文档内容
2024 年新高考Ⅱ卷真题知识点平行模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：新高考全部内容。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．若复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C．5 D．10
【答案】B
【分析】利用复数除法化简，然后由复数模公式可得.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 .
故选：B
2．下列命题中的假命题是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】对于A，根据指数的值域为 可判断；对于B，取 可判断；对于C，取 可判断；对于D，取 可判断.
【详解】对于A，因为指数函数的值域为 ，所以 ， ，A对；
对于B，当 时， ，B对；
对于C，当 时， ，C错；
对于D，当 时， ，D对.
故选：C.
3．若向量 ， 满足 ， ，且 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据 求出 ，根据 即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，其中 是 的夹角，
所以 .
故选：B.
4．高三某班学生每天完成作业所需的时间的频率分布直方图如图，为响应国家减负政策，若每天作业布
置量在此基础上减少 小时，则减负后完成作业的时间的说法中正确的是（ ）A．减负后完成作业的时间的标准差减少
B．减负后完成作业的时间的方差减少
C．减负后完成作业的时间在 小时以上的概率大于
D．减负后完成作业的时间的中位数在 至 之间
【答案】D
【分析】根据方差、标准差的性质判断A、B，由频率分布直方图分析减负前完成作业的时间在 小时以
上的概率，即可判断C，分析减负前完成作业的时间的中位数位于 之间，即可判断D.
【详解】依题意若每天作业布置量在此基础上减少 小时，
则平均数减小 小时，方差和标准差均不变，故A、B错误；
减负前完成作业的时间在 小时以上的概率为 ，
所以减负后完成作业的时间在 小时以上的概率为 ，故C错误；
由频率分布直方图可得 ， ，
所以减负前完成作业的时间的中位数位于 之间，
所以减负后完成作业的时间的中位数在 至 之间，故D正确.
故选：D
5．一动圆 与圆 外切，与圆 内切，则动圆圆心 点的轨迹方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据两圆位置关系分析可得 ，结合椭圆的定义分析求解.
【详解】由题意可知：圆 的圆心 ，半径 ；
圆 的圆心 ，半径 ；
因为 ，可知圆 与圆 内切于点 ，显然圆心 不能与点 重合，设圆 的半径为 ，
由题意可知： ，则 ，
可知点M的轨迹是以 为焦点的椭圆（点 除外），
且 ，可得 ，
所以 点的轨迹方程为 .
故选：D.
6．若函数 与 的图象有且仅有一个交点，则关于 的不等式
的解集为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将条件 与 只有1个交点转换为函数 只有1个零点，参数分离求出a，
再构造函数 ，利用其单调性求解即可.
【详解】函数 与 的图象有且仅有一个交点，
即 只有一个零点，即 只有一个零点.
令 ，则 ， .当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时， ，所以 在 上单调递减，并且 .
所以， ， .
函数 的大致图象如图
因为 ，所以 .
原不等式 ，即 .
令 ，
显然 时，该函数为增函数，且 ，
所以， 的解集为 .
故选：D.
7．已知正四棱台上底面边长为 ，下底面边长为 ，体积为 ，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出相应图形，借助正四棱台的性质及体积公式可得其高，结合线面角定义计算即可得解.
【详解】如图所示，作 于点 ，
则 ，即 ，，
则 ，
由正四棱台的侧棱与底面所成角即为 与底面 所成角，
设其为 ，则 ，即 .
故答案为： .
8．已知 ， ，关于 的不等式 无实数解，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意分析可得 在定义域内恒成立，求导，利用导数判断单调性和最值结
合恒成立问题可得 ，进而利用二次函数求 的最大值.
【详解】构建 ，由题意可得 在定义域内恒成立，
可得 的定义域为 ，且 ，
因为 ， ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；则 在 上单调递增，在 上单调递减；
所以 ，
令 ，则 ，
构建 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
若 ，则 ，即 ，
所以 ，
当 时， 取到最小值 .
故选：A.
【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题
1.分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
2.函数思想法
第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数 ，则（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的值域为
C． 的图象关于直线 对称 D． 有1个零点是
【答案】ABD
【分析】由正弦函数的性质，利用函数解析式，求函数最小正周期和值域验证选项AB；代入检验法判断
对称轴和零点验证选项CD.
【详解】 ，
对于A， 的最小正周期为 ，故A选项正确；
对于B， ，所以 ，故B选项正确；
对于C， ，其中 ，故C选项错误；
对于D， ，故D选项正确.
