文档内容
难点与新考法 06 关于二次函数系数、几何变换、最值等问题
（6 大热考题型）
题型一：关于二次函数系数a、b、c的结论判断问题
题型二：二次函数与一元二次方程关系
题型三：二次函数图像的平移
题型四：二次函数图像的对称
题型五：确定自变量取值范围内的二次函数最值
题型六：已知自变量的取值范围和最值,求参数
题型一：关于二次函数系数 a、b、c 的结论判断问题
一、二次函数与a、b、c的关系
关系 符号 图象特征
a决定抛物 a>0 开口向上 |a|越大，抛物线的开口小．
线的开口方
向
a<0 开口向下
a、b共同决 b=0 对称轴是y轴
定抛物线对
称轴的位置 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异
ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧
c决定了抛 c=0 抛物线经过原点
物线与y轴
交点的位
c>0 抛物线与y轴交于正半轴
置．
c<0 抛物线与y轴交于负半轴
由b²-4ac 确 b²-4ac>0 抛物线与x轴有两个交点
定抛物线与x
b²-4ac=0 抛物线与x轴有一个交点
轴交点的个
数
b²-4ac＜0 抛物线与x轴没有交点
二、引入其他参数的相关结论判断1.引人的参数为点坐标,常常考虑结合坐标轴求解;
2.引入的参数是与系数a,b,c结合的不等式,常常将该参数视为抛物线上点的横坐标,结合最值求解;
3.引人的参数在一元二次方程中,常常把该方程看成抛物线与直线的交点问题,根据交点个数求解
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·四川·中考真题）二次函数 的图象如图所示，给出下列结论：①
；② ；③当 时， ．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【变式1-1】（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数 的图象与 轴交于点
，与 轴交于点 ，对称轴为直线 ，下列四个结论：① ；② ；③ ；
④若 ，则 ，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
【变式1-2】难点判断需变形的关于a、b、c的关系式
（2024·山东泰安·中考真题）如图所示是二次函数 的部分图象，该函数图象的对称轴
是直线 ，图象与 轴交点的纵坐标是2，则下列结论：① ；②方程 一定有一个根在 和 之间；③方程 一定有两个不相等的实数根；④ ．其中，正确结论的
个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-3】难点引入其他参数的相关结论判断
（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线 ，
则下列结论中：
① ② （m为任意实数） ③
④若 、 是抛物线上不同的两个点，则 ．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【中考模拟即学即练】
1．（2024·山东东营·中考真题）已知抛物线 的图像如图所示，则下列结论正确的是
（ ）A． B．
C． D． ( 为任意实数)
2．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线 的对称轴是直线 ，与x轴交于A，B两
点，且 ．给出下列4个结论：① ；② ；③ ；④若m为任意实数，则
．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024·湖北·模拟预测）如图，已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点 ，对称轴为直
线x=2．则下列结论正确的有（ ）
① ；② ；③方程 的两个根为 ；④抛物线上有两点P(x ,y )
1 1
和Q(x ,y )，若 且 ，则
2 2
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个4．（2024·广东·模拟预测）如图所示是抛物线 的部分图象，其顶点坐标为 ，且与
x轴的一个交点在点 和 之间，则下列结论：①该抛物线与x轴的另一个交点在点 和
之间；② ；③ ；④关于x的一元二次方程 有实数根．其中正确的
结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
5．（2024·四川广安·中考真题）如图，二次函数 （ ， ， 为常数， ）的图象与 轴
交于点 ，对称轴是直线 ，有以下结论：① ；②若点 和点 都在抛物线
上，则 ；③ （ 为任意实数）；④ ．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线 的图象交x轴于点 、 ，
交y轴于点C．以下结论：① ；② ；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时， ；④当 时，在 内有一动点P，若 ，则 的最小值为 ．其中
正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线 过点 与x轴交点的横坐标分别为
， ，且 ， ，则下列结论：
① ；
②方程 有两个不相等的实数根；
③ ；
④ ；
⑤ ．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线 与x轴交于点 和B，与y轴的正半轴
交于点C．下列结论： ； ； ； ，其中正确结论是．
9．（2024·湖北·模拟预测）抛物线 ，对称轴为 ．下列说法：①一元二次方程
有两个不相等的实数根；②对任意的实数m，不等式 恒成立；③抛物
线 经过点 ；④若 ，且 ，则 ．正确的有
（填序号）．
10．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线 的顶点 的坐标为 ，与 轴的一个交
点位于0和1之间，则以下结论：① ；② ；③若抛物线经过点 ，则 ；
④若关于 的一元二次方程 无实数根，则 ．其中正确结论是 （请填写序号）．
题型二：二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的解就是二次函数y=ax2＋bx＋c=0图象与 x 轴交点的横坐标.
