文档内容
专题 03 勾股定理与逆定理的八类综合题型
目录
典例详解
类型一、已知直角三角形的两边，求第三边长
类型二、等面积法求斜边上的高问题
类型三、勾股定理与网格问题
类型四、勾股定理的验证方法
类型五、判断三边能否构成直角三角形
类型六、在网格中判断直角三角形
类型七、利用勾股定理的逆定理求解
类型八、勾股定理逆定理的实际应用
压轴专练
类型一、已知直角三角形的两边，求第三边长
1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²（c为斜边，a、b为直角
边）。
2.分类讨论：已知两边需判断是否为直角边。若均为直角边，直接用勾股定理求斜边；若一边为斜边，
用斜边平方减已知直角边平方求另一边。
3.注意事项：边长为正数，计算后需验证结果合理性，避免忽略斜边与直角边的区别导致漏解。
例1．（25-26八年级上·贵州毕节·月考）若一个直角三角形的其中两边的长分别为 ，且满足
，则该直角三角形的第三边的长为 ．
【变式1-1】（24-25八年级上·陕西西安·月考）若直角 的三边长分别为 、 、 ，且 、 满足
，则第三边的长是 ．
【变式1-2】（2014九年级·浙江嘉兴·竞赛）已知直角三角形两边 的长满足 ，
则第三边的长 ．
【变式1-3】（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在 中， ， ，
，在直线 上找一点 ，使得 为以 为腰的等腰三角形，则 的长度为 ．类型二、等面积法求斜边上的高问题
1.核心原理：直角三角形面积可通过两直角边表示（S=1/2ab），也可通过斜边与斜边上的高表示
（S=1/2ch），利用面积相等建立等式。
2.公式推导：由1/2ab=1/2ch，得斜边上的高h=ab/c（a、b为直角边，c为斜边）。
3.应用前提：需先明确直角三角形的直角边和斜边，若斜边未知，需先用勾股定理求出斜边长度再计算
高。
例2．（25-26八年级上·广东中山·阶段练习）已知 的两直角边分别是3， 4，则 的斜
边上的高是 ．
【变式2-1】（24-25八年级下·四川绵阳·期末）已知 的两直角边分别是 ， ，则
的斜边上的高是 ．
【变式2-2】（25-26八年级上·上海闵行·阶段练习）等腰三角形的周长为 ，面积为 ，且其中
一边长为 ，则底边上的高为 ．
【变式2-3】睿明同学在学习勾股定理后深入思考发现求一个三角形面积的方法：如图， 是 的
高，高 是 和 的公共直角边，由勾股定理得， ，设
，可建立关于 的方程，求得 ，进而通过计算就可求出 的面积．根据睿
明同学的方法，若 ， ， ，则 的面积为 ．类型三、勾股定理与网格问题
1. 网格特性：网格中线段长度可通过水平、垂直方向格点数计算，水平（垂直）距离为格点差的绝对
值，利用勾股定理求斜线长度（√(水平²+垂直²)）。
2. 图形构造：网格中直角三角形可通过找直角边（水平/垂直线段）确定，多边形面积可分割为直角三角
形或矩形计算。
3. 验证应用：利用网格边长整数特性，直观验证勾股定理，或通过计算线段长度判断三角形是否为直角
三角形。
例3．如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点 ， ， 都在格点上，则下列结论错误的
是（ ）
A． B．
C． 的面积为10 D．点 到直线 的距离是2
【变式3-1】（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长
均为1，则点 到线段 的距离为
【变式3-2】（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1、每个小正
方形的顶点称为格点．已知 的三个顶点都在格点上．
(1)判断 的形状，并说明理由；
(2)仅用无刻度直尺作线段 垂直 ；
(3)求点 到 的距离．【变式3-3】在边长为1的正方形网格中， 均为格点，
(1) ___________， ___________
(2)求 中边 上的高
类型四、勾股定理的验证方法
1.拼图验证：通过割补正方形或直角三角形，如赵爽弦图，将图形面积用两种方式表示，推导
a²+b²=c²，体现数形结合思想。
2.面积法：构造以斜边为边的正方形，结合周围直角三角形面积，建立总面积等式，化简得勾股定理，
核心是面积守恒。
3.几何证明：利用全等三角形或相似三角形性质，通过对应边成比例或面积关系推导，需掌握三角形全
等/相似判定及性质。
例4．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）如图， 为 上一点， ， ， ，
， 交于点 ，且 ．
(1)判断线段 ， ， 的数量关系，并说明理由；
(2)连接 ， ，若设 ， ， ，利用此图验证勾股定理．
【变式4-1】（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大
的直角边长都为 ，较小的直角边长都为 ，斜边长都为 ），大正方形的面积可以表示为 ，也可以表
示为 ，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为 、 ，斜边长为
，则 ．(1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理；
(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 ，河边原有两个取水点 、 ， ，由于某种原
因，由 到 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 （ 、 、 在同一
