文档文本内容
2.6 幂函数与一元二次函数考点一 幂函数的三要素
【例1-1】（2024河南周口）已知函数 为幂函数，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意有 ，可得 ，其定义域为R，
且 ，则函数 为奇函数，
所以 .
故选：A.
【例1-2】（2024福建龙岩·期末）若幂函数 的图象过点 ，则 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，依题意可得 ，解得 ，所以 ，
所以 的定义域为 ，值域为 ，且 ，
对于函数 ，则 ，解得 ，
即函数 的定义域是 .
故选：B
【例1-3】（2024宁夏吴忠·阶段练习）下列函数中，与函数 的值域相同的函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】因为幂函数 的值域为 ，
对于A，指数复合函数 的值域为 ，故A错误；
对于B，对数复合函数 的值域为 ，故B正确；
对于C，幂函数 的值域为 ，故C错误；
对于D，反比例函数 的值域为 ，故D错误.故选：B.
【一隅三反】
1．（2024浙江杭州）若函数 是幂函数，且满足 ，则 的值为 .
【答案】16
【解析】设 ，由 可得 可得 .故 ，则 .
故答案为：16
2．（2024山西吕梁）已知幂函数 的图象过点 ，则 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 是幂函数， 设 ，将 代入解析式，
得 ，解得 ，故 ，则 ，
故 ，解得
故选：B
3（2024湖北）函数 的定义域是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
则有 ，解得 且 ，因此 的定义域是 ．
故选：B.
4．（2024湖北恩施·阶段练习）下列函数中，其定义域和值域分别与函数 的定义域和值域相同的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 的定义域和值域均为 ，
函数 的定义域和值域均为R，不满足要求；
函数 的定义域为 ，值域为R，不满足要求；
函数 的定义域为R，值域为 ，不满足要求；
函数 的定义域和值域均为 ，满足要求；
故选：D．
考点二 幂函数的图像
【例2-1】（2024·四川南充·二模）已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】对于A：函数 的定义域为 ，显然不符合题意，故A错误；
对于B：函数 的定义域为 ，显然不符合题意，故B错误；
对于C：函数 的定义域为 ，又 为奇函数，又 在 上函数是下凸递增，故不符合题意，
故C错误；
对于D：函数 的定义域为 ，又 为奇函数，且 在 上函数是上凸递增，故D正确.
故选：D
【例2-2】（2024海南省）幂函数 ， ， ， 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线
（ ）
A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
【答案】D
【解析】根据幂函数 的性质可知，在第一象限内的图像，当 时，图像递增，
且 越大，图像递增速度越快，由此可判断 是曲线 ， 是曲线 ；
当 时，图像递减，且 越大，图像越陡，由此可判断 是曲线 ，
是曲线 ；综上所述幂函数 ， ， ， ，
在第一象限内的图象依次是如图中的曲线 ， ， ， .
故选：D.
【例2-3】（2024广东茂名）若幂函数 的图象经过第三象限，则 的值可以是（ ）A．-2 B．2 C． D．3
【答案】D
【解析】A：当 时， ，图像为：
故A错误；
B：当 时， ，图像为：
故B错误；
C：当 时， ，图像为：
故C错误；
D：当 时， ，图像为：
故D正确；故选：D【一隅三反】
1．（2024湖北）已知幂函数 的图象经过点 ，则函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设幂函数 ，则 ，即 ，解得 ，即 ，
的定义域是 ， ，函数为偶函数，
由 ，则 在 上递增且越来越慢.
故选：A.
2．（2024海南省直辖县级单位·开学考试）如图的曲线是幂函数 在第一象限内的图象.已知 分别取
四个值，与曲线 相应的 依次为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由幂函数的单调性可知曲线 相应的 应为 .
故选：A
3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数 在 上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意结合图象可知 .故选：B.
考点三 幂函数的性质
【例3-1】（2024湖南长沙·阶段练习）已知幂函数 是偶函数，且 在
上是减函数，则 （ ）
A． B． C．0 D．3
【答案】B
【解析】因为 是幂函数，所以 ，解得 或 ，
又 在 上是减函数，则 ，即 ，所以 ，此时 ,易知其为偶函数，符合题意.
故选：B.
