
为
圆
圆
为
，即得
，
点
则
坐标为
，
则
，故B 正确；
于
对
C：
抛物
的焦点
线
为
，准线为
，所以
，
由抛物
的定
可知
线
义
，
则
的周长为
，
当且
当
仅
、
、
三点共
取等号，故
线时
C
；
错误
于
对
D：直线
的
斜角
角，
倾
为锐
则
且
，
由
意知
题
，
，
，
，
，
则
，
所以
，
当且
当
仅
，即
取等号，
时
所以
的最小值为
，故D 正确.
故
：
选ABD.
【点睛】关
点点睛：本
键
题D
关
是利用两角和的正切公式表示出
选项
键
，再由基本不等式求出
的最小值.
【变式训练5-7】如
，
图
阿基米德三角形
为
.抛物线
上有两个不同的点
，以
A，B
切点的抛物
的切
为
线
线
相交于点P.
出如下
，其中正确的
（
给
结论
为 ）
A．若弦
焦点，
过
则
直角三角形且
为
B．点P 的坐
是
标
C．
的边
所在的直
方程
线
为
D．
的边
上的中
与
线
y
平行（或重合）
轴
【答案】ACD
【
解】
详
由
意
题
设
，
由
，得
，则
，
所以
，
若弦
焦点，
然直
过
显
线
斜率存在，设
所在直线为
，
立
联
，
得
，
则
，
所以
，
所以
，故A 正确；
以点A
切点的切
方程
为
线
为
，以点B
切点的切
方程
为
线
为
，
立消去
联
y 得
，
将
代入
，
得
，
所以
，故B
；
错误
设N
抛物
弦
为
线
的中点，N 的横坐标为
，因此直线
平行于y 轴(或与y
重合
轴
)，即平行于抛物线
的
称
对
轴(或与
称
重合
对
轴
)，故D 正确；
直
设
线
的斜率为
，
故直线
的方程为
，
化
得
简
，故C 正确.
故
：
选ACD.
【变式训练5-8】抛物
的弦与
弦的端点的两条切
所
成的三角形常被称
阿基米德三角形，
三角形以其深
线
过
线
围
为
该
刻的背景、丰富的性
生了无
的魅力．
抛物
质产
穷
设
线
（
），弦
焦点
过
，
其阿基米德三角形
为
，
下列
一定成立的是（
则
结论
）
A．点
在抛物线
（
）的准线
上
B．存在点
，使得
C．
D．
面
的最小
积
值为
【答案】ACD
【分析】设
，
立直
联
线
和抛物
，利用
达定理得到
线
韦
，
出
设
过
和过
的切
方程，利用已知得到
线
，
，即可判断选项A，再由
合相似，即可判断
结
选项C，再由向
量
的
化和运算即可判断
间
转
选项B，
合特殊情况即可判断
结
选项D.
【
解】
详
设
，
直
设
线
：
，
立
联
得
，
则
，
点
设过
的切线为
，
立
联
得
，
由
，可得
，
同理可得
点
过
的切
斜率
线
为
，
所以
切
方程分
处
线
别为
，
立可得
联
，故A 正确；
又即
，
，
所以
，
，
所以
，
，
即
，C 正确；
又
，
所以
，
，
所以
，B
；
错
由上述知，
，
又因
直
为
线
斜率为
，
所以
，
准
与
设
线
的交点
轴
为
，
则
面积
，
当
，
轴时
最短（最短为
），
也最短（最短为
），
此时
面
取最小
积
值
，D 正确.
故
：
选ACD
【点睛】方法点睛：涉及方法有：（1）直
与抛物
相切
；（
线
线
问题
2）焦点弦
的
算能力；（
问题
计
3）数形
合思想
结
.
【变式训练5-9】抛物
的弦与弦的端点
的两条切
形成的三角形称
阿基米德三角形，
三角形以其深刻的背
线
处
线
为
该
景､丰富的性
生了无
的魅力
质产
穷
.设
是抛物线
上两个不同的点，以
切点的切
为
线
交于
点.若弦
点
过
，
下列
法正确的有（ ）
则
说
A．
B．若
，则
点
的切
方程
处
线
为
C．存在点
，使得
D．
面
的最小
积
值为4
【答案】ABD
【分析】
立方程
，
合
达定理，可判定
联
组
结
韦
A 正确；求得
，得到切点坐标
，得出切
方程
线
，
而可判定
进
B 正确；由直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，得到
，可判定C 错
；由
点
误
过
的切
方程
线
为
，
合弦
公式，得到
结
长
，可D 正确.
【
解】
于
详
对
A 中，
直
设
线
，
立方程
联
组
，整理得
，
再设
，则
，所以A 正确；
于
对
B 中，由抛物线
.可得
，则
，
点
则过
的切
斜率
线
为
，且
，即
，
切
方程
：
则
线
为
，即
，
若
，
点
时则过
的切
方程
：
线
为
，所以B 正确；
于
对
C 中，由选项
可得：直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，
因为
，所以
，即
，所以C
；
错误
于
对
D 中，由选项B 可知，
点
过
的切
方程
线
为
，
立直
联
线
的方程可得
，
所以
，
，
，
则
，当
，
时
有最小值为
，所以D 正确.
故
：
选ABD.
【变式训练5-10】双曲
具有以下光学性
：从双曲
的一个焦点
出的光
，
双曲
反射后，反射光
的反向延
线
质
线
发
线经
线
线
双曲
的另一个焦点．由此可得：
双曲
上任意一点的切
平分
点与两焦点
的
角．已知
长线经过
线
过
线
线
该
连线
夹
O
坐
为
标
原点，
分
双曲
别为
线
的左、右焦点，过C 右支上一点
作双曲
的切
交
线
线
x
于
轴
点
，
（
则 ）
A．
B．平面上点
的最小值为
C．若
左焦点
经过
的入射光
点
线经过
A，且
，
入射光
与反射光
的
角
则
线
线
夹
为
D．
点
过
作
，垂足为H，则
解析：
于
对
A
，
直
项设
线
的方程为
，
，
立方程
联
组
，消去
整理得，
，
，即
，又因为
，所以上式可化
整理得
简
，
所以
，所以直线
的方程为
，即
，所以
，因为
，所以
，故A
正确；
项
于
对
B
，由双曲
定
得
项
线
义
，且
，
则
，所以
的最小值为
.故B
正确；
项
于
对
C
，根据双曲
的光学性
可知反射光
所在直
即直
项
线
质
线
线
线
，因为
且
，所以
，
若
，则
，
所以直线
直线
；同理可知当
也可判断直线
直线
，所以入射光
与反射光
的
角
线
线
夹
为
，故C
；
项错误
于
对
D
，如
，
项
图
双曲
的切
，由双曲
的光学性
可知，
为
线
线
线
质
平分
，
延长
与
的延
交于点
长线
.则
垂直平分
，即点
为
的中点.
