文档内容
难点与新考法 06 关于二次函数系数、几何变换、最值等问题
（6 大热考题型）
题型一：关于二次函数系数a、b、c的结论判断问题
题型二：二次函数与一元二次方程关系
题型三：二次函数图像的平移
题型四：二次函数图像的对称
题型五：确定自变量取值范围内的二次函数最值
题型六：已知自变量的取值范围和最值,求参数
题型一：关于二次函数系数 a、b、c 的结论判断问题
一、二次函数与a、b、c的关系
关系 符号 图象特征
a决定抛物 a>0 开口向上 |a|越大，抛物线的开口小．
线的开口方
向
a<0 开口向下
a、b共同决 b=0 对称轴是y轴
定抛物线对
称轴的位置 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异
ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧
c决定了抛 c=0 抛物线经过原点
物线与y轴
交点的位
c>0 抛物线与y轴交于正半轴
置．
c<0 抛物线与y轴交于负半轴
由b²-4ac 确 b²-4ac>0 抛物线与x轴有两个交点
定抛物线与x
b²-4ac=0 抛物线与x轴有一个交点
轴交点的个
数
b²-4ac＜0 抛物线与x轴没有交点
二、引入其他参数的相关结论判断1.引人的参数为点坐标,常常考虑结合坐标轴求解;
2.引入的参数是与系数a,b,c结合的不等式,常常将该参数视为抛物线上点的横坐标,结合最值求解;
3.引人的参数在一元二次方程中,常常把该方程看成抛物线与直线的交点问题,根据交点个数求解
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·四川·中考真题）二次函数 的图象如图所示，给出下列结论：①
；② ；③当 时， ．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的
关键．根据图象与 轴交点 在 轴负半轴，可得 ，故①正确；根据图象可得二次函数的对称轴为
，由于对称轴为 ，可得 ，故②正确；当 时，二次函数图象位于 轴
下方，即当 ，所对应的 ，故③正确．
【详解】解：① 当 时， ，根据图象可知，二次函数 的图象与 轴交点
在 轴负半轴，即 ，故①正确，符合题意；
②根据图象可知，二次函数 的对称轴是直线 ，即 ，故②正确，
符合题意；
③根据图象可知，当 时，图象位于 轴下方，即当 ，所对应的 ，故③正确，符合
题意；
综上所述，①②③结论正确，符合题意．
故选：D．【变式1-1】（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数 的图象与 轴交于点
，与 轴交于点 ，对称轴为直线 ，下列四个结论：① ；② ；③ ；
④若 ，则 ，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可
判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出 ，进一
步得到 ，又根据 得到 ，即可判断④.
【详解】解：① 函数图象开口方向向上，
；
对称轴在 轴右侧，
、 异号，
，
∵抛物线与 轴交点在 轴负半轴，
，
，故①错误；
② 二次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，对称轴为直线 ，
，
，
时， ，，
，
，故②正确；
③ 对称轴为直线 ， ，
最小值，
，
∴ ，
故③正确；
④ ，
∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得 ，
，
，
，
，
，
，
故④正确；
综上所述，正确的有②③④，
故选：C
【变式1-2】难点判断需变形的关于a、b、c的关系式
（2024·山东泰安·中考真题）如图所示是二次函数 的部分图象，该函数图象的对称轴
是直线 ，图象与 轴交点的纵坐标是2，则下列结论：① ；②方程 一定有一个
根在 和 之间；③方程 一定有两个不相等的实数根；④ ．其中，正确结论的
个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查的是图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数
的关系、二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关
键．
根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ,
∴ ，故①正确；
∵抛物线 的对称轴为直线 ，与x轴的一个交点在2、3之间，
∴与x轴的另一个交点在 、0之间，
∴方程 一定有一个根在 和0之间，故②错误；
∵抛物线 与直线 有两个交点，
∴方程 一定有两个不相等的实数根，故③正确；
∵抛物线与x轴的另一个交点在 ，0之间，
∴ ，
∵图象与y轴交点的纵坐标是2，
∴ ，
∴ ，
∴ ．故④错误．
综上，①③正确，共2个．故选：B．
【变式1-3】难点引入其他参数的相关结论判断
（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线 ，
则下列结论中：
① ② （m为任意实数） ③
④若 、 是抛物线上不同的两个点，则 ．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得 ， 即可判
断①， 时，函数值最大，即可判断②，根据 时， ，即可判断③，根据对称性可得
即可判段④，即可求解．
【详解】解：∵二次函数图象开口向下
∴
∵对称轴为直线 ，
∴
∴
∵抛物线与 轴交于正半轴，则
∴ ，故①错误，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线 ,
∴当 时， 取得最大值，最大值为∴ （m为任意实数）
即 ，故②正确；
∵ 时，
即
∵
∴
即
∴ ，故③正确；
∵ 、 是抛物线上不同的两个点，
∴ 关于 对称，
∴ 即 故④不正确
正确的有②③
故选：B
【中考模拟即学即练】
1．（2024·山东东营·中考真题）已知抛物线 的图像如图所示，则下列结论正确的是
（ ）
A． B．
C． D． ( 为任意实数)
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的
关键；
由图象可知： ， ，根据抛物线的与x轴的交点可求对称轴，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断选项A、B、C，由当 时，函数有最大值，可判断选项D．
【详解】解：A、 抛物线开口往下，
，
抛物线与y轴交于正半轴，
抛物线的与x轴的交点是： 和(1,0)
∴对称轴为 ，
，
，
，故选项A错误．
∵ ，
∴ ，故选项B错误（否则可得 ，不合题意）．
， ，
∴ ，故选项C错误．
抛物线的对称轴为直线 ，且开口向下，
当 时，函数值最大为 ，
当 时， ，
，
，故选项D正确．
故选：D．
2．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线 的对称轴是直线 ，与x轴交于A，B两
点，且 ．给出下列4个结论：① ；② ；③ ；④若m为任意实数，则
．其中正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，
由图象可知 ，则可判断①符合题意；由抛物线的对称轴为直线 ， ，可得
， ，得到点 ，点 ，当 时， ，即 ，可判断②符合题意；
由抛物线的对称轴为直线 ，即 ，得到 ，进一步得到 ，可得 ，即可
判断③符合题意；当 时，函数有最大值 ，由 ，可得 ，
则可判断④不符合题意，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：观察图象，可知 ，
∴ ，故①符合题意；
∵该抛物线的对称轴为直线 ， ，
∴ ， ，
∴点 ，点 ，
∴当 时， ，即 ，故②符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线 ，即 ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故③符合题意；当 时，函数有最大值 ，
由 ，可得 ，
若m为任意实数，则 ，故④不符合题意，
综上，符合题意的有3个，
故选：C．
3．（2024·湖北·模拟预测）如图，已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点 ，对称轴为直
线x=2．则下列结论正确的有（ ）
① ；② ；③方程 的两个根为 ；④抛物线上有两点P(x ,y )
1 1
和Q(x ,y )，若 且 ，则
2 2
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】D
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与 轴交点位置判断①；由抛物线的对称性可判断②；
由二次函数与方程的关系，以及根与系数的关系可判断③；由二次函数的性质可判断④．本题考查二次函
数图象与系数的关系，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
【详解】解： 抛物线开口向下，
，
抛物线交 轴于正半轴，
，
，
，
，故①正确；
抛物线对称轴为直线 ， 时， ，
时， ，，故②正确；
由 可得方程的解 ， ，
抛物线 与 轴交于点 ，对称轴为直线 ，
抛物线与 轴另一个交点为 ，
方程 的两个根为 ，6，
， ，
，
而若方程 的两个根为 ， ，
则 ， ，故③错误；
抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
若 且 ，
则点 到对称轴的距离小于 到直线的距离，
，故④错误．
故选：D．
4．（2024·广东·模拟预测）如图所示是抛物线 的部分图象，其顶点坐标为 ，且与
x轴的一个交点在点 和 之间，则下列结论：①该抛物线与x轴的另一个交点在点 和
之间；② ；③ ；④关于x的一元二次方程 有实数根．其中正确的
结论是（ ）A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、二次函数与一元二次方程，二次函数的对称性，掌握二次函
数的图象及性质，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．根据二次函数的对称性可判断①，根据该抛
物线与x轴的另一个交点在点 和 ，并结合图像可知，当 时， ，可判断②，根据抛
物线的顶点坐标为 ，可得抛物线 与直线 有唯一一个交点，进而可得方程有两个相
等的实数根，由 可判断③，由抛物线顶点坐标得到 ，即可得到直线 与抛物线没交点，
即一元二次方程 没实数根，进而可得判断④．
【详解】解： 抛物线的顶点坐标为 ，
抛物线的对称轴为直线 ，
抛物线与x轴的一个交点在点 和 之间，
该抛物线与x轴的另一个交点在点 和 ，故①不符合题意；
该抛物线与x轴的另一个交点在点 和 ，
当 时， ，故②符合题意；
抛物线的顶点坐标为 ，
抛物线 与直线 有唯一一个交点，
方程 有两个相等的实数根，，
，故③符合题意；
抛物线 的开口向下，顶点坐标为 ，
，
直线 与抛物线没有交点，
一元二次方程 没有实数根，故④不符合题意；
综上所述，正确的结论是②③，
故选： ．
5．（2024·四川广安·中考真题）如图，二次函数 （ ， ， 为常数， ）的图象与 轴
交于点 ，对称轴是直线 ，有以下结论：① ；②若点 和点 都在抛物线
上，则 ；③ （ 为任意实数）；④ ．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与 轴交点问题逐项分析判断即可.
【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与 轴正半轴交于一点，
， .
，
.
.故①错误；对称轴是直线 ，点 和点 都在抛物线上，
而 ，
.故②错误；
当 时， ，
当 时，函数取最大值 ，
∴对于任意实数 有：
，
∴ ，故③正确；
，
.
当 时， ，
.
，即 ，
故④正确.
综上所述，正确的有③④.
故选：B.
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以
及与坐标轴的交点.