【例3-2】（2024广东深圳·期末）（多选）已知函数 为幂函数，则下列结论正确的为
（ ）
A． B． 为偶函数
C． 为单调递增函数 D． 的值域为
【答案】AC
【解析】由 为幂函数可得 ，解得 ，所以 ，故A正确，C正确；
由于 ，故 为奇函数，故B错误； 的值域为 ，D错误，故选：AC.
【一隅三反】1．（2024山西临汾·阶段练习）下列函数中，既是奇函数，又是在区间 上单调递减的函数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A， 为偶函数，不符合题意；
对于B， 为奇函数，且在区间 上单调递减，符合题意；
对于C， 为偶函数，不符合题意；
对于D， 为奇函数，且在区间 上单调递增，不符合题意．
故选：B．
2．（2024浙江杭州·期中）（多选）已知幂函数 的图像关于y轴对称，则下列说法正
确的是（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BD
【解析】因为幂函数 的图像关于y轴对称，
所以函数 为偶函数，则 ，即 ，
又 ，由幂函数的单调性可知，函数 在 上单调递减，
所以 ，故B正确，A错误；
因为 ， 在 上单调递减，且函数 为偶函数
则 ，故D正确，C错误.
故选：BD
3．（2024贵州）（多选）下列结论中，正确的是（ ）A．幂函数的图象都通过点
B．互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称
C．函数 恒过定点
D．函数 在整个定义域内是单调递减的
【答案】BC
【解析】对于A，幂函数 不过 ，故A错误；
对于B，互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称，故B正确；
对于C，令 ，则 ，
所以函数 恒过定点 ，故C正确；
对于D，函数 的单调减区间为 ，
当 时， ，当 时， ，故D错误.
故选：BC.
4．（2023·吉林长春·模拟预测）（多选）已知幂函数 图像经过点 ，则下列命题正确的有（ ）
A．函数 为增函数 B．函数 为偶函数
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BD
【解析】将点 代入函数 得： ，则 .
所以 ，显然 在定义域 上为减函数，所以A错误；
，所以 为偶函数，所以B正确；
当 时， ，即 ，所以C错误；当若 时，
假设 ，整理得
，化简得， ，
即证明 成立，
利用基本不等式， ，因为 ，故等号不成立，
成立；
即 成立，所以D正确.
故选：BD.
考点四 幂函数性质的应用
【例4-1】（2024江苏苏州·阶段练习）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵指数函数 在 上单调递增，且 ，∴ ，即 .
∵幂函数 在 上单调递增，且 ，∴ ，即 ，∴ .故选：A.
【例4-2】（2024江西新余）若幂函数 图象过点 ，且 ，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】把 代入 可得： ，易得： ，则 ，
显然函数 的定义域为R，由 知 为偶函数.
且 ，由 ，
因 故 ，即 ，故函数 在 上为增函数.
由 ，将两边平方整理可得： ，
解得： 或 .
故选：C.
【一隅三反】
1．（2023·河北）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于幂函数 在 上单调递增，又 ， ， ，
，所以 ，则 .故选：D.
2．（2024宁夏吴忠）已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因 为开口向下的二次函数，对称轴为 ，故函数在 上单调递减；
为开口向上的二次函数，对称轴为 ，故函数在 上单调递减，且 ，因此函数在R上单调递减，则 ，即 ，
解得 或 ，所以实数 的取值范围是 。故选：D
3．（2024·湖南常德）（多选）下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】函数 ，在 上单调递增，∴ ，故A错误；
函数 ，在 上单调递减， ，函数 ，在 上单调递增， ，
，故B正确；
函数 单调递减， ，故C正确；
，故D错误，
故选：BC．
考点五 一元二次函数的单调性
【例5-1】（2024浙江）设函数 在区间 上是减函数，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数 的对称轴方程为： ，
因为函数 在区间 上是减函数，所以 ，解得 ，故选：B
【例5-2】（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）若函数 在区间 上单调递增，
则 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】设函数 ，
则函数 是由二次函数 与指数函数 复合而成的.
当 时，由于函数 单调递减，
而二次函数 的图象开口向上，在区间 上不可能单调递减，
则函数 在区间 上不可能单调递增，故不满足题意；
当 时，函数 单调递增，要使函数 在区间 上单调递增，
则二次函数 在区间 上单调递增，又其对称轴为 ，故 ，
所以 .故选：C.
【例5-3】（2024·全国·模拟预测）若函数 在 上单调，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令 ，
则 或 或 或
解得 或 ，
即实数m得取值范围为 .