又
是
的中点，所以，
，故
正确
项
.故
：
选ABD.
题型06：最值范围
【典型例题1】已知抛物线C：
的焦点F 到准线l 的距离为4，
焦点
过
F 的直
与抛物
相交于
线
线
，
两点，
下列
中正确的是（
则
结论
）
A．抛物线C 的准线l 的方程为
B．
的最小值为4
C．若
，点Q
抛物
为
线C 上的
点，
动
则
的最小值为6
D．
的最小值
【解析】由焦点
到准线的距离为4 可得
，所以抛物
的方程
线
为
，
A 中，由抛物
的方程
线
为
，所以可得准
方程
线
为
，故A 正确；
中，
焦点的直
过
线为
，则
，整理可得
，
可得
，
，所以
，
取等号，
时
最小
值为8，所以
不正确；
中，
足
满
，可知点
在抛物
内部，
线
过
作准
的垂
，垂足
线
线
为
，则
，
当且
当
仅
，
，
三点共
取等号，所以
线时
的最小值为6，故
正确；
中，由B 的解析可知：
由抛物
的方程可得：
线
，
所以
，当且
当
仅
取等号，所以
时
正确；
故
：
选ACD．
【典型例题2】已知抛物线
焦点为
，点
，点
在抛物
上，
下列
正确的是（
线
则
结论
）
A．
的最小值为3
B．
的最大值为7
C．
的最小值为-2
D．
的最大值为3
【答案】ACD
【分析】
画出
象，根据抛物
的
象可得，
图
线
图
，当
，
，
三点共线时
即可求解．过
作
平行
，与准
交于点
轴
线
线
，与抛物
交于点
线
，此时
取最小值.
【
解】
详
如图1，点
在抛物
外，
线
，故
的最小值为
，A 正确；
如图2，只有当
，
，
三点共线时
最大，最大值为
，如图3，过
作
平行
，与准
交于点
轴
线
线
，与抛物
交于点
线
，根据抛物
定
，
线
义
，此时
有最小值
.
【变式训练6-1】已知抛物线C：
的焦点F 到准线l 的距离为4，
焦点
过
F 的直
与抛物
相交于
线
线
，
两点，
下列
中正确的是（
则
结论
）
A．抛物线C 的准线l 的方程为
B．
的最小值为4
C．若
，点Q
抛物
为
线C 上的
点，
动
则
的最小值为6
D．
的最小值
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由焦点到准
的距离可得
线
的
，
而求出抛物
的方程，可判断
值进
线
A 正确；
直
设
线
的方程与抛物
的方程
立，
线
联
求出两根之和及两根之
，由抛物
的性
可得弦
积
线
质
长
的表达式，再由参数的范
可得其最小
，判断
围
值
B 不正确；
过
作准
的垂
，垂足
线
线
为
，由抛物
的性
可得
线
质
，可判断C 正确；由两根之
及
积
均
不等式的性
可得
值
质
的最小值为
，判断D 正确．
【
解】
详
由焦点
到准线的距离为4 可得
，所以抛物
的方程
线
为
，A 中，由抛物
的方程
线
为
，所以可得
准
方程
线
为
，故A 正确；
中，
焦点的直
过
线为
，则
，整理可得
，可得
，
，所以
，
取等号，
时
最小值为
8，所以
不正确；
中，
足
满
，可知点
在抛物
内部，
线
过
作准
的垂
，垂足
线
线
为
，则
，当且
当
仅
，
，
三点共
取等号，所以
线时
的最小值为6，故
正确；
中，由B 的分析可知：
由抛物
的方程可得：
线
，
所以
，当且
当
仅
取等号，所以
时
正确；
【变式训练6-2】已知抛物线
焦点为
，点
，点
在抛物
上，
下列
正确的是（
线
则
结论
）
A．
的最小值为3
B．
的最大值为7
C．
的最小值为-2
D．
的最大值为3
【答案】ACD
【分析】
画出
象，根据抛物
的
象可得，
图
线
图
，当
，
，
三点共线时
即可求解．过
作
平行
，与准
交于点
轴
线
线
，与抛物
交于点
线
，此时
取最小值.
【
解】如
详
图1，点
在抛物
外，
线
，故
的最小值为
，A 正确；
如图2，只有当
，
，
三点共线时
最大，最大值为
，如图3，过
作
平行
，与准
交于点
轴
线
线
，与抛物
交于点
线
，根据抛物
定
，
线
义
，此时
有最小值
.
【变式训练6-3】已知
抛物
过
线
焦点
的直线与抛物线
相交于
两点，
下列
正确的是
则
结论
（ ）
A．
B．以
直径的
与直
为
圆
线
相切
C．
的最小值为
D．
的最小值为
【答案】BCD
【分析】
出直
方程
立抛物
方程，得出根与系数关系，根据向量运算可判断
设
线
联
线
A，
合
形及抛物
的定
可判断
结
图
线
义
B，设
，利用抛物
定
、三角函数及均
不等式判断
线
义
值
C，根据抛物
定
，根与系数的关系及均
不等式
线
义
值
判断D.
【
解】由
详
可得
，所以焦点
，准
方程
线
为
，
然直
斜率存在，
直
显
线
设
线方程为
，
，
，如
，
立
图联
可得
，所以
，
于
对
A,
，故A 错；
于
对
B，取AB 的中点为N 过
分
作准
的垂
，垂足分
别
线
线
别为
,
则
,即
心到准
的距离等于半径，所以以
圆
线
直径的
与直
为
圆
线
相切，故正确；
于
对
C，设
,则
，
,
则
，
所以
，当且
当且
当
仅
仅
，即
时
等号成立，故正确；
时
于
对
D,
，当且
当
仅
时
等号成立，故正确.
【变式训练6-4】在平面直角坐
系
标
中，已知
抛物
为
线
的焦点，点
在
抛物
上且位
该
线
于
的两
，
轴
侧
，
（
则 ）
A．
B．直线
点
过
C．
的面
最小
是
积
值
D．
与
面
之和的最小
是
积
值
【解析】设
：
，
，消
可得
.
，得
，
，∴
，则
或
∵
，∴
，∴
，
，故A
；
错
：
过
，故B
；
对
定点
设
，
，当且
当
仅
，取等号，故
时
C
；
对
又
，
不妨设
，又
，
，当且
当
仅
，取等号
时
，
故D 对.