6．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线 的图象交x轴于点 、 ，
交y轴于点C．以下结论：① ；② ；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三
角形时， ；④当 时，在 内有一动点P，若 ，则 的最小值为 ．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据抛物线图象经过点 ，可得当 时， ，据此可判断①；根据对称轴计
算公式求出 ，进而推出 ，则 ，再根据抛物线开口向下，即可判断
②；对称轴为直线 ，则 ，求出 ， ，再分当 时， 当
时，两种情况求出对应的c的值即可判断③；当 时， ，则 ，取点 ，连接 ，
则 ，可证明 ，由相似三角形的性质可得 ，则 ，故
当点P在线段 上时， 的值最小，即此时 的值最小，最小值为线段 的长，利用勾
股定理求出 即可判断④．
【详解】解：∵抛物线 的图象经过点 ，
∴当 时， ，故①正确；
∵抛物线 的图象交x轴于点 、 ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，故②正确；
∵对称轴为直线 ，
∴ ；
∵ 、 ，
∴ ，
∴ ；
在 中，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
当 时，则由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ 或 （舍去）；
同理当 时，可得 ；
综上所述，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时， 或 ，故③错误；
当 时， ，则 ，
如图所示，取点 ，连接 ，则 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当点P在线段 上时， 的值最小，即此时 的值最小，最小值为线段 的长，
在 中，由勾股定理得 ，故④正确，
∴正确的有3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，
熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
7．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线 过点 与x轴交点的横坐标分别为
， ，且 ， ，则下列结论：
① ；
②方程 有两个不相等的实数根；
③ ；
④ ；
⑤ ．其中正确的结论有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键；由当 时，
，可判断①，由函数的最小值 ，可判断②，由抛物线的对称轴为直线 ，且
，可判断③，由 时， ，当 时， ，可判断④，由根与
系数的关系可判断⑤；
【详解】解：① 抛物线开口向上， ， ，
∴当 时， ，故①不符合题意；
②∵抛物线 过点 ，
∴函数的最小值 ，
∴ 有两个不相等的实数根；
∴方程 有两个不相等的实数根；故②符合题意；
③∵ ， ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，且 ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴ ，故③不符合题意；
④∵抛物线 过点 ，
∴ ，∵x=−1时， ，
即 ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④符合题意；
⑤∵ ， ，
∴ ，
由根与系数的关系可得： ， ，
∴
∴ ，
∴ ，故⑤符合题意；
故选：C．
8．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线 与x轴交于点 和B，与y轴的正半轴
交于点C．下列结论： ； ； ； ，其中正确结论是
．【答案】①②④
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及过特殊点时
系数a、b、c所满足的关系，结合不等式的性质逐个进行判断即可．
【详解】解：①∵由抛物线的开口向下，
，
∵对称轴位于y轴的左侧，
∴a、b同号，即 ．
，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
，
，
∴①正确；
②如图，当 时， ，
∴②正确；
③对称轴为 ，即 ，
，
，即 ，
∴③错误；
④当 时， ，
又 ，
，即 ．
∴④正确，
综上所述，正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．
9．（2024·湖北·模拟预测）抛物线 ，对称轴为 ．下列说法：①一元二次方程有两个不相等的实数根；②对任意的实数m，不等式 恒成立；③抛物
线 经过点 ；④若 ，且 ，则 ．正确的有
（填序号）．
【答案】①③④
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数图象与x轴的交点等问题，掌握相关知识是解题的关
键．
①根据二次函数对称轴是直线 得出 并结合条件得出 ，然后通过判断一元二次方程
的符号解答即可；②通过分解因式 得出 ，利用 解答；
③把 代入 解答即可；④通过对 分解因式得出
结合条件判断即可．
【详解】∵ 中，对称轴为 ，
，
，
，
，
一元二次方程 中， ，
，
，
∴一元二次方程 有两个不相等的实数根，故①正确；，
，
，故②错误；
，
，
把 代入 得 ，
∴抛物线 经过点 ，故③正确；
，
，
，
，，
，故④正确；
∴正确的有①③④，
故答案为：①③④．
10．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线 的顶点 的坐标为 ，与 轴的一个交
点位于0和1之间，则以下结论：① ；② ；③若抛物线经过点 ，则 ；
④若关于 的一元二次方程 无实数根，则 ．其中正确结论是 （请填写序号）．
【答案】①②④
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的
关键是掌握二次函数的图象与性质．①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②利用抛物线的对称
轴求出 ，根据图象可得当 时， ，即可判断；③利用抛物线的对称轴，设
两点横坐标与对称轴的距离为 ，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函
数值越大，即可判断；④根据图象即可判断．
【详解】解：①∵抛物线 的顶点 的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
由图可知，抛物线开口方向向下，即 ，∴ ，
当 时， ，
∴ ，故①正确，符合题意；
②∵直线 是抛物线的对称轴，
∴ ，
∴ ，
∴
由图象可得：当 时， ，
∴ ，即 ，故②正确，符合题意；
③∵直线 是抛物线的对称轴，
设 两点横坐标与对称轴的距离为 ，
则 ， ，
∴ ，
根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，
∴ ，故③错误，不符合题意；
④如图，∵关于x的一元二次方程 无实数根，
∴ ，故④正确，符合题意．
故答案为：①②④
题型二：二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的解就是二次函数y=ax2＋bx＋c=0图象与 x 轴交点的横坐标.
b2-4ac与 0的关系 二次函数与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0根的情
况
b2-4ac>0 2个交点 有两个不相等的实数根
b2-4ac=0 1个交点 有一个不相等的实数根
b2-4ac<0 0个交点 没有实数根
【中考母题学方法】
【典例2】（2024·四川达州·中考真题）抛物线 与 轴交于两点，其中一个交点的横坐标大
于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质，设抛物线 与 轴交于两点，横坐标分别为
，依题意， ，根据题意抛物线开口向下，当 时， ，即可判断A选项，根
据对称轴即可判断B选项，根据一元二次方程根的判别式，即可求解．判断C选项，无条件判断D选项，
据此，即可求解．
【详解】解：依题意，设抛物线 与 轴交于两点，横坐标分别为
依题意，
∵ ，抛物线开口向下，
∴当 时， ，即∴ ，故A选项正确，符合题意；
若对称轴为 ，即 ，
而 ，不能得出对称轴为直线 ，
故B选项不正确，不符合题意；
∵抛物线与坐标轴有2个交点，
∴方程 有两个不等实数解，即 ，又
∴ ，故C选项错误，不符合题意；
无法判断 的符号，故D选项错误，不符合题意；
故选：A．
【变式2-1】（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线 与 轴交于两点 ， （ 在 的
左侧），抛物线 与 轴交于两点 ， （ 在 的左侧），且 ．下列四
个结论： 与 交点为 ； ； ； ， 两点关于 对称．其中正确的
结论是 ．（填写序号）
【答案】
【分析】由题意得 ，根据 可以判断 ；令 求出 ，
，由 可以判断 ；抛物线 与 轴交于两点 ， （ 在 的
左侧），抛物线 与 轴交于两点 ， （ 在 的左侧），根据根的判别式得出
或 ， 或 ，可以判断 ，利用两点间的距离可以判断 ．
【详解】解： 由题意得 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
当 时， ，
∴ 与 交点为 ，故 正确，
当 时， ，解得 ，
∴ ，
当 时， ，解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，则有： ，
∵ ，
∴ ，故 正确；
∵抛物线 与 轴交于两点 ， （ 在 的左侧），抛物线
与 轴交于两点 ， （ 在 的左侧），
∴ ， ，
解得： 或 ， 或 ，
由 得 ，
∴ ，
当 时， ，或当 时， ，
∴ ，故 错误；
由 得： ，解得 ，∵ 在 的左侧， 在 的左侧，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，整理得： ，
∴ ，
∴由对称性可知： ， 两点关于 对称，故 正确；
综上可知： 正确，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根的判
别式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【变式2-2】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数 的图像与 轴交于 ，
两点．
(1)求 的值；
(2)若点 在该二次函数的图像上，且 的面积为 ，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是
解题的关键．
（1）运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意设 ，结合几何图形面积计算方法可得点 的纵坐标，代入后解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：二次函数 的图像与 轴交于 ， 两点，
∴ ，
解得， ，
∴ ；
（2）解：由（1）可知二次函数解析式为： ， ， ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，无解，不符合题意，舍去；
当 时， ， ；
∴ ．
【变式2-3】难点二次函数图象与 y=m 的交点问题
（2024·吉林·中考真题）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）
所示，输入x的值为 时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输
出y的值为6．(1)直接写出k，a，b的值．
(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图像，如图（2）．
Ⅰ．当y随x的增大而增大时，求x的取值范围．
Ⅱ．若关于x的方程 （t为实数），在 时无解，求t的取值范围．
Ⅲ．若在函数图像上有点P，Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m，Q的横坐标为 ．小明对P，Q
之间（含P，Q两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接
写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)Ⅰ： 或 ；Ⅱ： 或 ；Ⅲ： 或
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解，
正确理解题意，利用数形结合的思想是解决本题的额关键．
（1）先确定输入x值的范围，确定好之后将x，y的值代入所给的y关于x的函数解析式种解方程或方程组
即可；
（2）Ⅰ：可知一次函数解析式为： ，二次函数解析式为： ，当 时，
，对称为直线 ，开口向上，故 时，y随着x的增大而增大；当 时， ，
，故 时，y随着x的增大而增大；
Ⅱ：问题转化为抛物线 与直线 在 时无交点，考虑两个临界状态，当 时，抛物线 与直线 在 时正好一个交点，因此当 时，抛物线 与直线
在 时没有交点；当 ， ，故当 时，抛物线 与直线 在
时正好一个交点，因此当 时，抛物线 与直线 在 时没有交点，当 或
时，抛物线 与直线 在 时没有交点，即方程 无解；
Ⅲ： 可求点P、Q关于直线 对称，当 ， ，当 时， ，当图像对应函数的
最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当 时， ， 时， ，故①当 ，由题意
得： ，则 ；②当 ，由题意得： ，则 ，综上：
或 ．
【详解】（1）解：∵ ，
∴将 ， 代入 ，
得： ，
解得： ，
∵ ，
∴将 ， 代入
得： ，
解得： ；
（2）解：Ⅰ，∵ ，∴一次函数解析式为： ，二次函数解析式为：
当 时， ，对称为直线 ，开口向上，
∴ 时，y随着x的增大而增大；
当 时， ， ，
∴ 时，y随着x的增大而增大，
综上，x的取值范围： 或 ；
Ⅱ，∵ ，
∴ ，在 时无解，
∴问题转化为抛物线 与直线 在 时无交点，
∵对于 ，当 时，
∴顶点为 ，如图：
∴当 时，抛物线 与直线 在 时正好一个交点，
∴当 时，抛物线 与直线 在 时没有交点；
当 ， ，
∴当 时，抛物线 与直线 在 时正好一个交点，∴当 时，抛物线 与直线 在 时没有交点，
∴当 或 时，抛物线 与直线 在 时没有交点，
即：当 或 时，关于x的方程 （t为实数），在 时无解；
Ⅲ：∵ ，
∴ ，
∴点P、Q关于直线 对称，
当 ， ，当 时， ，
∵当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当 时， ， 时， ，
∴①当 ，如图：
由题意得： ，
∴ ；
②当 ，如图：由题意得： ，
∴ ，
综上： 或 ．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·湖北·中考真题）抛物线 的顶点为 ，抛物线与 轴的交点位于 轴上方．
以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的解析式结合二次函
数的性质，画出草图，逐一分析即可得出结论．
【详解】解：根据题意画出函数 的图像，如图所示：∵开口向上，与 轴的交点位于 轴上方，
∴ ， ，
∵抛物线与 轴有两个交点，
∴ ，
∵抛物线 的顶点为 ，
∴ ，
观察四个选项，选项C符合题意，
故选：C．
2．（2024·山西大同·模拟预测）已知 ，若关于x的方程 的解为 ，关
于x的方程 的解为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系，把 ， 看做是直线 与抛物线 交点的
横坐标，把 ， 看做是直线 与抛物线 交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答