故选：C．【一隅三反】
1．（2024·陕西宝鸡·二模）已知 ，则函数 在 上是增函数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题设 对称轴为 ，而 ，函数开口向上，
所以 的增区间为 ，故在 上是增函数有 ，
综上， 对应可行域如下阴影部分：
所以阴影部分面积为 ，而 的面积为1，故在 上是增函数的概率为 .
故选：D
2．（2023·河南开封·模拟预测）已知函数 满足对任意的实数 ，且 ，
都有 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【解析】因为对任意的实数 ，且 ，都有 成立，
所以，对任意的实数 ，且 ， ，即函数 是 上的减函数．
因为 ，
令 ， ，要使 在 上单调递减，
所以， 在 上单调递增．
另一方面，函数 为减函数，
所以， ，解得 ，
所以实数a的取值范围是 ．
故选：D．
3．（2024·河南信阳·模拟预测）（多选）若函数 在 上单调，则实数 的值可以
为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】BD
【解析】①当 ，即 时， ，所以 的对称
轴为 ，则 的图象如下：结合图象可知，要使函数 在 上单调，则 或 ，解得：
或 ，即 或 ；
②当 ，即 或 ，令 ，则 的对称轴为 ，则 的
图象如下：
结合图象可知，要使函数 在 上单调，
则 ，或 ，或 ，或
解得： ，或 ，
综上： 或 ；
故选：BD
考点六 一元二次恒（能）成立
【例6-1】（2023·福建厦门·二模）不等式 （ ）恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时， ，得 ，与题意矛盾，当 时，则 ，解得 ，
综上所述， ，
所以不等式 （ ）恒成立的一个充分不必要条件是A选项.
故选：A.
【例6-2】（2024·甘肃）若关于 的不等式 在区间 内有解，则实数 的取值范围是
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】不等式 在区间 内有解，仅需 即可，
令 ，因为 的对称轴为 ， ， ，
所以由一元二次函数的图像和性质的得 ，
所以 ，
故选：D
【一隅三反】
1．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）若存在实数 ，使得 成立，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】①当 时，不等式化为 ，解得： ，符合题意；
②当 时， 为开口方向向上的二次函数，
只需 ，即 ；
③当 时， 为开口方向向下的二次函数，则必存在实数 ，使得 成立；
综上所述：实数 的取值范围为 .
故选：C.
2．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）“不等式 恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当 时， 恒成立，
当 时，则 ，解得 ，
综上所述，不等式 恒成立时， ，
所以选项中“不等式 恒成立”的一个充分不必要条件是 .
故选：D.
3．（2024河南）设a为实数，若关于x的不等式 在区间 上有实数解，则a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，因为 ，故 在区间 上有实数解，则 ，又 在
上单调递减，在 上单调递增，且 ， ，故 .故
在区间 上有实数解则 .故选：A
考点七 三个一元二次的关系
【例7】（2024黑龙江大庆）（多选）已知关于x的不等式 的解集为 或 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．关于x的不等式 的解集是
C． D．关于x的不等式 的解集为 或
【答案】ABD
【解析】由关于x的不等式 的解集为 或 ，
知 和3是方程 的两个实根，且 ，故A正确；
根据根与系数的关系知： ，
所以 ，
选项B：不等式 化简为 ，解得： ，
即不等式 的解集是 ，故B正确；
选项C：由于 ，故 ，故C不正确；
选项D：不等式 化简为： ，
解得： 或 ，故D正确；
故选：ABD.
【一隅三反】
1．（2024江苏南京·期末）（多选）已知关于 的不等式 的解集是 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．不等式 的解集是 或
【答案】ABD
【解析】由题意可知，1，3是方程 的两个根，且 ， ，A：由以上可知 ，故A正确；
B：当 时，代入方程可得 ，故B正确；
C：因为 ，不等式 的解集是 ，故将 代入不等式左边为 ，故
C错误；
D：原不等式可变为 ，且 ，约分可得 ，解集为 或 ，故D正
确；
故选：ABD
2．（2023山东威海）（多选）已知关于x的不等式 的解集为 ，则下列选项中
正确的是（ ）
A．
B．不等式 的解集是
C．
D．不等式 的解集为
【答案】BD
【解析】不等式 的解集为 ，则 是方程 的根，且 ，
则 ，即 ，A错误；
不等式 化为 ，解得 ，即不等式 的解集是 ，B正确；
，C错误；
不等式 化为 ，即 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 ，D正确.