故
：
选BCD.
【变式训练6-5】曲线C 是平面内与三个定点
1
2
( 1,0),
(1,0)
F
F
和
3(0,1)
F
的距离的和等于2 2 的点的
迹，
轨
P 为C 上
一点，
（
则 ）
A．曲线C 关于y
称
轴对
B．存在点P，使得
3
2
2
PF
C．
1
2
F PF
面
的最大
大于
积
值
1
D．存在点P，使得
1
2
150
F PF
【答案】ABD
【
度】
难
0.65
【知
点】由方程研究曲
的性
、求平面
迹方程
识
线
质
轨
【分析】A
，由已知表示出曲
选项
线C 的方程，
察方程的
称性可以判断
果；
观
对
结
B
，假
成立，推理出曲
存
选项
设结论
线
在，符合
意；
题
C
，点
选项
P 在
上
点
，
椭圆
顶
时
1
2
F PF
面
最大；
积
D
，
找曲
选项寻
线C 上的一个特殊点P，验证
1
2
150
F PF
.
【
解】
曲
详
设
线C 上任意一点
,
P x y ，
由
意可知
题
C 的方程为
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2 2
x
y
x
y
x
y
.
于
对
A，在方程中，用x
替代x ，方程不
，可得曲
变
线C 关于y
称，故
轴对
A 正确；
于
对
B，若
3
2
2
PF
，则
1
2
1
2
3 2
2
2
PF
PF
F F
，所以
的点
这样
P 存在，故B 正确；
于
对
C，
1
2
1
2
3
2 2
PF
PF
PF
PF
PF
，P
在
应该
椭圆D：
2
2
1
2
x
y
内（含
界），
边
曲线C 与椭圆D 有唯一的公共点
3 0,1
F
，
此时
1
2
2
F F
，
3
1
OF ，
当点P 为
3F
点
，
时
1
2
F PF
的面
最大，最大
是
积
值
1，故C 不正确；
在曲线C 上再
找一个点
寻
0,
P
y ，0
1
y
，若
1
2
150
F PF
，
则
1
1
tan30
tan 75
2
3
1
tan30
OF
OP
，即
1
2
3
y
，解得
2
3
y
,
所以0
2
3
y
，故存在点P ，使
1
2
150
F PF
，故D 正确.
故
：
选ABD.
【变式训练6-6】已知抛物线C：
的焦点为F，P 为C 上一点，下列
法正确的是（
说
）
A．抛物线C 的准
方程
线
为
B．直线
与C 相切
C．若
，则
的最小值为4
D．若
，则
的周
的最小
长
值为11
【解析】抛物线C：
，即
，
，
，设
，
对选项A：抛物线C 的准
方程
线
为
，正确；
对选项B：
，整理得到
，方程有唯一解，故相切，正确；
对选项C：
，
取等号，
；
时
错误
对选项D：
点
过
作
垂直于准
于
线
，
，当
共
等号成立，正确
线时
.
故
：
选ABD
【变式训练6-7】若抛物线
y2＝2px(p>0)上的
点
动
Q 到其焦点的距离的最小值为1，
（
则 ）
A．
B．准
方程
线
为
C．当
时
的面积为
D．已知直线l1：4x－3y＋6＝0 和直线l2：x＝－1，
点
则
到直线l1和直线l2的距离之和的最小
是
值
【答案】BCD
【解析】
【分析】
合抛物
上的点到焦点的距离的最小
求得
结
线
值
，
而求得准
方程，
合抛物
的定
来求得
进
线
结
线
义
的面
，
合
积结
抛物
的定
来求得
线
义
到、
的距离之和的最小值.
【
解】
详
到焦点的距离等于
到准
的距离，
线
到焦点距离最小
，
时
到准
的距离最小，
线
即
原点
，
为
时
到焦点的距离最小为，也即
，抛物
的准
方程
线
线
为
，A
，
选项错误B
正确
选项
.抛
物
方程
线
为
，
于
对
C
，
选项
，则
，
，
，C
正确
选项
.
于
对
D
，直
选项
线
抛物
的准
，所以
为
线
线
到
的距离等于
到焦点
的距离.所以
到直线
和直线的距离之和的最小
“
值为
到直线的距离”，焦点
，
最小
则
值为
，D
正确
选项
.
【变式训练6-8】
抛物
设
线
，
其焦点，
为
抛物
上一点，
下列
正确的是（
为
线
则
结论
）
A．抛物
的准
方程是
线
线
B．当
，
轴时
取最小值
C．若
，则
的最小值为
D．以
段
线
直径的
与
为
圆
相切
轴
【答案】ACD
【分析】
A：
准方程是
标
y2＝2px 的抛物
的准
方程是
线
线
x＝－
；
B：设P 点坐
，用两点
距离公式表示
标
间
|PF|，
合
结
P 点坐
的范
，即可求
标
围
|PF|的最小
；
值
C：数形
合，
结
P
点，根据几何关系，当
为动
P、A、F 三点共
取最小
；
线时
值
D：求出
的半径与
心，比
心横坐
和半径即可知是否与
圆
圆
较圆
标
y
相切
轴
﹒
【
解】
详
A：抛物
的准
线
线为x＝－
＝－1，故A 正确；
B：设
，则
，则
，当
取得最小
，此
时
值
时
在原点，故B
；
错误
C：作
分析：
图
A 在抛物
外部，故当
线
P、A、F 三点共线时|PF|取最小值
，故C 正确；
D：根据
意，可得抛物
题
线
的焦点为
，设
的中点为
，可得
，
由抛物
的定
，得
线
义
，
，即点
到
的距离等于以
轴
直径的
的半径，
为
圆
因此，以PF
直径的
与
为
圆
相切，故
轴
D 正确﹒
【变式训练6-9】已知抛物线
与圆
的公共点为A，B，点P 为圆C 的劣弧
上不同于
A，B 的一个
点，
点
动
过
P 作垂直于x
的直
轴
线l 交抛物线E 于点N，
下列四个命
中正确的是（
则
题
）
A．
B．点P
坐
的取
范
是
纵
标
值
围
C．点N 到
心
圆
C 距离的最小值为1
D．若l 不
原点，
经过
则
周
的取
范
是
长
值
围
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据
意画出
形，
立
与抛物
的方程可得
题
图
联
圆
线
A，B 的坐
，求得
标
可判断A；由A，B 的
坐
可判断
纵
标
B；由抛物
的定
和
形可知点
线
义
图
N 到
心
圆
C 距离的最小
判断
值
C；利用
化思想可知
转
合
结
的范围
可判断D，
而可得正确
进
选项.
