文档内容
3.1 三角函数的定义（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 扇形的弧长与面积
【例1-1】（2021·安徽黄山市）若一扇形的圆心角为144°，半径为 cm，则扇形的面积为______cm2．
【答案】 ．
【解析】扇形的圆心角为144°，半径为 ，所以扇形的面积为 ．
故答案为： ．
【例1-2】（2022·全国·贵阳一中二模）已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，
则该圆锥的底面半径为___________.
【答案】
【解析】因为圆锥的母线长为3，所以侧面展开图扇形的半径为3，设该圆锥的底面半径为 ，
所以有 ，故答案为：
【例1-3】（2022·全国·高三专题练习）中国传统扇文化有着深厚的底蕴，一般情况下，折扇可以看做是从
一个圆形中前下的扇形制作而成的，当折扇所在扇形的弧长与折扇所在扇形的周长的比值为 时，折
扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的圆心角的弧度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设扇形的弧长为 ，半径为 ，圆心角的弧度数为 ，由题意得 ，变形可得
，因为 ，所以折扇所在扇形的圆心角的弧度数为 ．故选：A.
【一隅三反】
1．（2022·浙江浙江·二模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：
“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所
在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为___________平方步.
【答案】120
【解析】由题意得：扇形的弧长为30，半径为8，所以扇形的面积为： ，
故答案为：120
2．（2022·全国·高三专题练习）已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数α是（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
【答案】C
【解析】设扇形所在圆的半径为 ，由扇形的周长是6，面积是2，可得 ，解得 或 ，
又由弧长公式，可得 ，即 ，当 时，可得 ；当 时，可得 ，
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，扇环 的两条弧长分别是4和10，两条直边 与 的
长都是3，则此扇环的面积为（ ）A．84 B．63 C．42 D．21
【答案】D
【解析】设扇环的圆心角为 ，小圆弧的半径为 ，由题可得 且 ，解得 ， ，
从而扇环面积 .故选：D．
4．（2022·全国·高三专题练习）《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强
健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，
掷铁饼者的手臂长约为 米，肩宽约为 米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距
离约为（ ）
A．1.012米 B．1.768米 C．2.043米 D．2.945米
【答案】B
【解析】由题得：弓所在的弧长为： ；
所以其所对的圆心角 ；
两手之间的距离 ．故选：B．
考点二 三角函数的定义
【例2-1】（2022·江西·芦溪中学）已知点 是角 终边上的一点，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】因点 是角 终边上的一点，则 ，所以 .故选：D
【例2-2】（2022·安徽）在平面直角坐标系中，若角 的终边经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由角 的终边经过点 ，即 ，所以 .故选：D.
【例2-3】（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）若角 的终边过点P（8m， ），且 ，则m的
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，∴ ，故选：A.
【例2-4】（2022·北京四中高三阶段练习）角 的终边过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 角 的终边过点 ， ， .故选：B.
【一隅三反】
1．（2022·四川成都）如图，角 以 为始边，它的终边与圆 相交于点 ，点 的坐标为 ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据三角函数定义， .故选：A
2．（2022·安徽）已知角 的终边上有一点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意 ， .故选：B
3．（2022·河南新乡·二模（理））已知点A是 的终边与单位圆的交点，若A的横坐标为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知， ，所以 .故选：C
4．（2022·重庆巴蜀中学）已知角 的终边过点 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为角 的终边过点 ，且 ，故可得 ，解得 ，则.故选：B.
5．（2022·河南洛阳）已知角 的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点
，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由正切函数的定义得
．故选：C
考点三 象限的判断
【例3-1】（2022·重庆·高三开学考试）若 ，则下列三角函数值为正值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，所以C选项正确.
当 时， ，所以ABD选项错误.故选：C
【例3-2】（2022·全国·高三专题练习）若α是第四象限角，则π－α是第（ ）象限角.
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】C
【解析】∵α是第四象限角，∴－ ＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，∴－2kπ<－α<－2kπ＋ ，k∈Z，
∴π－2kπ<π－α<－2kπ＋ π，k∈Z，故π－α是第三象限角.故选：C
【例3-3】（2022·浙江·高三专题练习）已知 是第三象限角，满足 ，则 是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D【解析】 是第三象限角， ， ，则 ， ，即 为第二或
第四象限角，又 ， 为第四象限角．故选：D．
【一隅三反】
1．（2022·山东枣庄·高三期末） 为第三或第四象限角的充要条件是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A：第三或第四象限角，以及终边在y轴负半轴，故A错误；
对于B：第二或第三象限角，以及终边在x轴负半轴，故B错误；
对于C：第二或第三象限角，故C错误；
对于D：第三或第四象限角，故D正确.故选：D
2．（2022·甘肃酒泉·高三期中）若角 满足 ， ，则角 所在的象限是（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】由 知， 是一、三象限角，由 知， 是三、四象限角或终边在y轴负半轴上，
故 是第三象限角．故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习（理））角 的终边属于第一象限，那么 的终边不可能属于的象限是
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】∵角 的终边在第一象限，
∴ ， ，则 ， ，
当 时，此时 的终边落在第一象限，
当 时，此时 的终边落在第二象限，
当 时，此时 的终边落在第三象限，
综上，角 的终边不可能落在第四象限，
故选：D.4．（2022·昆明市）若 ，则 是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【解析】因为 ，又 ，所以 ，所以 是第二象限角.故选：B
5．（2021·湖南高三月考）已知 ， ，则 是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】B
【解析】由 得 ，则 ，
又 ，所以 是第二象限角.故选：B.
考点四 三角函数线
【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，则 的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】画出单位圆以及 ， ， ，
∵ ，且 ，从图中可知 的取值范围是
故选：D.
【例4-2】（2022·全国·高三专题练习）若－ ＜α＜－ ，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，
tan α的大小是（ ）
A．sin α＜tan α＜cos α B．cos α＜sin α＜tan α
C．sin α＜cos α＜tan α D．tan α＜sin α＜cos α
【答案】C
【解析】如图所示
作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，因为－ ＜α＜－ ，所以OM，MP均为负值，且
，AT为正值， ，故有sin α＜cos α＜tan α.
故选：C
【例4-3】（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高一阶段练习）已知
，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】先证明：当0＜x＜ 时，
如图，角x终边为OP，其中点P为角x的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴，交x轴与点M，
A点为单位圆与x轴的正半轴的交点，AT⊥x轴，交角x终边于点T，
则有向线段MP为角x的正弦线，有向线段AT为角x的正切线，设弧PA＝l＝x×1＝x，
由图形可知：S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，即
所以 ＜ ＜ ，即
所以
又由函数 在 上单调递增，所以
又由函数 在 上单调递减，则
所以
所以 ，即
故选：C．
【一隅三反】
1．（2020·安徽·合肥市庐阳高级中学高三阶段练习（理））设 ，使 且 同时
成立的 取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，由正弦曲线得： 时，
由余弦曲线得： 时， ，
因为 ，所以 且 同时成立的x的取值范围是
故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 在 上单调递增， ,所以 ，而 ， ，故选C.
3（2021·全国高三专题练习）已知点 在第一象限，则在 内的 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由已知点 在第一象限得：
， ，即 ， ，
当 ，可得 ， ．当 ，可得 或 ， ．
或 ， ．
当 时， 或 ．
， 或 ．故选：B．
