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2.4 指数运算及指数函数考点一 指数的运算
【例1】（2024广西）化简求值:
(1) ；
(2) ．
(3) ；
（4）已知 ，计算： .
【答案】(1) (2) (3)－ （4）4.
【解析】（1）
（2） =
（3）原式＝( )－ ＋( )－ － ＋1＝ ＋10 －10 －20＋1＝－ .
（4）因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以
【一隅三反】
1（2024甘肃）（多选）下列根式与分数指数幕的互化正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】CD
【解析】对A： ，错；对B： ，错；
对C： ，对；对D： ，对.故选：CD
2．（2024高三·全国·专题练习）化简下列各式：
（1） =
（2） （ =
（3 设 ，则 的值为
【答案】（1） 0 （2） / （3） 7
【解析】（1） .
（2） ；
（3）因为 ， .
故答案为：（1）0；（2） ；（3）7
3.（2024广东广州）计算下列各式．
(1) ； （2）（3） ； （4） ；
(51) ； (6) ；
（7）已知 ，求 的值．
【答案】(1)75 (2) (3)4 (4) (5) (6) （7）2
【解析】（1）
（2）
.
（3）
（4）原式 = .
（5）
.
（6） ；
（7）因为 ，所以 所以 ，
所以
故
考点二 指数函数概念及解析式【例2-1】（2024宁夏吴忠·阶段练习）给出下列函数，其中为指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为指数函数的形式为 且 ，
所以 是指数函数，即C正确；而ABD中的函数都不满足要求，故ABD错误.故选：C.
【例2-2】（2023上海）函数 是指数函数，求 的值 ．
【答案】
【解析】由 是指数函数，可得 ，解得 ．
【例2-3】（2024·广东湛江·开学考试）若函数 （ ，且 ）满足 ，则 的值为
（ ）
A．± B．±3 C． D．3
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，从而 ， .故选：C.
【一隅三反】
1．（2024广西河池·期末）已知指数函数 的图象经过点 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【解析】由指数函数 的图象经过点 ，得 ，解得 ，
所以 .选：A2．（2024江西新余·期中）（多选）若函数 是指数函数，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】因为函数 是指数函数，所以 ，解得 或 .故选：AB
考点三 指数型函数的定义域
【例3-1】（2024湖南）设函数 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，故 ，故 的定义域为 ，
令 ，则 ，故 的定义域为 .故选：D.
【例3-2】（2022·4海南·模拟预）已知函数 的定义域为 ，则 ．
【答案】
【解析】由题意可知，不等式 的解集为 ，则 ，解得 ，
当 时，由 ，可得 ，解得 ，合乎题意.
故答案为： .
【一隅三反】
1．（2024北京·期末）函数 的定义域是 ．
【答案】 .
【解析】由题意得 ，解得 且 ，所以函数的定义域为 ，
故答案为： .
2．（2024湖南长沙·）函数 的定义域为【答案】
【解析】由题 ，即 ，即 ，因为 为单调递增函数，所以 ，即
故答案为：
3．（2024重庆渝中）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 .
（用区间或集合作答）
【答案】 /
【解析】由题设， ，可得 ，∴ 的定义域为 .故答案为：
考点四 指数型函数的值域
【例4-1】（1）（2024浙江丽水）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2024河北石家庄·阶段练）函数 ， 的值域是（ ）
A． B． C． D．
（3）（2024黑龙江绥化）当 时，函数 的值域为 .
【答案】（1）A（2）C（3）
【解析】（1）由指数函数的性质，可得 ，所以 ，即 的值域是 .故选：A．
（2）函数 ，是由 和 ， 复合而成，
因为 对称轴为 ，开口向上，所以 在 单调递减，在 单调递
增，
所以 时， ， 时， ，所以 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，所以函数 ， 的值域是 .
故选：C.
