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2.5 对数运算及对数函数考点一 对数的运算
【例1】求下列各式的值.
(1) ． (2)
(3) ． （4）
(5) （6） ；
【一隅三反】
1.（2024山东）计算化简：
(1) (2)
(3) ； (4) ．
（5） . （6） ；
（7） ； （8） ；考点二 对数函数概念与解析式
【例2-1】（2024北京）已知函数① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；
⑥ .其中是对数函数的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤
C．③④ D．②④⑥
【例2-2】（2024湖北）函数 是对数函数，则实数a＝ .
【一隅三反】
1．（2024广东湛江）已知对数函数过点 ，则 的解析式为 .
2．（2024上海）已知函数 是对数函数，则 ．
3．（2024上海静安）点 ， 都在同一个对数函数上，则t= .
考点三 对数型函数的定义域
【例3-1】（2024高三·全国·专题练习）函数f(x)＝ 的定义域为（ ）
A．(－∞，3] B．(1，＋∞) C．(1，3] D．[3，＋∞)
【例3-2】（2024河南）函数 的定义域为（ ）
A． 且 B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024·北京怀柔·模拟预测）函数 的定义域是 .
2．（2024安徽安庆·开学考试）若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
3．（23-24高三下·上海·阶段练习）函数 的定义域为 ．
4．（2024·全国·专题练习）若函数 的定义域为 ，则 的范围为 .考点四 对数型函数的值域
【例4-1】（1）（2024·陕西·一模）已知函数 的定义域为 ，函数 的值域
为B，则
（2）（2024上海）函数 的值域是 ．
（3）（2024安徽宣城）已知实数x满足不等式 ，则函数 最大值
是 ．
【例4-2】（1）（2024·贵州黔东南·二模）若函数 的值域为 .则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2024云南·阶段练习）已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024河北石家庄）下列各函数中，值域为 的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024广西南宁·阶段练习）已知函数 ，则 的值域是 .
3．（2024上海青浦·期末）函数 的值域为 .
4．（2024·全国·模拟预测）函数 的值域为 ．
5．（2024广东茂名·期中）函数 的值域是 .
6．（2024江苏南京·期末）已知函数 在 上的值域为 ，则实数 的取值范围是 。7．（2024湖南株洲·期末）若函数 在 上的最大值为2，则实数 ．
8．（2024山东菏泽）已知函数 ．若 的值域是 ，则实数 的取值范围是
．
考点五 对数型函数的单调性
【例5-1】（2024河北沧州）函数 的单调递增区间是 ．
【例5-2】（2024浙江丽水）若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围
是 ．
【例5-3】（2024广西）已知 是 上的单调函数，则 的取值范围是
.
【一隅三反】
1．（2024湖北）函数 的单调递减区间为 ．
2．（2024山西大同）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024湖北）若函数 在区间 内单调递增，则实数m的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·重庆·模拟预测）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
5．（2024河南信阳·阶段练习）已知 是减函数，则 的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
考点六 对数型函数单调性的应用
【例6-1】（2024江西·阶段练习）已知函数 ，则满足不等式 的 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例6-2】（1）（2024·天津南开·一模）已知 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
（2）（2024·安徽阜阳·一模）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
（3）（2024·河北邯郸·三模）已知 是定义在 上的偶函数， ，且 在 上单调递减，
若 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2024山西·阶段练习）已知函数 若 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024江苏连云港·阶段练习）已知 ， ， ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
3（2024·陕西西安·三模）已知函数 ，设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．4．（2024河北邢台·开学考试）已知函数 ，则 的解集是 ．
考点七 与对数函数有关的图像
【例7-1】（2024江苏）当 时，在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象是（ ）．
A． B． C． D．
【例7-2】（2024辽宁·期末）函数 的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【例7-3】（2023吉林长春）已知函数 的图像经过二、三、四象限，则实数 的范围为
.
【一隅三反】
1．（2024河北石家庄）在同一平面直角坐标系中，函数 ， （ 且 ）的图象可能是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024陕西汉中）函数 的图象大致为（ ）A． B． C． D．
3．（2024山东潍坊）已知指数函数 ，对数函数 的图象如图所示，则下列关系成立的是（ ）
A． B．
C． D．
考点八 对数型函数的定点
【例8】（2024山西临汾·阶段练习）已知函数 且 恒过定点 ，则点 的坐标为
.
【一隅三反】
1．（2024河南南阳）函数 的图象恒过定点 ，且点 在幂函数 的图象上，则
.
2．（2024贵州安顺·期末）已知函数 图象恒过定点 ，在直角坐标系 中，角 以原
点为顶点，以 轴的非负半轴为始边，角 的终边也过点 ，则 的值是 .
3．（2024江苏南京）函数 （ 且 ）的图象恒过定点A，若点A在直线 上，
其中 ，则 的最小值为 .