b2-4ac与 0的关系 二次函数与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0根的情况
b2-4ac>0 2个交点 有两个不相等的实数根
b2-4ac=0 1个交点 有一个不相等的实数根
b2-4ac<0 0个交点 没有实数根
【中考母题学方法】
【典例2】（2024·四川达州·中考真题）抛物线 与 轴交于两点，其中一个交点的横坐标大
于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线 与 轴交于两点 ， （ 在 的
左侧），抛物线 与 轴交于两点 ， （ 在 的左侧），且 ．下列四
个结论： 与 交点为 ； ； ； ， 两点关于 对称．其中正确的
结论是 ．（填写序号）
【变式2-2】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数 的图像与 轴交于 ，
两点．
(1)求 的值；
(2)若点 在该二次函数的图像上，且 的面积为 ，求点 的坐标．【变式2-3】难点二次函数图象与 y=m 的交点问题
（2024·吉林·中考真题）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）
所示，输入x的值为 时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输
出y的值为6．
(1)直接写出k，a，b的值．
(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图像，如图（2）．
Ⅰ．当y随x的增大而增大时，求x的取值范围．
Ⅱ．若关于x的方程 （t为实数），在 时无解，求t的取值范围．
Ⅲ．若在函数图像上有点P，Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m，Q的横坐标为 ．小明对P，Q
之间（含P，Q两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接
写出m的取值范围．【中考模拟即学即练】
1．（2024·湖北·中考真题）抛物线 的顶点为 ，抛物线与 轴的交点位于 轴上方．
以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西大同·模拟预测）已知 ，若关于x的方程 的解为 ，关
于x的方程 的解为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·浙江宁波·二模）已知二次函数 是常数且 的图象与x轴的交点坐标是
，当 时， ，当 时， ，则（ ）
A． 至少有一个大于 B． 都小于
C． 至少有一个小于 D． 都大于
4．（2024·贵州·模拟预测）已知抛物线 的图象上有三点 ， ， ，
其中 ，则下列说法错误的是（ ）
A．方程 有3个根，则
B．
C．关于 的一元二次方程 的两根为 ， ，且 ，则D．抛物线的顶点坐标为
5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·三模）如图，已知坐标平面上有一顶点为A的抛物线，A点坐标为 ，若
此抛物线又与直线 交于 两点，且 为正三角形，则可求得此抛物线与 轴的交点坐标为
．
6．（2024·福建厦门·二模）已知抛物线 的顶点为点 ，与 轴分别交于点 ，
（点 在点 左侧），抛物线 与抛物线 关于 轴对称，顶点为点 ，若四边形 为正方形，则
的值为 ．
7．（2024·浙江宁波·二模）二次函数 与坐标轴的交点个数为 个．
8．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线 （ 为常数，且 ）经过点
，有如下结论：①抛物线对称轴为 ；② ；③若 两点在抛物线
上，且 ，则方程 有一根满足 ；④过点 与抛物线有且只有一个公
共点的直线有两条．其中正确的结论有 （填正确结论的序号）．
9．（2024·湖南·模拟预测）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，与x轴有交点的函数称为“零点函数”，
交点的横坐标称为“零点”，例如：函数 与x轴的交点坐标是 ，所以函数 是“零点函
数”，1是该函数的“零点”．
(1)请完成以下两个小题：
①下列函数中，是“零点函数”的为（ ）
A． B． C．②请写出下列函数的“零点”：一次函数 的“零点”是 ，二次函数 的“零点”是 ；
(2)已知二次函 是“零点函数”（a，b，c是常数， ）．
①若 ，函数的“零点”是 ，且函数与x轴的两个交点之间的距离为8，与y轴的
交点在正半轴上，请求出这个函数的解析式；
②若一次函数 与二次函数 相交于点 和 ，“零点函数”
满足下列条件：① ，② ，试确定线段 长度的
取值范围．
10．（2024·浙江宁波·二模）已知抛物线 ，点 和点 是该抛
物线与 轴的交点．
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)若 ，现将抛物线在 轴下方的部分沿 轴向上翻折，若直线 与新得到的函数图象至少
有三个交点，求 的取值范围．
题型三：二次函数图像的平移
方法一:(1)将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)²+k,其顶点坐标为(h,k);
(2) 保持抛物线y=ax²的形状不变,将其顶点平移到(h,k)处,
方法二:
(1)将抛物线y=ax²+bx+c沿y轴向上(或向下)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=ax²+bx+c+m(或y=ax²+bx+c-
m);
(2)将抛物线y=ax²+bx+c沿x轴向左(或向右)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=a(x+m)²+b(x+m)+c(或y=a(x-
m)²+b(x-m)+c)具体平移方法如下:
