文档内容
9.3 利用导数求极值最值（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 极值
【例1-1】（2022·崇左模拟）函数 的极小值是 ．
【答案】2
【解析】由题意可得 ．由 ，得 或 ；由 ，得
，则 在 和 上单调递增，在 上单调递减，则
． 故答案为：2
【例1-2】（2022·辽阳二模）设函数 ，则下列不是函数 极大值点的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可得 ，令 ，得 或 ， ，
则当 时， ，
当 时， ，
所以函数 在 ， ， 上单调递增，在 ，
， 上单调递减，
故不是函数 极大值点的是 .
故答案为：D.
【例1-3】（2022·安康模拟）若函数 有两个极值点，则实数 的取值范围为（
）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 .
因为函数 有两个极值点，
所以 有两个不同的解，即 有两个不同的解转化为 与 的图象有两个交点；
设 ，则 ，令 ，即 ，解得
当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
分别作出函数 与 的图象，如图所示
由图可知，0 ，解得 .
所以实数 的取值范围为 .
故答案为：D.
【一隅三反】
1（2022高三上·襄阳期末）已知函数 ， ，则 所有极值点的和为（
）A． B．13π C．17π D．
【答案】D
【解析】 ，令 ，得 ，
因为 在 两侧异号，所以 是函数 的极值点，
又 ，所以极值点 ，
所以 所有极值点的和为 ，故答案为：D.
2．（2022·昆明模拟）若 是函数 的极值点，则 的极大值为（ ）
A．-1 B． C． D．1
【答案】C
【解析】因为 ，
故可得 ，
因为 是函数 的极值点，故可得 ，
即 ，解得 ，
此时
令 ，解得 ，
由 可得 或 ；由 可得 ，
所以 在区间 单调递增，在 单调递减，在 单调递增，故 的极大值点为 ，
则 的极大值为 。
故答案为：C.
3（2022·河西模拟）若函数 在 处取得极值，则 ．
【答案】1
【解析】 ，
因为函数 在 处取得极值，
所以， ，解得 ，
此时， ，
故当 时， ， 单调递减；
当 和 时， ， 单调递增；
所以，函数 在 处取得极小值，满足题意，
所以，
所以 故答案为：1
考点二 最值
【例2】（2021·浙江）已知函数 ，则 的最大值是_____，最小值是
______．
【答案】 ； .
【解析】 ， ，
又 ， 令 ，得 ；令 ，得 .在 上单调递减，在 上单调递增，
， 的最大值是2；最小值是 .故答案为： ； .
【一隅三反】
1．（2021·全国专题练习）函数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为 ，则令 ，解得 ，
当 时， ，则函数单调递增；当 时， ，则函数单调递减，
则当 时，函数有最大值，为 ，故选:D.
2（2021·江苏）已知函数 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题得 ，
所以当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减.
所以 取得最小值时， ，此时 ，当 时， ；
当 时， ；
所以 的最小值是 .
故选：C
3．（2021·甘肃兰州市）函数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递减，在 上递增，
因为 ，
所以函数 的最大值为 ，故选：B
考点三 已知极值最值求参数
【例 3-1】（2022·新疆三模）若函数 在 处有极值 10，则
（ ）
A．6 B．-15 C．-6或15 D．6或-15
【答案】B
【解析】 ，
又 时 有极值10，解得 或
当 时，
此时 在 处无极值，不符合题意
经检验， 时满足题意
故答案为：B
【例3-2】（2022·凉山模拟）函数 ，若 在 上有最小值，则实数a的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，函数 ，可得 ，
若 时，当 时，可得 ， 在 上单调递减，
此时函数 在 没有最小值，不符合题意；
当 时，令 ，即 ，即 与 的交点，
画出函数 与 的图象，如图所示，结合图象，可得存在 ，使得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
此时函数 在 上有最小值，符合题意，
综上可得，实数a的取值范围是 .
故答案为：A.
【例3-3】（2022高三上·开封开学考）已知函数 的值域为 ，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时， 在 上单调递增， ， ，则
在 上值的集合是 ，
当 时， ， ，
当 时， ，当 时， ，即 在 上单调递减，在 上单调递增，
， ，则 在 上值的集合为 ，
因函数 的值域为 ，于是得 ，则 ，解
得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为：D
【一隅三反】
1（2021高三上·江西月考）设函数f(x)=
{x3−3x，x≤a，
若 无最大值，则实数 的取值范围是
−2x，x>a，
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为f(x)=
{x3−3x，x≤a，
−2x，x>a，
作出函数 与直线 的图象，它们的交点是 ， ， ，
由 ，则令 ，可得 或 ，
当 或 时， ，则 单调递增，
当 时， ，则 单调递减，
所以 是 的极大值点， 是 的极小值点，
由图象可知，当 时， 有最大值 或 ，
当 时，有 ，此时 无最大值，
故实数 的取值范围为 .
故答案为：A.
2．（2022金台月考）已知函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意 有两个不等实根，
即 有两个不等实根，
设 ，则 ，
当 时， ， 递增，
当 时， ， 递减，
时， 为极大值也是最大值， 时， ，且 ，当 时， ，
所以当 ，即 时，直线 与 的图象有两个交点，
即 有两个不等实根．
故答案为：B
3（2022潍坊期中）若函数 在 上无极值，则实数 的取值范围
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 可得
，
恒成立， 为开口向上的抛物线，
若函数 在 上无极值，
则 恒成立，所以 ，
解得： ，
所以实数 的取值范围为 ，
故答案为：D.
4．（2021·全国高三专题练习）若函数 在区间 上存在最小值，则 的取值
范围是
A． B． C． D．
【答案】C【解析】 ， ，
令 ，解得 或 ；令 ，解得 .
故 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ，
所以，函数 在 处取得极小值，
由于函数 在区间 内取到最小值，则 ，
由 可得 ，可得 ,
即 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .故选：C.
