文档内容
专题 03 勾股定理与逆定理的八类综合题型
目录
典例详解
类型一、已知直角三角形的两边，求第三边长
类型二、等面积法求斜边上的高问题
类型三、勾股定理与网格问题
类型四、勾股定理的验证方法
类型五、判断三边能否构成直角三角形
类型六、在网格中判断直角三角形
类型七、利用勾股定理的逆定理求解
类型八、勾股定理逆定理的实际应用
压轴专练
类型一、已知直角三角形的两边，求第三边长
1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²（c为斜边，a、b为直角
边）。
2.分类讨论：已知两边需判断是否为直角边。若均为直角边，直接用勾股定理求斜边；若一边为斜边，
用斜边平方减已知直角边平方求另一边。
3.注意事项：边长为正数，计算后需验证结果合理性，避免忽略斜边与直角边的区别导致漏解。
例1．（25-26八年级上·贵州毕节·月考）若一个直角三角形的其中两边的长分别为 ，且满足
，则该直角三角形的第三边的长为 ．
【答案】 或5
【分析】本题考查的是勾股定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．同时考查了非负数的性质．先
由非负数的性质求出 ， ，由于题中直角三角形的斜边不能确定，故应分4是直角三角形的斜边
和直角边两种情况讨论．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，∴ ， ，
即这个直角三角形的两边长分别为3和4．
分以下两种情况讨论：
①当4是此直角三角形的斜边时，则由勾股定理可得另一边为： ；
②当4是此直角三角形的直角边时，则由勾股定理可得另一边为： ．
故答案为： 或5．
【变式1-1】（24-25八年级上·陕西西安·月考）若直角 的三边长分别为 、 、 ，且 、 满足
，则第三边的长是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查算术平方根和平方的非负性，勾股定理，先配方，再根据非负性求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵直角 的三边长分别为 、 、 ，
∴当 为斜边时， ，
当 为斜边时， ，
故答案为： 或 ．
【变式1-2】（2014九年级·浙江嘉兴·竞赛）已知直角三角形两边 的长满足 ，
则第三边的长 ．
【答案】 或 或
【分析】根据绝对值、算术平方根的非负性分别求出x、y，分三种情况讨论，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：∵x、y为直角三角形的两边长，满足 ，
∴ ， ，
解得 （负值不合题意，舍去）， 或 ，
当直角边长分别为2，2时，则第三边长为： ；
当直角边长分别为2，3时，则第三边长为： ；
当直角边长为2，斜边长为3，则第三边长为 ．
故答案为： 或 或 ．
【变式1-3】（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在 中， ， ，
，在直线 上找一点 ，使得 为以 为腰的等腰三角形，则 的长度为 ．
【答案】 或 或
【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形判定和性质.先由勾股定理算出 的
长度为5， 为以 为腰的等腰三角形，分两种情况： 当 时由
得 ； 当 时根据P点位置得 为8或2.
【详解】 在 中， ， ， ，
∴
当 时，如图1所示，∵
∴在 与 中
∴
∴ ，
当 时，如图2所示，
P点在B点左侧：
或P点在B点右侧： .
综上所述： 的长度为3或8或2.
类型二、等面积法求斜边上的高问题
1.核心原理：直角三角形面积可通过两直角边表示（S=1/2ab），也可通过斜边与斜边上的高表示
（S=1/2ch），利用面积相等建立等式。
2.公式推导：由1/2ab=1/2ch，得斜边上的高h=ab/c（a、b为直角边，c为斜边）。
3.应用前提：需先明确直角三角形的直角边和斜边，若斜边未知，需先用勾股定理求出斜边长度再计算
高。
例2．（25-26八年级上·广东中山·阶段练习）已知 的两直角边分别是3， 4，则 的斜
边上的高是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据“面积法”求出斜边上的高即可．
【详解】解：设 斜边上的高为 ，
的两直角边分别是3， 4，
斜边 ，
，
，
∴ 的斜边上的高是 ．
故答案为： ．
【变式2-1】（24-25八年级下·四川绵阳·期末）已知 的两直角边分别是 ， ，则
的斜边上的高是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据“面积法”求出斜边上
的高，即可．
【详解】解：设 斜边上的高为 ，
的两直角边分别是 ， ，
斜边长 ，
，
，
即 的斜边上的高是
故答案为：
【变式2-2】（25-26八年级上·上海闵行·阶段练习）等腰三角形的周长为 ，面积为 ，且其中
一边长为 ，则底边上的高为 ．
【答案】
【分析】分两种情况讨论，即边长 为腰长或底边长，再根据等腰三角形的周长和面积公式计算底边上的高，最后结合三角形三边关系判断是否成立．
【详解】解：情况一：假设 是腰长，底边长为 ．
设底边上的高为 ，则 ，
解得 ．
当腰长为 ，底边长为 时，由勾股定理得高
，
∴ 是腰长，情况一成立．
情况二：假设 是底边长．
腰长为 ．
设底边上的高为 ，则 ，
解得 ．
此时三角形三边为 ， ， ．
当腰长为 ，底边长为 时，由勾股定理得高，
∴ 不是底边长，情况二不成立．
综上，底边上的高为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形面积公式、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质和
相关公式，全面考虑边长的不同情况是解题的关键．
【变式2-3】睿明同学在学习勾股定理后深入思考发现求一个三角形面积的方法：如图， 是 的
高，高 是 和 的公共直角边，由勾股定理得， ，设
，可建立关于 的方程，求得 ，进而通过计算就可求出 的面积．根据睿
明同学的方法，若 ， ， ，则 的面积为 ．
【答案】84