故选：BD
3．（2024湖南长沙·期末）（多选）已知关于 的不等式 的解集为 ，或 ，则
（ ）
A．
B．不等式 的解集是C．
D．不等式 的解集是 ，或
【答案】AD
【解析】由关于 的不等式 解集为 或 ，
知-3和2是方程 的两个实根，且 ，故A正确；
根据根与系数的关系知： ，
，
选项B：不等式 化简为 ，解得： ，
即不等式 的解集是 ，故B不正确；
选项C：由于 ，故 ，故C不正确；
选项D：不等式 化简为： ，
解得： 或 ，故D正确；
故选：AD.
考点八 解含参一元二次不等式
【例8-1】（2024广东阳江）不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】原不等式可以转化为： ，
当 时，可知 ，对应的方程的两根为1， ，
根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为： .故选：A.
【例8-2】（2024贵州毕节）若关于 的不等式 的解集中恰有2个整数，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，得 ，
当 时，不等式的解集为 ，不符合题意舍去，
当 时，不等式的解集为 ，此时若有2个整数解，则需 ，
当 时，不等式的解集为 ，此时若有2个整数解，则需 ，
综上：实数 的取值范围为 或 ，
故选:A．
【例8-3】（2024吉林白山）解关于x的不等式：
(1) （2） （3） <0
【答案】答案见解析
【解析】（1）不等式 可化为 ，
当 时， ，不等式的解集为 ；
当 时，不等式化为 ，其解集为 ；
当 时，不等式化为 ，
（ⅰ）当 ，即 时，不等式的解集为 ；
（ⅱ）当 ，即 时，不等式的解集为 ；
（ⅲ）当 ，即 时，不等式的解集为 .
（2）不等式 ，
当 时， ，当 时，不等式可化为 ，而 ，解得 ，
当 时，不等式可化为 ，
当 ，即 时， ，
当 ，即 时， 或 ，
当 ，即 时， 或 ，
所以，当 时，原不等式的解集为 ，
当 时，原不等式的解集为 ，
当 时，原不等式的解集为 ，
当 时，原不等式的解集为 .
(3)不等式 ，
①当 时，即 时，不等式的解集为 ，
②当 时，即 或 时，
由 ，解得 或 ，
所以不等式的解集为 ，
综上所述，当 时，不等式的解集为 ；
当 或 时，不等式的解集为 ．
【一隅三反】
1．（2024天津红桥）若关于x的不等式 只有一个整数解，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】 ，即
当 时，则不等式解集为 ，不符合题意；当 时，则不等式解集为 ，不符合题意；
当 时，
若 时，不等式解集为 ，不符合题意；
若 时，不等式解集为 ，故只需满足 ，解得 ；
若 时，不等式解集为 ，不合题意；
综上： .
故答案为：
2．（2024高三·全国·专题练习）解关于实数 的不等式：
(1) ．（2） ．(3)
【答案】答案见解析
【解析】（1）易知方程 的 ，
由 得 ，解得 ，
当 时， 的解集为 ，
当 时， 的解集为 ，
当 时， 的解集为 ．
（2）对方程 ，当 时，即 时,不等式的解集为
当 时，即 或 时,
的根为 ，
不等式的解集为 ；
综上可得， 时,不等式的解集为 ，
或 时，不等式的解集为 .（3）当 时，不等式等价于 ，即 ；
当 时，原不等式化为 ，
当 时，即 时，解得 或 ；
当 时，即 时，原不等式即为 ，解得 ；
当 时，即 时，解得 或 ．
当 时，原不等式化为 ， 解得 ．
综上所述，当 时，不等式的解集为 或 ；
当 时，不等式的解集为R；
当 时，不等式的解集为 或 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
考点九 一元二次根的相关问题
【例9-1】（2024北京·期中）如果关于 的一元二次方程 有两个不同的正数实数根，那么
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为关于 的一元二次方程 有两个不同的正数实数根，
则有 ，故选：A
【例9-2】（2024浙江·阶段练习）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实根 ，且 ．则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令函数 ，依题意， 的两个不等实根 满足 ，
而函数 图象开口向上，因此 ，则 ，解得 ，
所以实数a的取值范围为 .故答案为：
【一隅三反】
1．（2024山西太原·阶段练习）（多选）已知关于 的方程 ，则（ ）.
