文档内容
5.2 平面向量的数量积及坐标运算（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 坐标运算
【例1-1】（2022·广东广州·三模）（多选）已知向量 ， ，则下列结论中正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】 ，A正确； ，B正确；
，则 ，C正确；
，D错误.故选：ABC.
【例1-2】（2022·福建·三明一中）（多选）已知向量 ， ，其中 ，下列说法正
确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则C．若 与 的夹角为钝角，则 D．若 ，向量 在 方向上的投影为
【答案】ABD
【解析】对于A选项，若 ，则 ，解得 ，A对；
对于B选项，若 ，则 ，
所以， ，B对；
对于C选项，若 与 的夹角为钝角，则 ，可得 ，
且 与 不共线，则 ，故当 与 的夹角为钝角，则 且 ，C错；
对于D选项，若 ，则 ，所以，向量 在 方向上的投影为 ，D对.故选：ABD.
【一隅三反】
1．（2022·辽宁·沈阳市）（多选）设向量 ， 满足 ，且 ，则以下结论正确的是
（ ）
A． B． C． D．向量 ， 夹角为
【答案】AC
【解析】由 ，可得 ，
又 ，则 ，
即 ，则 .则选项A判断正确；选项D判断错误；
，则选项B判断错误；
，则选项C判断正确.故选：AC
2．（2022·福建省福州格致中学）（多选）已知单位向量 的夹角为 ,则以下说法正确的是（ ）
A． B．C． D． 与 可以作为平面内的一组基底
【答案】ABD
【解析】据题意
因为
所以 ,所以 对
因为 ,所以 ,所以 对.
因为
所以 ,所以 错
因为 与 不共线,所以可以作为平面内的一组基底,所以 正确故选：ABD
3．（2022·浙江·海宁中学）（多选）设 是两个非零向量，若 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B．
C． 在 方向上的投影向量为 D．
【答案】ABC
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，所以选项A正确；
因为 ，所以 ，即有 ，所以 ，所以选项B正确；
因为 ，所以 在 方向上的投影向量为 ，所以选项C正确；由向量数量积的定义可知， ，所以 ，所以选项D错误.故选：
ABC.
4．（2022·江苏·模拟预测）（多选）已知向量 ， ， ， ，则（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C． 的最小值为
D．若向量 与向量 的夹角为锐角，则 的取值范围是
【答案】ABC
【解析】对于A，因为 ， ， ，所以 ，解得 ，所以A
正确.
对于B，由 ，得 ，
则 解得 ，故 ，所以B正确.
对于C，因为 ，
所以 ，
则当 时， 取得最小值，为 ，所以C正确.
对于D，因为 ， ，向量 与向量 的夹角为锐角，
所以 ，解得 ；当向量 与向量 共线时， ，解得 ，
所以 的取值范围是 ，所以D不正确.故选：ABC
考点二 巧建坐标
【例2-1】（2022·全国·高三专题练习）如图在 中， ， 为 中点， ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则 ， ， ， ，
又 ， ， ，则 ，即 ，即 ，
则 ，则 ， ，
则 ；故选：C．【例2-2】（2022·河南）在长方形 中， ， ，点 在边 上运动，点 在边 上
运动，且保持 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，以 为原点， 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴，建立平面直角坐标系，
， ， ，
则 ， ， ，设 ，则 ，
则 ， ， ， ， ， ，
，
，其中 ，，当 时， ，当 时， ，
当 时， 取得最大值，最大值为 ．故选：A．
【例2-3】．（2022·上海松江·二模）已知正方形 的边长为4，点 、 分别在边 、 上，且
， ，若点 在正方形 的边上，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，建立平面直角坐标系，
则 ， ，
当 在 上时，设 ， ，
，
当 时， ，当 时， ，
即 ，
当 在 上时，设 ，则 ，
，知 ，
当 在 上时，设 ， ，
，当 时， ，当 时， ，
即 ，
当 在 上时，设 ， ，
，
当 时， ，当 时， ，
即 .