（3）因为 ，令 ，由于 ，则 ，则原函数可化为 ， ，当 时， 取最小值 ，当 时， 取最大值 ，
故 ，即 .故答案为：
【例4-2】（1）（2024湖北）已知函数 的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2024·四川成都·二模）已知函数 的值域为 ．若 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）C（2）B
【解析】（1）当 时， ，而函数 在 上单调递增，又 是增函数，
因此函数 在 上单调递增， ，即函数 在 上的值域为 ，
当 时，函数 的值域为 ，而函数 的值域为R，因此 ，
而当 时， ，必有 ，解得 ，
所以a的取值范围是 .故选：C
（2）当 时， ，符合题意；
当 时，因为函数 的值域为 满足 ，
由指数函数的单调性可知，即二次函数 的最小值小于或等于零；
若 时，依题意有 的最小值 ，即 ，
若 时，不符合题意；综上： ，故选：B.【一隅三反】
1（2024山东潍坊·期中）函数 的最大值为（ ）
A．4 B．3 C． D．
【答案】A
【解析】 函数 在 上单调递减，
当 时，函数 取得最大值，最大值为 .
故选： .
2．（2024上海虹口·期中）已知函数 ，则 的值域为 ．
【答案】
【解析】当 时， ；
当 时， 在 上单调递增， 单调递减，所以 ，
综上可得 的值域为 .
故答案为： .
3．（2024·贵州·模拟预测）已知函数 ，则 的最大值是 .
【答案】16
【解析】由 ，而 ，
因为 单调递增，所以 ，则 的最大值是16.
故答案为：16
4．（2023高三·全国·专题练习）函数 的值域为 .
【答案】【解析】设 ，则 ，
换元得 ，
显然当 时，函数 取到最小值 ，
所以函数 的值域为 ．
故答案为： .
5．（2024福建福州·期中）函数 的值域为 ．
【答案】
【解析】因为 ，
又 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以函数 的值域为 .故答案为：
6．（2024上海·开学考试）若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令 ，由题意得 的值域为 ，
又 的值域为 ，所以 解得 所以 的取值范围为 ．故答案为：
7（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）若函数 （ 且 ）在区间 上的值域为 ，则实
数 的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】B
【解析】①当 时， 单调递增，故 ，解得 ；②当 时， 单调递减， ，无解，
综上可知 .故选：B
8（2023·甘肃兰州·模拟预测）已知函数 的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时， ，当 时， ，
因为函数 的值域为 ，所以 ，得 ，
所以实数 的取值范围是 ，故选：D.
考点五 指数型函数的单调性
【例5-1】（2024湖南岳阳·期中）已知函数 ，则函数 单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 在 单调递增， 单调递减，所以函数 在 单调递减，
单调递增，故选:C.
【例5-2】（2024·辽宁·一模）若函数 在区间 内单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ， ，则 在 上单调递增.
因为 在区间 内单调递减，所以函数 在区间 内单调递减，结合二次函数的图象和性质，可得： ，解得 4.
故选：
【例5-3】（2024内蒙古赤峰）若函数 是 上的减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由函数 在 上为单调递减函数，则满足 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 .故选：A.
【一隅三反】
1（2024上海静安·阶段练习）函数 的严格增区间是 .
【答案】
【解析】因为 关于 单调递减，若函数 关于 单调递增，
则由复合函数单调性可知只需 单调递减即可，
而 的单调递减区间为 ，所以函数 的严格增区间是 .故答案为： .
2．（2024·福建福州·模拟预测）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 在 上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，所以 在区间 单调递减，所以 ，解得 ．故选：D．
3．（2024天津和平）设函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
函数 在R上单调递减，因此函数 的递增区间是 ，递减区间是 ，
依题意， ，则 ，解得 ，所以实数 的取值范围为 .故选：A
4．（2024江苏淮安·阶段练习）使得“函数 在区间 上单调递减”成立的一个充分不必要条
件可以是（ ）
A． B． 1 C． D． 0
【答案】D
【解析】由于函数 在 上单调递减，函数 在区间 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增，则 ，解得 ，
所以函数 在区间 上单调递减的充要条件为 ，
那么其成立的一个充分不必要条件可以是 .故选：D.