平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀
向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加
向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减
向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加
向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减
【中考母题学方法】
【典例3】（2024·山东济宁·中考真题）将抛物线 向下平移k个单位长度．若平移后得到的
抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ．
【变式3-1】（2024·福建泉州·模拟预测）二次函数 的图象与 轴交于点 （ 在 的左
侧），将该函数图象向右平移 个单位后与 轴交于点 （ 在 的左侧），平移前后的函数图
象相交于点 ，若 ，则 的值为 ．
【变式3-2】（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴
交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；(2)当 时，求 的函数值的取值范围；
(3)将拋物线的顶点向下平移 个单位长度得到点 ，点 为抛物线的对称轴上一动点，求 的
最小值．
【变式3-3】难点将抛物线沿斜直线平移转化为2次沿坐标轴平移
（2024·四川泸州·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与坐标轴相交于 、
、 三点，其中 点坐标为 ， 点坐标为 ，连接 、 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将 沿 轴水平向右平移，平移过程中当 点再次落在抛物线上的位置记作 ，求 的坐标和
的值；
(3)动点 从点 出发，在线段 上以每秒 个单位长度向点 做匀速运动；同时，动点 从点 出发，
在线段 上以每秒 个单位长度向点 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接
，设运动时间为 秒．在 、 运动的过程中，当 为何值时，四边形 的面积最小，最小值为多
少？【中考模拟即学即练】
1．（2024·四川眉山·二模）若将抛物线 先沿 轴方向向右平移1个单位，再沿 方向向下平移
2个单位，得到一条新抛物线，则新抛物线的解析式变为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·云南曲靖·一模）将抛物线 平移得到 ，下列平移方法正确的是（ ）
A．先向左平移3个单位，再向下平移1个单位
B．先向右平移3个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位
3．（2024·广东惠州·模拟预测）函数 的图形向右平移3个单位向上平移1个单位长度后的
解析式为 ．
4.（2024·贵州贵阳·一模）二次函数 的图象经过平移，其顶点恰好为坐标原点，则平移的最
短距离为 ．
5．（2024·湖南·三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 (a，b，c为常数，且 )与x
轴交于 ，B两点，与y轴交于点C(0,−3)，且抛物线的对称轴为直线 ．(1)求该抛物线的解析式；
(2)在直线 下方的抛物线上有一点P，过点P作 轴，垂足为M，交直线 于点N．若 的
面积为 ，试求出点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线 的方向平移 个单位长度，得到新的抛物线 ，如图2，点E
为新抛物线 上一点，点F为原抛物线对称轴上一点，是否存在以点B，P，E，F为顶点的四边形是平行
四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2024·重庆·一模）在平面直角坐标系中，抛物线 （a，b是常数， ），与x轴交于
点 和点 ，与y轴交于点C．(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，连接 ，点P为直线 上方抛物线上的一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为E，交直线
于点F，过点P作 ，垂足为D．求 周长的最大值以及此时点P的坐标；
(3)将抛物线 （a，b是常数， ），沿射线 方向平移 个单位长度得到新抛物线 ，
点Q是新抛物线上一点，连接 ，当 时，请求出点Q的坐标．
7．（2024·重庆·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于A(−4,0)， 两点，与 轴交于点 ，连接 ， ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点 是直线 下方抛物线上一动点，过点 作 交 于点 ，求 最大值及此时点
的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线 方向平移 个单位长度得新到抛物线 ，新抛物线 与直线 交于点
， （ 在 的左侧）， 是新抛物线 上一动点，当 时，写出所有符合条
件的点 的坐标，并写出求解点 的坐标的其中一种情况的过程．
8．（2024·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与直线相交于 ， 两点，其中点 ，
．
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)过点 作 轴交抛物线于点 ，连接 ，在抛物线上是否存在点 使 ．
若存在，请求出满足条件的所有点 的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解