【
解】
详
圆
的
心
圆
为
，半径
，与
正半
交于点
轴
轴
，抛物线
的焦点
与
重合，准线为
，
于
对
选项A：
立
联
可得
，
解得
或
，即
，
，所以
，故选项A 不正确；
于
对
选项B：点
为圆
的劣弧
上不同于A，B 的一个
点，所以点
动
P
坐
的取
范
是
纵
标
值
围
，故选项B 正确；
于
对
选项C：抛物线
的焦点
与
心
圆
重合，抛物
上的点到焦点的距离最小
线
值为
，所以点N
到
心
圆
C 距离的最小值为1，故选项C 正确；
于
对
选项D：直线l 不
原点，
经过
则
周长为
的取
范
是
值
围
，故选项D 正确；
【变式训练6-10】已知抛物线
的焦点为
，若
抛物
为
线
上一点，直线
的斜率为
，且以
心的
与
为圆
圆
的准
相切于点
线
，
下列
法正确的是（
则
说
）
A．抛物线
的准
方程
线
为
B．直线
与抛物线
相交所得的弦长为15
C．
外接
的半径
圆
为4
D．若抛物线
上两点之
的距离
间
为8，
段的中点到
则该线
距离的最小
轴
值为1
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据斜率可知
，然后根据抛物
的定
可知抛物
方程，可知直
线
义
线
线
的方程，根据弦
公式可知弦
，
长
长
并使用正弦定理可知外接
半径，最后根据
圆
可知
果
结
.
【
解】
详
点
过
作
垂直于
，垂足
轴
为
，
，∴直线
的
斜角
倾
为120°，
，在
中，
，
，又由抛物
的定
可得
线
义
，
，
，解得
，
∴抛物线
的方程为
，抛物线
的准
方程
线
为
，故A 正确；易知直线
的方程为
，代
入抛物线
的方程，得
，解得
或
，
∴直线
与抛物线
相交所得弦长为
，选项B 不正确；易得
，
，
，
，
，设
外接
的半径
圆
为，根据正弦定理可得
，
抛物
设
线
上的两点分别为
，
，则
，
当且
当
仅
，
，
三点共
，等号成立，由抛物
的定
可知，
线时
线
义
，所以
，即
，所以
段
线
的中点到
的距离
轴
，选项D 正确.
【变式训练6-11】抛物线
的焦点为F，P
其上一
点，
直
为
动
设
线l 与抛物线C 相交于A，B 两点，点
下列
正确的是（
结论
）
A．|PM| +|PF|的最小值为3
B．抛物线C 上的
点到点
动
的距离最小值为3
C．存在直线l，使得A，B 两点关于
称
对
D．若过A、B 的抛物
的两条切
交准
于点
线
线
线
T，则A、B 两点的
坐
之和最小
纵
标
值为2
【答案】AD
【解析】
根据抛物
的性
每个命
行判断．
线
质对
题进
【
解】
详
A．设是抛物
的准
，
线
线过
作
于
，则
，当且
当
仅
三点共
等号成
线时
立．所以
最小
是
值
3，A 正确；
B．设
是抛物
上任一点，即
线
，
，
，
时
，B
；
错误
C．假
存在直
设
线，使得A，B 两点关于
称，
对
设方程为
，由
得
，
所以
，
，设
，则
，
中点为
，则
，
，
必在直线
上，
所以
，
，
与直
这
线抛物
相交于两个点矛盾，故不存在，
线
C
；
错误
D．设
，由
即
，得
，
切
则
线
方程为
，
即
，同理
方程是
，由
，解得
，由
意
题
在准线
上，所以
，
，所以
，
所以
，
时
最小
．
为
值D 正确．
【变式训练6-12】已知抛物线
的焦点为
，点
为
上两个相异的
点，
（ ）
动
则
A. 抛物线
的准
方程
线
为
B.
点
设
，则
的最小值为
C. 若
三点共
，
线则
的最小值为
D. 若
，
的中点
在
的准
上的投影
线
为
，则
答案：A、B、D
【
解】
于
详
对
A，因
抛物
为
线
的焦点为
，所以抛物线
的准
方程
线
为
，所以A 正确，
于
对
B，由
意可得抛物
的方程
题
线
为
，
点
则
在抛物
外，如
，
点
线
图过
作
垂直准
于
线
，则
，当
三点共
，
线时
取得最小
，最小
值
值为
，所以B 正确，
于
对
C，由抛物
的性
可得当
线
质
三点共
，且
线
，弦
轴时
最短
抛物
的通径
为
线
，所以C 错
，
误
于
对
D，过
分
作
别
垂直准
，垂足分
线
别为
，
由梯形中位
定理
则
线
及抛物
定
线
义可得
，设
，则
，在
中由余弦定理
得
，
因为
，所以
，
所以
，所以
，当且
当
仅
取等号，所以
时
D 正确，
【变式训练6-13】在平面直角坐
系
标
xOy 中，抛物线C：
的焦点为
，
点
过
的直线交
于不同的
，
两
点，
下列
法正确的是（
则
说
）
A．若点
，则
的最小
是
值
4 B．
C．若
，
直
则
线
的斜率为
D．
的最小
是
值
9
【答案】ABD
【分析】
于
对
A，
点
过
A 作C 的准
的垂
，垂足
线
线
为
，
利用抛物
的定
合
形求解即可，
于
则
线
义结
图
对
B，
直
设
线AB 的
方程为
，
，
，将直
方程代入抛物
方程中，消去
线
线
，利用根据与系数的关系，从而可求
出
的
，
于
值对
C，由
，可得
，化
后将
简
选项B 中的式子代入可求
出
的
，从而可求出直
的斜率，
于
值
线
对
D，根据选项B 中的式子可求得
，则
化
后利用基本不等式可求得
果
简
结
【
解】由
意知，
详
题
C 的准
方程
线
为
，焦点F（1，0），
点
过
A 作C 的准
的垂
，垂足
线
线
为
，则
，故
的最小
是点
值
Q 到C 的准
的距离，即
线
为4，故A 正确；
直
设
线AB 的方程为
，
，
，由
得
．
所以
，
，
，
，
所以
，故B 正确；若
，又
，
，所以
，解得
，
直
则
线AB 的斜率为
，
故C
；
错误
，所以
，当且
当
仅
，
，等号成立，故
时
D 正
确，
题型07：面积问题
【典型例题】如
抛物
图
线
的
点
顶
为
，焦点为
，准线为，焦准距为
；抛物线
的
点
顶
为
，焦点也为
，准线
为
，焦准距为．
和
交于
两点，分别过
作直
与两准
垂直，垂足分
线
线
别为
，过
的直
与
线
封
曲
闭
线
交于
两点，
下列
法正确的是（
则
说
）
A．
B．四
形
边
的面积为
C．
D．
的取
范
值
围为
【答案】CD
【分析】根据抛物
的定
判断
线
义
A，以
原点建立平面直角坐
系，得到
为
标
的方程，求出
，代入方程求出
，即可
求出矩形的面
，从而判断
积
，
接
连
，由定
得到
义
，从而得到
，
，
即可推出
，从而判断C，不妨
点
设
在封
曲
闭
线
的上部分，设
在直线
上的射影分别为
，当点
在抛物线
，点
在抛物线
上
求出
时
，当
与
重合，点
在抛物线
上
求出
时
，再求出当点
在抛物线
，点
在抛物线
上时
的范
，即可判断
围
D.
