文档内容
1.3 复数（精练）（提升版）
题组一 复数的基本知识
1．（2022·内蒙古赤峰）若复数z满足 ，则（ ）
A．
B． 是纯虚数
C．复数z在复平面内对应的点在第三象限
D．若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则
【答案】D
【解析】 ，则 ，
对于A， ，故A错误，
对于B， ，不是纯虚数，故B错误，
对于C，复数z在复平面内对应的点在第一象限，故C错误，
对于D，点 在角α的终边上，则 ，故D正确故选：D
2．（2022·广东·二模）(多选）已知复数z的共轭复数是 ， ，i是虚数单位，则下列结论正确
的是（ ）
A． B． 的虚部是0
C． D． 在复平面内对应的点在第四象限
【答案】BC
【解析】由题意 ， ，，A错；
，虚部是0；B正确
；C正确
，对应点为 ，在第一象限，D错；
故选：BC．
3．（2022·山东潍坊·二模）（多选）若复数 ， ，其中 是虚数单位，则下列说法正确的
是（ ）
A．
B．
C．若 是纯虚数，那么
D．若 在复平面内对应的向量分别为 （ 为坐标原点），则
【答案】BCD
【解析】对于A， ，A错误；
对于B， ， ；
又 ， ，B正确；
对于C， 为纯虚数， ，解得： ，C正确；
对于D，由题意得： ， ， ，
，D正确.
故选：BCD.4．（2022·广东茂名·二模）（多选）已知复数 ， ，若 为实数，
则下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C． 为纯虚数 D． 对应的点位于第三象限
【答案】AC
【解析】因为 为实数，所以 ，解得 ，
所以 ， ，所以 ，故A正确，
，故B错误，
因为 ，所以 ，故C正确，
因为 ，所以 ，其对应的点 在第四象限，故D错误．
故选:AC．
5（2022·湖南湘潭·三模）（多选）已知复数 ， ，则（ ）
A． B．
C． D． 在复平面内对应的点位于第二象限
【答案】BC
【解析】由题可知， ，A不正确； ，B正确；
，C正确；对应的点在第四象限，D不正确.故选：BC.
6．（2022·广东佛山·二模）（多选）关于复数 （i为虚数单位），下列说法正确的是（
）A． B． 在复平面上对应的点位于第二象限
C． D．
【答案】ACD
【解析】 所以 故A正确
，则 在复平面上对应的点为 位于第三象限故B错误
故C正确
故D正确故选：ACD
7．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）（多选）已知复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，则下
列结论正确的是（ ）
A． B．复数 的共轭复数是 C． D． 的虚部为
【答案】D
【解析】因为复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，所以 ， ， ，虚部为 .
故ABC错误，D正确.故选：D
8．（2022·内蒙古赤峰·三模）若复数 满足 ，则（ ）
A．
B． 是纯虚数
C．复数 在复平面内对应的点在第二象限D．若复数 在复平面内对应的点在角 的终边上，则
【答案】D
【解析】由题设， 且对应点在第一象限，A、C错误；
不是纯虚数，B错误；由 在复平面内对应的点为 ，所以 ，D正确.
故选：D
题组二 复数的模长
1．（2022·全国·高三专题练习）已知 在复平面内对应的点在第四象限，则复数
z的模的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 在复平面内对应的点在第四象限，
所以 ，解得 ，
，
因为 ，所以 ，则 ，
所以复数z的模的取值范围是 .
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】 点 到点 与到点 的距离之和为2．点 的轨迹为线段 ．
而 表示为点 到点 的距离．
数形结合，得最小距离为1
所以|z＋i＋1| ＝1.
min
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）已知 是虚数单位，复数 的共轭复数为 ，下列说法正确的是（ ）
A．如果 ，则 ， 互为共轭复数
B．如果复数 ， 满足 ，则
C．如果 ，则
D．
【答案】D
【解析】对于A，设 ， ， ，但 ， 不互为共轭复数，故 错误；
对于B，设 （ ， ）， （ ， ）．
由 ，得 ，
则 ，而 不一定等于 ，
故 错误；
对于C，当 时，有 ，故 错误；对于D，设 ， ，则
， 正确
故选：
4．（2022·全国·高三专题练习）已知 、 ，且 ， （ 是虚数单位），则
的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】设复数 ，对应的点为 ，
，即 ， ，
点 的轨迹是以 为圆心、 为半径的圆，
设复数 ，对应的点为 ，
，即 ，
化简可得 ，点 的轨迹是一条直线，
表示点 与点 的距离，即圆上的一点到直线的距离，
圆 与直线 相离，
圆心 到直线 的距离 ，
故 的最小值为 ，
故选：C.