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理，由题意可得 ，再由勾股定理求出 ，最后由三
角形面积公式计算即可得解．
【详解】解：由题意可得 ，
，
，
故答案为： ．类型三、勾股定理与网格问题
1. 网格特性：网格中线段长度可通过水平、垂直方向格点数计算，水平（垂直）距离为格点差的绝对
值，利用勾股定理求斜线长度（√(水平²+垂直²)）。
2. 图形构造：网格中直角三角形可通过找直角边（水平/垂直线段）确定，多边形面积可分割为直角三角
形或矩形计算。
3. 验证应用：利用网格边长整数特性，直观验证勾股定理，或通过计算线段长度判断三角形是否为直角
三角形。
例3．如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点 ， ， 都在格点上，则下列结论错误的
是（ ）
A． B．
C． 的面积为10 D．点 到直线 的距离是2
【答案】C
【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、利用网格求三角形面积
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握
勾股定理及其逆定理是解题的关键．
利用勾股定理及其逆定理、网格求三角形面积，三角形等面积法依次计算判断即可．
【详解】解：A、 ，本选项结论正确，不符合题意；
B、 ， ， ，
，
， 本选项结论正确，不符合题意；
C、 ，本选项结论错误，符合题意；
D、点A到 的距离 ，本选项结论正确，不符合题意；
故选：C．
【变式3-1】（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点 到线段 的距离为
【答案】
【详解】解：由题意得
，
，
设 到线段 的距离为 ，
，
，
解得： ；
故答案为： ．
【变式3-2】（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1、每个小正
方形的顶点称为格点．已知 的三个顶点都在格点上．
(1)判断 的形状，并说明理由；
(2)仅用无刻度直尺作线段 垂直 ；
(3)求点 到 的距离．
【答案】(1) 是等腰三角形，见解析
(2)见解析(3)
【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，点到直线的距离，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的
判定与性质，点到直线的距离，根据网格的特点灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
（1）根据方格纸中每个小正方形的边长为1及由勾股定理得 ， ，
，
据此可得出 的形状；
（2）设 上的格点为D，连接 ，则 ，由勾股定理得 ，再根据 ，得
，由此可得出答案；
（3）根据 ， ， ，由勾股定理得 ，据此可得出点B到
的距离．
【详解】（1）解： 是等腰三角形，理由如下：
∵方格纸中每个小正方形的边长为1，
由勾股定理得： ， ， ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（2）如图所示：设 上的格点为D，连接 ，则 ，理由如下：
由勾股定理得： ， ，
∴ ，
由（1）可知： ，
∴ ；
（3）∵ ， ， ，由勾股定理得： ，
∵点B到 的距离是 ．
【变式3-3】在边长为1的正方形网格中， 均为格点，
(1) ___________， ___________
(2)求 中边 上的高
【答案】(1) ，
(2)
【知识点】勾股定理与网格问题
【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理解三角形是解题的关键．
（1）对 和 直接运用勾股定理即可求解；
（2）先由割补法求出 的面积，再由 即可求解．
【详解】（1）解：由题意得， ，
∴由勾股定理得： ，
，
故答案为： ， ；
（2）解：由图可得： ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ．
类型四、勾股定理的验证方法
1.拼图验证：通过割补正方形或直角三角形，如赵爽弦图，将图形面积用两种方式表示，推导
a²+b²=c²，体现数形结合思想。
2.面积法：构造以斜边为边的正方形，结合周围直角三角形面积，建立总面积等式，化简得勾股定理，
核心是面积守恒。
3.几何证明：利用全等三角形或相似三角形性质，通过对应边成比例或面积关系推导，需掌握三角形全
等/相似判定及性质。
例4．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）如图， 为 上一点， ， ， ，
， 交于点 ，且 ．
(1)判断线段 ， ， 的数量关系，并说明理由；
(2)连接 ， ，若设 ， ， ，利用此图验证勾股定理．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)证明过程见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的证明，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）根据 可证明 ，则 ， ．又因为 ，代换线段可得答案；
（2）根据 列出等式，化简即可得到答案．
【详解】（1）解：结论： ．
理由：如图，
， ，．
又 ，
．
， ，
．
在 和 中，
，
，
， ．
又 ，
．
（2）证明： ，
∴ ，
由（1）得 ， ，
作 于 ，
， ，
，
，
由平行线间距离处处相等可知 ，
∴ ，
，．
【变式4-1】（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大
的直角边长都为 ，较小的直角边长都为 ，斜边长都为 ），大正方形的面积可以表示为 ，也可以表
示为 ，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为 、 ，斜边长为
，则 ．
(1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理；
(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 ，河边原有两个取水点 、 ， ，由于某种原