【
解】
直
详
设
线
与直线
分
交于
别
、
，由
可知
题
，
，
所以
，
，故A 不正确；
如
以
图
原点建立平面直角坐
系，
为
标
则
，
，
所以抛物线
的方程为
，
接
连
，由抛物
的定
可知
线
义
，
，又
，
所以
，所以
，代入
，可得
，
所以
，又
，故四
形
边
的面积为
，故B
；
错误
接
连
，因为
，所以
，
，
所以
，故
，故C 正确；
根据抛物
的
称性不妨
点
线
对
设
在封
曲
闭
线
的上部分，
设
在直线
上的射影分别为
，
当点
在抛物线
，点
在抛物线
上
，
时
，
当
与
重合
，
时
最小，最小值为
，
当
与
重合，点
在抛物线
上
，因
时
为
，
直线
，与抛物线
的方程为
立，可得
联
，
设
，则
，所以
，所以
；
当点
在抛物线
，点
在抛物线
上
，
时设
，
与抛物线
的方程为
立，可得
联
，
设
，则
，
则
，
当
，即
取等号，故此
时
时
；
当点
在抛物线
，点
在抛物线
上
，根据抛物
的
称性可知，
时
线
对
；
上可得
综
，故D 正确．
故
：
选CD.
【变式训练7-1】
抛物
设
线
的焦点为
，直线
与抛物
相交于
线
，
两点，与
交于点
轴
，
，
下列
法正确的是（
则
说
）
A．
B．
C．
D．
与
的面
之比
积
为
【答案】BCD
【分析】先由抛物
焦半径公式
合
意得到
线
结
题
则
在第二象限，
在第一象限，且
，接着
立直
与抛物
方程
联
线
线
合
达定理求出
结
韦
和p 即可判断选项AB；
而求出点
进
A 和B 和C 即可
算求解判断
计
CD.
【
解】由
得
详
题
且
，
则
在第二象限，
在第一象限，且
，
立
联
，
则
，
所以
或
（舍去），
所以抛物线
，
，
，
所以可得
，
，
所以
，
直线
与
交于点
轴
，
所以
，
所以
.
所以A
，
错误BCD 正确.
故
：
选BCD.
题型08：切线问题
【典型例题】已知抛物线
的焦点为
，点
在抛物
上，
线
，
直
设
线
抛
为
物线
在点
的切
，
点
处
线过
作
的垂
交抛物
于另一点
线
线
，若
，
下列
则
法正确的是（
说
）
A．
B．直线
的斜率为
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据抛物
定
判断
线
义
A，根据
数的几何意
求切
斜率可判断
导
义
线
B，
立直
与抛物
方程，由根与系数的关
联
线
线
系判断C，根据不等式的性
及抛物
的定
判断
质
线
义
D.
【
解】
于
详
对
选项A，因为
，解得
，所以选项A
，
对
因为
，即
，则
，
所以抛物
在点
线
的切
方程
处
线
为
，
直线
的斜率为
，所以选项B
；
错
由
，消
得到
，
则
，得到
，所以选项C 正确；
于
对
选项D，因为
，
得到
，所以当
，
时
，
又
，所以
，则
，故选项D 正确．
故
：
选ACD
【变式训练8-1】已知抛物线
2
4
y
x
的焦点为F，C 是直线
2
x 上一点，
点
过
C 作抛物
的两条切
与抛物
分
线
线
线
别
切于点A，B，
接
连
AF，BF，
直
设
线AB 与x
交于点
轴
P，直线CF 与直线AB 交于点D，（ ）
A．
2,0
P
B．
AF
CF
CF
BF
C．
AF
AD
BF
BD
D．
AC
AP
BC
BP
【答案】ABC
【分析】先
点
而得出切
方程
算求解判断
设
进
线
计
A，与抛物
立再
合抛物
定
判断
线联
结
线
义
B，
用角平分
定理
合数
应
线
结
量
公式
算判断
积
计
C，
用角平分
定理
合点到直
距离公式
算判断
应
线
结
线
计
D.
【
解】
详
设
0
2,
C
y
，
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
在
则
A，B
的两条切
可写
处
线
为
1
1
2
2
2
2
yy
x
x
yy
x
x
，
将
0
2,
C
y
代入可得
0
1
1
0
2
2
2
2
2
2
y y
x
y y
x
，
所以
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
在直线
0
2
2
y y
x
上，即直线AB 为
0
2
2
y y
x
，
与x
的交点
轴
为
2 0,
，即
2,0
P
，故A 正确；
于
对
B，
直
的方程
设
线
为
2
x
my
，其中
0
2
y
m
，
与抛物
立可得
线联
2
4
8
0
y
my
，则
1
2
4
y
y
m
，
1
2
8
y y
，
若
AF
CF
CF
BF
成立，即
2
AF BF
CF
成立，
由抛物
定
得
线
义
1
1
AF
x
，
2
1
BF
x
，
2
2
0
9
9
4
CF
y
m
，
所以
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
3
3
3
9
4
9
AF BF
x
x
my
my
m y y
m y
y
m
CF
，故B 正确；
于
对
C，若
AF
AD
BF
BD
成立，可知DF 为
AFB
的平分
，即
明
线
证
AFD
BFD
，
等价于
明
证
，即
明
证
FA CF
FB CF
FA CF
FB CF
，
即
明
证
FA CF
FB
FB CF
FA
，
又
0
3,
CF
y
，
1
1
1,
FA
x
y
，
2
2
1,
FB
x
y
，
代入化
可得
简
1
0
1
2
3
1
1
x
y y
x
2
0
2
1
3
1
1
x
y y
x
，
即
1
1
2
2
2
1
3
3
2
4
1
3
3
2
4
1
x
x
x
x
x
x
，
即
1
2
1
1
x
x
2
1
1
1
x
x
，故C 正确；
于
对
D，若
AC
AP
BC
BP
成立，则CP 为
ACB
的平分
，
线
所以点P 到直线AC 的距离等于点P 到直线BC 的距离，即
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
4
2
4
2
4
2
4
2
4
4
4
4
4
4
x
x
x
x
x
x
y
y
1
2
x
x
，
即只有当
1
2
x
x
成立，故
时
D 错误.
