文档内容
第 01 讲 勾股定理
考点1：勾股定理的概念与验证
考点2:勾股定理的基础计算
考点3：用勾股定理构造图形解决问题
重点：
（1）勾股定理的理解与应用：掌握定理内容，能熟练运用定理进行直角三角形的边长计
算。
（2）勾股定理的实际应用建模：能将实际问题转化为直角三角形模型。
难点：
（1）勾股定理的验证过程：理解用面积法（割补法）推导定理的逻辑，体会 “数形结
合” 思想。
（2）勾股定理与其他几何知识的综合应用：学会作辅助线构造直角三角形，整合等腰三角
形、四边形等知识解题
知识点1：勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形 ABC的两直角边长分别
为
a，b c a2 b2 c2
，斜边长为 ，那么 .
注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方
程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：
a2 c2 b2 b2 c2 a2 c2 ab2 2ab
， ， .
运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2.用于解决带有平方关系的证明问题；
3.利用勾股定理，作出长为 的线段
【题型1 用勾股定理解三角形】
【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12，则AC的长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【变式1】已知一个直角三角形的两直角边长分别为1和2，则第三边长是（ ）
A．3 B．❑√3 C．❑√5 D．1
【变式2】如图，货车卸货时支架侧面是Rt△ABC，其中∠ACB=90°，已知BC=1.5m，
AC=2m，则AB的长为（ ）
A．1.5m B．2m C．2.5m D．3m
【变式3】为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街将于今年五月份启动改造，
九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．
如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知AB为吊车起重臂，长为20米，点B到路灯
杆的水平距离BC为16米，点B到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端A离地面的高
度为（ ）A．12米 B．14米 C．16米 D．18米
【题型2 勾股数问题】
【典例2】下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1,1,2 B．2,3,4 C．5,12,13 D．6,6,6
【变式1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作
《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（ ）
A．6，8，10 B．5，12，11 C．7，8，9 D．2，3，5
【变式2】右面是数学交流群中的一个截图片段，则回答正确的是（ ）
A．嘉嘉 B．琪琪 C．亮亮 D．明明
【变式3】清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳
法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论
领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，
24，25；④9，40，41；⑤11，60，61…根据上述规律，写出第⑥组勾股数为 ．
【题型3 以直角三角形三边为边长的图形面积】
【典例3】如图，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形A，B，C，若正方形C
的边长为7cm，则A，B两个正方形的面积之和为（ ）A．28cm2 B．42cm2 C．49cm2 D．63cm2
【变式1】如图，中间的三角形为直角三角形，两个较大正方形的面积分别为225，289，
则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．514 B．8 C．16 D．64
【变式2】如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，分别以 AB、BC、AC为边向外作正方
形，若其中两个正方形的面积分别为 225、400，则AB 的长为（ ）
A．625 B．175 C．600 D．25
【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AB=17，则正方形AEDC和正方形
BCGF的面积之和为（ ）
A．225 B．289 C．324 D．170
知识点2：勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中 ，所以 .
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中 ，所以 .
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
图（3）中 ，所以 .