考点六 指数型函数单调性的应用
【例6-1】（2024·江苏宿迁·一模）已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解法一：函数 的定义域为R，函数 分别是R上的增函数和减函数，
因此函数 是R上的增函数，由 ，得 ，解得 ，所以原不等式的解集是 .故选：A
解法二：特值当 时， ，排除B，D，当 时， ，排除C，
对A：当 时， ，因为函数 是R上的增函数，所以 ，故A成立.
故选A．
【例6-2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，则 的解集为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由函数 ，
设 ，
则不等式 ，可化为 ，
即 ，
又由函数 的定义域为 ，关于原点对称，
且 ，所以 为奇函数，
又由函数 为 上的增函数， 为 上的减函数，
所以函数 为 上的增函数，
所以不等式 ，即为 ，
可得 ，解得 ，即不等式的解集为 .故选：A.【例6-3】（2024·天津·一模）已知实数a，b，c满足 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，得到 ，又 ，函数 是减函数，
所以 ，又 ，得到 ，所以 ，故选：A.
【例6-4】（23-24高三下·河南周口·开学考试）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意知 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，又 ，
所以 ，即 ，所以 ，即 ，所以 ，
又 ，又 ，所以 ，所以 ，所以 ．故选：B．
【一隅三反】
1．（2023·河北邯郸·模拟预测）已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，令 ， ，则 ，
所以 为奇函数，则 关于原点对称，所以 关于 对称，
则 ，
则 在定义域 上单调递增， 在 上单调递减，所以 在定义域 上单调递减，
则 在定义域 上单调递减，
则不等式 ，即 ，所以 ，
则 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .
故选：B
2（23-24高三上·天津·期末）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ， ，因为 在 上单调递增，所以 ，即
，
又 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 ，故选：C.
3．（2024江苏苏州·阶段练习）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵指数函数 在 上单调递增，且 ，∴ ，即 .
∵幂函数 在 上单调递增，且 ，∴ ，即 ，∴ .
故选：A.
4（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则a，b，c（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，求导得 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，
则 ，即 ，而 ，于是 ，所以 .故选：D
5.（2024上海黄浦·期末）已知函数 ，则不等式
的解集为 .
【答案】
【解析】设 ，则函数 定义域为 ，
因为 ，故函数 为奇函数，
因为函数 、 、 、 均为 上的增函数，故函数 为 上的增函数，
因为 ，
由 可得 ，
可得 ，
所以， ，即 ，解得 .
因此，不等式 的解集为 .
故答案为： .
考点七 指数型函数的图像
【例7-1】（2023广东惠州·阶段练习）函数 的图象大致为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数 的定义域为 ，且 ，
所以 为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、D；
又 ，当 时 ，所以 ， ，
又 ，所以 ，所以 ，故排除B.故选：C
【例7-2】（2024广西柳州·期中）要使 的图象不经过第一象限，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数 的图象与 轴的交点坐标为 ，且为减函数，
要使 图象不经过第一象限，则 ，解得 .
故选：B.
【一隅三反】
1．（2024江西·开学考试）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【解析】 ，且函数定义域为 ，关于原点对称，所以 为奇函数，排除
CD．
当 时， ，所以 ，排除B，经检验A选项符合题意.
故选：A．
2.（2024山东济南）函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由函数 ， ，令 ，解得 ，
则其定义域为 ，关于原点对称，
所以函数在定义内为偶函数，排除C，D选项，因为 ，观察选项可知，选A.
故选：A
3．（2024江苏常州）（多选）若函数 （其中 且 ）的图象过第一、三、四象限，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】函数 （其中 且 ）的图象在第一、三、四象限，
根据图象的性质可得： ，即 ，故选：BD.考点八 指数型函数的定点
【例8-1】（2024安徽六安）函数 ，且 恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知得 ，由此可知函数 恒过定点 ，故选：B .