故
：
选ABC.
题型09：四心问题
【典型例题】已知
抛物
为
线
上的三个点，焦点F 是
的重心．
直
记
线AB，AC，BC 的斜率
分别为
，
（
则 ）
A．
段
线
BC 的中点坐标为
B．直线BC 的方程为
C．
D．
【解析】设
，因为F 为
重心，
所以
，设BC 中点
，则
，
，由重心分中线
得
，即
，
又因为A 在抛物
上，所以
线
，所以
，即
，故A 正确；
，
直线
，故B 正确；
因为
，所以
，所以
，故C
；
错误
，同理
，
所以
，故D 正确．
故
：
选ABD
【变式训练9-1】在平面直角坐
系
标
xOy 中，
点
过
的直线l 与抛物线C：
交于A，B 两点，点
段
为线
AB 的中点，且
，
下列
正确的
（
则
结论
为 ）
A．N 为
的外心
B．M 可以为C 的焦点
C．l 的斜率为
D．
可以小于2
【解析】
由
可得
，则N 为
的外心，A 正确；
易得直线斜率不为0，设
，
，
立
联
可得
，
，则
，则
，由
可得
，
即
，则
，
焦点
则
为
，B
；
错误
由
作差得
，即
，C 正确；
，则
，D 错误.
故
：
选AC.
【变式训练9-2】已知
的三个
点
顶
均在抛物线
上，
下列命
正确的有（
则
题
）
A．若直线BC
点
过
，
存在点
则
A 使
直角三角形；
为
B．若直线BC
点
过
，
存在
则
使抛物线
的焦点恰为
的重心；
C．存在
，使抛物线
的焦点恰为
的外心；
D．若边AC 的中线
，
轴
，则
的面积为
【解析】设
三点坐
分
标
别为
，
A
，直
选项
线BC
点
过
，设BC 方程为
，
立
联
，消去x 得，
，
，
，
，
所以
，而点O 在抛物
上，故
线
A 正确；
B
，直
选项
线BC
点
过
，设BC 方程为
，
立
联
，消去x，得
，
，
抛物线
的焦点恰为
的重心，
，
，
将A 点坐
代入抛物
方程，
标
线
则
，所以
，
当
，
时
，故B 正确；
C
，
以抛物
焦点
选项设
线
心的
半径
为圆
圆
为r，
其方程为
，与抛物
方程
立得：
线
联
，
，
方程至多只有一个非
解，即
与抛物
至多只有两个交点，
负
圆
线
不存在
，使抛物线
的焦点恰为
的外心，故C 不正确；
D
，
选项AC 的方程为
，代入抛物
方程得，
线
，
，
设AC 中点
，
轴
，
，代入抛物
方程得
线
，
，
，故D 不正确.
故
：
选AB.
【变式训练9-3】
抛物
设
线
的焦点为
，
抛物
上异于
点的一点，且
为
线
顶
在准
上的射影
线
为
，
下列
则
正确的有（
结论
）
A．点
的中点在
上
轴
B．
的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物
上
线
C．当
的垂心在抛物
上
，
线
时
D．当
的垂心在抛物
上
，
线
时
等
三角形
为
边
【解析】
于
对
A
，抛物
选项
线
的焦点为
，准
方程
线
为
，
点
设
，
点
则
，所以，
段
线
的中点为
，A
；
对
于
对
B
，由抛物
的定
可知
选项
线
义
，则
等腰三角形，
为
因为
为
的中点，则
，所以，
的重心、垂心、外心、内心都在直线
上，
，
直
则
线
的方程为
，
立
联
可得
，则
，
所以，直线
与抛物线
相切，B
；
错
于
对
C
，
点
选项设
第一象限内的点，
为
若
的垂心
在抛物
上
，
点
线
时设
，其中
，
将点
的坐
代入抛物
方程可得
标
线
，可得
，即点
，
由
意可知，
题
、
、
三点共
，
线
，
，
由
可得
，整理可得
，解得
，
所以，
，即点
，所以，
，
，C
；
对
于
对
D
，当
选项
的垂心在抛物
上
，点
线
时
，则
，
轴则
，
此
，
时
直角三角形，
为
D 错.
故
：
选AC.
【变式训练9-4】已知抛物线
的焦点为
，点
，
，
抛物
上不与
为
线
重合的
点，
动
坐
原
为
标
点，
下列
法中，正确的有（
则
说
）
A．若
中点
坐
纵
标为2，则
的斜率为2
B．若点
恰为
的垂心，则
的周长为
C．若
与
的
斜角互
，
倾
补则
的斜率恒为
D．若
，则
点
坐
的取
范
是
纵
标
值
围
【解析】
于
对
选项A，设
，
，
由
则
，
在抛物
上可得
线
，
，
所以
，当
中点
坐
纵
标为2
，
时
，所以
，A
；
错误
于
对
选项B，若点
恰为
的垂心，
由
则
，可得
，
关于
称，所以
轴对
，
则
，
，又由
可得
，所以
，
则
，
，所以
，
，则
的周长为
，B 正确；
于
对
选项C，若
与
斜角互
，
倾
补则
，即
，
所以
，则
，故C
；
错误
于
对
选项D，若
，由
可得
，即
，
即
（
，
与2 互不相等），
将
看作关于
的一元二次方程，令
，解得
，
又当
，
时
，当
，方程无解，所以
时
点
坐
纵
标
，故D 正确，
故
：
选BD.
【变式训练9-5】
抛物
设
线
的焦点为
，
抛物
上异于
点的一点，且
为
线
顶
在准
上的射影
线
为
，
下列
则
正确的有（
结论
）
A．点
的中点在
上
轴
B．
的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物
上
线
C．当
的垂心在抛物
上
，
线
时
D．当
的垂心在抛物
上
，
线
时
等
三角形
为
边
【解析】
于
对
A
，抛物
选项
线
的焦点为
，准
方程
线
为
，
点
设
，
点
则
，所以，
段
线
的中点为
，A
；
对
于
对
B
，由抛物
的定
可知
选项
线
义
，则
等腰三角形，
为
因为
为
的中点，则
，所以，
的重心、垂心、外心、内心都在直线
上，
，
直
则
线
的方程为
，
立
联
可得
，则
，
所以，直线
与抛物线
相切，B
；
错
于
对
C
，
点
选项设
第一象限内的点，
为
若
的垂心
在抛物
上
，
点
线
时设
，其中
，
将点
的坐
代入抛物
方程可得
标
线
，可得
，即点
，
由
意可知，
题
、
、
三点共
，
线
，
，
由
可得
，整理可得
，解得
，
所以，
，即点
，所以，
，
，C
；
对
于
对
D
，当
选项
的垂心在抛物
上
，点
线
时
，则
，
轴则
，
此
，
时
直角三角形，
为
D 错.