5．（2022·全国·高三专题练习）若存在复数 同时满足 ， ，则实数 的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可设 ，则有 ，又因为 ，
即 ，所以 ，
可设 ， ，（ 为任意角），
则
，
当 时取到最大值；当 时取到最小值，所以实数 的取值范围是 .
故选：C
6．（2022·全国·高三专题练习（文））已知复数 为虚数单位 在复平面内对应的点为 ，复数
满足 ，则下列结论不正确的是（ ）
A． 点的坐标为 B．
C． 的最大值为 D． 的最小值为
【答案】D
【解析】A：因为复数 为虚数单位 在复平面内对应的点为 ，所以 点的坐标为 ，因此
本选项结论正确；
B：因为 ，所以 ，因此本选项结论正确；
C，D：设 ，在复平面内对应的点为 ，设
因为 ，所以点 到点 的距离为1，因此点 是在以 为圆心，1为半径的圆，表示圆 上的点到 点距离，
因此 ，
，所以选项C的结论正确，选项D的结论不正确，
故选：D
7（2022·全国·高三专题练习）已知 为虚数单位，且 ，复数 满足 ，则复数 对应点的
轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ，由题意知 ，则复数 对应点的轨迹方程为
.
故选：C．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知复数 和 满足 ， ，则 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，
则 表示点 到点 的距离是到点 距离的 倍.
则 ，
化简得： ，
即复数 在复平面对应得点为以 为圆心，5为半径的圆上的点.设 ，因为 ，所以点 和点 距离为3，
所以复数 在复平面对应得点为以 为圆心，2为半径的圆即以 为圆心，8为半径的圆上构成的扇
环内（含边界），如图所示：
表示点 和原点 的距离，由图可知 的最小为0，最大为 .
故选：A.
9．（2022·全国·高三专题练习）若i为虚数单位，复数z满足 ，则 的最大值为
（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】因为 表示以点 为圆心，半径 的圆及其内部，
又 表示复平面内的点到 的距离，据此作出如下示意图：所以 ，
故选：D.
10．（2022·全国·高三专题练习）已知复数 满足： ，那么
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 表示 的轨迹是以 为圆心，以1为半径的圆；
表示 的轨迹是以 为圆心，以1为半径的圆；
，表示 的轨迹是直线 ，如图所示：表示直线 上的点 到圆 和圆 上的点的距离，
先作出点 关于直线 的对称点 ，连接 , 与直线 交于点 .
的最小值为 .
故选：A
题组三 复数的几何意义
1．（2022·全国·江西师大附中）已知复数 ，则z在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】由 ，所以z在复平面内对应点为 ，位于第二象限，故选：B
2．（2022·陕西汉中·二模（文））已知复数 在复平面内对应的点在第四象限，则实数
的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意 ，解得 ．故选：A．
3．（2022·贵州）复数 （其中 为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】复数
所以对应点为 ，即在复平面的第二象限内.故选：B4．（2022·湖南·一模）已知复数 ，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】复数 ，则
所以复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，位于复平面内的第一象限.故选：A
题组四 复数与其他知识的综合运用
1．（2022·全国·高三专题练习）设n是偶数， ，a､b分别表示 的展开式中系数大于0与小于
0的项的个数，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】展开通项公式通项公式为 ，
因此当 为偶数时，项的系数为实数，其 项，又 ， ， 是偶数，
所以正的项 有 ，负的项 有 项．即 ， ，
所以 ．故选：B．
2．（2022·全国·高三专题练习）在复平面内，复数z满足 ，且z所对应的点在第
一象限或坐标轴的非负半轴上，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】由 ，得 ，
因为z所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，所以 ，即 ，
设 ，解得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）若 ， 为复数，则“ 是实数”是“ ， 互为共轭复数”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意，不妨设
若 是实数，则
故 ，即 ，由于 不一定相等，故 ， 不一定互为共轭复数，故充分性不成立；
若 ， 互为共轭复数，则 ，故 ，故必要性成立.
因此“ 是实数”是“ ， 互为共轭复数”的必要不充分条件.
故选：B
4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 （
， 为虚数单位)，又数列 满足：当 时， ；当 时， 为 的虚部．若数列 的前 项和为 ，则 （ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 的通项公式： ，
，
依题意得： 时， ，
时， ，
．
故选： ．
5．（2022·全国·高三专题练习）设复数 ( 为虚数单位)，若对任意实数 ，
，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：由 ，得 ，
由复数模的几何意义知， 表示复平面上的点 与点 间的
距离，而点 在单位圆 上，要使 恒成立，则点 必在圆 上或其内部，故，解得 .