答）
(3)将该抛物线向左平移 个单位长度得到 ，平移后的抛物线与原抛物线相交于点
，点 为原抛物线对称轴上的一点， 是平面直角坐标系内的一点，当以点 、 、 、 为顶点的四
边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．9．（2024·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，
， 两点，交 轴于点 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点 是直线 上方抛物线上的一动点，连接 ，过点 作 交 于点 ，求线段 长的最
大值及此时 的坐标；
(3)在（ ）中线段 长取得最大值的条件下，过 点作 的平行线，交 轴于点 ，将该抛物线向左平
移 个单位长度，再向上平移 个单位得到抛物线 ，点 为 上的一动点，过 点作 轴的平行线，
交直线 于点 ，连接 ，将线段 沿直线 翻折得到线段 ，当点 在 轴上时，请写出所有
符合条件的点 的坐标，并写出求解点 坐标的其中一种情况的过程．10．（2024·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ，
B(4,0)两点（点A在点 的左侧），与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接 ，点 直线 上方抛物线上（不与 重合）的一动点，过点 作 交 轴于点 ，
轴交直线 于点 ，求 的最大值及此时点 的坐标；
(3)将原抛物线沿射线 方向平移 个单位得到新抛物 ，点 为新抛物上 轴左侧的一动点，过点
作 轴，过点 作 轴，直线 与直线 相交于点 ，连接 ，将 沿直线 翻折，
若点 的对应点 恰好落在坐标轴上，请直接写出点 的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程；
若不存在，请说明理由．11．（2024·重庆南岸·模拟预测）如图，抛物线 与 轴交于点 两点（点 在
点 的左侧），与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接 ，点 是直线 上方的抛物线上一动点，连接 ，求四边形 面积的最大值及此时
点 的坐标；
(3)将抛物线 沿射线 方向平移 个单位得到新抛物线 ，点 为新抛物线上 轴左侧的
一动点，过点 作 轴，过点 作 轴，直线 与直线 相交于点 ，连接 ，将
沿直线 翻折，若点 的对应点 恰好落在坐标轴上，请直接写出点 的坐标，并选择一个点写出求
解过程；若不存在，请说明理由．12．（2024·重庆·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与直线 交于点 ，
B(0,3)．直线 经过点 ．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点 是直线 上方抛物线上的一动点，过点 作 于点 ，作 于点 ，求
的最大值及此时点 的坐标；
(3)将抛物线沿射线 方向平移 个单位长度得到新抛物线 ，点 为平移后的抛物线 与 轴负半轴
的交点，将点 向下平移一个单位得到点 ，在直线 上确定一点 ，使得 ，请直接写
出所有符合条件的点 的坐标．13．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x轴交
于A， 两点，与y轴交于点C，如图所示．点D为抛物线的顶点，点 是抛物线上的一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线 上方抛物线上一动点，过点P分别作 交x轴于点M， 轴交直线 于点
N．求 的最大值及此时点P的坐标；
(3)将抛物线沿 方向平移 个单位长度得到新抛物线，点 是新抛物线的顶点，点F是点E平移后的
对应点，点G是新抛物线上一动点，连接 ．当 时，请直接写出所有符合条件的点
G的坐标．14．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两
点，交 轴于点 ，抛物线的对称轴是直线 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点 是直线 下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点 作 轴交抛物线于点 ，作 于点
，求 的最大值及此时点 的坐标；
(3)将抛物线沿射线 方向平移 个单位，在 取得最大值的条件下，点 为点 平移后的对
应点，连接 交 轴于点 ，点 为平移后的抛物线上一点，若 ，请直接写出所有
符合条件的点 的坐标．15．（2024·重庆开州·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A(−2,0)，
B(4,0)两点，与y轴交于点C，连接 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1：P是直线 上方抛物线上一动点，连接 ，求四边形 面积的最大值以及此时点P
的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线 的方向平移 个单位长度得到新抛物线 ，Q为新抛物线 上一动点，
作直线 交 所在的直线于点D，是否存在点Q满足条件 ，若存在，请写出所
有符合条件的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．题型四：二次函数图像的对称
b
1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=− 的差的绝对值相等；
2a
b
2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=− 对称；
2a
3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的
图象于x轴对称.