案，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．
【详解】解：如图所示，设直线 与抛物线 交于 两点，直线 与抛物线交于
两点，∵ ，若关于 的方程 的解为 ，关于 的方程 的解为
，
∴ ， ， ， 分别是 的横坐标，
∴根据图象可知： ，
故选： ．
3．（2024·浙江宁波·二模）已知二次函数 是常数且 的图象与x轴的交点坐标是
，当 时， ，当 时， ，则（ ）
A． 至少有一个大于 B． 都小于
C． 至少有一个小于 D． 都大于
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
设抛物线的交点式，表示出p和q，进而求出 ，
进而求解．
【详解】解：令 ，从而 ，
，
，
，
( 使等号无法取到)，
因此 至少有一个小于 ．
故选：C．
4．（2024·贵州·模拟预测）已知抛物线 的图象上有三点 ， ， ，
其中 ，则下列说法错误的是（ ）
A．方程 有3个根，则
B．
C．关于 的一元二次方程 的两根为 ， ，且 ，则
D．抛物线的顶点坐标为
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数的平移，函数与坐标轴的交点．
把点C的坐标代入 中，求出抛物线解析式即可得到抛物线的顶点坐标，判断D选项．根据
抛物线 与x轴的交点坐标即可判断B选项．方程 的解，是抛物线先下平移m个单位长度后，与x轴的交点的横坐标，根据抛物线平移的性质即可判断C选项．
画出函数 的图象，根据数形结合的思想即可判断A选项．
【详解】解：∵抛物线 过点 ，
∴ ，解得 ，
∴抛物线为 ，即 ，
∴抛物线的顶点坐标为 ．故D选项正确；
把 代入函数 中，得 ，
解得 或 ，
∴抛物线 与x轴的交点为 ， ，
∵抛物线 的开口向上，
且抛物线上的两点 ， 中， ，
结合 的图象知， ，
∴ ．故B选项正确；
将抛物线 向下平移m个单位长度，得到 ，
该抛物线与x轴的一个交点在点 的左侧，另一交点在点 的右侧，
∴关于x的一元二次方程 （ ）的两解为 ， ，满足 ，故C选项
正确．
∵方程 有3个根，
∴函数 的图象与直线 有3个交点，∵函数 的图象与x轴的交点为 ， ，
如图，当直线 经过点 时，直线 与函数 的图象有3个交点，即
此时把点 代入函数 中，得到 ，
解得 ，
当 时， ，
如图，当直线 与函数 只有一个交点时，直线 与函数 的图象有
3个交点
∴对于方程 可化为 ，即 ，
∴ ，
解得 ，
综上所述， 或 ．故A选项错误．
故选：A．
5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·三模）如图，已知坐标平面上有一顶点为A的抛物线，A点坐标为 ，若
此抛物线又与直线 交于 两点，且 为正三角形，则可求得此抛物线与 轴的交点坐标为．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，根据抛物线顶点，A点
坐标为 可设二次函数的解析式为 ，设 ， ， ，则 ，
过点A作 ，则 ， ，根据 为正三角形，得 ，根据A点坐标为
得 ，抛物线的解析式为 ，将点 代入计算得 ，则
，当 时，进行计算即可得；掌握二次函数的图象与性质时解题的关键．
【详解】解：∵抛物线顶点，A点坐标为 ，
∴可设二次函数的解析式为 ，
设 ， ， ，
∴ ，
如图所示，过点A作 ，
则 ， ，
∵ 为正三角形，
∴ ，
∵A点坐标为 ，∴ ，
∵抛物线的解析式为 ，将点 代入得，
，
，
∴ ，
当 时， ，
∴抛物线与y轴的交点为 ，
故答案为： ．
6．（2024·福建厦门·二模）已知抛物线 的顶点为点 ，与 轴分别交于点 ，
（点 在点 左侧），抛物线 与抛物线 关于 轴对称，顶点为点 ，若四边形 为正方形，则
的值为 ．
【答案】 /0.5
【分析】本题考查抛物线与 轴的交点，二次函数图象与几何变换，正方形的性质，关键是解方程求出 ，
， ， 坐标．
根据抛物线 ：求出顶点 的坐标，再令 ，解方程求出 ， 坐标，得出 ，再根据抛物线
与抛物线 关于 轴对称，求出顶点 的坐标，然后根据正方形得到 列出关于 的方程，解方
程求出 的值．
【详解】解： 抛物线 的顶点为点 ，
，
抛物线 与 轴分别交于点 ， （点 在点 左侧），，抛物线开口向上，
当 时， ，
整理得： ，
解得 ，
点 在点 左侧，
， ，
，
抛物线 与抛物线 关于 轴对称，顶点为 ，
，
，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
则 ，
，
经检验， 是方程的解，也符合题意，
故答案为： ．
7．（2024·浙江宁波·二模）二次函数 与坐标轴的交点个数为 个．
【答案】1
【分析】本题考查的是抛物线和坐标轴的交点，分与 轴和 轴有无交点讨论求解即可．
【详解】解：函数与 轴交点： 令 ，则 ，故与 轴交于一个点(0,3)；
与 轴交点：令 ，则 ，此时 ，方程无解，故与 轴无交点，
综上，二次函数与坐标轴只有一个交点．故答案为：1．
8．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线 （ 为常数，且 ）经过点
，有如下结论：①抛物线对称轴为 ；② ；③若 两点在抛物线
上，且 ，则方程 有一根满足 ；④过点 与抛物线有且只有一个公
共点的直线有两条．其中正确的结论有 （填正确结论的序号）．
【答案】①③④
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，对称性求出对称轴判断①，无法确定 的符号，判断②，
根据对称性确定抛物线与 轴的另一个交点的位置判断③；设直线的解析式为 ，当
时，联立抛物线，根据直线与抛物线只有一个交点，得到判别式为0，进行求解，当 时，分析是
否满足题意即可．
【详解】解：∵抛物线 经过点 ，
∴对称轴为直线 ；故①正确；
无法确定 的符号，故②错误；
若 两点在抛物线上，且 ，则抛物线与 轴的一个交点的横坐标的范围为 ，
∵对称轴为直线 ，
∴抛物线与 轴的另一个交点的横坐标的范围为： ，
∴方程 有一根满足 ；故③正确；
设过点 的直线的解析式为： ，
当 时，令 ，
整理，得： ，
∵直线与抛物线只有一个交点，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
整理，得： ，
∴ ，
当 时， ，
∵ ，
∴当 时， ，
∴ 与 只有一个交点，满足题意，
综上：过点 与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条，故④正确；
故答案为：①③④．
9．（2024·湖南·模拟预测）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，与x轴有交点的函数称为“零点函数”，
交点的横坐标称为“零点”，例如：函数 与x轴的交点坐标是 ，所以函数 是“零点函
数”，1是该函数的“零点”．
(1)请完成以下两个小题：
①下列函数中，是“零点函数”的为（ ）
A． B． C．
②请写出下列函数的“零点”：一次函数 的“零点”是 ，二次函数 的“零点”是 ；
(2)已知二次函 是“零点函数”（a，b，c是常数， ）．
①若 ，函数的“零点”是 ，且函数与x轴的两个交点之间的距离为8，与y轴的
交点在正半轴上，请求出这个函数的解析式；
②若一次函数 与二次函数 相交于点 和 ，“零点函数”满足下列条件：① ，② ，试确定线段 长度的
取值范围．
【答案】(1)①A② ， ；
(2)① 或 ②
【分析】（1）①根据“零点函数”的定义进行逐项分析，即可作答；
②结合“零点”的定义进行分析，即可作答；
（2）①先得出 ，因为函数的“零点”是 ，且函数与x轴的两个交点之间的距离为8，
则 ， 得 ，因为 ，所以 ，得
，因为与y轴的交点在正半轴上，得 ，则 ，故 或
；
②先得 ，则 因为 ，所以 ，再结合
，即 ，整理 ，因为一次函数 与二次函
数 相交于点 和 ，
，把 ， 分别代入化简得
，再令 ，则 ，令 ，运
用二次函数的图象性质进行分析，即可作答．
【详解】（1）解：①A选项：依题意，令 ，则 ，
∴ ；∴函数 与x轴的交点坐标是 ，即函数 是“零点函数”， 是该函数的“零
点”；
B选项：令 ，则 ，方程无解，
∴函数 不是“零点函数”；
C选项：令 ，则 ，
∴ ，
此时方程无解，
∴函数 不是“零点函数”；
故选：A．
②依题意，令 ，则 ，
∴ ；
∴一次函数 与x轴的交点坐标是 ，
∴一次函数 的“零点”是 ；
令 ，则 ，
∴ ；
∴二次函数 的“零点”是 ；
故答案为： ， ；
（2）解：①依题意，把 代入 ，得出 ，
∵函数的“零点”是 ，且函数与x轴的两个交点之间的距离为8，
∴ ，
则 ，∴ ，
∵ 是函数 的“零点”，
∴
即 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵与y轴的交点在正半轴上，
∴ ，
则 ，
∴
∴ 或 ；
②∵一次函数 与二次函数 相交于点 和 ，
∴ ，
则 ，
整理得 ，
∴
∵“零点函数” 满足 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
则 ，
即 ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵一次函数 与二次函数 相交于点 和 ，
∴
∴
依题意，
，
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，令 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
令 ，
∵ ，
∴开口向上，对称轴为直线 ，在对称轴 的左边时， 随 的增大而减小，
则把 代入 ，
解得 ，
把 代入 ，
解得 ，
∴在 中， 的最大值为 ，最小值为 ，
∴ ， ，
则 ， ，
∴线段 长度的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，二次函数的图象性质，两点间的距离公式，完全平
方公式，平方差公式，一次函数与二次函数的综合，新定义，判别式的应用，正确掌握相关性质内容是解
题的关键．10．（2024·浙江宁波·二模）已知抛物线 ，点 和点 是该抛
物线与 轴的交点．
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)若 ，现将抛物线在 轴下方的部分沿 轴向上翻折，若直线 与新得到的函数图象至少
有三个交点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，作出图象，结合二次函数图象与性质，由 得到 、
和 ，解不等式即可得到 的取值范围；
（2）根据题意，由一元二次方程根与系数关系得到 ，从而求出新抛物线的表达式，作出
图象，数形结合，可知，当直线过点 时，直线与新抛物线恰好有3个交点，求出此时的 值；当直
线与抛物线 只有一个交点，求出此时的 值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线的开口向上，点 和点 是该抛物线与 轴的交点，
，如图所示：
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；当 时， 的取值范围为 ；
（2）解：令 ，则 ，
由一元二次方程根与系数关系可得 ，
，
，解得 ，
，则 ，即 ，
解得 或 ，
抛物线与 轴的交点为 ，
现将抛物线在 轴下方的部分沿 轴向上翻折，如图所示：
抛物线在 轴下方的部分沿 轴向上翻折后得到的抛物线表达式
为 ，
根据抛物线关于 轴对称时， ，则此时抛物线的表达式为 ，
当直线过点 时，直线与新抛物线恰好有3个交点，
将 代入 ，解得 ；联立方程组 ，消去 得 ，
将直线 向上平移，根据直线与新抛物线恰好有3个交点，
直线与抛物线 只有一个交点，故方程 有两个相等的实数根，解得
，则 ，
，
综上所述，当直线 与新得到的函数图象至少有三个交点时， 的取值范围为 ．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及抛物线的图象与性质、由函数图象确定 值符号解不等式、抛物线
与坐标轴交点、一元二次方程根与系数关系、直线与抛物线交点问题、一元二次方程根的情况求参数等知
识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键．
题型三：二次函数图像的平移
方法一:
(1)将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)²+k,其顶点坐标为(h,k);
(2) 保持抛物线y=ax²的形状不变,将其顶点平移到(h,k)处,
方法二:
(1)将抛物线y=ax²+bx+c沿y轴向上(或向下)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=ax²+bx+c+m(或y=ax²+bx+c-
m);
(2)将抛物线y=ax²+bx+c沿x轴向左(或向右)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=a(x+m)²+b(x+m)+c(或y=a(x-
m)²+b(x-m)+c)具体平移方法如下:平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀
向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加
向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减
向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加
向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减
【中考母题学方法】
【典例3】（2024·山东济宁·中考真题）将抛物线 向下平移k个单位长度．若平移后得到的
抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先根据平移的规律写出抛物线 向下平移k个单位长度后的抛物线的表达式，再根
据平移后得到的抛物线与x轴有公共点可得 ，由此列不等式即可求出k的取值范围．
此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规
律：左加右减，上加下减是解题关键．
【详解】解：将抛物线 向下平移k个单位长度得 ，
∵ 与x轴有公共点，
∴ ，
即 ，
解得 ，
故答案为： ．
【变式3-1】（2024·福建泉州·模拟预测）二次函数 的图象与 轴交于点 （ 在 的左
侧），将该函数图象向右平移 个单位后与 轴交于点 （ 在 的左侧），平移前后的函数图
象相交于点 ，若 ，则 的值为 ．【答案】2或6
【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与性质，由题意先求出 ，再求出
，根据对称性表示出点E坐标并代入表达式计算即可，注意分情况讨论．
【详解】解：由题意，令 ，
，
，
将该图象向右平移 个单位后与 轴交于点 （ 在 的左侧），
，
由题意得，平移前后的函数图象相交于点 ，若 ，
当点E在x轴上方时，如下图：
由对称性得： ，
点纵坐标为 ，横坐标为 ，
点在二次函数 的图象上，
，解得： （不合题意舍去）；
当点E在x轴下方时，
同理： 点纵坐标为 ，
，
解得： （不合题意舍去）；
故答案为：2或6．
【变式3-2】（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴
交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当 时，求 的函数值的取值范围；
(3)将拋物线的顶点向下平移 个单位长度得到点 ，点 为抛物线的对称轴上一动点，求 的
最小值．
【答案】(1)
(2)
(3) 的最小值为：
【分析】（1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可；
（2）求解 的对称轴为直线 ，而 ，再利用二次函数的性质可得答案；（3）求解 ， ，可得 ，求解直线 为 ，及 ，证明 在直线