故选：D.
6．（2022·全国·高三专题练习）（多选）欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数
学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变
函数中占有非常重要的地位，它被誉为“数学中的天桥”，当 时，eπi＋1＝0被称为数学上的“优美
公式”，根据此公式可知，下面结论中正确的是（ ）
A．|eix|＝1 B．cos x＝
C．cos x＝ D．e2i在复平面内对应的点位于第二象限
【答案】ABD
【解析】因为eix＝cos x＋isin x，所以|e ix|＝ ，故A正确；
因为eix＝cos x＋isin x，所以 ，则cos x＝ ，故B正确C错误；
因为 ， ，所以e2i在复平面内对应的点位于第二象限，故D正确.
故选：ABD
7．（2022·全国·高三专题练习）设复数 ，则
______.
【答案】15
【解析】 ，所以
.
故答案为： .
8．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 的二项展开式中的常数项的值是 ，若
(其中 是虚数单位)，则复数 的模 ___________.(结果用数值表示)
【答案】
【解析】 的二项展开式的通项为：
令 ，得 ，可得常数项为
，则复数 的模
故答案为：5
9．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，函数 为偶函数，则 ＝
________.
【答案】
【解析】由于 为偶函数，所以 ，
即 ，
，所以 .
设 ，
则
故答案为：
10．（2022·全国·高三专题练习（文））已知复数 ， （ ， 为
虚数单位），在复平面上，设复数 、 对应的点分别为 、 ，若 ，其中 是坐标原点，
则函数 的最小正周期为________.
【答案】
【解析】 ， ，
则
函数 的最小正周期为
故答案为
题组五 解复数的方程
1．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（理））下列关于复数的命题中（其中 为虚数单
位），说法正确的是（ ）
A．若复数 ， 的模相等，则 ， 是共轭复数
B．已知复数 ， ， ，若 ，则C．若关于x的方程 （ ）有实根，则
D． 是关于x的方程 的一个根，其中 为实数，则
【答案】D
【解析】若 ， ，则 ，故A错误；
若 ，满足 ，故B错误；
若关于x的方程 （ ）有实根， ，
因为 ，所以 ，所以 ，故C错误；
将 代入方程 ，得 ，
即 ，所以 ，得 ，故D正确.
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 是实系数一元二次方程 的一个虚数根，且
，若向量 ，则向量 的取值范围为_________
【答案】
【解析】不妨设 ， ，
因为 是实系数一元二次方程 的一个虚数根，
所以 也是 的一个虚数根，
从而 ①，
又因为 无实根，所以 ②，
由①②可得， ，
因为 ，所以 ，
由一元二次函数性质易知，
当 时， 有最小值5；当 时， ；当 时， ，
故当 时， ，即 ，
故向量 的取值范围为： .
故答案为： .
3．（2022·全国·高三专题练习）实系数一元二次方程 的一根为 （其中 为虚数单
位），则 ______．
【答案】1
【解析】因为实系数一元二次方程 的一根为 ，
所以根据虚根成对定理可得，实系数一元二次方程 的另一共轭虚根为 ，
所以根据韦达定理得 ， ，
所以 ， ，
所以 .
故答案为： .
4．（2022·上海徐汇·二模）若关于 的实系数一元二次方程 的一根为 （ 为虚数单位），
则 ____．
【答案】【解析】因为 为实系数一元二次方程 的一根，
所以 也为方程 的根，
所以 ，解得 ，所以 ；
故答案为：
题组六 复数的综合运用
1．（2022·重庆南开中学模拟预测）（多选）已知复数 ， 是 的共轭复数，则下列结论正确的是
（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】ABC
【解析】对于A：若 ，则 ，故 ，所以A正确；
对于B：若 ，则 ，所以B正确；
对于C：设 ，
则 ，故 ，所以C正确；
对于D：如下图所示，若 ， ，则 ， ，故 ，
所以D错误.故选：ABC
2．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）（多选）已知复数 （ 且 ）， 是z的共轭
复数，则下列命题中的真命题是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】对于A选项， ， ，所以 ，故正确；
对于B选项， ， ， ，故错误；
对于C选项， ， ， ，故正确；
对于D选项， ， ， ，
所以当 时， ，当 时， ，故错误.
故选：AC
3．（2022·全国·高三专题练习）（多选）欧拉公式被称为世界上最完美的公式，欧拉公式又称为欧拉定理，
是用在复分析领域的公式，欧拉公式将三角函数与复数指数函数相关联，即 （ ）.
