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考点巩固卷 04 指对幂函数（六大考点）
考点01：指数基础运算及特殊运算
1、有理数指数幂的分类
n个
an = ⏞ a⋅a⋅a⋅a⋅a⋯a(n∈N¿)
⑴正整数指数幂
a0 =1(a≠0)
⑵零指数幂
1
a−n = (a≠0,n∈N¿)
an
⑶负整数指数幂
⑷0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
2、有理数指数幂的性质
am ⋅an =am+n (a>0,m,n∈Q)
⑴(am) n =a mn (a>0,m,n∈Q)
⑵
(ab) m =ambm (a>0,b>0,m∈Q)
⑶
m
⑷
√n am =an(a>0,m,n∈Q)
3、根式的定义
一般地，如果 xn =a ，那么x叫做a的n次根式，其中 (n>1,n∈N¿),√ n a 叫做根式，n叫做根指数，
a叫做开方数.
n
√a
4、对于根式 ，要注意以下几点
⑴
n∈N
且
n>1
；
√ n an =|a|= {a,a≥0
⑵当n为奇数时，
√ n an =a
；当n为偶数时，
−a,a<0
；
⑶负数没有偶次方根；
0 0
⑷ 的任何次方根都是
5、多重根号问题，首先先写成指数形式
{√ √ 3 √ 7 7 √ 1 √ 1 {√ 1 1
√a⋅√a⋅√a= a⋅ a2 = a4 =a8 a2 ⋅ a2 ⋅√a= a2 ⋅√a1 =√a1 =a2
1 1 1 7 1 1 1 1
a2 ⋅a4 ⋅a8 =a8 a4 ⋅a8 ⋅a8 =a2
，
6、指数的逆运算过程
( 3 3 )− 3 1 = ( 27 )− 3 1 = [ ( 3 ) 3]− 3 1 = ( 3 ) −1 = 2
8 8 2 2 3
特殊运算：形如 ，求下列各种形式的值的思路．
（1） ；根据 计算即可；
（2） ；根据 计算即可；
（3） ．由于 ，进而根据
即可求解.
（4） ；根据 计算即可（5） 根据 计算即可
（6） 根据 计算即可
1．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．用分数指数幂的形式表示 的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．化简 的结果为（ ）
A． B．
C． D．
4．计算 ，结果是（ ）
A．1 B． C． D．
5．函数 的导数为（ ）
A． B． C． D．
6．化简 的结果为（ ）
A． B．C． D．
7．已知 ，则 的值是（ ）
A．15 B．12 C．16 D．25
8．化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．下列各式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．设 ， ， 为奇函数，则 的值为 ．
考点02：对数基础运算
1、对数运算法则
(M)
log =log M−log N
log (MN)=log M+log N a N a a
①外和内乘： a a a ②外差内除：
n
log bn = log b(m,n∈R)
am m a log 1=0
③提公次方法： ④特殊对数： a
a log a b =b,log ab =b
⑤指中有对，没心没肺，真数为几，直接取几： a
2、对数的定义
一般地，如果 ax =N(a>0,a≠1) ，那么数x叫做以a为底 N 的对数，记 x=log a N ,其中a叫做对数的
N (N>0)
底数， 叫做对数的真数
3、换底公式log b 1
log b= m log b=
a log a a log a
①常用换底 m ②倒数原理 b
lgb lgc lgc
log b⋅log c= × = =log c
a b lga lgb lga a lg2+lg5=1
③约分技巧 ④具体数字归一处理：
11．下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．若实数 ， ， 满足 且 ，则 （ ）
A． B．12 C． D．
13．工厂废气排放前要过滤废气中的污染物再进行排放，废气中污染物含量 （单位：mg/L）与过滤时间
小时的关系为 （ ， 均为正的常数）．已知前5小时过滤掉了10%污染物，那么当污染物过
滤掉50%还需要经过（ ）（最终结果精确到1h，参考数据： ， ）
A．43h B．38h C．33h D．28h
14．若 ， ，则 （ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
15．设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
16．已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，则
（ ）
A． B． C． D．17．已知 ， ，用a，b表示 为（ ）
A． B． C． D．
18． ．
19．方程 的正实数解为 .
20．已知 ， ，则 ．
考点03：指对数函数底数大小的比较
y=ax,y=bx,y=cx,y=dx
形如：
图象如下：
先画一条
x=1
的直线，明确交点，由下至上底数越来越大.
