文档内容
9.1 切线方程（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 导数几何意义
【例1-1】（2022·日照模拟）曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据已知条件， ，因为曲线 在 处的切线的倾斜角为
，
所以 ，所以 .因为 ， ，
则解得 ， ，故 .
故答案为：B.
【例1-2】（2022·枣庄模拟）曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则
的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】C【解析】设 ，则 ，直线 的斜率为 ，
由题意可得 ，解得 .故答案为：C.
【例1-3】（2022高三下·安徽期中）已知 ，则曲线 在点
处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对 ，
求导可得， ，得到 ，所以，
，所以， ，
故答案为：D
【一隅三反】
1．（2023高三上·江汉开学考）若函数 在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知 ，所以 ，，当且仅当 时等号成立．故答案为：A．
2．（2022·宜春模拟）已知函数 是定义在R上的奇函数，且 ，则函数
的图象在点 处的切线的斜率为（ ）
A．-21 B．-27 C．-24 D．-25
【答案】A
【解析】 是奇函数，
恒成立，所以 ，
， ，
所以 ， ，即 ，
．
故答案为：A．
3．（2022·成都模拟）若曲线 在点（1，2）处的切线与直线 平行，则实数
a的值为（ ）
A．－4 B．－3 C．4 D．3
【答案】B
【解析】 ， 所以 。故答案为：B
考点二 在型求切线
【例2-1】（2022·贵州模拟）曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】因为 ，所以曲线 在点 处的切线的斜率为 ，当x=1时，
y=0，切点坐标为（1，0）.故所求切线方程为 . 故答案为：B
【例2-2】（2022海南）曲线 ： 在点 处的切线方程为___________
【答案】
【解析】因为 ， ，
，又 ，
所求的切线方程为 ，即 ，
故答案为： .
【例2-3】（2022福州模拟）已知函数 为偶函数，当x＜0时， ，则曲线
在x＝1处的切线方程为（ ）
A．x-y＝0 B．x-y-2＝0 C．x+y-2＝0 D．3x-y-2＝0
【答案】A
【解析】当 时， ， ，又函数 为偶函数，所以
， ，所以 ， ，故切线方程为 ，
即 .故答案为：A．
【一隅三反】
1．（2022高三上·杭州期末）函数 在点 处的切线方程是 .
【答案】y=1【解析】因为 ，所以切线斜率 ，所以切线方程为y=1. 故答案为：y=1
2．（2022·广东模拟）已知 为奇函数，当 时， ，则曲线在点 处的
切线方程为 .
【答案】y=2x-e
【解析】由题意 时 ，是奇函数，
时 ， ， ，
由点斜式直线方程得 ，整理得y=2x-e ；故答案为：y=2x-e .
3．（2021·海南模拟）已知偶函数 满足 ，且在 处的导数
，则曲线 在 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由条件知 ，所以 ，
从而 ，即函数 的周期为4.
在 中，令 得 ，所以 ，
又 ，所以曲线 在 处的切线方程为 ，
即 .故答案为：A.
考点三 过型求切线
【例3-1】.(2022·豫北)已知f(x)＝x2，则过点P(－1，0)，曲线y＝f(x)的切线方程为
【答案】y＝0或4x＋y＋4＝0
【解析】易知点P(－1，0)不在f(x)＝x2上，
设切点坐标为(x，x)，由f(x)＝x2可得f′(x)＝2x，
0∴切线的斜率k＝f′(x)＝2x.
0 0
∵切线过点P(－1，0)，
∴k＝＝2x，解得x＝0或x＝－2，
0 0 0
∴k＝0或－4，
故所求切线方程为y＝0或4x＋y＋4＝0.