上，如图，过 作 于 ，连接 ，过 作 于 ，可得 ，
，证明 ，可得 ，可得
，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于点 ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）解：∵ 的对称轴为直线 ，而 ，
∴函数最小值为： ，
当 时， ，
当 时， ，
∴函数值的范围为： ；
（3）解：∵ ，
当 时， ，
∴ ，
当 时，
解得： ， ，∴ ，
∴ ，
设直线 为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 为 ，
∵拋物线的顶点向下平移 个单位长度得到点 ，而顶点为 ，
∴ ，
∴ 在直线 上，
如图，过 作 于 ，连接 ，过 作 于 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵对称轴与 轴平行，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由抛物线的对称性可得： ， ，
∴ ，
当 三点共线时取等号，∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的最小值为： ．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解
线段和的最小值，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键．
【变式3-3】难点将抛物线沿斜直线平移转化为2次沿坐标轴平移
（2024·四川泸州·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与坐标轴相交于 、
、 三点，其中 点坐标为 ， 点坐标为 ，连接 、 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将 沿 轴水平向右平移，平移过程中当 点再次落在抛物线上的位置记作 ，求 的坐标和
的值；
(3)动点 从点 出发，在线段 上以每秒 个单位长度向点 做匀速运动；同时，动点 从点 出发，
在线段 上以每秒 个单位长度向点 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接
，设运动时间为 秒．在 、 运动的过程中，当 为何值时，四边形 的面积最小，最小值为多
少？
【答案】(1)
(2) ，(3) ，最小值
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出 ， ，证明 是等腰直角三角形，得出 ，把 代入
求出 ， ，得出 ，过点 作 于 ，连接 ，求出 ，得
出 ，根据三角函数的定义求出 ．
（3）过点 作 轴，垂足为 ，求出 ，求出
，根据二次函数的性质，求出结果即可．
【详解】（1）解： 抛物线 经过点 ， ，
则 ，
解得： ，
抛物线表达式为 ；
（2）解：在 中令 ，得 ，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，∴ ，
把 代入 得：
，
解得： ， ，
，
过点 作 于 ，连接 ，如图所示：
，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
．
（3）解：如图，过点 作 轴，垂足为 ，
则 是等腰直角三角形，由题意可知 ，
，即 ，又 ，
，
，
当 、 其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
∴ ，
即
，
当 时，四边形 的面积取得最小值 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，二次函数的最值，求角的正切值，勾
股定理，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，数形结合，作出辅助线．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·四川眉山·二模）若将抛物线 先沿 轴方向向右平移1个单位，再沿 方向向下平移
2个单位，得到一条新抛物线，则新抛物线的解析式变为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了抛物线的平移规律，先配方得到 ，然后由沿着x轴向右平移1个单位，再沿y轴向下平移2个单位即可得到新解析式为 ，熟练掌握抛物线
的平移规律：左加右减，上加下减是解决此题的关键．
【详解】∵ ，
又∵抛物线 沿着x轴向右平移1个单位，再沿y轴向下平移2个单位，
∴平移后得新抛物线解析式为 ，
故选：D．
2．（2024·云南曲靖·一模）将抛物线 平移得到 ，下列平移方法正确的是（ ）
A．先向左平移3个单位，再向下平移1个单位
B．先向右平移3个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出两抛物线的顶点坐标，再根据顶点的变化确定平移
方法．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标为 ，
的顶点坐标为 ，
抛物线 先向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到 ．
故选：B．
3．（2024·广东惠州·模拟预测）函数 的图形向右平移3个单位向上平移1个单位长度后的
解析式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【详解】解：函数 的图形向右平移3个单位向上平移1个单位长度后的解析式为 ，
故答案为： ．
4.（2024·贵州贵阳·一模）二次函数 的图象经过平移，其顶点恰好为坐标原点，则平移的最
短距离为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及勾股定理，先把 的顶点坐标找出来，即 ，
再结合经过平移，其顶点恰好为坐标原点，得出平移的最短距离为 ，即可作答．
【详解】∵ ，
∴二次函数 图象的顶点坐标为
∵平移后图象的顶点恰好为坐标原点，
∴平移的最短距离为
故答案为：5
5．（2024·湖南·三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 (a，b，c为常数，且 )与x
轴交于 ，B两点，与y轴交于点C(0,−3)，且抛物线的对称轴为直线 ．
(1)求该抛物线的解析式；(2)在直线 下方的抛物线上有一点P，过点P作 轴，垂足为M，交直线 于点N．若 的
面积为 ，试求出点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线 的方向平移 个单位长度，得到新的抛物线 ，如图2，点E
为新抛物线 上一点，点F为原抛物线对称轴上一点，是否存在以点B，P，E，F为顶点的四边形是平行
四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为
(3)存在以点B，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为 ， 或
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求出直线 的函数解析式为 ，根据题意得到 也是等腰直角三角形，由
，求出 ，进而得到 ，即可求出答案；
（3）根据平移法则得到抛物线 的解析式为 ，设点 ，分为 为对角线， 为对角
线， 为对角线，三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：将点 ，C(0,−3)分别代入 ，
得 ，
解得 ．
∵该抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，即 ，
∴ ，∴ ， ， ，
∴该抛物线的解析式为 ．
（2）解：由（1）可得点B的坐标为 ．
由点 ，C(0,−3)可求得直线 的函数解析式为 ．
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形．
又∵ 轴，
∴ 也是等腰直角三角形，
∴ ．
∵ 的面积为 ，
∴ ，
解得 （负值舍去），
∴ ，即点M的坐标为 ，
∴点P的横坐标为 ，
∴点P的纵坐标为 ，
∴点P的坐标为 ．
（3）解：存在．理由如下：
∵点 ，点C(0,−3)，
∴ ， ，
∴ ．∵抛物线沿射线 的方向平移 个单位长度得到抛物线 ，
∴抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到 ，
∴抛物线 的解析式为 ．
设点 ．
①当 为对角线时，如图1，
∴ ，解得 ，
此时点E的坐标为 ．
②当 为对角线时，如图2，∴ ，解得 ，
此时点E的坐标为 ；
③当 为对角线时，如图3，
∴ ，解得 ，此时点E的坐标为 ．
综上所述，存在以点B，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为 ， 或
．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的平移，等腰三角形的性质，二次函数与特殊四
边形的综合题，二次函数的面积问题，熟练掌握相关知识点，利用数形结合思想及分类讨论的数学思想解
答是解题的关键．
6．（2024·重庆·一模）在平面直角坐标系中，抛物线 （a，b是常数， ），与x轴交于
点 和点 ，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，连接 ，点P为直线 上方抛物线上的一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为E，交直线
于点F，过点P作 ，垂足为D．求 周长的最大值以及此时点P的坐标；
(3)将抛物线 （a，b是常数， ），沿射线 方向平移 个单位长度得到新抛物线 ，
点Q是新抛物线上一点，连接 ，当 时，请求出点Q的坐标．
【答案】(1)
(2) 时， 的周长有最大值，最大值为 ，(3) 或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出 ，进而求出直线 的解析式为 ，设 ，则
，则 ， ， ，求出 ， ，
，由 ，得到 ， 求出
，由 ，得出
，进一步得到 的周长 ，利用函数的性质求解即可；
（3）由 ，得到 ，可设将抛物线 向右平移1个
单位长度，再向下平移 个单位长度得到新抛物线
；连接 交x轴于点D，过点C作 轴的平行
线交抛物线 于点F，求出直线 的解析式，联立抛物线 与直线 分别求解即可．
【详解】（1）解：将点 和点 代入 ，
得： ，
解得： ，
抛物线的函数表达式为： ；
（2）解： 抛物线的函数表达式为： ，，
设直线 的解析式为 ，
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
， ， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
的周长为： ，，
当 时， 的周长有最大值，最大值为 ，
此时， ；
（3）解： ，
，
将抛物线 （a，b是常数， ），沿射线 方向平移 个单位长度得到新抛物线 ，
设抛物线 向右平移n个单位长度，再向下平移 个单位长度得到新抛
物线 ，
，
解得： 或 （舍去），
抛物线 向右平移1个单位长度，再向下平移 个单位长度得到新抛物
线 ，
；
连接 交x轴于点D，过点C作 轴的平行线交抛物线 于点F，
， ，
，
，即 ，
，
，
，
，
或 ，
当 时，点D与点B重合，，
，
（与题意矛盾）
（舍去）；
当 时，
设直线 的解析式为 ，
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
联立抛物线 与直线 得： ，解得： 或 ，
此时，点 的坐标为 或 ；
综上，点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，等腰三角形的性质，一次函数与几何综合等等，
正确作出辅助线并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
7．（2024·重庆·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于A(−4,0)， 两点，
与 轴交于点 ，连接 ， ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点 是直线 下方抛物线上一动点，过点 作 交 于点 ，求 最大值及此时点
的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线 方向平移 个单位长度得新到抛物线 ，新抛物线 与直线 交于点
， （ 在 的左侧）， 是新抛物线 上一动点，当 时，写出所有符合条
件的点 的坐标，并写出求解点 的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)
(2) 的最大值为 ，此时，点 的坐标为
(3) 或【分析】（1）将A(−4,0)， 代入 ，利用待定系数法即可求解；
（2）由 ，可知 ，根据A(−4,0)， ，求得直线 的解析式为 ，可
知 ， ，过点 作 ，可知 ，
，求得 ，过点 作 ，交 于 ，进而可知 ，再证
，可证得 ，得 ，设 ，则 ，可知
，进而求得 ，结合二次函数的性质即可求解；
（3）根据平移得新到抛物线 ，求得 ， ，得 ，在 上取
，证 ，进而可知 ，分两种情况：在
下方取 ，且 轴，根据 ，可知在直线 与抛物线 的
交点即为点 ，再证 ，求得 ，得直线 的解析式为 ，联立抛
物线 与直线 可得即可求得 ；在 上方取 ，且 轴，同理，可求得
．
【详解】（1）解：将A(−4,0)， 代入 ，
可得 ，解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）对于 ，当 时， 或 ，
∴ ，设直线 的解析式为 ，将A(−4,0)， 代入其中，
得 ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵A(−4,0)， ，
∴ ，即 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，则 ，
∴ ，
过点 作 ，则 ， ，
则 为等腰直角三角形，
∴ ，则 ，
过点 作 ，交 于 ，则 ，即： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 取得最大值，最大值为 ，
此时，点 的坐标为 ，
综上， 的最大值为 ，此时，点 的坐标为 ；
（3）将抛物线沿射线 方向平移 个单位长度得新到抛物线 ，
即：将抛物线 向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，
得新到抛物线 ，
联立抛物线 与直线 可得： ，
解得： 或 ，即： ， ，
∴ ，
∵A(−4,0)， ，
∴ ，即 ，
在 上取 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
则 ，在 下方取 ，且 轴，
∵ ，
∴在直线 与抛物线 的交点即为点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，将 ， 代入其中，
可得 ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
联立抛物线 与直线 可得： ，解得： 或 ，
此时 ；
在 上方取 ，且 轴，
同理，可求得 ；综上：点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查二次函数与线段的综合问题，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，熟
练掌握二次函数的性质和相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，分类讨论是解题关键．
