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9.5 三定问题及最值（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现例题剖析
考点一 定点
【例1】（2022·河南模拟）已知椭圆 的离心率为 ，C的四个顶点围成的四
边形面积为 ．
（1）求C的方程；
（2）已知点 ，若不过点Q的动直线l与C交于A，B两点，且 ，证明：l过定点．
【一隅三反】
1．（2022·河南模拟）已知椭圆 的离心率为 ，左、右顶点分别为 ， ，上下
顶点分别为 ， ，四边形 的面积为 ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）不过点 的直线l交椭圆于P，Q两点，直线 和直线 的斜率之和为2，证明：直线l恒过定
点．2．（2022·南开模拟）已知焦点在x轴上，中心在原点，离心率为 的椭圆经过点 ，动点A，B
（不与点M重合）均在椭圆上，且直线 与 的斜率之和为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明直线 经过定点，并求这个定点的坐标．
考点二 定值
【例2】（2022·柳州模拟）已知平面上动点Q（x，y）到F（0，1）的距离比Q（x，y）到直线
的距离小1，记动点Q（x，y）的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程．
（2）设点P的坐标为（0，－1），过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于
M，N两点，证明： ．
【一隅三反】1．（2022·泰安模拟）已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率 ，四个顶点组成的菱形
面积为 ，O为坐标原点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过 上任意点P做 的切线l与椭圆E交于点M，N，求证 为定
值．
2．（2022高三上·广州月考）已知双曲线 ，经过双曲线 上的点 作互相
垂直的直线AM、AN分别交双曲线 于M、N两点．设线段AM、AN的中点分别为B、C，直线OB、
OC（O为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）过点A作 （D为垂足），请问：是否存在定点E，使得 为定值？若存在，求出点E
的坐标；若不存在，请说明理由．考点三 最值
【例3】（2022高三上·湖北开学考）抛物线 的焦点为 ，准线为 A为C上的一点，
已知以 为圆心， 为半径的圆 交 于 两点，
（1）若 的面积为 ，求 的值及圆 的方程
（2）若直线 与抛物线C交于P，Q两点，且 ，准线 与y轴交于点S，点S关于直
线PQ的对称点为T，求 |的取值范围.【一隅三反】
1．（2022·浙江）如图，已知椭圆 ．设A，B是椭圆上异于 的两点，且点
在线段 上，直线 分别交直线 于C，D两点．
（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；
（Ⅱ）求 的最小值．2．（2022·鹤壁模拟）已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）在圆 上取一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为M，N，（ 与PN的斜率
均存在），求△OMN面积的取值范围．3．（2022·浙江模拟）如图，已知抛物线 和点 ，点P到抛物线C的准线的
距离为6．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过点P作直线 交抛物线C于A，B两点，M为线段 的中点，点Q为抛物线C上的一点且始
终满足 ，过点Q作直线 交抛物线C于另一点D，N为线段 的中点，F为抛物线
C的焦点，记 的面积为 ， 的面积为 ，求 的最小值．