【例8-2】（2024内蒙古鄂尔多斯·）当 时， 的图像恒过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于函数 ，令 ，解得 ，则 ，
所以 的图像恒过点 .故选：C
【一隅三反】
1．（2024辽宁抚顺）已知函数 的图象恒过定点P，则P点的坐标为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ，解得 ，则 ，即过定点 .
故选：B
2（22024广西南宁 ）函数 且 的图象恒过定点 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于函数 ，令 ，可得 ，则 ，
所以，函数 且 的图象恒过定点坐标为 ．
故选：A3．（2024福建莆田）对任意 且 ，函数 的图象都过定点 ，且点 在角 的终边上，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于函数 ，令 ，故 的图象过定点 ，
由于点 在角 的终边上，则 ，故选：B
考点九 指数型函数的实际应用
【例9】（2024·云南楚雄·一模）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成
公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务．已知某种垃圾的分解率 与时间 （月）近
似满足关系 （其中 、 为正常数），经过 个月，这种垃圾的分解率为 ，经过 个月，这种垃圾
的分解率为 ，则这种垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月（参考数据： ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，可得 ，解得 ，则 ，
这种垃圾完全分解，即分解率为 ，即 ，所以 ，
所以 ，则 ．
故选：B.
【一隅三反】
1．（2023·四川宜宾·一模）某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，a个这种病毒在t天后将繁殖到 个．已
知经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍．且再过m天后病毒的数量将达到原来的16倍，则 （ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【解析】由题可知，，所以 ，经过 天，数量变为原来的16倍，即 ，则有 ，解得 ，故选:C.
2．（2024河北保定）在百端待举、日理万机中，毛泽东主席仍不忘我国的教育事业.1951年9月底，毛主席在
接见安徽参加国庆的代表团时，送给代表团成员——渡江小英雄马毛姐一本精美的笔记本，并在扉页上题词：
好好学习，天天向上.这8个字的题词迅速在全国传播开来，影响并指导着一代代青少年青春向上，不负韶华.
他告诉我们：每天进步一点点，持之以恒，收获不止一点点.把学生现在的学习情况看作1.每天的“进步率”为
3%，那么经过一个学期（看作120天）后的学习情况为 ，如果每天的“迟步率”为3%，同
样经过一个学期后的学习情况为 ，经过一个学期，进步者的学习情况是迟步者学习情况的
1335倍还多，按上述情况，若“进步"的值是“迟步”的值的10倍，要经过的天数大约为（保留整数）（参考
数据： ， ）（ ）
A．28 B．38 C．60 D．100
【答案】B
【解析】设要经过 天，“进步"的值是“迟步”的值的10倍，
则 ，即 ，
则
.
故选：B.
3．（2023·湖南长沙·模拟预测）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性
．动植物死亡后，停止了新陈代谢， 不再产生，且原来的 会自动衰变．经过5730年，它的残余量只
有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中 含量占原来的 ，推算该古物约是 年前的遗物（参考数据： ），则实数 的值为（ ）
A．12302 B．13304 C．23004 D．24034
【答案】B
【解析】设 每年的衰变率为 ，古物中原 的含量为 ，
由半衰期，得 ．
所以 ，即 ．
由题意，知 ，即 ．
于是 ．
所以 ．
故选：B．
一．单选题
1．（2024北京）函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得， ，函数 为奇函数，
由指数的增长速度比一次函数的增长速度快，知选项A符合要求，
故选：A.
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】依题意， ， ，
因此 ，而函数 在 上单调递增，所以 ，即 .
故选：D
3（2024福建漳州）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设 ，对称轴为 ，抛物线开口向上，
因为函数 是 上的增函数，要使 在区间 单调递减，则 在区间 单调递减，即
，即 ，所以实数 的取值范围是 ．故选：C．
4.（2023·贵州）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 （单位： 与时间
（单位： ）间的关系为 ，其中 ， 是正的常数．如果在前 消除了 的污染物，则10小时后
还剩下百分之几的污染物？（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知， ，所以 ，所以 ，
则 时， .故选：C.