条直线上），并新修一条路 ，且 ．测得 千米， 千米，求新路 比原路
短多少千米？
【变式4-2】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）《整式的乘法》一章学习中，我们体验了“以形助数，
以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．民兴七年级数学
兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究．
【初步探究】
（1）如图（1），直角三角形纸片三条边长分别为a，b，c（ ），小组同学用四个这样的纸片拼成
了一个大正方形，中间空一个小正方形（阴影部分）．
①一个直角三角形纸片的面积为____，小正方形边长为_____．（用含a，b的代数式表示）
②请用两种不同的方法表示出阴影部分（小正方形）的面积，从而探究出a，b，c三者之间的关系．（需
化简）
【结论运用】
（2）如图2，已知， 是直角三角形， ．请利用上面得到的结论求解．
①若 ，求 的长．
②若 ， 的长比 的长大2，求 的长．
【应用拓展】
（3）如图3，已知，在 中， ，请求出 的面积．【变式4-3】（25-26八年级上·全国·期中）综合与实践．
如图①是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面
积有两种求法，一种是等于 ，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即
，从而得到等式 ，化简便得结论 ．这里用两种求法来表示
同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【知识迁移】
（1）把两个全等的 和 如图②放置，其三边长分别为 ，显然
，用 分别表示出四边形 、梯形 、 的面积，再探究这三个图形面积之间
的关系，验证勾股定理 ；
【方法运用】
（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可
得 ，则 边上的高为________；
【拓展延伸】
（3）如图④，在 中， 是 边上的高， ，设 ，请直接写出x的值．
类型五、判断三边能否构成直角三角形
1.勾股定理逆定理：若三角形三边a、b、c（c为最长边）满足a²+b²=c²，则为直角三角形，反之不是。
2.步骤要点：先确定最长边，计算最长边平方与另两边平方和，比较是否相等。
3.注意事项：需先判断三边能否构成三角形（两边之和大于第三边），再用逆定理验证，避免忽略三边
关系前提。
例5．（25-26八年级上·吉林长春·期末）下列条件不能判定 为直角三角形的是（ ）
A． B．
C．a D．
【变式5-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）五根小棒，其长度（单位： ）分别为7，15，20，24，
25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（25-26八年级上·甘肃天水·期末）下列条件中，不能判断 是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）在 中， 的对边分别是 ．下列条件
中，不能判断 为直角三角形的是（ ）
A． ， ， B．
C． ， ， D．
类型六、在网格中判断直角三角形
1. 网格边长计算：利用网格水平、垂直方向格点距离，求线段长度（水平/垂直为格数差，斜线用勾股定
理得√(m²+n²)，m、n为格数）。
2. 逆定理应用：算出三边长度后，找最长边，验证其平方是否等于另两边平方和，判断是否为直角三角
形。
3. 直角顶点判断：网格中直角常出现在水平与垂直线段交点，可通过观察边的垂直关系辅助判断，简化
计算。
例6．（25-26八年级下·全国·期中）如图，每个小正方形的边长为1．(1)求图中格点 的面积．
(2)判断 的形状，并证明你的结论．
【变式6-1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为
1．
(1)求 的周长；
(2)求 及 的面积．
【变式6-2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点 均
在格点（小正方形的顶点）上．
(1)求四边形 的面积；
(2)判断 与 的位置关系，并说明理由．
【变式6-3】（24-25八年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均
在格点上．(1)求三角形的周长．
(2)判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)求AB边上的高h．
类型七、利用勾股定理的逆定理求解
1. 定理内容：若三角形三边a、b、c（c为最长边）满足a²+b²=c²，则该三角形为直角三角形，c所对的
角为直角。
2. 应用步骤：先确定最长边，计算其平方与另两边平方和，比较是否相等，相等则为直角三角形。
3. 关联知识：需结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）先判断能否构成三角形，再用逆定理，常
用于判断三角形形状或证明垂直关系。
例7．（25-26八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，在 中， 为 边上的一点，连接 ，过点
作 交 的延长线于点 ．已知 ， ， ， ．
(1)求线段 的长．
(2)求 的面积．