形如： 确定 大小关系
⇒x =c,x =d,x =a,x =b
其中 1 2 3 4 ，
先画一条
y=1
的直线，明确交点，由左至右底数越来越大.故
c1 00时，y>1；当x<0时，01；当x>0时，01
和
01 01时，y>0；当01时，y<0；当00
⑤在(0，＋∞)上是增函数 ⑤在(0，＋∞)上是减函数
27．函数 的图象过定点 ，且定点 的坐标满足方程 ，其中 ， ，
则 的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．8
28．已知函数 的图象恒过定点P，则P点的坐标为（ ）.
A． B．
C． D．
29．函数 ，且 恒过定点（ ）
A． B． C． D．
30．函数 且 的图象恒过定点 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
31．已知函数 且 的图象恒过定点 ，且 点在直线 上，
则 的最小值是（ ）A． B． C． D．
32．函数 的图象恒过定点 ，且点 的坐标满足方程 ，其中 ，
，则 的最小值为（ ）
A．7 B．6 C． D．
33．当 且 时，函数 恒过定点（ ）
A． B． C． D．
34．已知函数 图象恒过的定点在双曲线 的一条渐近线上，双
曲线离心率为e，则 等于（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
35．若函数 ，且 的图象所过定点恰好在椭圆 上，则
的最小值为（ ）
A．6 B．12 C．16 D．18
36．函数 （ 且 ）的图象所过的定点为（ ）
A． B． C． D．
考点05：涉及指对数分段函数判断参数的取值范围
{f (x),x≤m
G(x)=
g(x),x>m
形如：
G(x) f (x) g(x) g(m)≥f (m)
①如果 为单调递增函数，满足： 为递增函数， 为递增函数， .G(x) f (x) g(x) g(m)≤f (m)
②如果 为单调递减函数，满足： 为递减函数， 为递减函数， .
G(x) f (x) g(x) g(m)≤f (m)
③如果 由最大值，满足： 为递增函数， 为递减函数， .
G(x) f (x) g(x) g(m)≥f (m)
④如果 由最小值，满足： 为递减函数， 为递增函数， .
{f (x),x≤m
G(x)=
g(x),x>m
形如：
G(x) f (x) g(x) g(m)≥f (m)
①如果 为单调递增函数，满足： 为递增函数， 为递增函数， .
G(x) f (x) g(x) g(m)≤f (m)
②如果 为单调递减函数，满足： 为递减函数， 为递减函数， .
G(x) f (x) g(x) g(m)≤f (m)
③如果 由最大值，满足： 为递增函数， 为递减函数， .
G(x) f (x) g(x) g(m)≥f (m)
④如果 由最小值，满足： 为递减函数， 为递增函数， .
37．已知 在 上满足 ，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
38．函数 在 上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
39．若函数 的值域为 ，则 的取值范围为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ， ，
40．已知函数 在 上单调,则 的取值范围为( )A． B． C． D．
41．已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
42.设函数 有最大值，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
43.函数 （ 且 ）在R上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
44.如果函数 ，满足对任意 ，都有 成立，那么a的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点06：指对数大小比较问题
指对数大小比较问题已经成为高考的重难点问题，我们这里介绍五大核心思想.
核心思想一：同步《升⇔降》次法
log b=log bn
a am
log 3=log 32 =log 33 =log 34 =log 3−1
形如： 2 22 23 24 2−12,3
注意：一般情况下以 为底的对数比较大小，底数真数次方一起同升同降.
2,3
口诀： 为底眼睛亮，底真次方同升降.
核心思想二：先分离常数再比大小
当底数与真数出现倍数关系，必须先将对数分离常数后作比较.
log (pm)=log p+log m=log p+1
① m m m m
log (pmn)=log p+log mn =log p+n
② m m m m
口诀：底真出现倍数时，分离常数用起来
核心思想三：利用糖水变甜不等式比较大小
当对数比较大小形式中出现底数与真数成等差数列时，可以采用糖水不等式放缩处理.
b+m b a+m a
> <
形如：
a>b>0,m>0
则存在
a+m a
，或
b+m b
45．设 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
46．已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
47．已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
48．若 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
49．三个数 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．50．设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
51．已知正数 ， ， 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
52．若 ，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
53．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
54．若 ， ， ， 则（ ）
A． B． C． D．
