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模拟预测卷01
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出
的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的
位置上.
1．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接由并集的概念即可求解.
【详解】由 ，得 .
故选：A.
2．若复数 满足 为虚数单位，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】先求出复数 ，可得出复数在复平面内对应的点，从而可得答案
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
所以 对应的点的坐标为 ，位于第一象限．
故选：A3．已知函数 的图象关于直线 轴对称，且
在 上没有最小值，则 的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】先由三角恒等变换化简解析式，再由对称轴方程解得 ，再由
在 上没有最小值得 范围，建立不等式求解可得.
【详解】
，
因为 的图象关于直线 轴对称，
所以 ，
故 ，即 ，
当 ， ， ,
即当 时，函数 取得最小值，
当 时， 为 轴右侧第 条对称轴.
因为 在 上没有最小值，所以 ，即 ，
故由 ，解得 ，
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故 ，得 ．
故选：C.
4．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性可得答案.
【详解】 ， ，
，∴ .
故选：A.
5．如图，圆 为 的外接圆， ， 为边 的中点，则
（ ）
A．10 B．13 C．18 D．26
【答案】B
【分析】根据三角形外接圆的性质，结合数量积的几何意义求解可得可得 与
，再根据平面向量的运算可得出结论．
【详解】 是 边的中点，可得 ，
是 的外接圆的圆心，
，
同理可得 ，．
故选：B．
6．如图，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下去，然
后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的内切球
（球与正四棱锥各面均有且只有一个公共点）的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得正四棱锥的斜高为5，底面正方形的边长为6，从而可得正四棱锥的
高，设这个正四棱锥的内切球的半径为 ，高线与斜高的夹角为 ，则易得 ，
，从而可得 ，再代入球的体积公式，即可求解．
【详解】作出四棱锥 如图：
根据题意可得正四棱锥的斜高为 ，底面正方形 的边长为6，
正四棱锥的高为 ，
设这个正四棱锥的内切球的球心为 ，半径为 ，与侧面相切于 ，
则高线与斜高的夹角为 ，则 ，
则 ,
， ，
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！这个正四棱锥的内切球的体积为 ．
故选：B．
7．设椭圆 的弦AB与 轴， 轴分别交于 两点，
，若直线AB的斜率 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，由 得
，根据 在椭圆上，代入相减得 ，则直线 的斜率为
，然后由 即可求解.
【详解】如图所示，设 ，直线 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ， ，所以 .
因为 在椭圆上，所以 ，
两式相减得 ，即 .
又因为 ，且 ， ，
所以 ，即 ，
所以 .
故选：C.
8．已知函数 的定义域均为 ，若 为偶函数， 为奇函数，且
，则（ ）
A． B． C． 为奇函数 D． 为奇函数
【答案】C
【分析】方法一：利用抽象函数的奇偶性和相关条件推导出函数的周期性、对称性等基本
性质，逐一对选项进行分析判断；方法二：依题意构造函数法.依题意，可设 ，
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！则 ，一一对选项进行计算、验证即得.
【详解】方法一 :（函数性质判断法）由f (x−1)为偶函数，得 ①．
由 为奇函数，得 ．
又 ，则 ②．
则由①， （*），
由②， ，
故得 ． 把 取成 ，得 ③，
于是， ，即函数 的周期为2，故B错误；
又因 为R上的奇函数，则 ， 的周期为2，则 ，
故A错误；
由③得， ，即 ，
故 ．因 为奇函数，故 为奇函数，故C正确；
由（*）， ，得 ，即 为偶函数，
又 ，所以 为偶函数，故D错误.
方法二：（构造函数法）依题意，可设 ，则 为
偶函数，
由 为奇函数，且函数 的定义域均为R，
对于A， ，排除A；对于B，显然 的最小正周期是2，排除B；
对于C， 是奇函数，故C正确；
对于D， ，显然是偶函数，排除D.
故选：C.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出
的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分
分，有选错的得0分.
9．某人在 次射击中击中目标的次数为 ，其中 ，设击中偶
数次为事件 ，则（ ）
A．当 时， 取得最大值 B．当 时， 取得最小值
C．当 随 的增大而减小 D．当 随 的增大而减小
【答案】AD
【分析】对于AB，直接由二项分布的方差公式即可求解；对于CD，可以根据二项式定理
得出 ，进一步通过 的范围即可判断 的单调性.
【详解】对于AB： ，
当 时， 取得最大值，故A正确，B错误；
对于CD： ，
，
8
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，
当 时， 为正负交替的摆动数列，
所以 不会随着 的增大而减小，故C错误；
当 时， 为正项且单调递减的数列，
所以 随着 的增大而减小，故D正确.