【变式7-1】（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在四边形 中，
，且 ．
(1)求证： ；(2)求四边形 的面积．
【变式7-2】（24-25八年级下·湖北恩施·阶段练习）如图，在 中， ，点 是边 上一点，
连接 ，且 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的周长．
【变式7-3】（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，在 中， 边上的垂直平分线 与 、
分别交于点 和 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
类型八、勾股定理逆定理的实际应用
1. 问题转化：将实际场景中的距离、长度转化为三角形三边，通过测量或计算得边长。
2. 判定应用：找出最长边，验证其平方是否等于另两边平方和，确定是否为直角三角形。
3. 场景适配：适用于判断墙角、支架等是否垂直，或规划路线是否构成直角路径，需结合实际提取几何
模型。
例8．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）为了让学生更多的参与到劳动实践中，育才中学开辟了一片
劳动基地 ，然后中间用栅栏 将这块劳动基地划分成两部分，分别种植花卉和蔬菜（如图），其
中 ，已知 ， ， ， ．(1)求花卉区的面积；
(2)若学校在蔬菜基地周围修两条步道（宽度忽略不计） 和 ，这两条步道的长度相差多
少米？
【变式8-1】（2025八年级上·全国·专题练习）已知图①是某超市的购物车，图②是超市购物车的侧面示
意图，现已测得购物车支架 ， ，两轮轮轴的水平距离 （购物车车轮半径
忽略不计）， ， 均与地面平行．
(1)猜想两支架 与 的位置关系并说明理由；
(2)若 的长度为 ， ，求购物车把手点 到 的距离．
【变式8-2】（24-25八年级下·山东日照·期末）如图是某婴儿车的设计结构示意图，现测得
， ， ， ．
(1)求出 的长；
(2)根据相关安全标准， 与 的夹角需为 ，通过计算说明该婴儿车设计是否符合安全标准．
【变式8-3】（24-25八年级下·广西南宁·期中）劳动教育能够提升学生的智力与创造力，强壮学生的体格，实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形 ）用来种植蔬
菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长 （ ）的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．
经测量，花卉区的 边长 ， 边长 ，蔬菜区的 边长 ，
(1)求蔬菜区边 的长；
(2)求劳动基地（四边形 ）的面积．
一、单选题
1．（25-26八年级上·吉林长春·期末）下列条件能判定 是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在 中， ， 的垂直平分线交 于点 ，连
接 ．若 ， ，则 的长为（ ）A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，在等腰三角形 中 ， 分别是
的高和中线， ， ， 是 上的一个动点，则 的最小值是（ ）
A． B． C．13 D．12
4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）一艘轮船从A港向南偏西 方向航行 到达B岛，再从B岛沿
方向航行 到达C岛，A港到航线 的最短距离是 ．则 岛和 港之间的距离（ ）
A． B． C． D．
5．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）图中是第七届国际数学教育大会的会徽，其图案是由如图所示的
一连串直角三角形演化而成的．其中 ，记 为相应三角形的面积．则
的值为（ ）A． B．30 C．33 D．
6．（25-26八年级上·甘肃武威·月考）“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的
典型体现．如图，大正方形 是由四个全等的直角三角形和小正方形 组成．连接 ， ，
若 ， ，则大正方形 的边长为（ ）
A．6 B． C． D．5
二、填空题
7．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，每个小正方形的边长都是1， ， ， 是小正方形的顶点，
则 ．
8．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在 中，在 、 上分别截取 、 ，使 ，
分别以点 、 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内相交于点 ，作射线 ，交于点 ，过点 作 于点 ．若 ， ，则点 到 的距离为 ．
9．（25-26八年级上·河北张家口·期末）明朝数学家程大位曾作词《西江月·秋千索长》．该诗词翻译后的
示意图如图所示， 表示秋千的绳索， ， 与地面l垂直，点C到地面l的距离为5尺，
点B到地面l的距离为1尺， 尺，则 的长为 尺．
西江月·秋千索长
平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人
齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语
欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？