考点九 反函数
【例9-1】（2024北京海淀·阶段练习）函数 的反函数为 ，则 .【例9-2】（2024辽宁·期末）函数 （ 且 ）的反函数过定点 ．
【一隅三反】
1．（2023湖北）设 ，函数 ，则 的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024云南昆明·）若 的反函数为 ，且 ，则 的最小值为
.
3．（2024陕西西安 ）已知 分别是方程 与 的根，则 的值为 .
考点十 对数函数实际应用
【例10】（2024·安徽·模拟预测）科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较
高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的
概率为 ，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律
来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若 （ ， ），则k的值为
（ ）
A．11 B．15 C．19 D．21
【一隅三反】
1．（2024·陕西·模拟预测）某市政府为了增加农民收入，决定对该市特色农副产品的科研创新和广开销售渠道
加大投入，计划逐年加大研发和宣传资金投入.若该政府2021年全年投入资金120万元，在此基础上，每年投
入的资金比上一年增长 ，则该政府全年投入的资金翻一番（2021年的两倍）的年份是（ ）（参考数据：
）
A．2025年 B．2026年 C．2027年 D．2028年
2．（2024·贵州贵阳·一模）纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规
各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展
方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量 、放电时间 和放电电流 之间关系的经验公式： ，其中 为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池
容量不变的条件下，当放电电流为 时，放电时间为 ；当放电电流为 时，放电时间为 ，则该蓄
电池的Peukert常数 约为（参考数据： ， ）（ ）
A．1.12 B．1.13
C．1.14 D．1.15
3．（2024山西大同·期末）头孢类药物具有广谱抗菌、抗菌作用强等优点，是高效、低毒、临床应用广泛的重
要抗生素.已知某人服用一定量某种头孢类药物后，血浆中的药物浓度在2h后达到最大值80mg/L，随后按照确
定的比例衰减，半衰期（血浆中的药物浓度降低一半所需的时间）为2.4h，那么从服药后开始到血浆中的药物
浓度下降到8mg/L，经过的时间约为（参考数据： ）（ ）
A．8h B．9h C．10h D．11h
一．单选题
1．（2024广东湛江）函数 （ 且 ）的图象所过的定点为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024广东江门）若函数 是函数 （ ，且 ）的反函数，且满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2024河南郑州·阶段练习）已知函数 在 上单调递减，则实数a的取值范围为
（ ）A． B． C． D．
4．（2024浙江杭州）已知函数 是 上的减函数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024四川成都·）若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024河南新乡）若函数 且 在 上的值域为 ，则 的值为（ ）
A． 或 B．0或 C． 或 D． 或
7．（2024·陕西西安·一模）已知函数 为偶函数，满足 ，且 时，
，若关于 的方程 至少有两解，则 的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
8．（2023·河南信阳·三模）已知函数 ，则对任意实数 是
（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．不充分且不必要条件
二．多选题
9．（2024河南南阳）已知函数 ，若 存在最小值，则实数a的可能取值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
10．（2024广东揭阳·期末）下列结论正确的有（ ）A．函数 的最小值为2
B．函数 且 的图像恒过定点
C． 的定义域为 ，则
D． 的值域为 ，则
11．（2024江苏盐城·阶段练习）已知函数 ，若 的值域为 ，则 的取值可以是
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
三．填空题
12（2024·全国·模拟预测）写出一个同时满足下列三个性质的函数： .
① 的图象在 轴的右侧；
②若 ，则 ；
③当 时， （ 为函数 的导函数）.
13．（2024·湖北·一模）已知函数 ，则关于x的不等式 的解集为 ．
14．（2024广东·期末）已知函数 ，若对任意的正数a、b，满足 ，则 的
最小值为： ．
四．解答题
15．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数 ，且函数 的图象经过点
.
(1)求实数 的值；
(2)求函数 的最小值和最大值.16．（2024·北京·模拟预测） 技术的价值和意义在自动驾驶､物联网等领域得到极大的体现.其数学原理之一
是香农公式： ，其中： （单位： ）是信道容量或者叫信道支持的最大速度， 单位；
）是信道的带宽， 单位： ）是平均信号功率， （单位： ）是平均噪声功率， 叫做信噪比.
(1)根据香农公式，如果不改变带宽 ，那么将信噪比 从1023提升到多少时，信道容量 能提升
(2)已知信号功率 ，证明： ；
(3)现有3个并行的信道 ，它们的信号功率分别为 ，这3个信道上已经有一些相
同的噪声或者信号功率.根据（2）中结论，如果再有一小份信号功率，把它分配到哪个信道上能获得最大的信
道容量？（只需写出结论）
17．（2023·浙江·模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求m的值：
(2)若方程 恰有一个实根，求m的取值范围：
(3)设 ，若对任意 ，当 时，满足 ，求m的取值范围.18．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ．
(1)求 的解析式；
(2)若关于 的方程 在 上有解，求实数 的取值范围．
19．（2024安徽合肥）已知函数 是偶函数.
(1)求 的值;
(2)设 ， ，若对任意的 ，存在 ，使得 ，求
的取值范围.