因，由 到 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 （ 、 、 在同一
条直线上），并新修一条路 ，且 ．测得 千米， 千米，求新路 比原路
短多少千米？
【答案】(1)见解析
(2)新路 比原路 少0.2千米
【分析】此题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识．
（1）利用梯形 的面积的两种表示方法即可证明；
（2）设 千米，在 中，根据勾股定理 得到 ，解
得 ，即 千米，即可得到答案．
【详解】（1）证明：梯形 的面积为 ，
也可以表示为 ，
，
即 ；
（2）设 千米，千米，
在 中，根据勾股定理得： ，
，解得 ，
即 千米，
（千米），
答：新路 比原路 少0.2千米．
【变式4-2】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）《整式的乘法》一章学习中，我们体验了“以形助数，
以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．民兴七年级数学
兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究．
【初步探究】
（1）如图（1），直角三角形纸片三条边长分别为a，b，c（ ），小组同学用四个这样的纸片拼成
了一个大正方形，中间空一个小正方形（阴影部分）．
①一个直角三角形纸片的面积为____，小正方形边长为_____．（用含a，b的代数式表示）
②请用两种不同的方法表示出阴影部分（小正方形）的面积，从而探究出a，b，c三者之间的关系．（需
化简）
【结论运用】
（2）如图2，已知， 是直角三角形， ．请利用上面得到的结论求解．
①若 ，求 的长．
②若 ， 的长比 的长大2，求 的长．
【应用拓展】
（3）如图3，已知，在 中， ，请求出 的面积．【答案】（1）① ； ；②小正方形面积为 或 ， ；（2）①5；②10；
（3）84
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的证明，列代数式，熟知勾股定理及其证明方法是解题的关
键．
（1）①根据三角形面积计算公式可得第一空答案，再由图形之间的关系可得小正方形面积等于直角三角
形的长直角边的长减去短直角边的长，据此可得第二空的答案；②根据正方形面积计算公式可得小正方形
面积为 ，根据小正方形的面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角三角形的面积可得小正方形
的面积为 ，则 ，据此可得答案；
（2）①根据（1）可得 ，据此计算求解即可；②根据（1）可得 ，据此
求解即可；
（3）过点A作 于D，设 ，则 ，则可证明 ，即
，解方程求出 的长即可得到答案．
【详解】解：（1）①由题意得，一个直角三角形纸片的面积为 ，小正方形的边长为 ；
②∵小正方形的边长为 ，
∴小正方形的面积为 ；
∵小正方形的面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角三角形的面积，
∴小正方形的面积为 ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）①由（1）可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 或 （舍去）；
②∵ 的长比 的长大2，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图所示，过点A作 于D，
设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【变式4-3】（25-26八年级上·全国·期中）综合与实践．
如图①是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于 ，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即
，从而得到等式 ，化简便得结论 ．这里用两种求法来表示
同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【知识迁移】
（1）把两个全等的 和 如图②放置，其三边长分别为 ，显然
，用 分别表示出四边形 、梯形 、 的面积，再探究这三个图形面积之间
的关系，验证勾股定理 ；
【方法运用】
（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可
得 ，则 边上的高为________；
【拓展延伸】
（3）如图④，在 中， 是 边上的高， ，设 ，请直接写出x的值．
【答案】（1）见解析
（2）
（3）x的值为 ．
【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证
明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点．
（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证 ；
（2）计算出 的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边 上的高；
（3）运用勾股定理在 和 中求出 ，列出方程求解即可；
【详解】（1）解： ， ， ， ，，
， ，
，
，
；
（2）解：借助网格，可知 ， ，
边上的高为： ；
故答案为： ；
（3）解：在 中， ， ， ，
，
在 中， ， ， ，
，
，
．
类型五、判断三边能否构成直角三角形
1.勾股定理逆定理：若三角形三边a、b、c（c为最长边）满足a²+b²=c²，则为直角三角形，反之不
是。
2.步骤要点：先确定最长边，计算最长边平方与另两边平方和，比较是否相等。
3.注意事项：需先判断三边能否构成三角形（两边之和大于第三边），再用逆定理验证，避免忽略三边
关系前提。
例5．（25-26八年级上·吉林长春·期末）下列条件不能判定 为直角三角形的是（ ）A． B．
C．a D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理.