故选：ABD.
10．点 在抛物线 上， 为其焦点， 是圆 上一点， ，则下列说法正确的
是（ ）
A． 的最小值为 .
B． 周长的最小值为 .
C．当 最大时，直线 的方程为 .
D．过 作圆 的切线，切点分别为 ，则当四边形 的面积最小时， 的横坐标是1.【答案】BD
【分析】A选项：通过抛物线方程计算可得；
B选项：运用抛物线定义，将 转换为 到准线的距离即可求出 周长最小值；
C选项：将 最大问题，转换为 的最大值问题，再讨论；
D选项：结合A选项得到的结论，判断四边形 的面积最小时 点坐标.
【详解】对于A选项，设 ，则 ，
当且仅当 时取等号，此时 或 ，所以 ，
，故A选项错误；
对于B选项，抛物线的准线方程为 ，如图1，过 作准线的垂线，垂足记为 ，
则 ，当且仅当 三点共线时， 取得最小值，
即 ，此时 ，
又 ，所以 周长的最小值为 ，故B选项正确；
对于C选项，如图2，当 与圆 相切时，且 时， 取最大．
连接 ， ，由于 ， ，
，所以 ，可得直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，故C选项错误；
对于D选项，如图3，连接 ， ，
由A选项知， ，且当 或 时， ，
此时四边形 的面积最小， 的横坐标是1，所以D选项正确，
故选：BD．11．若函数 有两个极值点 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 有3个零点
B．过 上任一点至少可作两条直线与 相切
C．若 ，则 只有一个零点
D．
【答案】AD
【分析】根据三次函数性质，对参数 的正负进行分类讨论画出其大致图象可知当 ，则
有3个零点，即A正确；显然在极值点 处只能作一条直线与 相切，可知B错误；当
时，结合 的正负进行分类讨论可知 零点个数不确定，即C不正确；利用三次函数的对称中心以及导
函数零点可得 ，所以D正确.
【详解】根据题意可得 ，且 ；不妨设 ，
当 时，易知 时， 时， ；
此时 在 和 上单调递增，在 上单调递减；且当 趋近于 时， 也趋近于 ；当 趋近于 时， 也趋近于 ；
利用三次函数性质可知，当 ，其函数图象如下图所示：
此时由图象可知 有3个零点；
同理当 时，易知 在 和 上单调递减，在 上单调递增；
且当 趋近于 时， 也趋近于 ；当 趋近于 时， 也趋近于 ；
利用三次函数性质可知，当 ，其函数图象如下图所示：
此时由图象可知 有3个零点；
所以若 ，则 有3个零点，即A正确；
对B：切线个数
一般地，过三次函数 图象的对称中心作切线 ，则坐标平面被切线和函数的图象分割为四个区域，有
以下结论：
（1）过区域 内的点作 的切线，有且仅有3条；（2）过区域Ⅱ、Ⅲ内的点以及对称中心作 的切线，有且仅有1条；
（3）过切线 或函数 图象（除去对称中心）上的点作 的切线，有且仅有2条.
所以B错误；（即过三次函数的对称中心，有且仅有一条切线）
对C：若 ，结论都不成立，下面证明：
当 时，由选项A易知 在 处取得极小值，在 处取得极大值，且 ；
若 ，则 ，但 的正负不确定，
当 时， 只有一个零点，如图（1），
当 时， 有两个零点，如图（2），
当 时， 有三个零点，如图（3）；
所以， 零点个数不确定，
同理可证当 时， 零点个数也不确定，故C不正确.
对D：由三次函数性质可知，函数 关于 成中心对称，所以满足 ，
又 是方程 的两根，则满足 ；
所以 ，即 ，所以D正确；
故选：AD
【点睛】方法点睛：研究三次函数性质时，需要记忆三次函数图象的几种常见模型以及对称中心坐标的表
达式，结合极值、极值点等概念综合考虑可判断结论.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 ．
【答案】27
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，再求出 的值.
【详解】等差数列 中，由 ，得 ，解得 ，而 ，则 ，
于是数列 的公差 ， ，
所以 .
故答案为：27
13．已知角 满足 ，则 .
【答案】0
【分析】变形给定等式，并弦化切，再利用和角的正切公式化简求解.
【详解】由已知得 ，显然 ，否则 与 矛盾，
则 ，即 ，
于是 ，而 ，即 ，因此 ，所以 .