A．当 时，方程有两个不相等的实数根
B．方程无实数根的一个充分条件是
C．方程有两个不相等的负根的充要条件是
D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是
【答案】BC
【解析】对于A选项：当 时， ，此时 ，
此时方程没有实数根，故A选项错误；
对于B选项：方程无实数根的充要条件是 ，即 ，
所以方程无实数根的一个充分条件是 的子集，显然 符合，故B选项正确；
对于C选项：方程有两个不相等的负根的充要条件是
解得： ，故C选项正确;
对于D选项：方程有一个正根和一个负根的充要条件是
解得： ，故D选项错误;
故选：BC.
故答案为：1（也可取2，3）．
2．（2024江苏连云港·阶段练习）已知方程 的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数
的取值范围 .【答案】
【解析】设 ，
因为方程 的一个实根小于2，另一个实根大于2，
则满足 ，解得 ，即实数 的取值范围为 .
故答案为： .
3．（23-24高三上·四川·阶段练习）若关于 的方程 在区间 上有两个不相等的实数解，
则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令 ，因为方程 在区间 上有两个不相等的实数解，
所以 ，即 ，解得 ，所以 的取值范围是 ．故选：A．
4．（2024山东菏泽·阶段练习）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若关于x的方程 的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是
B．若关于x的不等式 在 上恒成立，则实数k的取值范围是
C．若关于x的不等式 的解集是 ，则关于x的不等式 的解集是 或
D．若 ，则 的最小值为
【答案】ACD【解析】对于A，二次函数 ，开口向上，
若关于x的方程 的一根比1大且另一根比1小，
则 ，解得 ，故A正确；
对于B，若关于x的不等式 在 上恒成立，
则只需 ，即 在 上恒成立即可，
则实数k的取值范围是 ，故B错误；
对于C，若关于x的不等式 的解集是 ，则 ，
所以关于x的不等式 或 ，故C正确；‘
对于D，若 ，则 ，解得 ，等号成立当且仅当 ，
所以 ，等号成立当且仅当 ，故D正确.故选：ACD.
一．单选题
1．（2024江西抚州）若命题“ ”为假命题，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意命题“ ”为真命题，
所以当且仅当 ，
解得 ，即m的取值范围是 .
故选：C.2．（2024·北京西城·一模）已知函数 ，若 存在最小值，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时， ，故当 时， 有最小值为 ；
时， 单调递减，所以 ，
由题意 存在最小值，则 ，解得 ，即 的最大值为 .
故选：A
3．（2024湖南长沙·开学考试）四个数 ， ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 在 上单调递增，故 ；
由于 在 上单调递减，故 ，
由于 在 上单调递减，故 ，
故 ，
故选：D
4．（2024江苏南京·期末）已知幂函数 的图象过点 ，则函数 的单调递增区间为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】设 ，因为 的图象过点 ，
所以 ，解得 ，即 ，
可得 在 上单调递减，
则函数 ，
由 ，解得 或 ，
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 的单调递增区间为 .
故选：A.
5．（2024广东深圳·阶段练习）已知函数 是定义域上的偶函数，在区间 上单调递增，且对任意 、
均有 成立，则下列函数中符合条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于A，因为 的定义域为 ，
又 ，则 是定义域上的偶函数，
当 时， 显然单调递增，
又 ，满足题意，故A正确；
对于B，因为幂函数 是奇函数，而非偶函数，故B错误；
对于C，对于 ，有 ，
而 ，显然两者不相等，故C错误；
对于D，对于 定义域为 ，有 ，，显然两者不相等，故D错误；
故选：A.
6．（2024辽宁沈阳）已知关于x的方程 有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（ ）
A．-2 B． C． D．1
【答案】B
【解析】由题意可得 ，解得 或 ，
设两个为 ， ，由两根为正根可得 ，解得 ，综上知， .
故两个根的倒数和为 ，
， ， ，故 ， ，故两个根的倒数和的最小值是 .故选：B
7．（2024湖北黄冈·期中）设集合 或 ，集合 ，若 中恰有
两个整数，则实数 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题知，方程 的两根异号，且两根之积为 .