5.（2023·全国·高三专题练习）已知函数 为偶函数，则 （ ）
A．-1 B．-2 C．2 D．1
【答案】A
【解析】因为函数 为偶函数，所以 ，，
，
所以 ，即得
可得 ， 成立，
所以 .故选：A.
6.（2024·四川）设函数 在定义域 上满足 ，若 在 上是减函数，且 ，
则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，即 ，故函数 在定义域 上奇函数，
若 在 上是减函数，则 在 上是减函数，
∵ ，且 ，若 ，则 ，解得 ，
故不等式 的解集为 .故选：A.
7（2024·辽宁·一模）设 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于函数 ， ，令 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，则 ，即 .所以 ， .由 ，得 ，所以 ，则
，
所以 ，即 .所以 .故选：B
8.（2024·四川攀枝花）已知奇函数 在 上的最大值为 ，则 （）
A． 或3 B． 或2 C．3 D．2
【答案】A
【解析】因为 是奇函数，所以 ，所以 ．
即 ，则 ，解得 ，
经检验 符合题意，所以 ，
当 时， ，
则函数 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，
所以， ，整理得 ，
解得 或 (舍去)，所以 ；
当 时， ，
则函数 在 上单调递减， 在 上单调递增，
所以 在 上单调递减，
所以， ，整理得 ，解得 或 (舍去)，所以 ，
综上， 或3．
故选：A．
二．多选题
9．（2024河北邯郸·期中）若函数 且 的图象过第一、三、四象限，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】由题意可知：函数大致图象如下图所示，
结合图象可知： ，解得： .
故选：BC.
10．（2024江苏徐州·阶段练习）函数 的定义域为 ，值域为 ，下列结论中一定成立的
结论的序号是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】由于 ，
， ， ， ，
即函数 的定义域为
当函数的最小值为1时，仅有 满足，所以 ，故D正确；
当函数的最大值为2时，仅有 满足，所以 ，故C正确；
即当 时，函数的值域为 ，故 ，故 不一定正确，故A正确，B错误；故选：ACD
11．（2023·吉林）若函数 的图像经过点 ， 则（ ）
A． B． 在 上单调递减
C． 的最大值为 81 D． 的最小值为
【答案】AC
【解析】对于 :由题意得 ， 得 ,故 正确;
对于 :令函数 ， 则该函数在 上单调递减，在 上单调递增．
因为 是减函数， 所以 在 上单调递增， 在 上单调递减， 故 错误;
对于 :因为 在 上单调递增， 在 上单调递减,
所以 , 无最小值．故 正确, 错误;
故选: .
三．填空题
12．（2024云南）若函数 （ ，且 ）的图象不经过第二象限，那么a，b的取值范围分别
为 .
【答案】 ，
【解析】①当 时，函数 为R上的减函数，
此时无论函数 的图象如何平移，均经过第二象限，因而不符合题意；
②当 时，根据题意可知，函数 的图象需要向下平移，如图所示，设需向下平移 个单位长度，结合 的图象知 ，
即 ，解得 .
综上所述， ， .
故答案为： ， .
13（2024河南信阳·阶段练习）设函数 且 在区间 单调递减，则 的取值范围是
.
【答案】
【解析】若 ， 在 单调递增，
要满足题意，则 要在 单调递减，故 ，即 ；
若 ， 在 单调递减，
要满足题意，则 要在 单调递增，故 ，即 ，不满足 ，故舍去；
综上所述： 的取值范围是 .
故答案为： .