10．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，在 中， ， 交 于点D，
， ，过点B作 ，垂足为E， ， ，延长 交 的延长线于点H，则
．
11．（25-26八年级上·上海闵行·月考）定义：如果三角形中，两边的平方和等于第三边平方的2倍，那么
这个三角形叫“超厉害三角形”．若 是“超厉害三角形”，且一条直角边长为1，则斜边长是
__________．
12．（25-26八年级上·上海虹口·期末）定义：连接三角形的一个顶点和其对边上一点，若所得线段能将该
三角形分割成两个等腰三角形，则称该线段为原三角形的“双等线”．例如：任意直角三角形斜边上的中线就是一条过直角顶点的“双等线”．问题解决：已知 中， ， ，如果
中存在过锐角顶点的“双等线”，则 的长为 ．
三、解答题
13．（24-25八年级下·云南昆明·月考）如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格， 的三个顶点
都在网格中的格点上．
(1)求 的周长；
(2)判断 的形状，并求 边 上的高；
14．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图，劳动课时，小星将 的空地种上两种不同品种的花卉，
中间用小路 隔开，经测量， ， ， ， ．
(1)判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若空地 种植花卉的费用为50元/ ，则需花费多少元？
15．（25-26八年级上·河南郑州·期末）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引
葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长 为1丈（1丈
尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇 ，它高出水面的部分 为1尺．如果把这根芦苇
垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即 ．(1)求水池的深度 ．
(2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池
底面边长 记作2a，O为 的中点，水的深度 记作b，芦苇高出水面的部分 记作 ，则水
池的深度b可通过计算 得到．请说明此解法的正确性．
16．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）已知在 中， ， ， ，点D是
上一点， ，点P从B点出发沿射线 方向以每秒2个单位长度的速度向右运动，设点P的运
动时间为 ，连接 ．
(1)当 时，求 的长度；
(2)当 为等腰三角形时，t的值为________；
(3)过点D作 于点E，当P在点C的左侧运动时，要使 ， _______．
17．（25-26八年级上·福建福州·期末）【项目式学习】
【项目主题】合理规划，绿色家园
【项目背景】某小区有4栋住宅楼： 栋， 栋， 栋， 栋， 处为小区入口．为方便小区居民传递爱
心，物业管理处准备在小区的一条主干道 上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心
衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活
动．任务一：实地测绘
小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），并测量出了某些道路的长度（如表格所示），
进一步抽象成几何图形（如图3），其中主干道 与 交于点 ， ．小组成员又借助电子角度
仪测得 ， 平分
道路
长度（米） 80 60 60 36 64 50
任务二：数学计算
根据图3及表格中的相关数据，请完成下列计算：
(1)求道路 和 的长；
(2)任务三：方案设计
根据以上探究，请你在主干道 上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点 表示），并画出需要增
设的小路 ．
18．（25-26八年级上·上海松江·期末）综合与实践
【阅读理解】
背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着智慧．赵爽的证明方法是：制作四个全等的直角三角形，
直角边长分别记为a、b（ ），斜边长记为c．用这四个直角三角形拼成如图1所示的正方形（赵爽弦
图）．用它可以证明勾股定理．证明思路是：大正方形的面积有两种求法，方法1：利用正方形面积公式
算得大正方形面积为 ；方法2：把大正方形面积看作四个直角三角形与中间一个小正方形的面积之和．
再根据以上结果，就可以证明勾股定理．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我
们称之为“双求法”．（1）请根据上面的叙述，给出勾股定理证明过程．
【方法运用】
根据背景介绍，探索勾股定理新的证法：把两个全等的直角三角形 和 如图2放置（其中B、
D、C在同一条直线上，A、F、D在同一条直线上），其中 ， ， ，
延长 与 交于点E．
（2）连接 ，请利用“双求法”证明： ；
【应用拓展】
（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，测得 米，
米．后来为了方便村民就近取水，决定在河边新建第三个取水点H（A、H、B在同一条直线上），
要求 的长度最短．求新修道路 的长．