设 ， ，
①若 中恰有两个整数为 ， ，则 ，解得 ；
②若 中恰有两个整数为 ， ，
则 且 ， ；
③若 中有两个整数为 ， ，则 且 ， ；综上可得 故选：B
8．（2024四川成都·期中）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用
到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹.布劳威尔
（L.E.J.Brouwer）.简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数 ，存在实数 ，使得 ，我们就
称该函数为“不动点”函数，实数 为该函数的不动点.已知函数 在区间 上恰有
两个不同的不动点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数 在区间 上恰有两个不同的不动点，
即 在区间 上恰有两个解，
即 在区间 上恰有两个零点，
所以 或者 ，
解得： 或 ，
故选：C
二．多选题
9．（2024辽宁抚顺）（多选）已知幂函数 的图像经过点 ，则下列命题正确的有（ ）
A．函数 为增函数
B．函数 为偶函数C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】BCD
【解析】设幂函数 ，函数 的图像经过点 ，则 ， ，
， ，所以 ，即 ；
由 ，所以函数 为偶函数，所以B正确；
分析函数解析式可知： 时，随着 的增大， 也增大， 也增大，
所以 时， 单调递增；
又 为偶函数，所以 时， 单调递减，所以A错误；
时， 单调递增，又 ，所以 时， ，C正确；
大致画出函数图像如下，
为点 与点 两点中点的纵坐标，
为 时的函数值，
观察图象可知选项D正确.
故选：BCD
10．（2024·山东潍坊）已知函数 （ 且 ）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析
式对应正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由图可得 ，即 ，
单调递减过点 ，故A正确；
为偶函数，在 上单调递减，在 上单调递增，故B正确；
为偶函数，结合指数函数图象可知C错误；
，根据““上不动、下翻上”可知D正确；
故选：ABD.
11．（2023福建·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ，且 ，则 的最小值为1
B．若 ， ，且 ，则 的最小值为1
C．若关于 的不等式 的解集为 ，则
D．关于 的不等式 的解集为
【答案】AC
【解析】对于A，因为 ，当且仅当 时，等号成立，故A正确；
对于B，因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，所以 的最大值为1，故B错
误；对于C，因为 的解集为 ，所以 ，故C正确；
对于D，因为 ，
所以，当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 ，
故D错误.
故选：AC
三．填空题
12．（2024北京·期中）下列命题：
①定义在 上的奇函数 必满足 ；
② 既不是奇函数又不是偶函数；
③偶函数的图象一定与 轴相交；
④函数 在 上是减函数.其中真命题有 ．
（把你认为正确的命题的序号都填在横线上）.
【答案】①
【解析】对于① ，因 是定义在 上的奇函数，则 ，则 ，故①是真命题；
对于② ，由 化简得 ，显然有 ，即 是偶函数，故②
是假命题；
对于③ ，偶函数的定义域应该关于原点对称，但是 是不一定有定义，则其图象不一定与 轴相交，故③
是假命题；
对于④ ，因函数 的定义域是 ，若取 ，则 ，由
可知④为假命题.
故答案为：① .
13．（2024福建）已知函数 的值域为 ，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】当 时，若 ，可得 ；
若 ， ，函数 的值域不可能为 ；
②当 时， ，
所以函数 在 ， 上单调递增，
若函数 的值域为 ，只需 ，可得 ．
由上知，实数a的取值范围为 ．
故答案为：
14．（2024江苏苏州·阶段练习）若命题“ ”为假命题，则实数m的取值范围是
．
【答案】
【解析】命题“ ”的否定为：“ ”
命题“ ”为假命题等价于命题“ ”为真命题；
当 时， ，成立；
当 时，结合一元二次函数的图象可得： ，解得 ，
综上，实数m的取值范围是 .
故答案为： .
四．解答题15．（2024安徽芜湖·阶段练习）已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ．
(1)求 和 的值；
(2)求不等式 的解集．
【答案】(1) ，
(2)答案见解析
【解析】（1）由题意知 和 是方程 的两个根且 ，
由根与系数的关系得 ，解得 ；
（2）由 、 ，不等式可化为 ，
即 ，则该不等式对应方程的实数根为 和 ．
当 时， ，解得 ，即不等式的解集为 ，
当 时， ，不等式的解集为空集，
当 时， ，解得 ，即不等式的解集为 ，
综上：当 时，解集为 ，
当 时，解集为空集，
当 时，解集为 ．
16．（2024高三·全国·专题练习）已知二次函数 （ ， 为实数）
(1)若函数图象过点 ，对 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)若函数图象过点 ，对 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）依题意， ，即 ，由 ， 恒成立，得 ，
即 ，整理得 ，
解得 .
