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2.4 指数运算及指数函数考点一 指数的运算
【例1】（2024广西）化简求值:
(1) ；
(2) ．
(3) ；
（4）已知 ，计算： .
【一隅三反】
1（2024甘肃）（多选）下列根式与分数指数幕的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高三·全国·专题练习）化简下列各式：
（1） =（2） （ =
（3 设 ，则 的值为
3.（2024广东广州）计算下列各式．
(1) ； （2）
（3） ； （4） ；
(51) ； (6) ；
（7）已知 ，求 的值．
考点二 指数函数概念及解析式
【例2-1】（2024宁夏吴忠·阶段练习）给出下列函数，其中为指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】（2023上海）函数 是指数函数，求 的值 ．
【例2-3】（2024·广东湛江·开学考试）若函数 （ ，且 ）满足 ，则 的值为（ ）
A．± B．±3 C． D．3
【一隅三反】
1．（2024广西河池·期末）已知指数函数 的图象经过点 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．4
2．（2024江西新余·期中）（多选）若函数 是指数函数，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
考点三 指数型函数的定义域
【例3-1】（2024湖南）设函数 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】（2022·4海南·模拟预）已知函数 的定义域为 ，则 ．
【一隅三反】
1．（2024北京·期末）函数 的定义域是 ．
2．（2024湖南长沙·）函数 的定义域为
3．（2024重庆渝中）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 .
（用区间或集合作答）
考点四 指数型函数的值域
【例4-1】（1）（2024浙江丽水）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2024河北石家庄·阶段练）函数 ， 的值域是（ ）A． B． C． D．
（3）（2024黑龙江绥化）当 时，函数 的值域为 .
【例4-2】（1）（2024湖北）已知函数 的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2024·四川成都·二模）已知函数 的值域为 ．若 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1（2024山东潍坊·期中）函数 的最大值为（ ）
A．4 B．3 C． D．
2．（2024上海虹口·期中）已知函数 ，则 的值域为 ．
3．（2024·贵州·模拟预测）已知函数 ，则 的最大值是 .
4．（2023高三·全国·专题练习）函数 的值域为 .
5．（2024福建福州·期中）函数 的值域为 ．
6．（2024上海·开学考试）若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为 ．
7（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）若函数 （ 且 ）在区间 上的值域为 ，则实
数 的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．8（2023·甘肃兰州·模拟预测）已知函数 的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点五 指数型函数的单调性
【例5-1】（2024湖南岳阳·期中）已知函数 ，则函数 单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【例5-2】（2024·辽宁·一模）若函数 在区间 内单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例5-3】（2024内蒙古赤峰）若函数 是 上的减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1（2024上海静安·阶段练习）函数 的严格增区间是 .
2．（2024·福建福州·模拟预测）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024天津和平）设函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024江苏淮安·阶段练习）使得“函数 在区间 上单调递减”成立的一个充分不必要条
件可以是（ ）A． B． 1 C． D． 0
考点六 指数型函数单调性的应用
【例6-1】（2024·江苏宿迁·一模）已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【例6-2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，则 的解集为
（ ）
A． B．
C． D．
【例6-3】（2024·天津·一模）已知实数a，b，c满足 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【例6-4】（23-24高三下·河南周口·开学考试）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2023·河北邯郸·模拟预测）已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
2（23-24高三上·天津·期末）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024江苏苏州·阶段练习）若 ，则（ ）
A． B． C． D．4（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则a，b，c（ ）
A． B． C． D．
5.（2024上海黄浦·期末）已知函数 ，则不等式
的解集为 .
考点七 指数型函数的图像
【例7-1】（2023广东惠州·阶段练习）函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【例7-2】（2024广西柳州·期中）要使 的图象不经过第一象限，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024江西·开学考试）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2.（2024山东济南）函数 的图象大致为（ ）A． B． C． D．
3．（2024江苏常州）（多选）若函数 （其中 且 ）的图象过第一、三、四象限，则
（ ）
A． B．
C． D．
考点八 指数型函数的定点
【例8-1】（2024安徽六安）函数 ，且 恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【例8-2】（2024内蒙古鄂尔多斯·）当 时， 的图像恒过点（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024辽宁抚顺）已知函数 的图象恒过定点P，则P点的坐标为（ ）.
