文档文本内容
1.5 复数考点一 复数的基本概念
【例1-1】（2024·黑龙江吉林·二模）复数 的虚部是（ ）
A．2 B． C．1 D．
【例1-2】（2024山东）已知复数 的实部为3，则实数 的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．5
【一隅三反】
1．（2024·湖南·模拟预测）已知复数 ，则复数 的实部与虚部之和为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
2．（2024内蒙古赤峰）复数 的虚部为（ ）
A． B．2 C． D．1
3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知 为虚数单位， 为实数，若 ，则
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
考点二 复数的分类
【例2-1】（2024·四川泸州·二模）已知 为纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【例2-2】（2024·全国·一模）若复数 为纯虚数，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【一隅三反】
1．（2024·江苏扬州）已知复数 是纯虚数，则m=（ ）
A．1 B．1或-4 C．4 D．4或6
2（2023·辽宁·校联考二模）已知 ， 为纯虚数，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024·山西·模拟预测）已知 为实数，则 （ ）A．1 B． C．2 D．
4．（2024·山西运城）已知 为虚数单位，若 为实数，则实数 （ ）
A． B．4 C．2 D．
考点三 复数的几何意义
【例3-1】（2024·辽宁·一模） 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例3-2】（2024·广东广州·一模）已知复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例3-3】（2024·河北衡水）已知复数 ， ，若 在复平面上对应的点在第三象限，则
（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024·河南·模拟预测）已知复数 在复平面内对应的点为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南南阳·一模）已知复数 满足 ，复数 的共轭复数为 ，则 在复平面内对应的点位
于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024·甘肃·一模）若复数 在复平面内对应的点位于第二象限，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国·一模）若 ，则在复平面内复数z对应的点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
考点四 复数的模长
【例4-1】（2023·北京通州·统考模拟预测）已知复数 ，则 （ ）A． B． C．2 D．
【例4-2】（2024·全国·模拟预测）已知 ，则z等于（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2024·天津南开·一模）i是虚数单位，复数 ，则 的虚部为
2．（2023·山西·高三校联考阶段练习）复数z满足 ，则 =（ ）
A． B． C． D．2
3．（2024东北师大附中校联考模拟预测）已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023·广东梅州·统考二模）已知复数 ， ，且 为纯虚数，则 （ ）
A． B．2 C． D．
考点五 复数与方程
【例5-1】（2024·浙江·模拟预测）已知 是关于 的实系数一元二次方程 的一个根，则
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【例5-2】（2024·安徽芜湖·二模）已知复数 且 有实数根b，则 =
（ ）
A． B．12 C． D．20
【一隅三反】
1.（2023·福建·统考模拟预测）已知z是方程x2-2x+2=0的一个根，则| |=（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（2024·全国·高三专题练习）已知复数z是方程 的一个根，且复数z在复平面内对应的点位于第三象限，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·云南·模拟预测）若 是一元二次方程 的根，则该方程的两根之和为（ ）
A．2 B． C． D．1
4．（2024·全国·模拟预测）设 为实数，且 ，虚数 为方程 的一个根，则 的值为
.
考点六 复数模长相关轨迹
【例6-1】（2024湖南·阶段练习）设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【例6-2】．（2023·全国·模拟预测）已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 的最小值为
（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【例6-3】（2024浙江·期末）已知复数 满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024江苏无锡·期中） 是虚数单位，若复数 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·安徽安庆·一模）设复数z满足条件|z|＝1，那么 取最大值时的复数z为（ ）
A． + i B． + i C． i D． i
3．（2024江苏泰州）若复数z满足 ，则 的最小值为（ ）A． B． C．1 D．
4．（2023·江苏扬州·模拟预测）复数 （ 为虚数单位）在复平面内对应点 ，则下列为
真命题的是（ ）．
A．若 ，则点 在圆上
B．若 ，则点 在椭圆上
C．若 ，则点 在双曲线上
D．若 ，则点 在抛物线上
考点七 复数运算及性质
【例7-1】（2024·广东江门·一模）（多选）下列说法正确的是（ ）
A． ，
B．
C．若 ， ，则 的最小值为1
D．若 是关于x的方程 的根，则
【例7-2】（2024·广东韶关·二模）（多选）已知复数 ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 是非零复数，且 ，则 D．若 是非零复数，则
【一隅三反】
1．（2024·山西·一模）（多选）已知复数 是 的共轭复数，则（ ）
A．
B． 的虚部是
C． 在复平面内对应的点位于第二象限D．复数 是方程 的一个根
2．（2024·云南·一模）（多选）已知 、 都是复数，下列正确的是（ ）
A．若 ，则
B．
C．若 ，则
D．
3．（2024·吉林白山·二模）（多选）已知 为复数，则（ ）
A．若 ，则 为实数
B．
C．若 ，则
D．若 ，则复数 在复平面内所对应的点位于坐标轴上
一．单选题
1．（2024·河南信阳·一模）若 ，则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．1
2．（2024·宁夏银川·一模）已知复数 表示纯虚数，则 （ ）
A．1 B． C．1或 D．2
3．（2024·全国·模拟预测）复数 满足 ， 为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 在复平面内对应的点位于第二象限
C． 的实部为 D． 的虚部为4．（2024·内蒙古包头·一模）设复数 满足 ， ，复数 所对应的点位于第四象限,则
（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·吉林·模拟预测）已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．（2024·四川南充·二模）若复数 ，且z和 在复平面内所对应的点分别为P，Q，O为坐标原点，则
（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 ， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·辽宁葫芦岛·一模）设 ， 为复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 且
C．若 ，则
D．若 ，且 ，则 在复平面对应的点在一条直线上
二．多选题
9．（2024·辽宁·一模）已知 满足 ，则（ ）
A．
B．复平面内 对应的点在第一象限
C．
D． 的实部与虚部之积为
10．（2024·湖南邵阳·二模）已知复数 满足： (其中 为虚数单位)，则下列说法正确的有( )
A． B．
C． 的最小值为 D． 的最大值为
11．（2024·江苏·一模）已知复数 ，下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 或 D．若 ，则
三．填空题
12．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知复数 ，则 的虚部为 .
13．（2023·全国·高三专题练习） ____________
14．（2024·福建漳州·模拟预测）已知复数 ， 满足 ， ，则 的最大值为
.
四．解答题
15．（2024河南商丘）已知复数z满足 ， 的虚部是2，z对应的点A在第一象限，
(1)求z的值；
(2)若 在复平面上对应点分别为A，B，C，求cos∠ABC.16（2024湖北）已知复数 满足 ，且复数 在复平面内的对应点为 ．
(1)确定点 的集合构成图形的形状；
(2)求 的最大值和最小值．
17．（2024·上海嘉定）设复数 ，其中xnyn∈R，n∈N*，i为虚数单位， ，z=3+4i，复
1
数zn在复平面上对应的点为Zn.
（1）求复数z，z，z 的值；
2 3 4
（2）是否存在正整数n使得 ？若存在，求出所有满足条件的 ；若不存在，请说明理由；
（3）求数列 的前 项之和.18．（2024山西）已知复数 ， ， 为虚数单位， .
（1）若 为实数，求 的值；
（2）若复数 、 对应的向量分别是 、 ，存在 使等式 成立，求实数 的取值范围.
19．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）对于无穷数列 ，我们称
（规定 ）为无穷数列 的指数型母函数．无穷数列1，
1，…，1，…的指数型母函数记为 ，它具有性质 ．
(1)证明： ；
(2)记 ．证明： （其中i为虚数单位）；
(3)以函数 为指数型母函数生成数列 ， ．其中称为伯努利数．证明： ．且 ．