故答案为：0
14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述.每名学生的第 项
能力特征用 表示， ，若学生 的十二项能力特征分别记为
， ，则 两名学生的不同能力特征项数为 （用 表示）.如果
两个同学不同能力特征项数不少于 ，那么就说这两个同学的综合能力差异较大.若该班有 名学生两两综
合能力差异较大，则这 名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为 .
【答案】 22
【分析】根据题意可知若第 项特征值相同，则差为0，特征值不同，则差的绝对值为1，由此讨论即可求
解.
【详解】由题意可知若第 项特征值相同，则差为0，特征值不同，则差的绝对值为1，
所以 两名学生的不同能力特征项数为 ；
设第三个学生为 ，则 ，
若三个学生第 特征值相同，则 ，
若其中一名学生第 项特征值与另外两名学生不同，则 ，
所以 为偶数，
又因为 ，
所以这 名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为22，
故答案为： ；22四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15． 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长.
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）已知 ，由正弦定理和辅助角公式可得 ，解得 .
（2）由余弦定理和三角形面积公式，可解求 ， ，则得到周长.
【详解】（1） 中，已知 ，
由正弦定理可得 ，
∵ ，∴
，△ABC中， ，∴ ，
∴ .
（2） ， 的面积为 ，
∴ ，解得 .
由余弦定理可得：
化为 .
联立 ，解得
∴ ，所以周长为6.16． ( 且 )．
(1)当 时，求经过 且与曲线 相切的直线；
(2)记 的极小值为 ，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据切线方程中，切点处的导数值等于两点间的斜率，即可求出 ，进而可求切线方程.
（2）利用导数确定函数的单调区间，进而得到极值，通过观察极值的表示式，构造函数
，求导即可求最大值.
【详解】（1）函数 的定义域为 ， ，
当 时， ，设切点为 ，则 ，解得 ，故 ，
切线方程为 ．
（2）由 有极小值，故 存在零点，令 得 的极值点 ，故 ，
当 时， ， 递减，当 时， ， 递增，因此 的极小值
，
令 ，则 ， ，
，令 ，则 ，
当 时， ， 递增，当 时， ， 递减，故 在 处取极大值，同时也是最大值， ，所以 的最大值为1．
17．如图1，在四边形 中， ， ， ，将 沿着 折叠，使
得 （如图2），过D作 ，交 于点E．
(1)证明： ；
(2)求 ；
(3)求平面 与平面 的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由勾股定理逆定理推出 ， ，证明 平面 ，根据线面垂直的性质
定理，即可证明结论；
（2）作 于H，解三角形求出相关线段长，根据等面积法，可求得答案；
（3）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面 与平面 的法向量，根据空间角的向量求
法，即可求得答案.
【详解】（1）证明：由题意有 ， ， ， ， ，
注意到 ， ，
所以 ， ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ；
（2）如图，作 于H，则 ， ，
由于 ，则 ；又 ，
故 ，则 ，
设 ，
由 ，得 ，
解得 ，即 ；
（3）由以上分析可知 两两垂直，
以D为坐标原点， 的方向为x轴正方向， 的方向为y轴正方向， 的方向为z轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
由上述分析知 ，
故 ，得 ， ， ，
所以 ， ， ，
设 是平面 的法向量，则 ，
即 ，令 ，可取 ，
设 是平面 的法向量，则 ，
即 ，可取 ，
所以 ，
即平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．
18．为应对新一代小型无人机武器，某研发部门开发了甲、乙两种不同的防御武器，现对两种武器的防御
效果进行测试.每次测试都是由一种武器向目标无人机发动三次攻击，每次攻击击中目标与否相互独立，每
次测试都会使用性能一样的全新无人机.对于甲种武器，每次攻击击中目标无人机的概率均为 ，
且击中一次目标无人机坠毁的概率为 ，击中两次目标无人机必坠毁；对于乙种武器，每次攻击击中目
标无人机的概率均为 ，且击中一次目标无人机坠毁的概率为 ，击中两次目标无人机坠毁的
概率为 ，击中三次目标无人机必坠毁.
(1)若 ，分别使用甲、乙两种武器进行一次测试.
①求甲种武器使目标无人机坠毁的概率；
②记甲、乙两种武器使目标无人机坠毁的数量为 ，求 的分布列与数学期望.(2)若 ，且 ，试判断在一次测试中选用甲种武器还是乙种武器使得目标无人机坠毁的概
率更大？并说明理由.