故
：
选AC.
题型10：向量问题
【典型例题】设F
抛物
为
线C：
的焦点，过F 且
斜角
倾
为30°的直
交
线
C 于A，B 两点，
（
则 ）
A．
B．
C．
D．
【解析】抛物线C 的焦点为
，所以直线AB 的方程为
，
将
代入
，整理得
，
设
，由根与系数的关系得
，故D
；
错误
，故C
；
错误
，故B 正确；
由抛物
的定
可得
线
义
，故A 正确.
故
：
选AB．
【变式训练10-1】已知抛物线C 的方程为
，过C 焦点F 的直
与
线
C 交于M，N 两点，直线MO 与C 的准
交
线
于Q 点（其中O
坐
原点），
为
标
P 为C 准
上的一个
点，下列
正确的是（
线
动
选项
）
A．当直线MN 垂直x
，弦
轴时
MN 的
度最短
长
B．
定
为
值
C．当PM 与C 的准
垂直
，必有
线
时
D．至少存在两个点P，使得
【解析】如
所示，由抛物
图
线
，可得焦点
，准
方程
线
为
，
设
，直线
的方程为
，
立方程
联
组
，整理得
，可得
，
，
于
对
A 中，由
，
当且
当
仅
，即
时
，等号成立，此
时
时
垂直于
，所以
轴
A 正确；
于
对
B 中，由
，所以B 正确；
于
对
C 中，直线
的方程为
，令
，可得
，
所以
，所以
，所以C
；
错误
于
对
D 中，由抛物
的定
知，直角梯形
线
义
的中位线
，
即以
直径的
与抛物
的准
相切于点
为
圆
线
线
，所以
足
满
的点恰好有一个，所以D 错误.
故
：
选AB.
【变式训练10-2】已知点A 是抛物线
上的
点，
动
坐
原点，
为
标
焦点，
为
，
且
三点
排列，
（
顺时针
则 ）
A．当点
在
上
，
轴
时
B．当点
在
上
，点
轴
时
A 的坐标为
C．当点A 与点
关于
称
，
轴对
时
D．若
，
点
则
A 与点
关于
称
轴对
【解析】因为
，所以
等
三角形，
为
边
于
对
A，当点
在
上
，又
轴
时
三点
排列，所以大致
像如
，
顺时针
图
图
此时
所在直
方程
线
为
，与
立，消去
联
得
，
解得
或
，所以
，故A 正确；
于
对
B，当点
在
上
，又
轴
时
三点
排列，
顺时针
所以此时A 点在
下方，且
轴
所在直
方程
线
为
，
与
立，消去
联
得
，解得
或
，
当
，
时
，即A 点坐标为
，故B 正确；
于
对
C，当点A 与点
关于
称
，又
轴对
时
三点
排列，
顺时针
所以此时A 点在
上方，且
轴
所在直
方程
线
为
，
与
立，消去
联
得
，解得
或
，所以
，故C 正确；
于
对
D，当
，得
时
A 点横坐标为
，此时A 点可能在
上方，也可能在
轴
下方
轴
.
因为
三点
排列，所以当
顺时针
A 点在
上方
，可得点
轴
时
A 与点
关于
称；
轴对
当A 点在
下方
，可得此
轴
时
时
点在
上，点
轴
A 与点
不关于
称；故
轴对
D
；
错误
故
：
选ABC.
【变式训练10-3】抛物
的弦与
弦的端点的两条切
所
成的三角形称
阿基米德三角形
线
过
线
围
为
.
抛物
设
线
，弦
焦点
过
其阿基米德三角形，
下列
一定成立的是（
为
则
结论
）
A．存在点
，使得
B．
C．
于任意的点
对
，必有向量
与向量
共线
D．
面
的最小
积
值为
【解析】
设
，
，
直
设
线
，
立
联
，化为
，而
，
所以
.
点
设过
的切线为
，
立
联
，整理可得
，
由
，可得
.同理可得
点
过
的切
斜率
线
为
.
于
对
A，
，
，
，故A
；
错
于
对
B，可得点A ，B
的切
方程分
：
处
线
别为
，
可得
,
，又因
直
为
线AB 的斜率为
，
，
又由A
可知
选项
，所以
，所以
，
，故B 正确；
于
对
C，设AB 的中点为
，
由
则
，
轴
而向量
，
向量
与向量
共
，故
线
C 正确；
于
对
D，如
，
准
与
图设
线
的交点
轴
为
，
面
的
积
，可知当
最短
（最短
时
为
），
也最短，
最短为
，所以
面
的最小
积
值为
，故D 正确.
故
：
选BCD.
题型11：定点定值定直线
【典型例题】已知抛物线
的焦点为
，准线为，
、
是
上异于点
的两点（
坐
原点）
下列
为
标
则
说
法正确的是（ ）
A．若
、
、
三点共
，
线则
的最小值为
B．若
，则
的面积为
C．若
，
直
则
线
定点
过
D．若
，过
的中点
作
于点
，则
的最小值为
【解析】
于
对
A
，易知抛物
选项
线
的焦点为
，
当直线
与
重合
，直
轴
时
线
与抛物线
只有一个公共点，不合乎
意，
题
直
设
线
的方程为
，
点
设
、
，
立
联
可得
，
，
由
达定理可得
韦
，
，则
，
易知
，
，所以，
，
当且
当
仅
，等号成立，故
时
的最小值为
，A
；
对
于
对
B
，
点
选项设
，
，可得
，所以，
，
则
，所以，
，B
；
对
于
对
C
，易知
选项
的斜率存在，
直
设
线
的方程为
，
点
设
、
，由于直线
不
原点，所以，
过
，
立
联
可得
，
，
由
达定理可得
韦
，所以，
，
因为
，则
，解得
，
所以，直线
的方程为
，故直线
定点
过
，C
；
错
于
对
D
，
点
选项过
作
于点
，
点
过
作
于点
，
设
，
，所以
，
因为
，
所以
，则
的最小值为，当且
当
仅
，等号成立，
时
D
．
对
故
：
选ABD．
【变式训练11-1】如
，
点
图过
作两条直线
和：
（
）分
交抛物
别
线
于
，
和
，
（其中
，
位于
上方），直
轴
线
，
交于点
．
下列
法正确的（
则
说
）
A．
，
两点的
坐
之
纵
标
积为
B．点
在定直线
上
C．点
与抛物
上各点的
中，
线
连线
最短
D．无论
旋
到什么位置，始
有
转
终
【解析】
点
设
，
将直线l 的方程
代入抛物
方程
线
得：
.则
，故A 正确；
由
得
题
，则
，
，
直线
的方程为
，直线
的方程为
，
消去y 得
，将
代入上式得
，故点Q 在直线
上，故B 正确；
抛物
上任一点
设
线
，则
，当
，
时
最小，此时
，即
最短，故C 正确；
因为
，但
，所以D 错误.