8．（2024·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与直线相交于 ， 两点，其中点 ，
．
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)过点 作 轴交抛物线于点 ，连接 ，在抛物线上是否存在点 使 ．
若存在，请求出满足条件的所有点 的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解
答）
(3)将该抛物线向左平移 个单位长度得到 ，平移后的抛物线与原抛物线相交于点
，点 为原抛物线对称轴上的一点， 是平面直角坐标系内的一点，当以点 、 、 、 为顶点的四
边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．
【答案】(1)
(2)存在，点 坐标为 ， ，补图见解析
(3) 、 、 、
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）根据平行线的性质可得 ，求得 ，进而分别求得 ， ，根据
可得 ，设直线 交 轴于点 ，则 ， ．进而可得
， 的解析式为 ， ，连接 交抛物线于 ，连接 交抛物线于 ，
进而联立抛物线与直线解析式，解方程，即可求解．
（3）①以BD为对角线，如图作BD的垂直平分线 交BD于点 交直线 于 ，设 ，根据
两点距离公式可得 ，根据中点坐标公式可得 ，②以BD为边，如图以 为圆心，BD为半径画
圆交直线 于点 ， ；连接 ， ，根据勾股定理求得 ，进而得出 ，
，根据平移的性质得出 ， ，③以BD为边，如图以点 为圆心，BD
长为半径画圆交直线 于点 和 ，连接 ， ，则 ，过点 作
于点 ，则 ，在 和 中，由勾股定理得 ，则 、
，根据 ，可得 ，过点 作 ，过 作
， 和 相交于点 ， 的中点 ．根据中点坐标公式可得 ；
【详解】（1）解：∵把点 ， 代入 得
，
解得 ，∴ ．
（2）存在．
理由：∵ 轴且 ，
∴ ，
∴ （舍去）， ，
∴ ．
过点 作 于点 ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
设直线 交 轴于点 ，
， ，
∴ ， ．
连接 交抛物线于 ，连接 交抛物线于 ，
∴ ， 的解析式为 ， ，
∴ ，解得 ，
或 ，解得 ．∴把 ， 代入 得 ， ，
∴ ， ．
综上所述，满足条件的点 坐标为 ， ．
（3） 、 、 、 ．
方法一：
①以BD为对角线，如图作BD的垂直平分线 交BD于点 交直线 于
∵ ，D(1,4)，
∴ ．
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
．②以BD为边
如图以 为圆心，BD为半径画圆交直线 于点 ， ；连接 ， ，
过点 作 ，过点 作 ， 和 相交于点 ，同理可得
，D(1,4)，
，
．
过点 作 直线 于点 ，则 ；
在 和 中，由勾股定理得，
，
， ．
点 是由点 向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度得到的，
， ，③以BD为边
如图以点 为圆心，BD长为半径画圆交直线 于点 和 ，
连接 ， ，则 ，
过点 作 于点 ，则 ，在 和 中，由勾股定理得，
，
、 ，
，
，
、 、 三点共线，
过点 作 ，过 作 ，
和 相交于点 ，
∵ 、 ，
的中点 ．D(1,4)，点 为 的中点，
．
综上所述： 、 、 、 ．
9．（2024·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，
， 两点，交 轴于点 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点 是直线 上方抛物线上的一动点，连接 ，过点 作 交 于点 ，求线段 长的最
大值及此时 的坐标；
(3)在（ ）中线段 长取得最大值的条件下，过 点作 的平行线，交 轴于点 ，将该抛物线向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位得到抛物线 ，点 为 上的一动点，过 点作 轴的平行线，
交直线 于点 ，连接 ，将线段 沿直线 翻折得到线段 ，当点 在 轴上时，请写出所有
符合条件的点 的坐标，并写出求解点 坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)
(2) ，
(3) 或 ，过程见解析
【分析】（ ）利用待定系数法解答即可求解；
（2）由 得， ，设直线 的解析式为 ，把 、 代入得到直
线 的解析式： ，过点 作直线 的平行线，当直线 与抛物线
只有一个交点时， 的长最大，由 ，得到 ，平行线的解析
式为 ，与抛物线联立 ，得到 ，设直线 的解析式为 ，把
、 代入，得到直线 的解析式： ，由 ，
设直线 的解析式为 ，把 代入得，直线 的解析式为 ，与直线 的解析
式联立得到 ，根据两点间距离公式，即可求解，
（3）由（2）得， 解析式为 ， ，由 ，根据平移变换得到 ，根据翻折的性质得 ，作 ， 轴，根据角平分
线的性质得到 ，由 轴， ，得到 ，
，即： ，设 ，则 ，
， ， ，代入 ，解得： 或 或 ，依次得到 点坐标，
长度， 长度， 长度，即可求解，
【详解】（1）解：把 代入 得，
，
解得 ，
∴抛物线的表达式为 ；
（2）解：由 得， ，
设直线 的解析式为 ，把 、 代入得， ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
过点 作直线 的平行线，设平行线的解析式为 ，
当直线 与抛物线 只有一个交点时， 的长最大，
由 得， ，
∵ ，
∴ ，∴平行线的解析式为 ，
由 ，解得 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，把 、 代入得，
，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ，
设直线 的解析式为 ，把 代入得， ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
由 ，解得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ，
（3）解：由（2）得， 解析式为 ，∴ ，
∵ ，
根据题意得 ，
当点 在 轴上时，由翻折的性质可得 ，
作 ，垂足为点 ， 轴，垂足为点 ，
∴ ，
∵ 轴， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，即： ，
设 ，则 ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ 或 ，解得： 或 或 ，∴ ， ，或 ，
∴ ，或 ，或 ，
∴ ，或 ，
，或 ，
∴ 或 ．
【点睛】本题考查了，求抛物线解析式，两点间距离公式，翻折的性质，平移变换及解直角三角形，解题
的关键是：通过翻折的性质得到 ，进而得到 ．
10．（2024·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ，
B(4,0)两点（点A在点 的左侧），与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接 ，点 直线 上方抛物线上（不与 重合）的一动点，过点 作 交 轴于点 ，
轴交直线 于点 ，求 的最大值及此时点 的坐标；
(3)将原抛物线沿射线 方向平移 个单位得到新抛物 ，点 为新抛物上 轴左侧的一动点，过点
作 轴，过点 作 轴，直线 与直线 相交于点 ，连接 ，将 沿直线 翻折，
若点 的对应点 恰好落在坐标轴上，请直接写出点 的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2) 有最大值 ，此时P的坐标为
(3)
【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）先求出 ，再求出直线 的解析式为 ，即： ；然后证明四边形
是平行四边形可得 ；设 ，则 可得
；如图：过 作 ，即 ， ，证明 可得
，进而得到 ，则 ，
最后根据二次函数的性质求最值即可；
（3）先求出平移后的解析式为 ，再证明四边形 是正方形可得
；设 、 可得 ，进而得到
可得 ，进而确定点 的坐标即可．
【详解】（1）解：把 ，B(4,0)代入抛物线解析式得： ，解得 ，
∴抛物线的表达式为 ．
（2）解：∵抛物线的表达式为 ，
∴ ，即 ，
∵B(4,0)，
∴ ，∴ ，
设直线 的解析式为 ，则有： ，解得： ，
∴设直线 的解析式为 ，即：
∵ ， ，
∴ , ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ,
设 ，则 ，
∴ ，
如图：过 作 ，即 ， ,
∴ ,
∴ ,即 ，解得： ,
∴ ，
∴ ，
当 时， 有最大值 ，此时P的坐标为 ．（3）解：抛物线的解析式 ，
∵将原抛物线沿射线 方向平移 个单位得到新抛物 ，
∴将原抛物线向左平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到新抛物 ，
∴到新抛物 的解析式为 ，
∵将 沿直线 翻折，若点 的对应点 恰好落在坐标轴上，
∴ 垂直平分 ,
∴ ,
∵ ， ,
∴ ， , ，
∴四边形 是正方形，
∴
设 ， ，
∴ ,
∵ ，
∴ ，解得： 或0（舍弃），
∴ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题主要考查了求函数解析式、一次函数与二次函数的综合、二次函数与几何图形的综合、平行
四边形的性质、正方形的性质等知识点，根据题意正确画出图像成为解题的关键．
11．（2024·重庆南岸·模拟预测）如图，抛物线 与 轴交于点 两点（点 在
点 的左侧），与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接 ，点 是直线 上方的抛物线上一动点，连接 ，求四边形 面积的最大值及此时
点 的坐标；
(3)将抛物线 沿射线 方向平移 个单位得到新抛物线 ，点 为新抛物线上 轴左侧的
一动点，过点 作 轴，过点 作 轴，直线 与直线 相交于点 ，连接 ，将
沿直线 翻折，若点 的对应点 恰好落在坐标轴上，请直接写出点 的坐标，并选择一个点写出求
解过程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)８，
(3)存在， ，过程见解析
【分析】（1）利用待定系数法依次解答即可；
（2）过点P作 轴交直线 于点F，设 ，则 ，则
， ,解答即
可．
（3）分点在y轴，x轴的负半轴上，根据平移，正方形的性质，三角函数的应用解答即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 交 轴于 两点，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴ 的解析式为 ，过点P作 轴交直线 于点F，
设 ，则 ，
则 ，
∴
，
∴ ,
,
∴当 时，此时 ，四边形 面积最大，最大值为8．
（3）解：根据题意，得 ，平移了 个单位，
且 ，
故将抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，
故抛物线 ，设 ，根据题意， 轴， 轴，C(0，2),
∴ ，
当 落在y轴正半轴上时，根据对称性质得四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 舍去，
∴ ，
∴ ，
此时 ；
当 落在y轴负半轴上时，根据对称性质得四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 舍去，
∴ ，∴ ，
此时 ；
当 落在x轴负半轴上时，根据对称性质，得 ， ，
，
∴ ， ，
，
延长 交x轴于点G，
则 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，∴ ，
此时 ；
综上所述，存在点，且分别为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的平移，确定平移要求，构造面积的二次函数运用抛物
线的最值计算，正弦函数的应用，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
12．（2024·重庆·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与直线 交于点 ，
B(0,3)．直线 经过点 ．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点 是直线 上方抛物线上的一动点，过点 作 于点 ，作 于点 ，求
的最大值及此时点 的坐标；
(3)将抛物线沿射线 方向平移 个单位长度得到新抛物线 ，点 为平移后的抛物线 与 轴负半轴
的交点，将点 向下平移一个单位得到点 ，在直线 上确定一点 ，使得 ，请直接写
出所有符合条件的点 的坐标．
【答案】(1)
(2) 最大值为 ，点P的坐标为
(3) 或【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）求出直线 和 的解析式，然后过点P作 轴，交 ， 于点G，F，设点P的坐标为
，表示出 ， 的值，利用三角函数计算 即可解题；
（3）根据题意得到即抛物线向右平移 个单位，再向下平移 个单位得到抛物线 ，即可得到 的解析式，
然后求出点E的坐标，当点Q在点A右侧时，根据 计算；当点Q在点A左侧时，根据对称性计算
解题．
【详解】（1）解：把 ，B(0,3)代入 可得：
，解得 ，
∴抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：设直线 的解析式为 ，把 ，B(0,3)代入得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
同理可得直线 的解析式为： ，
解方程组 得 ，
∵ ，B(0,3)， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，过点P作 轴，交 ， 于点G，F，
则 ，
∴ ， ，
设点P的坐标为 ，则 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 最大，最大为 ，这时点P的坐标为 ；
（3）解： ，
由题意可得：抛物线沿射线 方向平移 个单位长度得到新抛物线 ，即抛物线向右平移 个单位，再
向下平移 个单位得到抛物线 ，
∴平移后 ，
令 ，则 ，解得： ， ，
∴点D的坐标为 ，
∵将点 向下平移一个单位得到点 ，
∴点 的坐标为 ，
∴直线 的解析式为 ，
设点Q的坐标为 ，
如图，当点Q在点A右侧时，由于 ，
则 ，
∴ ，即 ，
解得： ， （舍去），
∴点Q的坐标为 ；
当点 在点A左侧时， 则 ，
设直线 交y轴于点H，过B作 于点K，
则点H坐标为 ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
根据点Q的解法同理可得点 的坐标 ，
根据 可得点 的坐标为 ，
∴点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式，二次函数与线段和特殊三角形的综合，
勾股定理，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
13．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x轴交
于A， 两点，与y轴交于点C，如图所示．点D为抛物线的顶点，点 是抛物线上的一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线 上方抛物线上一动点，过点P分别作 交x轴于点M， 轴交直线 于点
N．求 的最大值及此时点P的坐标；
(3)将抛物线沿 方向平移 个单位长度得到新抛物线，点 是新抛物线的顶点，点F是点E平移后的对应点，点G是新抛物线上一动点，连接 ．当 时，请直接写出所有符合条件的点
G的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为 ；