【例3-2】(2022·江西)过点P(1,1)且与曲线y＝x3相切的直线的条数为
【答案】2
【解析】 当点P为切点时，∵y′＝3x2，∴y′| ＝3，则曲线y＝x3在点P处的切线方程为y－1＝3(x－1)，
x＝1
即3x－y－2＝0.当点P不是切点时，设直线与曲线切于点(x，y)(x≠1)，则k＝＝＝x＋x＋1.∵y′＝3x2，∴y′|
0 0 0 0
x＝x＝3x，∴2x－x－1＝0，∴x＝1(舍)或x＝－，∴过点P(1,1)与曲线y＝x3相切的直线方程为3x－4y＋1
0 0 0 0
＝0.综上，过点P的切线有2条
【一隅三反】
1．（2021·永州模拟）曲线 在 处的切线 过原点，则 的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】曲线 切点为 ，
所以切线 的斜率 ，又直线 过原点，所以 ，
得 ， ．所以 ，故切线 的方程为 即 ．
故答案为：A．
2．（2021·浙江高三专题练习）过曲线 上一点 的切线的斜率为 ，则点 的坐标为______．
【答案】 或 .
【解析】由 可得 ，设切点 ，由题意可得 ，
解得： ，即 ，
当 时， ，此时点 的坐标为
当 时， ，此时点 的坐标为 ，
故答案为： 或 .
3．（2022·广东佛山市）已知函数 的图象是经过原点的曲线（非直线），且在原点处的切线方
程为 ，请写出一个符合条件函数 的解析式____________．
【答案】 （或 ， ， 等）.
【解析】由题意可知： ，
取 ，此时 ，故符合，
故答案为： （或 ， ， 等）.
考点四 根据切线求参数
【例 4-1】（2022·岳阳模拟）已知 a， 为正实数，直线 与曲线 相切，则的最小值是（ ）
A．6 B． C．8 D．
【答案】C
【解析】设切点为（m，n）， y＝ln（x+b）的导数为 ，由题意可得 =1，
又n＝m﹣2a，n＝ln（m+b），解得n＝0，m＝2a，即有2a+b＝1，因为a、b为正实数，
所以 ，
当且仅当 时取等号，故 的最小值为8。故答案为：C．
【例4-2】（2022·柳州模拟）已知直线 是曲线 的一条切线，则b＝
．
【答案】2
【解析】函数 的定义域为（0，+∞） ， 则 ，令 ，则x=1 ，
所以切点为（1，3） ，代入y=x+b ，得1+b=3 ，所以b=2 .故答案为：2
3．（2022·新高考Ⅰ卷）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是
.
【答案】a＞0或a＜-4
【解析】易得曲线不过原点，设切点为(x，(x+a)ex)，则切线斜率为f(x)=(x +a+1)ex ，
0 0 0 0 0 0
可得切线方程为y-(x+a)ex=(x +a+1)ex(x-x)，又切线过原点，
0 0 0 0 0
可得-(x+a)ex=-x (x+a+1)ex，化简得 (※)，
0 0 0 0 0
又切线有两条， 即方程※有两不等实根，由判别式△=a2+4a>0，得a<-4或a>0.
故答案为：a<-4或a>0.【一隅三反】
1．（2022·重庆模拟）已知 为非零实数，直线 与曲线 相切，则
.
【答案】e
【解析】设切点坐标为 ，对函数 求导得 ，
所以切线方程为 ，
所以 ，可得 ， .故答案为：e.
2．（2022·晋中模拟）若直线y=2x+a是函数 的图象在某点处的切线，则实数 .
【答案】-1
【解析】【解答】设切点坐标为 ，则 所以 .
故答案为：-1.
3．（2021高三上·德州期中）函数 在 处的切线与直线
平行，则实数 的值为 .
【答案】1
【解析】因为 ，所以 ， 所以 ，所以函数 在 处的切线的斜率为 ，
又因为函数 在 处的切线与直线 平行，
所以 ，解得 故答案为：1
4．（2021高三上·安庆月考）已知函数 的图象在点 处的切线的斜率为 ，
则 的值为 .
【答案】-1
【解析】由题意，函数 ，可得 ，所以 ，
因为函数 的图象在点 处的切线的斜率为 ，
可得 ，即 ，所以 ，解得 .
故答案为：-1.
5．（2020高三上·内蒙古期中）若函数 （ 为常数）存在两条均过原点的切线，则
实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意得 的定义域为 ，且 ，设切点坐标为
，则过原点的切线斜率 ，整理得
存在两条过原点的切线， 存在两个不同的解.设，则问题等价于 于 存在两个不同的交点，又
当 时， ， 单调递增，当 时，
， 单调递减， .又当 时， ；当
时， ，若 于 存在两个不同的交点，则 .解得
.
故答案为：