所以实数 的取值范围是 .
（2）由（1）知， ，
由 ，得 ，即 ，
依题意， 对 恒成立，
令 ，
则对 ， 恒成立，于是 ，
解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
17．（2024陕西咸阳）已知函数 .
(1)当 时，求 的解集；
(2)是否存在实数 ，使得不等式 对满足 的所有 恒成立？若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【解析】（1） 时，函数 ，不等式 即为 ，
即 ，
解得 ，
∴不等式 的解集为 .
（2）设 ， ，
根据题意知， 在 上恒成立，
①当 时，解得 ，
若 ，则 在 上单调递增，
则 ，不符合题意；
若 ，则 在 上单调递减，
则 ，不符合题意；
②当 ，即 时， 的图像为开口向下的抛物线，
要使 在 上恒成立，需 ，
即 ，解得 或 ，
又∵ ，∴此时无解；
③当 ，即 或 时， 的图像为开口向上的抛物线，其对称轴方程为 ，
（i）当 ，即 时， 在 上单调递增，
∴ ，解得 或 ，
∵ ， ，∴此时无解；（ii）当 ，即 或 时， 在 上单调递减，在 上单调
递增，
∴ ，此时无解；
（iii）当 ，即 时， 在 上单调递减，
∴ ，解得 或 ，
∵ ， ，∴此时无解；
综上，不存在符合题意的实数 .
18．（2024浙江台州）已知函数 ， ，
(1)当 时，解不等式 ；
(2)若任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围；
(3)若 ， ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）当 时， ，
所以 ，所以 ，所以 的解集为 .
（2）若对任意 ，都有 成立，即 在 恒成立，
解法一：设 ， ，对称轴 ，由题意，只须 ，
①当 ，即 时， 在 上单调递增，所以 ，符合题意，所以 ；②当 ，即 时， 在 上单调递城，在 单调递增，
所以 ，解得 且 ，
所以 .
综上， .
解法二：不等式可化为 ，即 ，设 ， ，
由题意，只须 ， ，
当且仅当 即 时等号成立，则 ，
所以 ，即 .
（3）若对任意 ，存在 ，使得不等式 成立，
即只需满足 ， ，
，对称轴 ， 在 递减，在 递增，
， ， ，对称轴 ，
① 即 时， 在 递增， 恒成立；
② 即 时， 在 递减，在 递增，
， ，所以 ，故 ；
③ 即 时， 在 递减， ， ，
所以 ，解得 ，综上： .19．（2024·云南昆明·模拟预测）我们把 （其中 ， ）称为一元n次多
项式方程．代数基本定理：任何复系数一元 次多项式方程（即 ， ， ，…， 为实数）在复数
集内至少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元 次多项式方程在复数集内有且仅有n个复数根
（重根按重数计算）．那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元 次多项式在复数集内一定可
以分解因式，转化为n个一元一次多项式的积．即 ，
其中k， ， ， ， ，……， 为方程 的根．进一
步可以推出：在实系数范围内（即 ， ， ，…， 为实数），方程 的有实
数根，则多项式 必可分解因式．例如：观察可知， 是方程 的一个根，
则 一定是多项式 的一个因式，即 ，由待定系数法可知， ．
(1)解方程： ；
(2)设 ，其中 ， ， ， ，且 ．
（i）分解因式： ；
（ii）记点 是 的图象与直线 在第一象限内离原点最近的交点．求证：当
时， ．
【答案】(1) ， ，
(2)（i） ；（ii）证明见解析
【解析】（1）观察可知： 是方程 的一个根；所以 ，
由待定系数法可知， ，解得 ， ， ；
所以 ，即 或 ，
则方程的根为 ， ， ．
（2）（i）由 可知， 是方程 的一个根；
所以 ，
即 ，
对照系数得 ， ， ， ，
故 ， ， ；
所以
．
（ii）令 ，即 ，
点 是 的图象与直线 在第一象限内离原点最近的交点，
等价于 是方程 的最小正实根；
由（i）知： 是方程 的一个正实根，
且 ，
设 ，由 ， ， ， 可知 为开口向上的二次函数；
又因为 ，则 一定有一正一负两个实根，设正实根为t；
又 ，可得 ，所以 ；
当 时， ，
由二次函数单调性可知 ，即 是方程 的最小正实根．
