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1.4 基本不等式考点一 公式型
【例1-1】（2024湖南株洲）已知 ，则 的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．3
【例1-2】（2024·云南）已知正实数 、 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024·北京大兴）当 时， 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024湖南娄底）若 ， ，且 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
3．（2024重庆）已知两个正数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
4（2024江西）若正数a，b满足 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
考点二 配凑型
【例2-1】（2024安徽芜湖）若 ，则 的最小值是 .
【例2-2】（2023高三·全国·专题练习）函数 的最大值为 .
【例2-3】（2023福建泉州）函数 在 上的最大值为 ．
【一隅三反】
1．（2024·甘肃·兰州）若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．2.（2024·辽宁）已知正实数x，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024广东潮州）若函数 在 处取最小值，则 （ ）
A． B．2 C．4 D．6
4．（2024云南）函数 的最大值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
5．（2024·江苏徐州）设 ， 为正数，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
考点三 常数替换型
【例3-1】（2024湖南长沙）已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．3 D．
【例3-2】（2024江苏扬州）已知实数 ， ，满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【例3-3】（2024河南·许昌高中）已知a，b为正实数，且 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．6 C．7 D．
【例3-4】（2024辽宁葫芦岛）已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．5 B． C．4 D．
【例3-5】（2023·陕西咸阳·一模）已知 ，且 ，则 的最小值为 ．【例3-6】（2024·全国·高三专题练习）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2023云南丽江）已知a，b为正数， ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．（2024·陕西咸阳·二模）已知总体的各个个体的值由小到大依次为 ，且总体的平均
值为10，则 的最小值为 ．
3．（20224·辽宁·沈阳）已知a，b为正实数，且 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
4．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数 ，且 ，则 的最小值是 ．
5（2024高三专题练习）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024浙江绍兴）已知x为正实数，y为非负实数，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
考点四 消元型
【例4-1】（2024四川眉山）设 ,则 的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【例4-2】（2024浙江·阶段练习）已知实数x，y满足 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．
【例4-3】（2024·河南南阳·一模）已知正实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11【例4-4】（2024河南漯河）设正实数 、 、 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024·河南·郑州四中）已知a＞0，且a2－b＋4＝0，则 （ ）
A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值
2．（2024·辽宁丹东）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
3．（2024河南）（多选）已知正实数a，b满足 ，则 的可能取值为（ ）
A．2 B． C． D．4
4．（2024北京）设正实数 ， ， 满足 ，则当 取得最大值时， 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
考点五 基本不等式求最值
【例5-1】（2024山东滨州）已知 ， ，且 ，若 恒成立，则实数 的取
值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【例5-2】（2023浙江）若两个正实数 满足 ，且不等式 有解，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．【一隅三反】
1．（2023·重庆沙坪坝）已知正实数x，y满足 ，若 恒成立，则实数t的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024浙江杭州）若正实数 、 满足 ，且 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足 ，若不等式 恒成立，则实数a的取值范围是
．
考点六 基本不等式与其他知识综合
【例6-1】（2024·山东青岛·一模）记正项等差数列 的前n项和为 ， ，则 的最大值为
（ ）
A．9 B．16 C．25 D．50
【例6-2】（2024广东惠州）在 中， 为 上的一点，满足 .若 为 上的一点，满足
，则 与 的关系为 ； 的最小值为 .
