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专题 20.2 勾股定理的应用
1. 掌握勾股定理的应用以及应用的各种类型，能够熟练地把勾股定理应用在各种类型
教学目标
中解决问题。
1. 重点
（1）勾股定理的应用。
2. 难点
（1）利用勾股定理验证直角三角形三边所画图形的面积关系；
教学重难点
（2）用勾股定理在数轴上找无理数的位置；
（3）利用勾股定理求直角三角板的三边比值关系并应用；
（4）利用勾股定理求平面直角坐标中两个点之间的距离；
（5）勾股定理的实际应用。知识点01 勾股定理的应用（6种问题中的应用）
1. 勾股定理的应用：
（1）后股定理在几何中的应用：
在直角三角形中计算或证明，即已知两边的长求第三边，或者证明含有平方关系的几何题。
【即学即练1】
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别表示∠A、∠B、∠C的对边．
（1）已知a＝3，b＝2，求c；
（2）已知c=❑√11，a=❑√7，求b．
（2）勾股定理在实际问题中的应用：
在建筑测量，工程设计等实际问题中，如遇到求高度、长度、距离、面积等，可以构造直角三角形
运用勾股定理求解。
【即学即练1】
2．消防车上的云梯示意图如图1所示．（云梯最多只能伸长到25米，消防车高5米．如图2，某栋楼发生
火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援．救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置 A与
楼房的距离OA为15米．
（1）求B处与地面的距离．
（2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离．为了能成功地
救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？
（3）直角三角形的三边所作相同图形的面积关系：
以直角三角形的三边做相同的图形（等边三角形、等腰直角三角形、正方形、半圆），则两直角边所作图形的面积之和 斜边所作图形的面积。
【即学即练1】
3．如图，分别以直角三角形的三边a、b、c为边，向外作半圆，等腰直角三角形和正方形，上述三种情况
的面积关系满足S +S ＝S 的图形个数有（ ）
1 2 3
A．0 B．1 C．2 D．3
【即学即练2】
4．如图所示，是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中三个正方形的面积和是（ ）
A．50 B．16 C．25 D．41
（4）利用勾股定理在数轴上表示无理数 ：
将 表示成两个有理数的 的和，以这两个有理数为直角三角形的直角边，其中一个直角边
在数轴上，借助数轴上构造直角三角形，画出斜边。斜边的长度即为 。
【即学即练1】
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，直角边AB落在数轴上，AB＝3个单位长度，BC＝1个单位长度，点
A表示的数为﹣1．若以点 A为圆心，以斜边 AC长为半径画弧交数轴于点 D，则点D表示的数是
（ ）
A．❑√10 B．❑√5−1 C．❑√5 D．❑√10−1
（5）特殊直角三角形三边的比值关系：
利用勾股定理以及特殊直角三角形的性质可得特殊直角三角形三边的比值关系。含 30°角的直角三角
形三边的比值关系为（从小到大） ；含45°的直角三角形（等腰直角三角形）三边的比值关系为（从小到大） 。
【即学即练1】
6．一副直角三角板如图放置，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，点C在FD的延长线上，
AB∥CF，若AB＝4，则CD的长为 ．
（6）利用勾股定理求平面直角坐标系中两点之间的距离：
在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 若 和 ， 由 勾 股 定 理 可 得
【即学即练1】
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，若点A的坐标为(1，❑√3)，则OA的长为（ ）
A．1 B．2 C．❑√3 D．❑√2
题型01 勾股定理验证面积关系或求面积
【典例1】如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（ ）
A．25 B．49 C．81 D．100
【变式1】如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形 A、B、D的面
积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（ ）A．4 B．6 C．8 D．12
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为
S ，S ，S ，若S +S ﹣S ＝36，则阴影部分的面积为 ．
1 2 3 2 1 3
【变式3】如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作
S 和S ．若AC＝6，BC＝8，则S +S 的面积为 ．
1 2 1 2
题型02 利用勾股定理在数轴上表示无理数
【典例1】如图，数轴上点A表示的数为﹣1，Rt△ABC的直角边AB落在数轴上，且AB长为3个单位长
度，BC长为1个单位长度，若以点A为圆心，以斜边AC长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数
为（ ）
A．❑√10+1 B．❑√10−1 C．❑√5+1 D．❑√5−1
【变式1】如图，在数轴上，点O与原点重合，点A表示的数是1，OB⊥OA，且OB＝1，连接AB．以点
A为圆心，AB长为半径画弧，在点O左侧与数轴交于点C，则点C表示的数是（ ）
A．❑√2 B．❑√2−1 C．1−❑√2 D．❑√2+1
【变式2】如图，在△ABC中，AC⊥BC，AC边在数轴上，点A表示的数为1，点C表示的数为2，BC的
长为2个单位长度，以A为圆心，AB的长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D表示的数为（ ）A．−1−❑√3 B．1−❑√3 C．−1−❑√5 D．1−❑√5