根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理逐一判断即可．
【详解】解：A、 ， ，
，
是直角三角形，故选项不符合题意；
B、 ，
，即 ，
是直角三角形，故选项不符合题意；
C、 ，
不是直角三角形，故选项符合题意；
D、 ，
，
是直角三角形，故选项不符合题意；
故选：C．
【变式5-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）五根小棒，其长度（单位： ）分别为7，15，20，24，
25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握通过验证三角形三边的平方关系判断直角三角形是解题的关
键．将五根小棒分成两组，分别验证每组三边是否满足较短两边的平方和等于最长边的平方，以此判断能否构
成直角三角形．
【详解】解：A、分组为 、 、 和 、 、 ， ，不满足勾股定理逆定理，不
是直角三角形，不符合题意；
B、分组为 、 、 和15、20、24， ，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形，
不符合题意；
C、分组为7、24、25 和 、 、 ， ，满足逆定理，是直角三角形；
，满足逆定理，是直角三角形，符合题意；
D、分组为 、 、 和 、 、 ， ， ，不满足逆定理，不符合题意．
故选：C．
【变式5-2】（25-26八年级上·甘肃天水·期末）下列条件中，不能判断 是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形内角和定理和勾股定理逆定理．根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理，判
断各选项是否能推出直角三角形．
【详解】解：∵对于A：设 ， ， ，则 ， ， ，能
判断 是直角三角形．
对于B：设 ， ， ，则 ， ， ，不是直角，不能
判断 是直角三角形．
对于C： ，且 ， ， ，能判断 是直角三角
形．
对于D：设 ， ， ，则 ， ， ，能判断 是
直角三角形．
故选：B．
【变式5-3】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）在 中， 的对边分别是 ．下列条件中，不能判断 为直角三角形的是（ ）
A． ， ， B．
C． ， ， D．
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形的判断，分别根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，勾股定理的逆
定理判断即可．
【详解】解：A． ，
∵
∴
不是直角三角形，则符合题意；
∴B．∵ ，
，
∴ ，
∵∴ ，
∴ 是直角三角形，则不符合题意；
C．∵ ，
∴
是直角三角形，则不符合题意；
∴D． ，
设∵ ，
∴∴ ，
是直角三角形，则不符合题意．
∴故选：A．
类型六、在网格中判断直角三角形
1. 网格边长计算：利用网格水平、垂直方向格点距离，求线段长度（水平/垂直为格数差，斜线用勾股定
理得√(m²+n²)，m、n为格数）。
2. 逆定理应用：算出三边长度后，找最长边，验证其平方是否等于另两边平方和，判断是否为直角三角
形。
3. 直角顶点判断：网格中直角常出现在水平与垂直线段交点，可通过观察边的垂直关系辅助判断，简化
计算。
例6．（25-26八年级下·全国·期中）如图，每个小正方形的边长为1．(1)求图中格点 的面积．
(2)判断 的形状，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2) 是直角三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理：
（1）利用长方形 的面积减去三个顶点上三角形的面积即可；
（2）先根据勾股定理求出 ，再利用勾股定理的逆定理判断出 的形状即可．
【详解】（1）解：如图，
；
（2）解： 是直角三角形．理由如下：
是直角三角形．
【变式6-1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为
1．(1)求 的周长；
(2)求 及 的面积．
【答案】(1) 的周长为5+3
(2) ， 的面积为5
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积，证明三角形 是直角三角形是解题
的关键；
（1）根据勾股定理分别求出三角形 三边长即可推出结果；
（2）根据勾股定理的逆定理得出 是直角三角形，且 ，即可推出结果．
【详解】（1）解：由勾股定理得， ，
，
，
的周长 ；
（2）解： ，
是直角三角形，且 ，
．
【变式6-2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点 均
在格点（小正方形的顶点）上．(1)求四边形 的面积；
(2)判断 与 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2) ；理由见解析
【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理和逆定理是解题的关键：
（1）分割法，求出四边形的面积即可；
（2）利用勾股定理和逆定理进行判断即可．
【详解】（1）解：四边形 的面积 ；
（2） ．理由如下：
在 中， ，
所以 ，
所以 是直角三角形，且 ，
所以 ．
【变式6-3】（24-25八年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均
在格点上．
(1)求三角形的周长．
(2)判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)求AB边上的高h．【答案】(1)
(2) 是直角三角形，理由见详解
(3)2
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）根据勾股定理求出各边的长，然后利用三角形的周长公式进行计算，即可解答；
（2）利用勾股定理的逆定理进行计算，即可解答；
（3）利用面积法进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：由题意得： ，
，
，
， ， ，
三角形的周长 ；
（2） 是直角三角形，
理由： ， ，
，
是直角三角形；
（3） 是直角三角形，
的面积 ，
，
，
解得： ．
类型七、利用勾股定理的逆定理求解
1. 定理内容：若三角形三边a、b、c（c为最长边）满足a²+b²=c²，则该三角形为直角三角形，c所对的
角为直角。
2. 应用步骤：先确定最长边，计算其平方与另两边平方和，比较是否相等，相等则为直角三角形。
3. 关联知识：需结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）先判断能否构成三角形，再用逆定理，常
用于判断三角形形状或证明垂直关系。
例7．（25-26八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，在 中， 为 边上的一点，连接 ，过点作 交 的延长线于点 ．已知 ， ， ， ．
(1)求线段 的长．
(2)求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）在 中利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理逆定理判定 ，求出直角三角形 面积即可．
【详解】（1） ，
，
在 中， ， ，
；
（2） ， ， ，
，
，
的面积为 ．
【变式7-1】（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在四边形 中，
，且 ．
(1)求证： ；
(2)求四边形 的面积．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理，熟练运用勾股定理、勾股定理逆定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理、勾股定理逆定理求证即可；
（2）结合三角形面积公式，根据四边形 的面积 求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，且 ，
∴
∵ ，
∴
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ ；
（2）解：∵ ，四边形 的面积 ，
∴四边形 的面积 ．
【变式7-2】（24-25八年级下·湖北恩施·阶段练习）如图，在 中， ，点 是边 上一点，
连接 ，且 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的周长．
【答案】(1)证明见解析.