14．（2024上海闵行）已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是
．
【答案】
【解析】当 时， 在 上单调递增，所以 时， ；
当 时， ，
①若 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 时， ，即 时， ，
又 时， ，
此时，函数 的值域为 ，不满足题意，舍去；
②当 时，函数 此时值域为 ，不满足题意，舍去；
③当 时， 在 上单调递减，
则 时， ，即 时， ，
因为函数 的值域为 ，
又 时， ；
则 时， 且 ，
不等式 解得： ，
不等式 等价于 时， ，
设 （ ），因为 在 上单调递增， 在 上是增函数，
所以 在 上单调递增，又 ，
所以 时， 等价于 ，即 ，
则不等式 解得： ，
所以 时， 的解集为 ，
综上：实数 的取值范围是 ，
故答案为： .
四．解答题
15．（2024广东湛江）设函数 ．
(1)若函数 的图象关于原点对称，求函数 的零点 ；
(2)若函数 在 ， 的最大值为 ，求实数 的值．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）解： 的图象关于原点对称， 为奇函数， ，
，
即 ， ．所以 ，所以 ，
令 ，则 ， ，又 ，
，解得 ，即 ，所以函数 的零点为 ．
（2）解：因为 ， ，
令 ，则 ， ， ，对称轴 ，当 ，即 时， ， ；
②当 ，即 时， ， （舍 ；
综上：实数 的值为 ．
16（2024上海虹口）已知函数 是定义域为 的奇函数.
(1)求实数 的值，并证明 在 上单调递增；
(2)已知 且 ，若对于任意的 、 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ，证明见解析
(2)
【解析】（1）解：因为函数 是定义域为 的奇函数，
则 ，解得 ，此时 ，
对任意的 ， ，即函数 的定义域为 ，
，即函数 为奇函数，合乎题意，
任取 、 且 ，则 ，
所以， ，则 ，
所以，函数 在 上单调递增.
（2）解：由（1）可知，函数 在 上为增函数，
对于任意的 、 ，都有 ，则 ，
，
因为 ，则 .当 时，则有 ，解得 ；
当 时，则有 ，此时 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
17．（2024·四川遂宁）已知函数 定义在 上有 恒成立，且当 时，
.
（1）求 的值及函数 的解析式；
（2）求函数 的值域.
【答案】（1） ， （2）
【解析】（1）因为函数 定义在 上有 恒成立
所以函数 为奇函数，又当 时，
所以 ．
当 时，则 ．所以 ，
因为 是定义在 上的奇函数，
所以 ，即 ．
所以函数 的解析式为 ．
（2）令 ，当 时， ，
则当 时， 可写为 ，所以 ．
由 是定义在 上的奇函数，所以当 时 ．即函数的值域为 ．
18．（2024·新疆）设函数 ．
(1)求函数 的值域；
(2)设函数 ，若对 ，求正实数a的取值范围．
【答案】(1)函数 的值域为 .
(2)
【解析】（1） ，
，则 ，当且仅当 时取“=”，
所以 ，即函数 的值域为 .
（2）设 ，因为 所以 ，函数 在 上单调递增，
则函数 在 上单调递增， ，设 时，函数 的值域为A．由题意知 ．函
数 图象的对称轴为 ，
当 ，即 时，函数 在 上递增，则 ，解得 ，
当 时，即 时，函数 在 上的最大值为 ， 中的较大者，而 且
，不合题意，
当 ，即 时，函数 在 上递减，则 ，满足条件的 不存在，
综上， ．19．（2024天津）已知函数 （ 为常数，且 ， ）．
(1)当 时，若对任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围；
(2)当 为偶函数时，若关于 的方程 有实数解，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
【解析】（1）当 时， 在 上单调递增，
∴当 时， ，
对任意的 都有 成立，转化为 恒成立，即 对 恒
成立，
令 ，则 恒成立，即 ，
由对勾函数的性质知： 在 上单调递增，故 ，
∴ 的取值范围是 .
（2）当 为偶函数时，对xR都有 ，即 恒成立，即
恒成立，
∴ ，解得 ，则 ，
此时，由 可得： 有实数解
令 （当 时取等号），则 ，
∴方程 ，即 在 上有实数解，而 在 上单调递增，
∴.