【题型4 勾股定理的证明方法】
【典例4】勾股定理在我国有着悠久的历史．汉末三国初数学家、天文学家赵爽给《周
髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即
弦．”其设计图是由四个完全相同的直角三角形(两条直角边长分别为a，b，且b>a，
斜边为c)拼成一个边长为c的正方形(如图)，直观地论证了勾股定理，该图被后人称为
“赵爽弦图”．(1)请你借助“赵爽弦图”验证勾股定理．
(2)若b=15，c=17，求中间小正方形(阴影部分)的面积．
【变式1】历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的梯形，其中
Rt△ADE≌Rt△BEC,E是边AB上的点．请你利用等面积法验证勾股定理．
【变式2】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给
了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，
都可以用“面积法”来证明勾股定理．
下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：
a2+b2=c2．【变式3】我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与
中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）．
(1)由图2正方形面积的等量关系可列式：______，化简得直角三角形中的勾股定理，
该定理的结论用字母表示：______；
(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，∠AED=∠ACB=90°，记
AE=BC=a，DE=AC=b，AD=AB=c，求证（1）中的定理结论．
【题型5 以弦图为背景的计算题】
【典例5】公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾a=3，
弦c=5，则小正方形ABCD的边长是（ ）
A．❑√34−3 B．1 C．2 D．4
【变式1】如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方
形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面
积为（ ）
A．36 B．72 C．18 D．144
【变式2】将四个图1中的直角三角形拼成图2中的弦图，若ab=8，c=5，则图2中阴影
部分的面积为（ ）
A．11 B．12 C．9 D．10
【变式3】如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个
小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB=10，AE=8，则正方形
EFGH的面积为（ ）A．2 B．4 C．8 D．12
【题型6 用勾股定理构造图形解决问题】
【典例6】某工厂的大门如图所示，其中下方是高为2.3米、宽为2米的矩形，上方是半径
为1米的半圆形．货车司机小王开着一辆高为3.0米，宽为1.6米的装满货物的卡车，
能否进入如图所示的工厂大门？请说明你的理由．
【变式1】如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米处（车尾到大厦墙
面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长17米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾
的住户窗口距离地面多少米？【变式2】有一秋千的示意图如图所示．静止时秋千的踏板离地面的垂直高度DE=1m，
将秋千往前水平推送4m（水平距离BC=EF=4m）时，踏板离地面的垂直高度为3m
（BF=CE=3m）．求绳索AD的长度．
【变式3】如图，由太原到北京的“和谐号”动车在距离铁轨300米的点C处（即
CD=300米，CD⊥AB），当动车车头在点A处时，14秒后，动车车头由A处到达
点B处，C两点间的距离为500米，求这列动车的平均速度．
【题型7 勾股定理与无理数】
【典例7】如图所示，已知BC=2，∠OCB=90°，以点O为圆心，OB为半径画弧交左侧
数轴于点A．
(1)写出数轴上点A所表示的数为______；
(2)比较大小：点A所表示的数____________−3.5（填写“>”或“<”）；
(3)在数轴上找出❑√10对应的点，（保留作图痕迹）【变式1】如图，若点A在数轴上表示的数是−1，以A为圆心，AD为半径画圆弧与数轴
的正半轴交于点E，则点E所表示的数是 ．
【变式2】如图，在数轴上点P表示的实数是 ．
【变式3】如图，在数轴上点A表示的实数是 ．
1．直角三角形两个直角边分别为3和4，则斜边长为（ ）
A．❑√7 B．5 C．7 D．8
2．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．1，❑√2，❑√3 B．0.3，0.4，0.5 C．2，3，4 D．7，24，25
3． 在Rt△ACB中，∠C=90°，∠B=30°，若AC=6，则BC的长为（ ）A．8 B．12 C．6❑√3 D．12❑√3
4．如图，字母A所代表的正方形的面积是（ ）
A．150 B．100 C．50 D．10
5．如图，这是爱心超市局部位置的平面示意图，测得起点A到第一个拐角处点B的距离为
10米，点B到终点C的距离是10米，且∠ABC=90°，则A，C两点之间的距离是
（ ）
A．10米 B．10❑√2米 C．10❑√3米 D．20米
6．如图，点A到数轴的距离为1，以O为圆心，OA长为半径作弧，弧与数轴负半轴交于
点B，则点B表示的实数是（ ）
A．❑√5−2 B．2−❑√5 C．❑√5 D．−❑√5
7．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是BC的中点，连接AE，则AE的长为 ．8．如图，若正方形A，C的面积分别为16和9，则正方形B的面积是 ．
9．如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则
△ABC中AB边上的高为 ．
10．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过
60km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对
面车速检测仪A处的正前方50m的C处，过了6s后，测得小汽车与车速检测仪间距离
为130m，这辆小汽车超速了吗?（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）
11．如图，在△ABC中，∠BAC=90°．(1)尺规作图：作BC边上的高AD（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若AB=5,AC=12，求BC和AD的长．
12．如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为8m，宽为1.3m．该
隧道内设双向行驶的车道（共有2条车道），且中间有一条宽为1m的绿化带（两条车
道各占用0.5m．一辆卡车装满货物后，高为3.6m，宽为2.5m，它能否通过该隧道？
说明理由．