故选：AD．
10．已知数列 ，下列结论正确的有（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ，则数列 是等比数列
D．若 为等差数列 的前 项和，则数列 为等差数列
【答案】ABD
【分析】A.利用累加法求和，即可判断；B.利用构造法，构造 为等比数列，求通项
公式，即可判断;C.利用公式 ，即可求解通项公式，判断选项；D.根据
等差数列前 项和公式，结合等差数列的定义，即可判断选项.
【详解】对于选项A，由 ，得 ，则
，故A项正确；
对于选项B，由 得 ，
所以 为等比数列，首项为 ，公比为2，
所以 ，所以 ，故B项正确；
对于选项C，因为 ，
当 时， ，
当 时， ，
将 代入 ，得 ，
所以 ，所以数列 不是等比数列，故C项错误.
对于选项D，设等差数列的公差为d，
由等差数列前 项和公式可得 ，
所以 与n无关，
所以数列 为等差数列，故D项正确.
故选：ABD
11．已知定义在 上的函数 的图象连续不间断，当 ，且
10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！当x>0时， ，则下列说法正确的是（）
A．
B． 在 上单调递增，在 上单调递减
C．若 ，则
D．若 是 在 内的两个零点，且 ，则
【答案】ACD
【分析】 选项，令x=0，可求 ； 选项，对 两边求导，结合
得 ， ，可判断 单调性；C选项，
的大小关系进行分类讨论，利用函数单调性，证明不等式；D选项，证明
，利用函数单调性，证明 且 ，可得结论.
【详解】 选项，令x=0，则有 ，所以 ，故 正确.
选项，对 两边求导，得 ，
所以 ，代入 ，
得当x>0时， ，所以 .
又因为 ，所以， .
因此，当 时， ， 在 上单调递减；当 时， ， 在 上单调递增.
故 错误.
C选项，对 的大小关系进行分类讨论：
①当 时， 在 上单调递减，所以 ，显然有 ；
②当 时， 在 上单调递增，不符合题意；
③当 时，当 时， .
令 ，
又因为 ，所以 ，
因此 .
因为 ，由 的单调性得， .
故C正确.
选项，因为 ，
所以 .
先证 ，即证 ，即 ，
只需证 ，即证 .
事实上， ，因此 得证.
此时有 .
因为 ，又 ，所以
12
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因为 ，又 ，所以 .
综上， ，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知 ， ，若 ，则 的值为 .
【答案】 或
【分析】由 可得 ，展开代入数据计算即可.
【详解】由题意可得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
解得 或 .
故答案为： 或
13．已知函数 是定义域为 的偶函数，且 为奇函数，写出函数 的一个解
析式为 .
【答案】 （答案不唯一）
【分析】由 为奇函数可得 的图象关于点(1,0)中心对称，结合偶函数的性质可
构造 符合题意.
【详解】由 为偶函数，知 的图象关于 轴对称；由 为奇函数，知 的图象关于点(1,0)中心对称，
据此构造函数 ，则 是偶函数；
为奇函数，符合题意.
故答案为： （答案不唯一）.
14．在 中，角A，B，C的对边分别为 的平分线AD交
BC于点 .若 ，则 周长的最小值为 .
【答案】 /
【分析】根据正弦定理边角化可得 ，即可利用正弦和差角公式
求解 ，利用等面积法可得 ，进而根据基本不等式即可求解.
【详解】 ，
，
即 ，
，
，
.
，得 ，
由 ，得 ，当且仅当 时，等号成立.
又 的周长
14
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！，当且仅当 时，等号成立.
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
15．（13分）记 为正项等比数列 的前 项和，已知 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ， 为数列 的前 项和，证明： .
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）设等比数列 的公比为 ，结合等比数列求和公式可得 ，即可
得结果；
（2）由（1）得， ，利用错位相减法可得 ，进而分析证明.
【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，由 可知， ，
则 ，得 ，解得 （负值舍去），
将 代入 ，解得 ，
所以数列 的通项公式为 .
（2）由（1）得， ，则 ，可得 ，
两式相减可得
，
可得 .
因为 ，可知数列 为递增数列，则 ；
综上可得 .
16．（15分）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，
， 为 的中点，点 在 上，且 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
(3)设点 在 上，且 判断直线 是否在平面 内，说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2) (3)不在，理由见解析
【分析】（1）应用线面垂直判定定理证明即可；
（2）结合线面垂直建系，空间向量法求出二面角余弦值；
16
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（3）先判断关系，再求出向量坐标，最后空间向量法证明结论.
