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3.1 导数几何意义及运算（精练试卷版）
一．单选题：本题共8 小题，每题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1.（2025·福建莆田·二模）曲线
在点
处切线的斜率为
，则
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，令
，则
，故
，
当
时，
，即
的坐标为
.
故选：B.
2（2025·湖南）已知P 是曲线
上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为
，若
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
因为曲线在M 处的切线的倾斜角
，所以
对于任意的
恒成立，
即
对任意
恒成立，即
，又
，当且仅当
，
即
时，等号成立，故
，所以a 的取值范围是
．故选：D．
3.（2025 河南洛阳）已知函数
，则曲线
过坐标原点的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设切点为
，
，则切线斜率为
，
所以，所求切线方程为
，
将原点坐标代入所求切线方程可得
，即
，解得
，
因此，所求切线方程为
.故选：C.
4.（2025·江西·二模）已知函数
，则
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
时，
，
当
时，
，则
，
所以
，
，
则所求切线方程为
，即
.
故选：A
5（2025·江苏）若点P 是曲线
上任一点，则点P 到直线
的最小距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：设与直线
平行的直线与曲线
切于
，
由
定义域为
，得
，则
，
由
，解得
（舍去负值）．
，则点
到直线
的最小距离是
．故选：C．
6．（2025·江西·一模）已知函数
的图象在
处的切线过原点，则所在的区间是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
.
因为
的图象在
处的切线过原点，则
，
即
，即
.
设
，因为
在
上均单调递增，且函数值为正，
所以
在
上单调递增，且
，
，
所以
.
故选：
.
7.（2025·江西新余·模拟预测）过
轴上一点
可以作函数
图像的3 条切线，则
的取值范
围是：（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
设切点为
，则切线方程
，
而过
，将
代入方程得到
，
令
，
，
令
，
，此时
单调递减，
令
，
，此时
单调递增，
故
有极小值
，有极大值
，
则得到
，故A 正确.
故选：A.
8（24-25 高三上·河北唐山·期末）设
，
是曲线
在点
处的切线与x 轴交点的横坐标，记
，则数列
的前50 项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，当
时，
，
在点
处的切线为：
，
化简为：
，
当
代入
中，
，即
，
，
化简：
，
则数列
的前50 项和为：
，
故选：A．
二．多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6 分，不分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9.（24-25 陕西西安 ）下列函数中，直线
能作为其图像的切线的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】直线
能作为下列函数图象的切线，即函数图象存在某点的导数值为
，
选项A，
，故
，令
，无解，故A 不正确；
选项B，
，故
，令
，得
，故B 正确；
选项C，
，故
，令
，解得
或
，
，故C 正确；
选项D，
，故
，令
，故
，无解，故D 不正确.
故选：BC.
10．（2025·河北保定·一模）已知曲线
，则（ ）
A．直线
与曲线
相切
B．若直线
与曲线
相切，则
C．当曲线
与曲线
都相切时，
D．当
时，若过原点可作曲线
的两条切线，则
或
【答案】ACD
【解析】选项A：联立
和
2，得
，
所以直线
与曲线
相切，故A 正确；
选项B：由
，得
，由
，得
，故B 错误；
选项C：由
，得
，令
，得
，
则
，所以切线方程为
，即
，则
，
令
，得
，则
，
所以切线方程为
，即
，则
，
所以
，故C 正确；
选项D：当
时，
，令
，
则
，设过原点的直线与曲线
切于点
，
则切线方程为
，
将原点
代入得
，整理得
，
则
，解得
或
，故D 正确.
故选：ACD.
11.（24-25 安徽合肥）直线
与曲线
相切于点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】由题意，直线
与曲线
相切于点
，
所以点
代入直线
，可得
，
令
，则
，
，
，解得
，
即
，
把点
代入得
，
解得
，故
．
故选：ABC．
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（2024·天津和平·二模）过点
作曲线
的切线，则切点的坐标为 ．
【答案】
【解析】设切点的坐标为
，由
，
，
所以过切点的切线方程为：
，
把
代入得：
，即
，
所以
，则切点坐标为：
即
.