【中考母题学方法】
【典例4】（2024·陕西西安·模拟预测）已知二次函数 （ 为常数，且 ）的图象
经过 ， ， ， 四点，且点B在点A的右侧，则d的值不可能是
（ ）
A． B． C．2 D．4
【变式4-1】（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知抛物线 经过 和 两点，
则 值为 ．
【变式4-2】根据局部对称后求交点个数
（2024·湖南常德·一模）将抛物线 中 轴上方的部分沿 轴翻折到 轴下方，图像的其余部分
不变，得到的新图像与直线 有 个交点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】根据对称特征确定参数值
（2024·吉林·二模）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点A和 (点A在点
B的左侧)，与y轴相交于点(1)求此抛物线的解析式．
(2)点 D为抛物线的顶点，点P在抛物线的对称轴上(不与点D 重合)，将线段 绕点P 顺时针旋转 ，
点 D 恰好落在抛物线上的点Q处．
①点 D的坐标为 ．
②求点 Q的坐标．
(3)如图②，将图①中抛物线在x轴下方部分图象沿x轴折叠到x轴上方，与原抛物线在x轴上方的图象组
成新的图象．
①当 时，图象所对应的解析式为 ．
②再将新图象沿x轴向左平移m个单位长度，若平移后的图象在 范围内，y随x的增大而增大，
直接写出m的取值范围．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）我们定义一种新函数：形如 的函数叫做
“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数 的图象如图所示，下列结论正确的是
（ ）我
A．当 时，函数的最大值是4
B．函数值 随 的增大而增大，则
C．关于 的方程 的所有实数根的和为4
D．当直线 与该图象恰有三个公共点时，则
2.（2024·黑龙江大庆·模拟预测）平面直角坐标系中，已知抛物线 （a是常数，且a＜
0），直线 过点 且垂直于y轴．当 时，沿直线 将该抛物线在直线上方的部分
翻折，其余部分不变，得到新图象G，图象G对应的函数记为 ，且当 时，函数 的最大值与
最小值之差小于7，则n的取值范围为 ．
3．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数 ，点 均在该
二次函数的图象上，且 ，则k的取值范围为 ．
4．（2024·四川达州·二模）如图，将抛物线 在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，
得到一新函数图象．若一次函数 的图象与新函数图象有4个公共点，则m的取值范围是
．5．（2025·上海奉贤·一模）二次函数 的图象经过点
，其中m、n为常数，那么 的值为 ．
范围内的二次函数最值
自变量取值范围 图象 最大值 最小值
无 b
y 当x=− 时，二次函数
2a
x 4ac−b2
a>0 取得最小值
O 4a
全体实数
b 无
y 当 x=− 时，二次函
2a
4ac−b2
a<0 数取得最大值
x 4a
O
当x=x2时，二次函数取 b
y 当x=− 时，二次函数
得最大值y2 2a
y
2
4ac−b2
x 取得最小值
4a
x O x
1 2y
当x=x1时，二次函数取
当x=−
b
时，二次函数
得最大值y1 2a
y
1 4ac−b2
x 取得最小值
x x 4a
x1≤x≤x2 a>0 1
y
2
2
当x=x2时，二次函数取 当x=x1时，二次函数取
y
得最大值y2 得最小值y1
x
1 x
O x
2
y
2
y
1
【中考母题学方法】
【典例5】（2024·四川内江·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙
粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，
该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒．
(1)求这两种粽子的进价；
(2)设猪肉粽每盒售价 元 ， 表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求 关于 的函数
表达式并求出 的最大值．
【变式5-1】（2024·四川眉山·二模）若函数 ；当 时，此时该函数的最小值
是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】难点求已知对称轴和自变量取值范围的含参二次函数最值
（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知二次函数 的图象过 三点(1)求函数的解析式；
(2)问是否存在m，n( )，使函数在 范围内的最小值是 ，最大值是 ？若存在，求出m，
n；若不存在，说明理由．
【变式5-3】难点通过含参二次函数中参数的取值范围确定最值范围
（2023·江苏·中考真题）已知二次函数 （ 为常数）．
(1)该函数图像与 轴交于 两点，若点 坐标为 ，
①则 的值是_________，点 的坐标是_________；
②当 时，借助图像，求自变量 的取值范围；
(2)对于一切实数 ，若函数值 总成立，求 的取值范围（用含 的式子表示）；
(3)当 时（其中 为实数， ），自变量 的取值范围是 ，求 和 的值以及 的取
值范围．
【中考模拟即学即练】
1.（2024·安徽蚌埠·模拟预测）函数 的最小值是
2．（2024·湖北·模拟预测）近年来，湖北省某地致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”“高端民宿”
为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，
当每个房间每天的定价为500元时，所有房间全部住满；当每个房间每天的定价每增加50元时，就会有一个房间无人入住，如果有游客居住房间，民宿每天需要对每个房间各支出100元的其他费用．设每个房间
每天的定价增加x个50元（ ，且x为整数），该民宿每天游客居住的房间数量为y间，所获利润
为W元．为吸引游客，该地物价部门要求民宿尽最大可能让利游客．
(1)分别求出y与x，W与x之间的函数关系式；
(2)当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到9600元；