(2) 的最大值为 ，
(3)点G的坐标为 或 ．
【分析】（1）将 、 两点的坐标代入抛物线的解析式，求得 ， ，进一步得出结果；
（2）作 于 ，设 ，可求得 ， 的值及 的解析式 ，根据
得 ，进而求得 ，根据 得出 ，从而表示出
，进一步得出结果；
（3）作 于 ，可求得 ， ，进而得出 轴，从而求得符合条件的 ，作 关于
的对称点 ，作射线 ，作 轴于点 ，可求得 ，从而得出 的解析式为
，进一步得出结果．
【详解】（1）解：由题意得，
，
，抛物线的解析式为 ；
（2）解：如图1，
作 于 ，设 ，
由 得，
， ，
，
，
设 的解析式为： ，
，
，
，
由 得，
，
，
∵ ，
，
，
，，
，
，
，
，
时， 的最大值为 ，
当 时， ，
；
（3）解：如图2，
作 于 ，
，
， ，
，， ，
， ，
，即 ，
，
，
，
如图3，
，
轴，
，
新抛物线与 轴右交点满足条件，
由 得，
， （舍去），
，
作 关于 的对称点 ，作射线 ，作 轴于点 ，
， ，
，
，
，
设 ，则 ，
，
在 中， ， ， ，
，， ，
， ，
，
的解析式为： ，
由 得，
（舍去）， ，
当 时， ，
，
综上所述：点G的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角
三角形等知识，解决问题的关键是较强的计算能力．
14．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两
点，交 轴于点 ，抛物线的对称轴是直线 ．
(1)求抛物线的表达式；(2)点 是直线 下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点 作 轴交抛物线于点 ，作 于点
，求 的最大值及此时点 的坐标；
(3)将抛物线沿射线 方向平移 个单位，在 取得最大值的条件下，点 为点 平移后的对
应点，连接 交 轴于点 ，点 为平移后的抛物线上一点，若 ，请直接写出所有
符合条件的点 的坐标．
【答案】(1)
(2) 最大值为 ； ；
(3) 或
【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）如图，延长 交 轴于 ，过 作 轴于 ，求解 ，可得
，证明 ，设 ， ， ，
再建立二次函数求解即可；
（3）由抛物线沿射线 方向平移 个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，可得
新的抛物线为： ， ，如图，当 在 轴的左侧时，过 作 轴于 ，证明
，可得 ，证明 ，如图，当 在 轴的右侧时，过
作 轴的垂线，过 作 过 的垂线于 ，同理可得： ，再进一步结合三角函数
建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于 ， 两点，交 轴于点 ，抛物线的对称轴是直线 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
（2）解：如图，延长 交 轴于 ，过 作 轴于 ，
∵当 时，
解得： ， ，
∴ ，
当 时， ，
∴C(0,−3)，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，C(0,−3)，
设 为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 为： ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线 的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴
，
当 时， 取得最大值，最大值为 ；
此时 ；
（3）解：∵抛物线沿射线 方向平移 个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴新的抛物线为： ， ，
如图，当 在 轴的左侧时，过 作 轴于 ，
∵ ，
同理可得：直线 为 ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
解得： 或 （舍去）
∴ ；
如图，当 在 轴的右侧时，过 作 轴的垂线，过 作 过 的垂线于 ，
同理可得： ，设 ，则 ，
同理可得： ，
∴ 或 （舍去），
∴ ．
【点睛】本题属于二次函数的综合题，难度很大，考查了待定系数法，二次函数的性质，锐角三角函数的
应用，关键是做出合适的辅助线进行转化，清晰的分类讨论是解本题的关键．
15．（2024·重庆开州·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A(−2,0)，
B(4,0)两点，与y轴交于点C，连接 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1：P是直线 上方抛物线上一动点，连接 ，求四边形 面积的最大值以及此时点P
的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线 的方向平移 个单位长度得到新抛物线 ，Q为新抛物线 上一动点，
作直线 交 所在的直线于点D，是否存在点Q满足条件 ，若存在，请写出所
有符合条件的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．
【答案】(1)
(2)四边形 面积的最大值为6，此时点P的坐标(3)点Q的坐标为 或
综上所述，Q点的坐标为 或 或 或 ．
【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质、二次函数综合题、二次函数图像的平移、二次函数与几何
的综合等知识点，掌握二次函数的相关性质是解题的关键．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）先求得 ，再根据图形可得 ，要求
的最大值，只需求得 的最大值即可；再求出直线 的解析式为 ；如图：过
P作 轴交 于D,设 ，则 ，易得 ，进而得
到 ，然后根据二次函数的性质即可解答；
（3）先求出平移后的函数解析式为 ，当Q点在x轴下方时，
是 的平分线，设C点关于x轴的对称点为 ，直线 与抛物线的交点为Q点的坐标；
当Q点在x轴上方时，设直线 与直线 交点为N， 是等腰三角形，设 ，根据等腰
三角形的性质求出 ，则直线BN与抛物线的交点为Q．
【详解】（1）解：将A(−2,0)，B(4,0)代入 可得：
，解得: ,
∴该抛物线的解析式为 ．
（2）解：∵ ，∴ ,即 ，
∵B(4,0)，
∴ ，
∴ ，
∵ ,
∴要求 的最大值，只需求得 的最大值即可，
设直线 的解析式为 ，
则有： ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
如图：过P作 轴交 于D,设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，此时 ， 有最大值2，即 有最大值6，
∴四边形 面积的最大值为6，此时点P的坐标 ．
（3）解：∵ ，∴ ， ，
∵将抛物线沿射线 的方向平移 个单位长度得到新抛物线 ，
∴抛物线沿x轴正半轴方向平移2个单位长度，沿y轴正半轴方向平移2个单位长度，
∵
∴平移后的函数解析式为 ，
当Q点在x轴下方时，
∵ ,
∴ ，
∴ 是 的平分线，
设点C关于x轴的对称点为 ,
设直线 的解析式为 ,
∴ ,解得： ,
∴直线BD的解析式为 ,
∴当 时，解得： 或
∴Q点横坐标为 或，∴纵坐标为 或
∴点Q的坐标为 或 ；
当Q点在x轴上方时，设直线 与直线 交点为N，
∵ ,
∴ 是等腰三角形，
∴ ，,
设 ，
∴ ，解得 或 （舍去），
∴ ，
∴直线BN的解析式为 ，
当 时，解得： 或 ，
∴Q点横坐标为 或 ，
∴Q点纵坐标为 或 ，
∴点Q的坐标为 或 ．
综上所述，Q点的坐标为 或 或 或
．
题型四：二次函数图像的对称
b
1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=− 的差的绝对值相等；
2ab
2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=− 对称；
2a
3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的
图象于x轴对称.
【中考母题学方法】
【典例4】（2024·陕西西安·模拟预测）已知二次函数 （ 为常数，且 ）的图象
经过 ， ， ， 四点，且点B在点A的右侧，则d的值不可能是
（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质．求得抛物线的对称轴为直线 ，得到点 关于直线
的对称点为 ，求得 ，根据抛物线开口向下，即可求解d的取值范围，据此即可
判断．
【详解】解：∵ ， ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴点 关于直线 的对称点为 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴抛物线开口向下，
∴ 或 ，
观察四个选项，d的值可能为 ， ，4，不可能是 ，
故选：B．
【变式4-1】（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知抛物线 经过 和 两点，
则 值为 ．【答案】5
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线经过 和 两点可得抛物线对称轴为
直线 ，进而求解．
【详解】解：∵抛物线 经过 和 两点
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
解得 ．
故答案为：5．
【变式4-2】根据局部对称后求交点个数
（2024·湖南常德·一模）将抛物线 中 轴上方的部分沿 轴翻折到 轴下方，图像的其余部分
不变，得到的新图像与直线 有 个交点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查抛物线与 轴的交点：把求二次函数 （ 、 、 是常数， ）与 轴
的交点坐标问题转化为解关于 的一元二次方程．解方程 得 ， ，再利用折叠的
性质求出折叠部分的解析式为 ，即 ，然后求出直线 经过
点 时 的值和当直线 与抛物线 有唯一公共点时 的值，即可得解．
掌握抛物线与 轴交点坐标的求法及抛物线与直线交点坐标的求法是解题的关键．也考查了二次函数图像
与几何变换．
【详解】解：对抛物线 ，
当 时，得： ，解得： 或 ，
∴抛物线与 轴的交点为 、 ，
∵将抛物线 中 轴上方的部分沿 轴翻折到 轴下方，图像的其余部分不变，
∴新图像中当 时，解析式为 ，即 ，如图，
当直线 经过点 时，此时直线 与新函数图像有 个交点，
把 代入直线 ，解得： ，
将直线 向下平移时，有 个交点，
当 与直线 有一个交点时，此时直线 与新函数图像有 个交点，
整理得： ，
∴ ，
解得： ，
综上所述，新图像与直线 有 个交点时， 的取值范围是 ．
故选：C．
【变式4-3】根据对称特征确定参数值
（2024·吉林·二模）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点A和 (点A在点
B的左侧)，与y轴相交于点(1)求此抛物线的解析式．
(2)点 D为抛物线的顶点，点P在抛物线的对称轴上(不与点D 重合)，将线段 绕点P 顺时针旋转 ，
点 D 恰好落在抛物线上的点Q处．
①点 D的坐标为 ．
②求点 Q的坐标．
(3)如图②，将图①中抛物线在x轴下方部分图象沿x轴折叠到x轴上方，与原抛物线在x轴上方的图象组
成新的图象．
①当 时，图象所对应的解析式为 ．
②再将新图象沿x轴向左平移m个单位长度，若平移后的图象在 范围内，y随x的增大而增大，
直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)① ；②
(3)① ；② 或
【分析】（1）利用待定系数法，将B、C两点的坐标代入抛物线方程，求出系数a、c,即可求得其解析式；
（2）根据旋转前后点D、Q与点P距离不变，得到各点坐标间关系，将Q点代入抛物线方程即可求解；
（3）①抛物线在x轴下方部分图象沿x轴折叠到x轴上方，原来解析式中x不变，而y则相反，即可求出
解析式；②根据新图象的特点，分别讨论在 段和点B的右侧落在 范围内，进而求出 的取值
范围即可．
【详解】（1）解：将点 、
分别代入抛物线 ，
得方程组：解得： ，
故抛物线的解析式为 ；
（2）∵抛物线方程可整理为
．
设点 ，
,
，即 ，
将其代入抛物线方程， ，
整理得 ，
或 ，
或 ．
又∵点P不与点D重合，
，
；
（3）①抛物线在x轴下方部分图象沿x轴折叠到x轴上方，原来解析式中x不变，而y则相反，
，即 ；
②∵当 时， 或5，
．
根据图象，在 段和点B的右侧，y随x的增大而增大，新图象向左平移m个单位后，
．∵平移后的图象在 范围内，y随x的增大而增大，
， ，
，
当B点右侧平移到 范围内时，有 ，即 ，
∴ 或 ．
【点睛】本题主要考查二次函数解析式的求法及其性质、与x轴的交点和图象的几何变换等，综合性较强，
有一定难度，计算量不小，要求学生有一定的分析推理能力．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）我们定义一种新函数：形如 的函数叫做
“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数 的图象如图所示，下列结论正确的是
（ ）
我
A．当 时，函数的最大值是4
B．函数值 随 的增大而增大，则
C．关于 的方程 的所有实数根的和为4
D．当直线 与该图象恰有三个公共点时，则
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由图象可
知 的对称轴为直线 ，根据函数的性质可知当 或 时，y随x的增大
而减小，当 或 时，y随x的增大而增大，进而可排除A、B选项，对于C选项可看作直线
与 的交点问题，对于D选项可通过图象进行求解．【详解】解：由图象可知该函数没有最大值；故A选项错误；
由图象可知当 时，其对称轴为直线 ，则有当 或 时，y随x的增大
而减小，当 或 时，y随x的增大而增大，故B选项错误；
如图，
由图可知： 与 ， 与 分别关于对称轴对称，根据对称性可知： ， ，所以关于
的方程 的所有实数根的和为4，故C选项正确；
如图，明显当直线 与该图象恰有三个公共点时，m的值有两个值；故D选项错误；
故选C．
2.（2024·黑龙江大庆·模拟预测）平面直角坐标系中，已知抛物线 （a是常数，且a＜
0），直线 过点 且垂直于y轴．当 时，沿直线 将该抛物线在直线上方的部分
翻折，其余部分不变，得到新图象G，图象G对应的函数记为 ，且当 时，函数 的最大值与
最小值之差小于7，则n的取值范围为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了二次函数顶点坐标和二次函数的翻折，解题关键是准确理解题意，列出不等式．
先求得顶点M的坐标，然后根据轴对称的性质求得对称点 的坐标，再求出时函数值，确定最大值和最
小值，根据最大值与最小值之差小于7，列不等式即可．
【详解】解： ，当 时， ，
抛物线的顶点 ，
直线 轴且过点 ，
点M关于直线 的对称点 ，
抛物线y 的对称轴为直线 ，且自变量x的取值范围为 ，
1
当 时 的值与当 时 的值相等，为 ，
由题意得函数 的最大值为n，
若 ，即 时， 的最小值为 ，
∵函数 的最大值与最小值之差小于7，
，即 ，
，
若 ，即 时， 的最小值为 ，
∵函数 的最大值与最小值之差小于7，
即 ，
，
综上， ，
故答案为： ．3．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数 ，点 均在该
二次函数的图象上，且 ，则k的取值范围为 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据点 ，可得二次函数图象的对称
轴，从而得到点 关于对称轴的对称点为 ，再分两种情况：当点 在对称轴的左侧
时；当点 在对称轴的右侧时，即可求解．
【详解】解：∵点 均在该二次函数的图象上，且关于对称轴对称，