综上可得， ，故选：C
【一隅三反】
1．（2022·贵州贵阳）在边长为2的正方形 中， 是 的中点，则 （ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】A
【解析】在平面直角坐标系中以 为原点， 所在直线为 轴建立坐标系，则 ， ， ，
，所以 ，故选：A
2．（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知 是边长为a的等边三角形， 为平面 内一
点，则 的最小值是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
则 ， ， ，
设 ，则 ， ， ，
所以 ，
所以
；
所以当 ， 时， 取得最小值是 ．
故选：B．
3．（2022·全国·高三专题练习）正方形ABCD的边长为2，以AB为直径的圆M，若点P为圆M上一动点，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以 为 轴，线段 的中垂线为 轴建立平面直角坐标系，如图，则 ， ，圆方程为 ， 在圆上，设 ，
， ，
，
，所以 ．
故选：B．
4．（2022·全国·高三专题练习）在 中， ．P为 所在平面内的动点，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ，因为 ，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
设 ， ，
所以 ， ，
所以
，其中 ， ，
因为 ，所以 ，即 ；
故选：D
考点三 平面向量与其他知识综合
【例3-1】（2022·四川成都）已知向量 ， ， ，若 ，则 （ ）
A．2 B．-2 C．3 D．
【答案】C
【解析】由题意 可得 ，即 ，
即 ，故 ，即 ，
由于 ，故 （舍去），故选：C
【例3-2】（2022·全国·高三专题练习）在 中，“ ”是“ 为钝角三角形” 的
△ △
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由 ，即 ，又 ，
所以 ，不能推出 为钝角三角形，充分性不成立；
△
为钝角三角形时，若 ，则 ，不能推出
△
，必要性不成立.所以“ ”是“ 为钝角三角形” 的既不充分也不必要条件.
△
故选：D
【例3-3】（2022·广东东莞）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，且 、 、
三点共线（该直线不过点 ，则 等于（ ）
A．1006 B．2012 C． D．
【答案】A
【解析】 ，且 、 、 三点共线（该直线不过点 ， ；数列 是等差数列， ； ．故选：A
【例3-4】（2022·安徽六安一中）过双曲线 的右焦点 作 轴的垂线，与双曲线
及其一条渐近线在第一象限分别交于 两点，且 为坐标原点），则该双曲线的离心
率是( )
A．2. B． C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线的半焦距为 ，由 得到 ，由 得到 ，
而 ， ，即点A是线段FB的中点，
所以 ，所以 .故选：D
【一隅三反】
1．（2022·河北·高三专题练习）在 中， ，则 的形状为
（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．三边均不相等的三角形 D．等腰非等边三角形
【答案】D
【解析】在 中， ， 的角平分线 与 垂直， 为等腰三角形；
又 ， ， ， 为等腰非等边三角形.故选：D
2．（2022·浙江·高三专题练习）下列有关四边形 的形状判断错误的是（ ）A．若 ，则四边形 为平行四边形
B．若 ，则四边形 为梯形
C．若 ，且 ，则四边形 为菱形
D．若 ，且 ，则四边形 为正方形
【答案】D
【解析】A选项， ，则 ，所以四边形 为平行四边形，A正确.
B选项， ，则 ，所以四边形 为梯形，B正确.
C选项， ，则 ，四边形 是平行四边形；由于 ，所以四边形
是菱形，C正确.
D选项， ，则 ，所以四边形 为平行四边形；由于 ，所以四边形
为菱形，D选项错误.故选：D
3．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）（多选）已知向量 ，则下列命题正确的是
（ ）
A．存在 ，使得 B．当 时， 与 垂直
C．对任意 ，都有 D．当 时，
【答案】BD
【解析】对于选项A：若 ，则 ，即 ，
所以不存在这样的 ，故A错误；
对于选项B：若 ，则 ，即 ，得 ，故B正确；
对于选项C： ，当 时， ，此时 ，故C错误；
对于选项D： ，两边同时平方得
，化简得 ，等式两边同
除以 得 ，
即 ，所以 ，故D正确.
故选：BD.
4（2021·全国高三专题练习）已知直线 上有三点 ， ， ， 为 外一点，又等差数列 的前 项和
为 ，若 ，则 （ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【解析】 点 、 、 是直线 上不同的三点，
存在非零实数 ，使 ；
若 ，
， ；
；
数列 是等差数列， ； ．故选：A．
5．（2021·湖南雅礼中学高三）已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，过点
且斜率为 的直线与双曲线在第二象限的交点为 ，若 ，则双曲线 的渐近线方
程是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意 ，
所以 ，
，设直线 的倾斜角为 ，则 为钝角， ，
结合 解得 ，
设 ，则 ，
，
将 点坐标代入双曲线方程得 ，而 ，
所以 ，
化简得 ，
，
，
， ，
所以双曲线的渐近线方程为 .
故选：A.