(2)
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明 是直角三角
形．（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）根据三角形面积公式得出 ，再利用勾股定理得出 ，进而解答即可．
【详解】（1）证明：在 中， ， ， ，
∵ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ 是直角三角形，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
∴ 的周长 ．
【变式7-3】（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，在 中， 边上的垂直平分线 与 、
分别交于点 和 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了平方差公式、勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握勾股定理
的逆定理是解题关键．（1）连接 ，先根据线段垂直平分线的性质可得 ，再利用平方差公式可得
，然后根据勾股定理的逆定理即可得证；
（2）设 ，则 ，代入 计算即可得．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
∵ 为 边上的垂直平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是以 为斜边的直角三角形，
∴ ．
（2）解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得 ，
所以 的长为 ．类型八、勾股定理逆定理的实际应用
1. 问题转化：将实际场景中的距离、长度转化为三角形三边，通过测量或计算得边长。
2. 判定应用：找出最长边，验证其平方是否等于另两边平方和，确定是否为直角三角形。
3. 场景适配：适用于判断墙角、支架等是否垂直，或规划路线是否构成直角路径，需结合实际提取几何
模型。
例8．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）为了让学生更多的参与到劳动实践中，育才中学开辟了一片
劳动基地 ，然后中间用栅栏 将这块劳动基地划分成两部分，分别种植花卉和蔬菜（如图），其
中 ，已知 ， ， ， ．
(1)求花卉区的面积；
(2)若学校在蔬菜基地周围修两条步道（宽度忽略不计） 和 ，这两条步道的长度相差多
少米？
【答案】(1)花卉区的面积为 ；
(2)这两条步道的长度相差6米．
【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，平行线的性质．
（1）由勾股定理的逆定理可得 ，根据三角形的面积公式计算即可；
（2）由平行线的性质可得 ，根据勾股定理可得 ，根据线段之间的和差计算即可．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
∴ ，
∴花卉区的面积为 ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴这两条步道的长度相差6米．
【变式8-1】（2025八年级上·全国·专题练习）已知图①是某超市的购物车，图②是超市购物车的侧面示
意图，现已测得购物车支架 ， ，两轮轮轴的水平距离 （购物车车轮半径
忽略不计）， ， 均与地面平行．
(1)猜想两支架 与 的位置关系并说明理由；
(2)若 的长度为 ， ，求购物车把手点 到 的距离．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)
【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握定理内容是解题的关键．
（1）根据勾股定理逆定理判断 为直角三角形，即可得到结论；
（2）过点 作 交 的延长线于点 ，延长 交 于点 ，求出
， ．即可得答案．
【详解】（1）解： ．理由如下：
，
．
∴ 为直角三角形，，
；
（2）解：过点 作 交 的延长线于点 ，延长 交 于点 ，如图，
，
∴ ．
又 ，
∴ ，
．
，
，
在 中， ，
∴ ，
根据勾股定理，得 ， ，
∴
解得： ．
．
购物车把手点 到 的距离为 ．
【变式8-2】（24-25八年级下·山东日照·期末）如图是某婴儿车的设计结构示意图，现测得
， ， ， ．(1)求出 的长；
(2)根据相关安全标准， 与 的夹角需为 ，通过计算说明该婴儿车设计是否符合安全标准．
【答案】(1) ；
(2)符合安全标准．
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据勾股定理计算即可得解；
（2）由勾股定理逆定理计算即可得解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
由勾股定理得：
答： 的长度为 ．
（2）解：∵ ， ，
∴
∴ 是直角三角形，且 ，即 与 的夹角为
答：该婴儿车设计符合安全标准．
【变式8-3】（24-25八年级下·广西南宁·期中）劳动教育能够提升学生的智力与创造力，强壮学生的体格，
实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形 ）用来种植蔬
菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长 （ ）的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．
经测量，花卉区的 边长 ， 边长 ，蔬菜区的 边长 ，(1)求蔬菜区边 的长；
(2)求劳动基地（四边形 ）的面积．
【答案】(1)蔬菜区边 的长为
(2)劳动基地（四边形 ）的面积为
【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键；
（1）根据勾股定理可进行求解；
（2）由题意易得 ，则有 ，然后根据三角形面积公式可进行求解即可．
【详解】（1）解： ，
∴在 中，由勾股定理得 ，
答：蔬菜区边 的长为 ．
（2）解： ，
是直角三角形， ，
，
答：劳动基地（四边形 ）的面积为 ．