∴二次函数图象的对称轴为直线 ，
∴点 关于对称轴的对称点为 ，
当 时， ，
∴二次函数的图象与y轴的交点为(0,2)，
∵ ，
当点 在对称轴的左侧时， ；
当点 在对称轴的右侧时， ，且 ，
解得： ；
综上所述，k的取值范围为 或 ．故答案为： 或 ．
4．（2024·四川达州·二模）如图，将抛物线 在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，
得到一新函数图象．若一次函数 的图象与新函数图象有4个公共点，则m的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，先求出原抛物线与x轴的两个交点坐标分别为
，再求出翻转后的函数解析式为 ，然后求出当函数 恰好经过
点 时，当函数 与抛物线 只有一个交点时m的值即可得到答案．
【详解】解：在 中，当 时，解得 或 ，
∴抛物线 与x轴的两个交点坐标分别为 ；
设 是抛物线 在x轴上方的部分沿x轴翻折后的图象上一点，则
是抛物线 图象上一点，
∴ ，即 ，
∴翻转后的函数解析式为 ，
当函数 恰好经过点 时，则 ，解得 ，当函数 与抛物线 只有一个交点时，
联立 得 ，
当 时， ，
∴由函数图象可知，当 时，一次函数 的图象与新函数图象有4个公共点，
故答案为： ．
5．（2025·上海奉贤·一模）二次函数 的图象经过点
，其中m、n为常数，那么 的值为 ．
【答案】 /0.6
【分析】根据 得抛物线的对称轴为直线 ， ，
抛物线变形为 ，把 代入 得 ；把 代入
，得到 ，解答即可．
本题考查了抛物线的对称轴的意义，图象于点的关系，对称点坐标与对称轴的关系，熟练掌握抛物线的性
质是解题的关键．【详解】解：∵ 是抛物线 图象上的点，
∴抛物线的对称轴为直线 ， ，
∴ ，
∴抛物线变形为 ，
把 代入 得 ；
把 代入 ，得 ，
∴ ．
故答案为： ．
题型五：确定自变量取值范围内的二次函数最值
自变量取值范围 图象 最大值 最小值
无 b
y 当x=− 时，二次函数
2a
x 4ac−b2
a>0 取得最小值
O 4a
全体实数
b 无
y 当 x=− 时，二次函
2a
4ac−b2
a<0 数取得最大值
x 4a
O
当x=x2时，二次函数取 b
y 当x=− 时，二次函数
得最大值y2 2a
y
2
4ac−b2
x 取得最小值
4a
x O x
1 2y
当x=x1时，二次函数取
当x=−
b
时，二次函数
得最大值y1 2a
y
1 4ac−b2
x 取得最小值
x x 4a
x1≤x≤x2 a>0 1
y
2
2
当x=x2时，二次函数取 当x=x1时，二次函数取
y
得最大值y2 得最小值y1
x
1 x
O x
2
y
2
y
1
【中考母题学方法】
【典例5】（2024·四川内江·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙
粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，
该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒．
(1)求这两种粽子的进价；
(2)设猪肉粽每盒售价 元 ， 表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求 关于 的函数
表达式并求出 的最大值．
【答案】(1)猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元
(2) 或 ，当 时， 取得最大值为1000元
【分析】本题考查列分式方程解应用题和二次函数求最值，解决本题的关键是正确寻找本题的等量关系及
二次函数配方求最值问题．
（1）设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为 元．根据“用5000元购进的猪肉粽盒数
与3000元购进的豆沙粽盒数相同”即可列出方程，求解并检验即可；
（2）根据题意可列出y关于x的函数解析式，再根据二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为 元
由题意得：解得：
经检验： 是原方程的解且符合题意
∴
答：猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元．
（2）解：设猪肉粽每盒售价 元 ， 表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），则
∵ ， ，
∴当 时， 取得最大值为1000元．
【变式5-1】（2024·四川眉山·二模）若函数 ；当 时，此时该函数的最小值
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的性质等知识点，根据函数的取值范围确定函数最小值出现在哪个函数
上，然后再根据二次函数的性质即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解决此题的关键．
【详解】解：∵函数 ，
∴当 时，函数的最小值在函数 上，
∴当x=2时，该函数的最小值是3，
故选：A．
【变式5-2】难点求已知对称轴和自变量取值范围的含参二次函数最值
（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知二次函数 的图象过 三点
(1)求函数的解析式；
(2)问是否存在m，n( )，使函数在 范围内的最小值是 ，最大值是 ？若存在，求出m，
n；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在， ，【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，关键是分情况讨论和根据特征点
解题．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）分三种情况讨论，分别根据二次函数的图像与性质进行求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数 的图象过 ，
∴ ，
解得： ，
∴解析式为： ；
（2）解：存在，理由如下：
对于 ，对称轴为直线 ，
∴①当 时，函数在 范围内， 随 增大而减小，
∴当 时， ， 时， ，
∴ ， ，
两式相减得： ，
∴ 或 ，均不符合题意，舍；
②当 时，函数在 范围内， 随 增大而增大，
∴当 时， ， 时， ，
∴ ， ，
解得： 或 ； 或 ，
∴满足题意得话： ， ；
③当 时，
此时当 时， ，
解得： ，不符合题意，舍，
综上所述： ， ．【变式5-3】难点通过含参二次函数中参数的取值范围确定最值范围
（2023·江苏·中考真题）已知二次函数 （ 为常数）．
(1)该函数图像与 轴交于 两点，若点 坐标为 ，
①则 的值是_________，点 的坐标是_________；
②当 时，借助图像，求自变量 的取值范围；
(2)对于一切实数 ，若函数值 总成立，求 的取值范围（用含 的式子表示）；
(3)当 时（其中 为实数， ），自变量 的取值范围是 ，求 和 的值以及 的取
值范围．
【答案】(1)① ② 或
(2)
(3)
【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式，令 ，求出点 的坐标即可；②画出函数图像，图像法
求出 的取值范围即可；
（2）求出二次函数的最小值，即可得解；
（3）根据当 时（其中 为实数， ），自变量 的取值范围是 ，得到 和
关于对称轴对称，进而求出 的值，得到 为 的函数值，求出 ，推出直线 过抛物线顶点
或在抛物线的下方，即可得出结论．
【详解】（1）解：①∵函数图像与 轴交于 两点，点 坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴点 的坐标是 ；故答案为： ；
② ，
列表如下：
1 3 4
5 0 0 5
画出函数图像如下：
由图可知：当 时， 或 ；
（2）∵ ，
∴当 时， 有最小值为 ；
∵对于一切实数 ，若函数值 总成立，
∴ ；（3）∵ ，
∴抛物线的开口向上，对称轴为 ，
又当 时（其中 为实数， ），自变量 的取值范围是 ，
∴直线 与抛物线的两个交点为 ，直线 在抛物线的下方，
∴ 关于对称轴对称，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， 有最小值 ，
∴ ．【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，利用数形结合和分类讨论的
思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性较强，属于中考压轴题．
【中考模拟即学即练】
1.（2024·安徽蚌埠·模拟预测）函数 的最小值是
【答案】
【分析】本题考查了二次函数求最值，二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点，利用换元法求解是解题
本题的关键．
先将函数 化为 ，令 ，则
，那么化为 求最值即可．
【详解】解：
，
令 ，∴ ，
∴ ，
即 ，
可求函数 的对称轴为直线： ，
∵ ，
∴当 时，函数 取得最小值为： ，
∴函数 的最小值为 ，
故答案为： ．
2．（2024·湖北·模拟预测）近年来，湖北省某地致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”“高端民宿”
为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，
当每个房间每天的定价为500元时，所有房间全部住满；当每个房间每天的定价每增加50元时，就会有一
个房间无人入住，如果有游客居住房间，民宿每天需要对每个房间各支出100元的其他费用．设每个房间
每天的定价增加x个50元（ ，且x为整数），该民宿每天游客居住的房间数量为y间，所获利润
为W元．为吸引游客，该地物价部门要求民宿尽最大可能让利游客．
(1)分别求出y与x，W与x之间的函数关系式；
(2)当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到9600元；
(3)求当每个房间的定价为多少元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1) ，
(2)700元
(3)当每个房间的定价为800元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是9800元
【分析】（1）根据现有房间数量=原有房间数量-无人居住房间数量列出函数关系式，根据利润=房间数量
每个房间的利润列出函数关系式即可求解；
（2）把9600代入 中，求解即可；
（3）根据利润=房间个数 每个房间的利润列出二次函数关系式，根据二次函数顶点式求出最大值即可；本题主要考查二次函数的实际应用，准确列出二次函数关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得 ，（ ，且x为整数）
．
（2）由题意得 ，
∴ ，
解得 ， ，
∵民宿尽最大可能让利游客， ，
∴每个房间的定价为 （元）．
答：当定价为700元时，民宿每天获得的利润可以达到9600元．
（3） ，
∵ ，
∴当 时，W有最大值为9800元，此时 （元）．
答：当每个房间的定价为800元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是9800元．
3．（2024·山西·二模）如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y
轴交于点C，连接 ．
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段 所在直线的函数表达式；
(2)点P是线段 上方抛物线上的一个动点，过点P作 轴于点M，交 于点N求线段 长的最
大值．
【答案】(1) ；线段 所在直线的函数表达式
(2)3【分析】（1）分别令 ，解方程即可得到A，B，C 三点的坐标，再利用待定系数法即可求出线
段 所在直线的函数表达式；
（2）根据题意，结合（1）线段 所在直线的函数表达式，设点P的坐标为 ，点N
的坐标为 ，由 ，利用二次函数
的性质解答即可．
【详解】（1）解：在 中，
令 ，则 ，
点C的坐标为 ，
令 ，则 ，
即 ，
解得： 或 ，
点A在点B的左侧，
点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
设线段 所在直线的函数表达式为 ，
将点 代入 ，得 ，
解得： ，
线段 所在直线的函数表达式为 ；
（2）解： 点P在抛物线 上，
设点P的坐标为 ，轴交 于点N，
点N的坐标为 ，
点P在线段 上方的抛物线上，
且 ，
，且 ，
当 时， 有最大值，线段 长的最大值为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函
数的性质和一次函数的性质进行解题．
4．（2024·山东·模拟预测）某服装店购进一批衬衣，成本价每件 元，若售价为 元，则每月能售出
件．经调查发现，售价每增长一元，则销量将减少 件．
(1)求出月销售利润 （元）与售价 （元/件）之间的函数关系式．
(2)试问：当每件衬衣售价为多少元时，服装店所获月利润最大，并求最大利润为多少？
【答案】(1)
(2)当价格为 元时，才服装店所获月利润最大，并求最大利润为 元
【分析】本题考查二次函数在实际生活中的应用，确定 与 之间的函数关系式是解题的关键．
（1）按照等量关系“每月获得的利润＝（销售价格﹣进价）×销售件数”列出二次函数；
（2）根据二次函数的性质求得最值
【详解】（1）解：根据题意得：
，
∴ 与 的函数关系式为： ；
（2）∵ ，
又∵ ，
∴当 时， 有最大值， 的最大值为 ，
答：当每件衬衣售价为 元时，服装店所获月利润最大，最大利润为 元．
5．（2024·新疆克孜勒苏·一模）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点，且 ．
(1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
(2)判断 的形状，并证明你的结论；
(3)在该抛物线位于第四象限内的部分上是否存在点 ，使得 的面积最大？若存在，求出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)直角三角形，证明见解析
(3)存在，
【分析】（1）把点 代入 可求出 ，即可得出抛物线解析式，配方即可得出顶点坐
标；
（2）根据（1）得抛物线的解析式，求出点 的坐标，根据勾股定理的逆定理即可得结论；
（3）先根据 、 坐标，利用待定系数法求出直线 的解析式，设 ，用 表示出点 坐
标及 的长，求出二次函数取得最大值时的 值，代入 即可得答案．
【详解】（1）解：∵点 在抛物线 上，
∴ ，
∴ ，∴抛物线的解析式为： ；
∵ ，
∴顶点 ．
（2）∵抛物线 与 轴交于点 ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线 与 轴交于点 ，点 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴点B(4,0)，
∴ ， ， ，
∵ ； ； ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
（3）存在，理由如下：
过点 作 轴，交 于 ，
设直线 的解析式为 ，
∵B(4,0)， ，∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，
∴ ，
∴点 ．
【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，待定系数法求解析式，求一次函数解析式，二次函数的最值求
法及勾股定理的逆定理是解题关键．
题型六 ：已知自变量的取值范围和最值,求参数
分类讨论对称轴位置
抛物线对称轴已知,自变量的取值范围含参,分类讨论取值范围在对称轴的哪一侧,分别确定最大值和最小值:
抛物线对称轴含参数,自变量的取值范围已知,分类讨论对称轴与自变量取值范围端点的位置关系结合最值
求解.