【变式3】数轴是一种重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础．如图，
面积为13的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为﹣2，以点A为圆心，AB长为半径画
弧，交数轴原点右侧于点P，则点P表示的数为（ ）
A．❑√13 B．❑√13+2 C．❑√13−2 D．−❑√13+2
题型03 勾股定理与特殊直角三角形
【典例1】将一副直角三角板和一把宽度为1的直尺按如图方式摆放：先把60°和45°角的顶点及它们的直
角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交
直尺上沿于A，B两点，则线段AB的长是（ ）
A．2−❑√3 B．❑√3−1 C．1 D．❑√3
题型04 利用勾股定理求两点之间的距离
【典例1】在平面直角坐标系中，若点A的坐标为(−1，❑√3)，则OA的长为（ ）
A．1 B．2 C．❑√3 D．❑√2
【变式1】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（2，m），B（2，m﹣5），若△ABO是直角三角形，
则m的值不可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【变式2】先阅读下列一段文字，再回答问题．
我们已经知道在数轴上，如果点A表示的数为a，点B表示的数为b，那么AB的长度等于|a﹣b|，借助
平面直角坐标系与勾股定理可以研究平面内两点 P （x ，y ），P （x ，y ）之间的距离，小明已经构
1 1 1 2 2 2建了如图所示平面直角坐标系及直角三角形，则P P 两点间距离P P =❑√(x −x ) 2+(y −y ) 2；
1 2 1 2 1 2 1 2
（1）根据上面结论，已知点A（2，4），B（﹣4，﹣4），AB＝ ；
（2）已知点A，B所在的直线平行于y轴，点A的纵坐标为﹣5，点B的纵坐标为1，则A，B两点间的
距离为 ；当两点P （x ，y ），P （x ，y ）所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直
1 1 1 2 2 2
于坐标轴时，两点间的距离＝ ．
（3）已知M（﹣3，2），N（2，2），在y轴上找点Q，使△MNQ是以MN为腰的等腰三角形．
题型05 勾股定理的实际应用
【典例 1】如图，高速公路上有 A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知 DA＝4km，CB＝6km．
DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则
EA的长是（ ）
A．6km B．5km C．4km D．❑√20km
【变式1】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，两艘轮船Q、R同时离开港口，各自沿一固定方向
航行，Q轮船每小时航行20海里，R轮船每小时航行15海里，它们离开港口两小时后相距50海里．已
知Q轮船沿东北方向航行．（东北方向即北偏东45°方向）
（1）请判断R轮船沿哪个方向航行，并说明理由；（2）若两艘轮船航行的速度和方向都不变，再继续航行2小时两船相距多少海里？
【变式2】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具
之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
（1）应用一：最短路径问题
如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为8cm，圆柱的底面半径为
3
cm，那么最短的路线长是 cm；
π
（2）应用二：解决实际问题
如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝0.5m，将它往前推2m至C处时，即水
平距离CD＝2m，踏板离地的垂直高度CF＝1.5m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长．
1．一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（ ）
A．5 B．❑√7 C．❑√5 D．5或❑√7
2．已知一直角三角形的两直角边的长分别为6和8，则斜边上的高为（ ）
A．2.4 B．4.8 C．5 D．63．如图，数轴上的点C表示的数是2，BC⊥OC于点C，且BC＝1，连接OB，以点O为圆心，OB长为半
径画弧与数轴交于点A，则点A表示的数是（ ）
A．❑√5 B．−❑√5 C．2−❑√5 D．❑√5−2
4．1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图案中间的直角三角形由三个正方形
顶点相连构成．图 2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图 2中三个正方形的面积可能取值为
（ ）
A．2，3，4 B．5，6，11 C．6，8，15 D．7，12，14
5．如图，直线l上有三个正方形A、B、C，若正方形A、C的面积分别是5和7，则正方形B的面积为（
）
A．9 B．12 C．14 D．35
6．如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面 6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与
树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10米 B．12米 C．14米 D．16米
7．如图，是一种筷子的收纳盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的筷子插入到盒
的底部，则筷子露在盒外的部分h（cm）的取值范围为（ ）A．3＜h＜4 B．3≤h≤4 C．2≤h≤4 D．5≤h≤6