一、单选题1．（25-26八年级上·吉林长春·期末）下列条件能判定 是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形内角和及勾股定理逆定理，熟练掌握三角形内角和及勾股定理逆定理是解题
的关键；通过计算三角形内角和，勾股定理逆定理来判断各选项即可得解．
【详解】解：设 ，
，
，
解得 ，
，
不是直角三角形，
故 选项不符合题意；
∵ ，
，
，
，
， ，
∴ 是直角三角形．
故 选项符合题意；
，
∴不满足三角形三边关系，
故不能构成三角形．
故 选项不符合题意；
，
，
不是直角三角形，
故 选项不符合题意；
故选： ．2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在 中， ， 的垂直平分线交 于点 ，连
接 ．若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查垂直平分线的性质以及勾股定理，熟练运用勾股定理是解题关键．
根据勾股定理求出 ，再利用垂直平分线的性质求出 ，即可得到答案．
【详解】解： ， ， ，
，
的垂直平分线交 于点 ，
，
；
故选 ．
3．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，在等腰三角形 中 ， 分别是
的高和中线， ， ， 是 上的一个动点，则 的最小值是（ ）
A． B． C．13 D．12【答案】B
【分析】本题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，等腰三角形的性质，熟悉对称点的运用和画法，
知道何时线段和最小是解题的关键．
利用等腰三角形的对称性找到点B的对称点C，连接 ，当 时，线段的和最小，最小值为 ．
【详解】解：∵在等腰 中， ， 是 的中线，
∴ ，故点B关于 的对称点是点C，
连接 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 有最小值，即 的长度，
故 的最小值是 ．
故选：B．
4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）一艘轮船从A港向南偏西 方向航行 到达B岛，再从B岛沿
方向航行 到达C岛，A港到航线 的最短距离是 ．则 岛和 港之间的距离（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据题意，利用勾股定理求出 的长度，再求出 的长度，再
用勾股定理求出 的长度即可．
【详解】解：由题意，得： ， ，中， ，
由 ，
∴ ，
中， ，
答：C岛和A港之间的距离 ．
故选：C．
5．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）图中是第七届国际数学教育大会的会徽，其图案是由如图所示的
一连串直角三角形演化而成的．其中 ，记 为相应三角形的面积．则
的值为（ ）
A． B．30 C．33 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理，图形类的规律探索，利用勾股定理求出 ，可得规律
，则 ，据此求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
……，
以此类推可知 ，
∴ ；
∴
，
故选：D．
6．（25-26八年级上·甘肃武威·月考）“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的
典型体现．如图，大正方形 是由四个全等的直角三角形和小正方形 组成．连接 ， ，
若 ， ，则大正方形 的边长为（ ）
A．6 B． C． D．5
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
由全等三角形的性质可得 ，先对 运用勾股定理求出 ，再对 运用勾股定理求出 ，则 即可求得，最后对 运用勾股定理即可求解．
【详解】解：由题意得 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
二、填空题
7．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，每个小正方形的边长都是1， ， ， 是小正方形的顶点，
则 ．
【答案】
【分析】连接 ，利用勾股定理求出 各边的长度，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，
进而求出 的度数．
【详解】解：连接 ，如图．
由题意得 ， ， ，
， ．
是等腰直角三角形．
．【点睛】本题考查了勾股定理及等腰直角三角形的判定，解题关键是通过勾股定理求出三角形三边长度，
结合勾股定理的逆定理判断三角形形状，进而得出角的度数．
8．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在 中，在 、 上分别截取 、 ，使 ，
分别以点 、 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内相交于点 ，作射线 ，交
于点 ，过点 作 于点 ．若 ， ，则点 到 的距离为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一，正确掌握相关性质内容是解题
的关键．先根据 ， ，得 ，再运用勾股定理列式计算得
，根据作图过程，得出 是 的平分线，最后结合角平分线上的点到角的两
边距离相等，即可作答．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
在 中， ，
根据作图过程，得出 是 的平分线，
∵ ，
∴点 到 的距离 ，
故答案为：3．
9．（25-26八年级上·河北张家口·期末）明朝数学家程大位曾作词《西江月·秋千索长》．该诗词翻译后的
示意图如图所示， 表示秋千的绳索， ， 与地面l垂直，点C到地面l的距离为5尺，
点B到地面l的距离为1尺， 尺，则 的长为 尺．西江月·秋千索长
平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人
齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语
欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设 尺，则 尺，由勾股定