根据欧拉公式，下列说法正确的是（ ）A．对任意的 ，
B． 在复平面内对应的点在第二象限
C． 的实部为
D． 与 互为共轭复数
【答案】ABD
【解析】对于A选项， ，A正确；
对于B选项， ，而 ， ，故 在复平面内对应的点 在第二象限，
B正确；
对于C选项， ，实部为 ，C错误；
对于D选项， ，又 ，故 与 互为共轭复数，D
正确.
故选：ABD.
4．（2022·江苏·南京大学附属中学高三阶段练习）（多选）下列命题中正确的有（ ）
A．若复数 满足 ，则 ； B．若复数 满足 ，则 ；
C．若复数 满足 ，则 ； D．若复数 ，则 ．
【答案】AD
【解析】对于A中，设复数 ，
可得 ，
因为 ，可得 ，所以 ，所以A正确；
对于B中，取 ，可得 ，所以B不正确；对于C中，例如： ，则 ，此时 ，所以C不正确；
对于D中，设 ，由 ，可得 ，即 ，可得 ，所以D正确.
故选：AD
5．（2022·全国·高三专题练习）（多选）在下列命题中，正确命题的个数为（ ）
A．两个复数不能比较大小；
B．若 是纯虚数，则实数 ；
C． 的一个充要条件是 ；
D． 的充要条件是 .
【答案】CD
【解析】对于A选项，两个复数为实数时，可以比较大小，故A选项错误；
对于B选项，若 是纯虚数，则 且 ，解得 ，故B选项错误；
对于C选项，若 ，则 的虚部为 ， ，反之，若 ，则 的虚部为 ，故C选项正确；
对于D选项，设 ，若 ，则 ， ，若 ，则
，所以 ，
故D选项正确.
故选：CD
6（2022·全国·高三专题练习（文））（多选）设 ， ， 为复数， .下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BC
【解析】对于A：取 ，满足 ，但是 不成立，故A错误；对于B：当 时,有 ，又 ，所以 ,故B正确;
对于C：当 时,则 ,所以 ,故C正确;
对于D：当 时,则 ,可得 .
因为 ，所以 .故D错误
故选：BC
7．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知复数 ， 是 的共轭复数，则（ ）
A． B．
C．复数 在复平面内所对应的点在第一象限D．
【答案】ACD
【解析】因为 ，
所以 ，
则 ，所以复数 在复平面内所对应的点在第一象限.
，则选项A，C，D正确，选项B错误.
故选：ACD
8．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．若 互为共轭复数，则 为实数
B．若 为虚数单位， 为正整数，则
C．复数 （ 为虚数单位， 为实数）为纯虚数，则
D．若 为实数， 为虚数单位，则“ ”是“复数 在复平面内对应的点位于第四象
限”的充要条件【答案】ACD
【解析】A选项， 互为共轭复数，则 ，即 为实数，A选项正
确.
B选项， ，B选项错误.
C选项， 为纯虚数，所以 ，C正确.
D选项， 在第四象限，所以 ，所以D选项正确.
故选：ACD
9．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列结论正确的是（ ）
A．若复数 满足 ，则 为纯虚数
B．若复数 ， 满足 ，则
C．若复数 满足 ，则
D．若复数 满足 ，则
【答案】CD
【解析】对于A：设 ，则 ，
由于 ，所以 ，故 ，
当 时， 为实数，故A错误；
对于B：设 ， ，
所以 ， ，
由于复数 ， 满足 ，
所以 ，
则 ，整理得 ．所以 ，故B错误；
对于C：设 ，所以 ，
由于复数 满足 ，所以 ，故 ，故C正确；
对于D：设 ，因为 ，所以 ，
所以该曲线为以 为圆心，1为半径的圆，
故 ， ，所以 ， ，故D正确．
故选：CD．
10．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知复数 （i为虚数单位）在复平面内对应的点为 ，
复数z满足 ，下列结论正确的是（ ）
A． 点的坐标为
B．复数 的共轭复数对应的点与点 关于虚轴对称
C．复数z对应的点Z在一条直线上
D． 与z对应的点z间的距离有最小值
【答案】ACD
【解析】复数 在复平面内对应的点为 ，A正确；
复数 的共轭复数对应的点与点 关于实轴对称，B错误；
设 ，代入 ，得 ，即 ，整
理得， ；即Z点在直线 上，C正确；
易知点 到直线 的垂线段的长度即为 、Z之间距离的最小值，故D正确.
故选：ACD