8．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知 S +S ＝12，且
1 2
AC+BC＝10，则AB的长为（ ）
A．2❑√13 B．2❑√19 C．2❑√31 D．2❑√37
9．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样
设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5
米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则小明算出旗杆的高度为（ ）
A．10米 B．12米 C．13米 D．15米
10．题目：“如图，已知AB=2❑√3，过端点B作射线BG⊥AB，点C为射线BG上一点，且BC＝3．点P
为射线BG上的动点，△ABP关于AP对称的图形为△ADP（点B的对称点为点D），连接CD．若
△CDP是直角三角形，求BP的长．”对于其答案，甲答：BP＝2，乙答：BP=2❑√3，则正确的是（
）
A．只有甲答的对
B．只有乙答的对
C．甲、乙答案合在一起才完整
D．甲、乙答案合在一起也不完整
11．如图，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD2＝ ．
12．如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积
之和是12cm2，则正方形A的面积是 ．13．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固
定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小
时后分别位于点Q，R处，且相距30海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿
方向航行．
14．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面
积分别记为S ，S ，S ，S ．若S +S ＝135，S ＝86，则DC＝ ．
1 2 3 4 1 4 2
15．如图，A，B分别是棱长为1的正方体两个相邻的面的中心．将这个正方体的表面展开成平面图形后，
点A，B之间的最大距离是 ．
16．如图，已知某高速公路限速100km/h，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线l上
的点C处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪 C处正前方50m的B处，经过4s
后，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离AC为130m．
（1）求AB的距离．
（2）通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据1m/s＝3.6km/h）
17．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮 A，一端拴在
滑块B上，另一端拴在物体C上，
滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体
C到滑块B的水平距离是6dm，物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm．（实验过程中，绳子始终保持绷
紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．）
（1）求绳子的总长度；
（2）如图2，若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离．
18．如图，∠MON＝45°，在距离O点32❑√2米的A处有一学校，一重型卡车P沿道路ON方向行驶，在其
周围40米范围内都会受到卡车噪声影响．
（1）请你判断学校A是否会受到卡车噪声影响．为什么？
（2）若卡车的行驶速度是8米/秒，求卡车P沿途给学校A带来噪声影响的时间．
19．在《勾股定理》一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学
问题的一种重要的思想方法．
【课本回顾】我们在课本上已经了解了在数轴上寻找❑√2所表示的点的方法，如图1，由于❑√2=❑√12+12，
因此我们能在数轴上表示长度为❑√2的线段．【拓展应用】
（1）在图2中，点A（x ，y ），B（x ，y ），AC∥y轴，BC∥x轴，则AC＝ ，BC＝
1 1 2 2
，由此得到平面直角坐标系内A、B两点间的距离公式AB=❑√(x −x ) 2+(y −y ) 2；
1 2 1 2
（2）若已知点D（3，﹣4），则点D与坐标原点O之间的距离是多少？
（3）在图3中，平面直角坐标系中有两点 P（2，6），Q（﹣3，﹣6），H为x轴上任一点，求
PH+QH的最小值．
20．【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问
题．
例：求代数式❑√x2+32+❑√(12−x) 2+22的最小值．分析：❑√x2+32和❑√(12−x) 2+22是勾股定理的形式，❑√x2+32是直角边分别是x和3的直角三角形的斜
边，❑√(12−x) 2+22是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC
和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图
2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最
短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．
【模型应用】
（1）代数式❑√x2+32+❑√(12−x) 2+22的最小值为 ；
（2）变式训练：利用图3，求代数式❑√x2+4+❑√(5−x) 2+1的最小值；
【模型拓展】
（3）根据以上学习，解决问题：已知正数x满足❑√36−x2+❑√64−x2=10，求x的值．