A． B． C． D．
2（22024广西南宁 ）函数 且 的图象恒过定点 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024福建莆田）对任意 且 ，函数 的图象都过定点 ，且点 在角 的终边上，则
（ ）
A． B． C． D．
考点九 指数型函数的实际应用
【例9】（2024·云南楚雄·一模）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务．已知某种垃圾的分解率 与时间 （月）近
似满足关系 （其中 、 为正常数），经过 个月，这种垃圾的分解率为 ，经过 个月，这种垃圾
的分解率为 ，则这种垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月（参考数据： ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2023·四川宜宾·一模）某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，a个这种病毒在t天后将繁殖到 个．已
知经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍．且再过m天后病毒的数量将达到原来的16倍，则 （ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
2．（2024河北保定）在百端待举、日理万机中，毛泽东主席仍不忘我国的教育事业.1951年9月底，毛主席在
接见安徽参加国庆的代表团时，送给代表团成员——渡江小英雄马毛姐一本精美的笔记本，并在扉页上题词：
好好学习，天天向上.这8个字的题词迅速在全国传播开来，影响并指导着一代代青少年青春向上，不负韶华.
他告诉我们：每天进步一点点，持之以恒，收获不止一点点.把学生现在的学习情况看作1.每天的“进步率”为
3%，那么经过一个学期（看作120天）后的学习情况为 ，如果每天的“迟步率”为3%，同
样经过一个学期后的学习情况为 ，经过一个学期，进步者的学习情况是迟步者学习情况的
1335倍还多，按上述情况，若“进步"的值是“迟步”的值的10倍，要经过的天数大约为（保留整数）（参考
数据： ， ）（ ）
A．28 B．38 C．60 D．100
3．（2023·湖南长沙·模拟预测）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性
．动植物死亡后，停止了新陈代谢， 不再产生，且原来的 会自动衰变．经过5730年，它的残余量只
有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中 含量占原来的 ，推算该古物约是 年前的遗物（参考数
据： ），则实数 的值为（ ）A．12302 B．13304 C．23004 D．24034
一．单选题
1．（2024北京）函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
3（2024福建漳州）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4.（2023·贵州）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 （单位： 与时间
（单位： ）间的关系为 ，其中 ， 是正的常数．如果在前 消除了 的污染物，则10小时后
还剩下百分之几的污染物？（ ）
A． B． C． D．
5.（2023·全国·高三专题练习）已知函数 为偶函数，则 （ ）
A．-1 B．-2 C．2 D．1
6.（2024·四川）设函数 在定义域 上满足 ，若 在 上是减函数，且 ，
则不等式 的解集为（ ）A． B． C． D．
7（2024·辽宁·一模）设 则（ ）
A． B．
C． D．
8.（2024·四川攀枝花）已知奇函数 在 上的最大值为 ，则 （）
A． 或3 B． 或2 C．3 D．2
二．多选题
9．（2024河北邯郸·期中）若函数 且 的图象过第一、三、四象限，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024江苏徐州·阶段练习）函数 的定义域为 ，值域为 ，下列结论中一定成立的
结论的序号是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·吉林）若函数 的图像经过点 ， 则（ ）
A． B． 在 上单调递减
C． 的最大值为 81 D． 的最小值为
三．填空题
12．（2024云南）若函数 （ ，且 ）的图象不经过第二象限，那么a，b的取值范围分别
为 .
13（2024河南信阳·阶段练习）设函数 且 在区间 单调递减，则 的取值范围是
.14．（2024上海闵行）已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是
．
四．解答题
15．（2024广东湛江）设函数 ．
(1)若函数 的图象关于原点对称，求函数 的零点 ；
(2)若函数 在 ， 的最大值为 ，求实数 的值．
16（2024上海虹口）已知函数 是定义域为 的奇函数.
(1)求实数 的值，并证明 在 上单调递增；
(2)已知 且 ，若对于任意的 、 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围.17．（2024·四川遂宁）已知函数 定义在 上有 恒成立，且当 时，
.
（1）求 的值及函数 的解析式；
（2）求函数 的值域.
18．（2024·新疆）设函数 ．
(1)求函数 的值域；
(2)设函数 ，若对 ，求正实数a的取值范围．19．（2024天津）已知函数 （ 为常数，且 ， ）．
(1)当 时，若对任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围；
(2)当 为偶函数时，若关于 的方程 有实数解，求实数 的取值范围．