故
：
选ABC.
【变式训练11-2】已知抛物线
，
为
正半
上一点，
（
轴
轴
则 ）
A．存在点
，使得
点
过
任意作弦
，
有
总
定
为
值
B．不存在点
，使得
点
过
任意作弦
，有
定
为
值
C．存在点
，使得
点
过
任意作弦
，
有
总
定
为
值
D．不存在点
，使得
点
过
任意作弦
，有
定
为
值
【解析】设
，
，
，
由
，可得
，
有
则
，
所以
，
，
所以
+
，
所以当且
当
仅
，
时
，
即存在点
，使得
定
为
值
，故A 正确，B
；
错误
由
意可得
题
，
，
所以
，
如果
定
，
必有
为
值则
，而此方程
无解，
组
所以
不
定
，故
为
值
C
，
错误D 正确.
故
：
选AD.
【变式训练11-3】已知点
，抛物线
的焦点为F，过F 的直线l 交C 于P，Q 两点，
（
则 ）
A．
的最大值为
B．
的面
最小
积
值为2
C．当
取到最大
，直
值时
线AP 与C 相切
D．当
取到最大
，
值时
【解析】抛物线
的焦点
，准
方程
线
为
，设
，
然直
显
线不垂直于
，
直
轴设
线的方程
：
为
，
由
消去x 得：
，则
，
于
对
A，
然
显
，
，
当且
当
仅
取等号，
时
A 正确；
于
对
B，
的面积
，
当且
当
仅
取等号，
时
B
；
错误
于
对
C，由选项A 知，当
最大
，点
时
，此
直
时
线
方程为
，
由
消去x 得：
，
，直线AP 与C 相切，C 正确；
于
对
D，由选项C 知，当
最大
，
时
，
然
轴显
，
即
，
，D 错误.
故
：
选AC
【变式训练11-4】已知
是抛物线
内一
点，直
动
线
点
过
且与抛物线
相交于
两点，
下列
则
说
法正确的是（ ）
A．
，
时
的最小值为
B．的取
范
是
值
围
C．当点
是弦
的中点
，直
时
线
的斜率为
D．当点
是弦
的中点
，
时
上存在一定点
轴
，都有
【解析】抛物线
的焦点
，准
方程
线
为
，
于
对
A，当
，点
时
与
重合，
直
设
线的方程为
，
，
由
消去x 并整理得
，则
，
，当且
当
仅
取等号，
时
所以当
，
时
的最小值为
，A 正确；
于
对
B，
然点
显
在直线
上，由选项A 知，当
，可得
时
，
由点
在抛物线
内，知
，所以的取
范
是
值
围
，B 正确；
于
对
C，当点
是弦
的中点
，
时设
，
，若
，直线
的斜率不存在，
若
，
直
则
线
的斜率
，C
；
错误
于
对
D，由选项C 知，当
，
段
时线
的中垂
斜率
线
为
，方程为
，
即
，此直
定点
线过
，当
，
段
时线
的中垂线为
，
点
过
，
所以
段
线
的中垂
恒
定点
线
过
，即当点
是弦
的中点
，
时
上存在一定点
轴
，都有
，D
正确.
故
：
选ABD
【变式训练11-5】已知抛物线C：
的焦点为F，P，Q 为C 上两点，
下列
法正确的是（
则
说
）
A．若
，则
的最小值为4
B．若
，记
，则
C．
点
过
与C 只有一个公共点的直
有且
有两条
线
仅
D．以PQ
直径的
与
为
圆
C 的准
相切，
直
线
则
线PQ 过F
【解析】
如
所示，
图
设PQ 的中点为B，过P、Q、B 分
作
别
的垂
，垂足
线
为D、E、A，
于
对
A，由
意可知，抛物
题
线C：
的焦点为
，准线为
.
在抛物
上方，
线
，即最小值为M 到准线
的距离4，当M，P，A 三点共
等号成立，故
线时
A 正确；
于
对
B，由
，设过N 与抛物
相切的直
与抛物
切于点
线
线
线
，
则
，此
切
斜率
时
线
为
，即抛物
上任一点
线
P，
都有
，故
，所以B 正确；
于
对
C,由于点
在C 的下方，设过
与抛物
相切的直
切于点
线
线
，由上可得
或
，又知当
直
与抛物
只一个交点，故
点
时该
线
线
过
与C 只有一个公共点的直
有三条，所以
线
C 不正
确；
于
对
D，由梯形中位
性
及抛物
定
知
线
质
线
义
，所以直线PQ 过F，故D 正确.
故
：
选ABD.
【变式训练11-6】设
是抛物线
：
上的两点，
是坐
原点，下列
成立的是（
标
结论
）
A．若直线
抛物
的焦点
过
线
，则
的最小值为1
B．有且只有两条直
点
线过
且与抛物线
只有一个公共点
C．若
，则
定
为
值
D．若
，则
【解析】根据
意，抛物
的焦点
题
线
坐标为
， 设
.
A：若直线
点
经过
，
然其斜率存在，故
直
显
设
线
：
为
，
立抛物
方程可得：
联
线
，
则
，则
故
，当且
当
仅
取得最小
，故
时
值
A 正确.
B：当直线
的斜率不存在
，即
时
，
然与抛物
交于一点；
时显
线
当直线
的斜率存在
，不妨
其方程
时
设
为
，
立抛物
方程
联
线
可得：
，令
，可得
或
，
即直线
，也与抛物
只有一个交点
线
.
上所述，
足
点
综
满
过
且与抛物
交于一点的直
有
线
线
条，故B
；
错误
C：若
，
然
显
定
，故
为
值
C 正确；
D：若
，则
，即
，又
即
，又
两点与
点不能重合，
即
，则
.
，当且
当
仅
，且
取得最小
，故
时
值
D 正确.
上所述，正确的
是：
综
选项
ACD.