【详解】（1）因为 平面 ，又 平面 ，则 ，
又 ，且 ， ， 平面 ，故CD 平面 ；
又 面 ，
，
， 为 中点，
，
，CD， 面 ，
面 ；
（2）过点 作AD的垂线交 于点 ，
因为 平面 ，且 ， 平面 ，所以 ， ，
故以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则A(0,0,0)， ， ， ， ，
因为 为 的中点，则 ，所以 ，
又 ，所以 ，故 ，
设平面 的法向量为⃗n=(x,y,z)，则 ，即 ，
令 ，则y=−1，x=−1，故 ，
又因为平面 的法向量为 ，
所以 ，
所以平面 与平面 的夹角余弦值为 ；（3）直线 不在平面 内，
因为点 在 上，且 ，又 ，故 ，
则 ，
由（2）可知，平面 的法向量为 ，
所以 ，
所以直线 不在平面 内．
17．（15分）某记忆力测试软件的规则如下：在标号为1、2、3、4的四个位置上分别放
置四张相似的图片，观看15秒，收起图片并打乱，1分钟后，测试者根据记忆还原四张卡
片的位置，把四张卡片分别放到四个位置上之后完成一次测试，四张卡片中与原来位置相
同1张加2分，不同1张则扣1分．
(1)规定：连续三次测试全部得8分为优秀，三次测试恰有两次得8分为良好，若某测试者
在每次测试得8分的概率均为 （ ），求他连续三次测试结果为良好的概率的最
大值；
(2)假设某测试者把四张卡片随机地放入四个位置上，他测试1次的得分为X，求随机变量
X的分布列及数学期望．
【答案】(1) (2)分布列见解析，
【分析】（1）将 表示出来，利用导数求最值；
18
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（2）卡片与原来位置相同的张数可能为4张、2张、1张 0张，对应的 的所有可能取值
为8，2， ， ，由此可得分布列及数学期望．
【详解】（1）设连续三次测试结果为良好的概率为 ，
依题意得 ， ，
，令 得 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 取最大值为 ；
（2）某测试者把四张卡片随机地放入四个位置上，
卡片与原来位置相同的张数可能为4张、2张、1张 0张，
对应的 的所有可能取值为8，2， ， ．
则 ， ，
， ，
（或 ，
所以 的分布列为：
8 2
数学期望为 ．
18．（17分）已知函数 ．
(1)若曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求 的值；
(2)若 ，证明： ；(3)若 在 上有且仅有一个极值点，求正实数 的取值范围．
【答案】(1) 或 (2)证明见详解(3)
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程，进而结合面积列式求解即可；
（2）分析可知原不等式等价于 ，构建 ，利用导数
分析证明；
（3）构建 ，分析可知原题意等价于 与 在
内有且仅有一个交点，利用导数分析求解.
【详解】（1）由题意可知：y=f (x)的定义域为(1,+∞)，且
，
则 ， ，
即切点坐标为(2,0)，切线斜率 ，则切线方程为 ，
令 ，可得 ，
可知切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，解得 或 ，
所以 的值为 或 .
（2）若 ，则 ，
若 ，等价于 ，
设 ，则 ，
20
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在(0,2)内单调递减，在 内单调递减，
则 ，即 ，
所以 .
（3）由（1）可知： ，
令 ，整理可得 ，
设 ，
原题意等价于 与 在 内有且仅有一个交点，
则 ，
若 ，则 ，可得 ；
可知 在 内单调递减，
且 ，当 趋近于 ，F(x)趋近于0，如图所示：
可得 ，所以正实数 的取值范围 .
19．（17分）定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三角形称为该椭圆的“特
征三角形”．若两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆 ，椭圆 与
是“相似椭圆”，已知椭圆 的短半轴长为 ．
（1）写出椭圆 的方程（用 表示）；
（2）若椭圆 的焦点在 轴上，且 上存在两点 ， 关于直线 对称，求实数
的取值范围．
【答案】（1） 或 ；（2） ．
【分析】（1）根据相似椭圆的定义有 ，分焦点在x或y轴上写出椭圆方程.
（2）设 ， ， ， 的中点为 ， 联立椭圆 ，应用
韦达定理求 ，可得 的坐标，根据 在 上求m，由 即可求 的取值范
围．
【详解】（1）由椭圆 与 是相似椭圆，得 ，
∴椭圆 的方程为 或 ．
（2）由题设知：椭圆 为 ，
设 ， ， ， 的中点为 ， ．
∴联立 与椭圆 的方程，整理得 ，
∴ ，即 且 ，
， ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！由 在直线 ，得 ，于是 ，
∴ 的取值范围为 ．