【一隅三反】
1．（2023山西晋城）已知 分别为椭圆 的两个焦点， 为椭圆上一点，则
的最大值为（ ）
A．20 B．16 C．64 D．24
2．（2024四川成都·开学考试）函数 的图象过定点 ，且定点 的坐标满足方程 ，
其中 ， ，则 的最小值为（ ）A． B．9 C． D．8
3（2023天津南开·阶段练习）已知正项等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（20224·河南濮阳）已知 ， ，直线 与曲线 相切，则 的最小值是
______．
考点七 基本不等式的实际应用
【例7】（2023·湖南）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的
可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，
高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供 （万元）的专项补贴．波司登制衣
有限公司在收到高邮政府 （万元）补贴后，产量将增加到 （万件）．同时波司登制衣有限公司生产
（万件）产品需要投入成本为 （万元），并以每件 元的价格将其生产的产品全部售出．
注：收益=销售金额 政府专项补贴 成本．
(1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益 （万元）关于政府补贴 （万元）的表达式；
(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益 （万元）最大？
【一隅三反】1．（2024·广东茂名·一模）用一段长为 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为（ ）
A． B． C． D．
2（2023·湖南·一模）某农机合作社于今年初用98万元购进一台大型联合收割机，并立即投入生产.预计该机第
一年（今年）的维修保养费是12万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年增加4万元.若当该机
的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是（ ）
A．6年 B．7年 C．8年 D．9年
3．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸
引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适
呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿
在观赏者眼睛平视的上方1米处.（ ）
A．1.73 B．1.41 C．2.24 D．2.45
考点八 利用基本不等式比大小
【例8-1】（2024贵州安顺·）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【例8-2】（2024江苏扬州·期末）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2024重庆·期末）已知 ，则以下关于 的大小关系正确的是
（ ）
A． B． C． D．
2.（2024贵州毕节）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024安徽阜阳）（多选）已知正实数x，y，z满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
考点九 利用基本不等式证不等式【例9-1】（2024湖南长沙）（多选）设正实数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2024山东枣庄·期末）（多选）已知a，b，c满足 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024湖南娄底·期末）（多选）已知关于x的不等式 （ ， ）的解集
为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 的最大值为
C． 的最小值为4 D． 的最小值为
3．（2024重庆大足）（多选）设正实数 ， ，且满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小值为
B． 的最小值为
C． 的最小值为
D． 的最小值为一．单选题
1．（2024·河南南阳）已知 ， 且 ，则 的最大值为（ ）
A．2 B．5 C． D．
2．（2024·四川·模拟预测）已知直线 经过点 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．9 D．
3．（2024四川成都·阶段练习）设 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·安徽省）若 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2024北京）已知不等式 对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．（2024·山东临沂）已知 ，且 ，则 有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
7．（2024云南德宏）已知正项等比数列 中， 成等差数列.若数列 中存在两项 ，使得
为它们的等比中项，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
8．（2024北京）设 ， ， ，则（ ）
A． 有最大值8 B． 有最小值8
C． 有最大值8 D． 有最小值8
二．多选题
9．（2024高三·全国·专题练习）下列命题中，为真命题的有（ ）A． B．
C． D．
10．（2024四川成都·期中）已知 ， ，且 ，下列结论中正确的是（ ）
A． 的最大值是 B． 的最小值是
C． 的最小值是8 D． 的最小值是
11．（2024·全国·模拟预测）已知正实数a，b，c满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
三．填空题
12．（2024山东菏泽·阶段练习）若两个正实数 满足 ，且不等式 恒成立，则实数
的取值范围为 ．
13．（2023·山东济宁·一模）已知函数 且 的图象过定点A，且点A在直线
上，则 的最小值是 .
14．（2024浙江宁波·阶段练习）已知正实数 满足 ，则 的最小值为 .
四．解答题
15．（2024湖南岳阳·阶段练习）已知函数 （m,n为常数）.
（1）若 ，解不等式 ；（2）若 ，当 时， 恒成立，求 的取值范围.
16（2024湖北）已知 ， ．
(1)若 ， ，不等式 恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若不等式 恒成立，求实数m的最小值；
(3)若 ．且 恒成立，求正实数a的最小值．
17．（2024陕西西安）某工厂生产某种零件的固定成本为20000元，每生产一个零件要增加投入100元，已知总收入 （单位：元）关于产量 （单位：个）满足函数： .
(1)将利润 （单位：元）表示为产量 的函数；（总收入=总成本+利润）
(2)当产量为何值时，零件的单位利润最大?最大单位利润是多少元?（单位利润 利润 产量）
18．（2024重庆沙坪坝·阶段练习）若命题 ：存在 ， ，命题 ：二次函数
在 的图像恒在 轴上方
(1)若命题 ， 中均为假命题，求 的取值范围？
(2)对任意的 ，使得不等式 成立，求 的取值范围.19．（2024贵州贵阳·期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：
从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论
的重要方法.
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决
方法，常用的途径有：（1）整体观察：（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等.
例如， ，求证： ．
证明：原式 ．
阅读材料二：解决多元变量问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问
题处理方法进行研究.
例如，正实数 满足 ，求 的最小值．
解：由 ，得 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
的最小值为 ．
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生
长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征.
结合阅读材料解答下列问题：
(1)已知 ，求 的值；
(2)若正实数 满足 ，求 的最小值．