理可得方程 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：设 尺，则 尺，
∵ ，
∴ ，
∴由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ 尺，
故答案为： ．
10．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，在 中， ， 交 于点D，
， ，过点B作 ，垂足为E， ， ，延长 交 的延长线于点H，则
．【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形等积法求线段长，先证明
得 ， ，再由勾股定理求出 ，再根据
即可求解．
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
11．（25-26八年级上·上海闵行·月考）定义：如果三角形中，两边的平方和等于第三边平方的2倍，那么这个三角形叫“超厉害三角形”．若 是“超厉害三角形”，且一条直角边长为1，则斜边长是
__________．
【答案】 或
【分析】本题考查新定义和勾股定理，求一个数的平方根，熟练掌握勾股定理和求一个数的平方根是解题
的关键．
根据“超厉害三角形”的定义，三角形中两边的平方和等于第三边平方的2倍．设 的两条直角边
分别为 和 ，斜边为 ，且满足勾股定理 ．给定一条直角边长为1，若 ，则
，故 （不符合题意，舍去）．分两种情况讨论：一是直角边 时，满足 ；二是
直角边 时，满足 ．分别代入勾股定理求解斜边 ．
【详解】解：设 ，直角边 ，斜边为 ，另一条直角边为 ．根据勾股定理，有 ．
若 ，则 ， （不符合题意，舍去）．
情况一：若满足 ，即 ．代入 ，得 ，简化得 ，解
得 ， （舍负），则 ， （舍负）， ．
情况二：若满足 ，即 ．代入 ，得 ，简化得 ，解得
， （舍负），则 ， （舍负）， ．
斜边长为 或 ．
故填： 或 ．
12．（25-26八年级上·上海虹口·期末）定义：连接三角形的一个顶点和其对边上一点，若所得线段能将该
三角形分割成两个等腰三角形，则称该线段为原三角形的“双等线”．例如：任意直角三角形斜边上的中
线就是一条过直角顶点的“双等线”．问题解决：已知 中， ， ，如果
中存在过锐角顶点的“双等线”，则 的长为 ．【答案】 或
【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，掌握分类讨论思想是解题的关键．考虑“双等线”从锐
角顶点A或B出发的情况，分别讨论使分割后的两个三角形均为等腰三角形的条件，通过几何关系和解方
程求得 的可能长度．
【详解】解：分两种情况讨论：
①若“双等线”从顶点A出发，如图， 是“双等线”，
则 ， 是等腰三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是等腰三角形，
∴ ，
∴ ．
②若“双等线”从顶点B出发，如图， 是“双等线”，
则 ， 是等腰三角形，
设 ，
∵ 是等腰三角形，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ 是等腰三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
综上所述， 的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
三、解答题
13．（24-25八年级下·云南昆明·月考）如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格， 的三个顶点
都在网格中的格点上．
(1)求 的周长；
(2)判断 的形状，并求 边 上的高；
【答案】(1)
(2)直角三角形；2
【分析】本题考查勾股定理，二次根式的运算，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用勾股定理求出每条边的长度即可求解；
（2）根据勾股定理的逆定理即可求解，再根据等面积法即可求出 上的高；
【详解】（1）解： ， ，
的周长 ；
（2）解： ， ， ，
，故 是直角三角形，
设 边 上的高为 ，
即 ，
解得： ，
则 边 上的高为2；
14．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图，劳动课时，小星将 的空地种上两种不同品种的花卉，
中间用小路 隔开，经测量， ， ， ， ．
(1)判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若空地 种植花卉的费用为50元/ ，则需花费多少元？
【答案】(1) ，理由见解析
(2)需花费2700元
【分析】本题考查了勾股定理及其应用，掌握勾股定理及其应用是解本题的关键．
（1）由题意可得 ，即可证得 是直角三角形，进而证得 ；
（2）由勾股定理证得 ，再由“种植花卉的费用为50元/ ”即可解出．
【详解】（1）解： ．理由：在 中，
， ， ，
，
即 ，
是直角三角形，
．
（2）由（1）得 ，
为直角三角形，
， ，
，
，
（元）
答：需花费2700元．
15．（25-26八年级上·河南郑州·期末）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引
葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长 为1丈（1丈
尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇 ，它高出水面的部分 为1尺．如果把这根芦苇
垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即 ．
(1)求水池的深度 ．
(2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池
底面边长 记作2a，O为 的中点，水的深度 记作b，芦苇高出水面的部分 记作 ，则水
池的深度b可通过计算 得到．请说明此解法的正确性．
【答案】(1)12尺(2)
【分析】本题考查了勾股定理的应用；
（1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为 尺，在 中，利用勾股定理建立方程即可求解；