【答案】(1)① ；②分布列见解析，
(2)使用乙种武器使得目标无人机坠毁的概率更大，理由见解析
【分析】（1）首先确定 ， ，①再根据题意和甲种武器击中目标的次数，确定概率；
②首先确定 ，分别根据甲和乙两种武器使目标无人机坠毁的概率，确定分布列中的概率，再计算
期望；
（2）分别用概率 表示甲和乙使无人机坠毁的概率，再利用导数比较大小，即可求解.
【详解】（1）因为每次测试都是由一种武器向目标无人机发动三次攻击，每次攻击击中目标无人机与否
相互独立，
在一次测试中，用 、 分别表示甲、乙两种武器命中目标无人机的次数，则 ， ，
记事件 为“在一次测试中，使用甲种武器使目标无人机坠毁”，
，
所有可能的取值为 ，
记事件 为“在一次测试中，使用乙种武器使目标无人机坠毁”，
，
，
，
，
所以 的分布列如下：故 .
（2）记事件 为“使用甲种武器使得目标无人机坠毁”，
事件 为“使用乙种武器使得目标无人机坠毁”，
则
，
，
因为 ，所以 ，
则
，
令 ，则 ，
令 ，即 ，则 ，得 ，
又 ，所以 恒成立，
所以 在 上单调递增，又 ，则 ，
故 ，即 ，
所以使用乙种武器使得目标无人机坠毁的概率更大.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，理解坠毁与击中的关系，以及理解每种武器击中次数满足
二项分布.
19．对于求解方程 的正整数解 （ ， ， ）的问题，循环构造是一种常用
且有效地构造方法．例如已知 是方程 的一组正整数解，则 ，将
代入等式右边，得 ，
变形得： ，于是构造出方程 的另一组解
，重复上述过程，可以得到其他正整数解．进一步地，若取初始解时满足 最小，则依次重复上
述过程可以得到方程 的所有正整数解．已知双曲线 （ ， ）的离心率为 ，实
轴长为2．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)方程 的所有正整数解为 ，且数列 单调递增．
①求证： 始终是4的整数倍；
②将 看作点，试问 的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说
明理由．【答案】(1)
(2)①证明见解析；②是定值 ．
【分析】（1）由实轴长和离心率即可求得双曲线的标准方程；
（2）结合题目所给的循环构造的方法和二项式定理来解题，①方法一，由题干循环构造方法得到第k组
解 中的 为二项式 的展开式中不含 的部分， 为二项式的展开式 中含
的部分，再结合二项式定理得到 ， 是4的整数倍.
方法二，得到第 组解和第 组解的关系，再由二项式定理求解.
②先用面积公式表示出面积，再代入 和 的关系式消元，利用①中的结论推导出面积式子里的递推式即
可求解.
【详解】（1）由题意知 解得 ，则 ，
故双曲线E的标准方程为 ．
（2）①方法一：由 得 ，其中 是方程的一组正整数解，则
，
在循环构造中，对任意正整数 ，由 ， 是正整数，第k组解 中的 为二项式 的展
开式中不含 的部分， 为二项式的展开式 中含 的部分，
注意到二项式 的展开式中不含 的部分与二项式 的展开式中不含 的部分相同，二项式 的展开式中含 的部分与二项式 的展开式中含 的部分互为相反数，于是由二
项式定理有
， ，从而 ，
于是对任意的正整数 ，
，
因为 是正整数，所以 是4的整数倍．
方法二：
在循环构造中，对任意正整数 ，由 ， 是正整数，第 组解 中的 为二项式 的展
开式中不含 的部分， 为二项式 的展开式中含 的部分；
第 组解 中的 为二项式 的展开式中不含 的部分， 为二项式
的展开式中含 的部分，
故 ，
于是 ，
，
即 ，
由 得 ， ，代入 得 ，
整理得 ，即 ．
因为 是正整数，所以 是4的整数倍．
② ， ，设 ， 的夹角为 ，
则 的面积
，
由 得 ， ，
代入 得 ，
，
由 得 ，从而 ，
故 ， ，
．
， ， ， ，即 ，代入 得 ，
于是 的面积为定值 ．
【点睛】方法点睛：新定义问题解题策略
首先，明确新定义的特点；其次，根据定义中的步骤对具体题目进行运算；最后得到结论.