故答案为：
13．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数
图象的一条切线的方程为
，则
．
【答案】
【解析】对函数
求导得
，
直线
的斜率为
，由
，可得
，
显然
，解得
，
若切点横坐标为
，则
，
则切点
在直线
上，
可得
，解得
；
若切点横坐标为
，
，
则切点
在直线
上，
可得
，无解.
综上所述，
.
故答案为：.
14．（23-24 高三上·江苏连云港·阶段练习）已知直线分别与曲线
，
相切于点
，
，则
的值为 .
【答案】1
【解析】由
，
，有
，
，
在点
处的切线方程为
，
在点
处的切线方程为
，
则有
，得
，
所以
，可得
.
故答案为：1.
四．解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（2024-2025 河北）已知函数
．
(1)求
的值；
(2)求曲线
在点
处的切线方程．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由
，得
，
因为
，所以
，解得
．
（2）由上问得
，所以
，则
，
因为
，所以
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
．
16（24-25 重庆合川·阶段练习）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求过点
且与曲线
相切的直线的切点坐标.
【答案】(1)
(2)
或
【解析】（1）因为
，求导得
，故
，
因此，曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
（2）设切点坐标为
，则曲线
在点
处的切线的斜率为
，
故所求切线方程为
，
将点
的坐标代入切线方程得
，
整理可得
，即
，解得
或
，
故所求切点的坐标为
或
.
17．（2025·江苏盐城·三模）若函数
与函数
的图象在公共点处有相同的切线.
(1)当
时，求函数
与
在公共点处的切线方程；
(2)求
的最小值：
【答案】(1)
(2)1
【解析】（1）当
时，
，
设
为
与
的一个公共点，
因
，
则
得
，
故切点为
且
，
所以
与
在公共点处的切线方程为
（2）设
为
与
的一个公共点，
因
，
则
由②得
，即
，将其代入①中得，
，
即
，
令
，则
，
则当
时，
在区间
单调递增；
当
时，
在
单调递减，
故
，又因
，故
，当且仅当
时取“
”，
故
的最小值为.
18．（24-25 高三上·浙江宁波·期末）已知函数
．数列
的首项
．以后各项按如
下方式取定：记曲线
在
处的切线为
，若
，则记
与
轴交点的横坐标是
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由
，得
，
曲线
在
处的切线方程为
，
根据题意令
可得，
，
由
，
因为
，所以
，且由
得，
所以数列
是以1 为首项，2 为公比的等比数列．
（2）由上式得
，
，
则
，①
两边乘以2 可得：
，②.
由①－②得，
，
所以
．
19．（2025·湖北·二模）已知函数
的图象
与椭圆
交于
两个不同的点.
是
上的点，
在
处的切线交
轴于点
，过
作
轴的垂线交
于
在
处的切线交
轴于点
，过
作
轴的垂线交
于
，重复上述操作，依次得到
.
(1)求
；
(2)记直线
的斜率为
.
（i）设
的面积分别为
，证明：
；
（ii）若
，求证：
.
【答案】(1)
，
.
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【解析】（1）解：由题意
在
处的切线方程为
；
令
，可得
，即
.
由
可知
在
处的切线方程为
；
令
可得
，即
；
所以数列
是以
为首项，公差为
的等差数列，所以
.
（2）（i）设
，由题意
不同时为0，不妨令
且
；
.
由（1）可知
；
则
.
要证
，即证
，即证
；
令
，即证
，再令
，即证
，即证
.
构造函数
，则
，所以
在
上单调递增；
即
.所以
得证.即
.
（ii）由（i）可知，
，所以
.
因为
，
得
；
即
，即
.
得
，因为
，所以
；
所以
.
所以
.即
.
当
时，有
，即
；
所以
，从而
.
【点睛】常见的放缩法技巧：