（2）由水池深度 ，则得芦苇高度为 ，由题意有： ；由勾股定
理即可得证．
【详解】（1）设 为x尺，
则 ， 尺．
在 中， ，
由勾股定理，得
．
．
解得 ．
答：水池的深度 为12尺．
（2）图中 ， ， ，
则 ， ，
在 中， ，
由勾股定理，得 ．
．
解得 ．
16．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）已知在 中， ， ， ，点D是
上一点， ，点P从B点出发沿射线 方向以每秒2个单位长度的速度向右运动，设点P的运
动时间为 ，连接 ．
(1)当 时，求 的长度；
(2)当 为等腰三角形时，t的值为________；(3)过点D作 于点E，当P在点C的左侧运动时，要使 ， _______．
【答案】(1)
(2) 或16或5
(3)5
【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关知识点，利用
数形结合和分类讨论的思想，进行求解．
（1）根据动点的运动速度和时间先求出 ，再根据勾股定理即可求解；
（2）分 ， ， 三种情况进行讨论求解即可；
（3）根据勾股定理求出 ， 连接 ，则 ．证明 ， 得到
，则∴ ，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：当 时， ， ， ，
在 中，根据勾股定理，得 ．
（2）解：由题意可知， ，
①当 时，
∵ ，
，解得 ；
②当 时，如图
∵ ，
∴ ，
∴ ；
③若 ，则 ，
在 中， ，
∴解得： ；
综上所述：t的值 或16或5；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
如图，连接 ，
∵P在C点的左侧，
∴ ．
又∵ ， ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ．
17．（25-26八年级上·福建福州·期末）【项目式学习】
【项目主题】合理规划，绿色家园
【项目背景】某小区有4栋住宅楼： 栋， 栋， 栋， 栋， 处为小区入口．为方便小区居民传递爱
心，物业管理处准备在小区的一条主干道 上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心
衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活
动．任务一：实地测绘
小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），并测量出了某些道路的长度（如表格所示），
进一步抽象成几何图形（如图3），其中主干道 与 交于点 ， ．小组成员又借助电子角度
仪测得 ， 平分
道路
长度（米） 80 60 60 36 64 50
任务二：数学计算
根据图3及表格中的相关数据，请完成下列计算：
(1)求道路 和 的长；
(2)任务三：方案设计
根据以上探究，请你在主干道 上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点 表示），并画出需要增
设的小路 ．
【答案】(1)道路 的长为50米； 的长为 米；
(2)见解析
【分析】（1）根据平行线的性质和已知条件得出 ，进而根据等角对等边，可求解；利用
勾股定理的逆定理证明 ，勾股定理求得 ，证明 ， ，进而根据等面积法即
可求解；
（2）由（1）可得 垂直平分 ，根据两点之间线段最短可得 的交点到 的距离之和最
小，又 ，则到4栋距离最小的点即为点 ．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故道路 的长为50米；
∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
在 中，
∴ ，
∴ ， ，
∵
∴
故 的长为 米；
（2）解：由（1）可得 垂直平分 ，根据两点之间线段最短可得 的交点到 的距离之
和最小，又 ，则到4栋距离最小的点即为点 ，如图所示：
．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂直平分线的性质与判定，两点之间线段最短，等腰三角形的
性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
18．（25-26八年级上·上海松江·期末）综合与实践
【阅读理解】
背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着智慧．赵爽的证明方法是：制作四个全等的直角三角形，
直角边长分别记为a、b（ ），斜边长记为c．用这四个直角三角形拼成如图1所示的正方形（赵爽弦
图）．用它可以证明勾股定理．证明思路是：大正方形的面积有两种求法，方法1：利用正方形面积公式算得大正方形面积为 ；方法2：把大正方形面积看作四个直角三角形与中间一个小正方形的面积之和．
再根据以上结果，就可以证明勾股定理．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我
们称之为“双求法”．
（1）请根据上面的叙述，给出勾股定理证明过程．
【方法运用】
根据背景介绍，探索勾股定理新的证法：把两个全等的直角三角形 和 如图2放置（其中B、
D、C在同一条直线上，A、F、D在同一条直线上），其中 ， ， ，
延长 与 交于点E．
（2）连接 ，请利用“双求法”证明： ；
【应用拓展】
（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，测得 米，
米．后来为了方便村民就近取水，决定在河边新建第三个取水点H（A、H、B在同一条直线上），
要求 的长度最短．求新修道路 的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）480米
【分析】本题考查了勾股定理的证明及勾股定理的应用，正确理解勾股定理的证明方法是关键．
（1）根据题意先分别表示各图形的面积，再探究面积之间的关系即可；
（2）根据 和 计算来证明即可；（3）过点A作 于点D，过点C作 于点H，先根据勾股定理求出 米，再根据
求解即可．
【详解】证明：（1）方法1：正方形的面积 ，
方法2：正方形的面积 ，
（2）
即
连接 ，设
，
，
，
即 ；
（3）过点A作 于点D，过点C作 于点H，米， 米， ，
（米），
（米），
，
，
（米）．