(3)求当每个房间的定价为多少元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？
3．（2024·山西·二模）如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y
轴交于点C，连接 ．
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段 所在直线的函数表达式；
(2)点P是线段 上方抛物线上的一个动点，过点P作 轴于点M，交 于点N求线段 长的最
大值．
4．（2024·山东·模拟预测）某服装店购进一批衬衣，成本价每件 元，若售价为 元，则每月能售出
件．经调查发现，售价每增长一元，则销量将减少 件．
(1)求出月销售利润 （元）与售价 （元/件）之间的函数关系式．
(2)试问：当每件衬衣售价为多少元时，服装店所获月利润最大，并求最大利润为多少？5．（2024·新疆克孜勒苏·一模）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点，
且 ．
(1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
(2)判断 的形状，并证明你的结论；
(3)在该抛物线位于第四象限内的部分上是否存在点 ，使得 的面积最大？若存在，求出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
题型六 ：已知自变量的取值范围和最值,求参数
分类讨论对称轴位置
抛物线对称轴已知,自变量的取值范围含参,分类讨论取值范围在对称轴的哪一侧,分别确定最大值和最小值:
抛物线对称轴含参数,自变量的取值范围已知,分类讨论对称轴与自变量取值范围端点的位置关系结合最值
求解.【中考母题学方法】
【典例6】（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数 ，当 时，函数取得最
大值；当 时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2024·山东德州·中考真题）已知抛物线 ， 为实数．
(1)如果该抛物线经过点 ，求此抛物线的顶点坐标．
(2)如果当 时， 的最大值为4，求 的值．
(3)点 ，点 ，如果该抛物线与线段 （不含端点）恰有一个交点，求 的取值范围．
【变式6-2】（2024·云南昆明·模拟预测）已知二次函数 （b，c是常数）．
(1)写出一组b，c的值，使函数 的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由；
(2)若 ， ，当 ，q（p，q是实数， ）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若 ，
求证： ；
(3)当 时，在自变量x的值满足 的情况下，与其对应的函数值y的最小值为 ，求b的值．
【变式6-3】新考法新定义阅读理解题型
（2024·广东深圳·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点 是函
数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“ ”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵
横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．【举例】已知点 在函数 图象上．点 的“纵横值”为 ；函数
图象上所有点的“纵横值”可以表示为 ，当 时， 的最大值为 ，
所以函数 的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
(1)①点 的“纵横值”为 ；
②求出函数 的“最优纵横值”；
(2)若二次函数 的顶点在直线 上，且最优纵横值为5，求c的值；
(3)若二次函数 ，当 时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·河北·模拟预测）如图，二次函数 的图象与 轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与 轴交于点C，且 ．
(1)求二次函数的解析式．
(2)平移该二次函数的图象，使平移后的二次函数图象的顶点坐标为 ，若当 时函
数的最大值为7，求 的值．
2．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 ，c是常数）经过点
，且对称轴为直线 ，动点P在抛物线上，其横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P到y轴的距离小于3，求点P的纵坐标的取值范围；
(3)若抛物线位于点P右侧（包含点P）部分的函数值最小为 ，求m的值．
3．（2024·安徽六安·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 （b和c是常数）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且 ， ．
(1)求b，c的值；
(2)如图2，点P是直线 下方抛物线上的一点（不与点B，C重合），过点P作 轴于点D， 与
交于点Q．若 ，求点P的坐标；
(3)当二次函数 的自变量x满足 时，此函数的最大值与最小值的差为3，求此时m
的值．
4．（2024·云南·一模）在平面直角坐标系中，如果点 的横坐标和纵坐标相等，则称点 为和谐点，例
如：点 ， ， 都是和谐点．
(1)判断函数 的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
(2)若二次函数 的图象上有且只有一个和谐点 ．当 时，函数
的最小值为 ，最大值为0，求实数 的取值范围．5．（2024·江西宜春·模拟预测）如图，若b是正数，直线 与y轴交于点A；直线 与y轴
交于点B；抛物线 的顶点为C，且L与x轴右交点为D．
(1)若 ，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；
(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；
(3)设 ，点 分别在l，a和L上，且 是 的平均数，求点 与点D
间的距离；
(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出
和 时“美点”的个数．