【中考母题学方法】
【典例6】（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数 ，当 时，函数取得最
大值；当 时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是
解题的关键．
由 ，可知图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，当 时，
，即 关于对称轴对称的点坐标为 ，由当 时，函数取得最大值；当 时，函数取得
最小值，可得 ，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：∵ ，
∴图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
当 时， ，
∴ 关于对称轴对称的点坐标为 ，
∵当 时，函数取得最大值；当 时，函数取得最小值，
∴ ，
解得， ，
故选：C．
【变式6-1】（2024·山东德州·中考真题）已知抛物线 ， 为实数．
(1)如果该抛物线经过点 ，求此抛物线的顶点坐标．
(2)如果当 时， 的最大值为4，求 的值．
(3)点 ，点 ，如果该抛物线与线段 （不含端点）恰有一个交点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2) ，
(3) 或
【分析】（1）利用待定系数法求出函数表达式，然后化成顶点式，从而解得答案；
（2）先求出函数的对称轴为 ，判断函数的开口向上，判断出当 时， 取最大值4，代入
从而求得答案；（3）当 ， ，当 时， ，当交点在线段 之间时，那么 且
，或者当 时， ，从而解得答案；
【详解】（1）解： 该抛物线经过点
解得
顶点坐标为
（2）解：
对称轴为 ，函数图象开口向上
，
当 时， 取最大值4
解得 ，
（3）解： 当 ，
当 时，
当交点在线段 之间时，当 时，
解得 ；
当 时，
解得 ；
综上， 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与
线段的交点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【变式6-2】（2024·云南昆明·模拟预测）已知二次函数 （b，c是常数）．
(1)写出一组b，c的值，使函数 的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由；(2)若 ， ，当 ，q（p，q是实数， ）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若 ，
求证： ；
(3)当 时，在自变量x的值满足 的情况下，与其对应的函数值y的最小值为 ，求b的值．
【答案】(1) ， (答案不唯一)；
(2)见解析
(3)b的值 或 ．
【分析】（1）根据 ，即可求解；
（2）由题意得 ， ，计算得到 ，据此求解即
可；
（3）将 代入得 ，对称轴为直线 ，以对称轴的位置分三种情况讨论，即可求
解．
【详解】（1）解：∵函数 的图象与x轴有两个不同的交点，
∴ ，即 ，
∴取 ，则 (答案不唯一)；
（2）解：将 ， 代入 得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
当 时， ，此时， ，不合题意，舍去；∴ ；
（3）解：将 代入得 ，对称轴为直线 ，
当 即 时，如图，
当 时，最小值为 ，即 ，
解得 ，
∴b的值 ；
当 即 时，如图，
当 时，最小值为 ，即 ，
解得 ，
∴b的值 ；
当 即 时，如图，当 时，最小值为 ，即 ，
解得 或 (都不符合题意)，
综上：b的值 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线与x轴的交点坐标，抛物线上点的坐标的特征，
配方法求函数的极值，待定系数法和配方法是解决此类问题常用的方法．
【变式6-3】新考法新定义阅读理解题型
（2024·广东深圳·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点 是函
数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“ ”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵
横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】已知点 在函数 图象上．点 的“纵横值”为 ；函数
图象上所有点的“纵横值”可以表示为 ，当 时， 的最大值为 ，
所以函数 的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
(1)①点 的“纵横值”为 ；
②求出函数 的“最优纵横值”；
(2)若二次函数 的顶点在直线 上，且最优纵横值为5，求c的值；
(3)若二次函数 ，当 时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．
【答案】(1)①8；②2(2)4
(3)5或
【分析】本题以新定义题型为背景，考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理
解最优纵横值的定义是解题的关键．
（1）①根据定义直接求解即可；②根据定义先求出 ，即可求解；
（2）先确定函数的解析式为 ，再由 的
最优纵横值为5，得到 ，即可求解；
（3）先求 ，再分类讨论 若 ， 若 ，两种情况即可求
解；
【详解】（1）解：①由题意得：点 的“纵横值”为 ，
故答案为：
② ，
∵ ，
∴
∴函数 的“最优纵横值”为2
（2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
解得：
∴
∴
∵最优纵横值为5，
∴
∴（3）解：
若 ，则当 时， ；
即： ，
解得： 或 （舍去）；
若 ，则当 时， ；
即： ，
解得 （舍）或 ；
综上所述：b的值为5或−2．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·河北·模拟预测）如图，二次函数 的图象与 轴交于A，B两点（点A在
点B左侧），与 轴交于点C，且 ．
(1)求二次函数的解析式．
(2)平移该二次函数的图象，使平移后的二次函数图象的顶点坐标为 ，若当 时函
数的最大值为7，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解 当 时，
∶
即 ，解得 ， ，
点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．
∴
当 时， ．，
∵ ，解得 ，
∴
二次函数的解析式为 ．
∴
（2）由题意可知， ，
将函数图象平移后，顶点坐标为 ，
∵
平移后的函数解析式为 ，
∴
平移后的函数的对称轴为直线 ．
∴当 ， 时函数取得最大值，
即 ，解得 或 ，均不符合题意，舍去；
当 ， 时函数取得最大值，
即 ，解得 ，符合题意．
综上所述， 的值为 ．
2．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 ，c是常数）经过点
，且对称轴为直线 ，动点P在抛物线上，其横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P到y轴的距离小于3，求点P的纵坐标的取值范围；
(3)若抛物线位于点P右侧（包含点P）部分的函数值最小为 ，求m的值．
【答案】(1)(2)
(3)
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的性质等等：
（1）先由对称性求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意求出 ，再由 可求出点P纵坐标的最小值，再求当 和 时的函数
值即可得到答案；
（3）分两种情况，一是当 时， ，则 ；二是当 时， ，则
，解方程求出符合题意的 值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点 ，且对称轴为直线 ，
∴抛物线经过 ，
∴ ，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）解：∵点 到 轴的距离小于3，
，
，
当 时， ；
当 时，则 ；
当 时，则 ，
，
点 的纵坐标的取范围是 ；（3）解：如图2，当 时， ，
，
解得 （不符合题意，舍去）；
如图3，当 时， ，
，
解得 ， （不符合题意，舍去），
综上所述， 的值为 ．
3．（2024·安徽六安·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 （b和c是常数）与x
轴交于点A，B，与y轴交于点C，且 ， ．
(1)求b，c的值；
(2)如图2，点P是直线 下方抛物线上的一点（不与点B，C重合），过点P作 轴于点D， 与交于点Q．若 ，求点P的坐标；
(3)当二次函数 的自变量x满足 时，此函数的最大值与最小值的差为3，求此时m
的值．
【答案】(1) ，c的值分别为 ，
(2)
(3)m的值为 或2
【分析】此题是二次函数和一次函数综合题，数形结合和分类讨论是解题的关键．
（1）求出 ，C(0,−3)，进一步即可求出b，c的值；
（2）由（1）知抛物线的解析式为 ．设 ，则 ．求出直线 的解析式为
，则 ，得到 ， ．根据 得到方程，解方程即可求出答案；
（3）求出抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ．当 时， ，当 时，
．根据m的取值范围分段进行求解即可．
【详解】（1）解： ，
，C(0,−3)，
．
把 代入 ，
得 ，
解得 ，
，c的值分别为 ，
（2）由（1）知抛物线的解析式为 ．
设 ，则 ．由 ，C(0,−3)，
设直线直线BC的解析式为 ，
则
解得
∴直线 的解析式为 ，
，
， ．
，
，
整理，得 ，
解得 ， （舍去）．
当 时， ，
，
即当 时，点P的坐标为 ．
（3）由（1）知抛物线的解析式为 ，
则该抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ．
当 时， ，
当 时， ．
当 ，即 时，函数的最小值是 ，函数的最大值是 ，，解得 ；
当 时，函数的最小值是 ，函数的最大值是 ，
，解得 ；
当 时，函数的最小值是 ，函数的最大值是 ，
，解得 （舍去）或 （舍去）；
当 时，函数的最小值是 ，函数的最大值是 ，
，解得 （舍去）或 （舍去）；
综上所述，此时m的值为 或2．
4．（2024·云南·一模）在平面直角坐标系中，如果点 的横坐标和纵坐标相等，则称点 为和谐点，例
如：点 ， ， 都是和谐点．
(1)判断函数 的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
(2)若二次函数 的图象上有且只有一个和谐点 ．当 时，函数
的最小值为 ，最大值为0，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数与一次函数的关系，一次函数与一次函数交点问题：
（1）根据和谐点定义得到点在 上，联合 求解即可得到答案；
（2）根据和谐点联立二次函数与一次函数求解即可得到答案；
【详解】（1）解： 点 的横坐标和纵坐标相等，则称点 为和谐点，和谐点都在 上， ，
解得 ，
图象上的和谐点为 ；
（2）解： 二次函数 的图象上有且只有一个和谐点 ，
∴ ，即 有两个相等的实数根，
，
解得 ①，
将 代入 得，
②，
联立①②，得 ， ，
，
其顶点坐标为 ，则最小值为 ，
根据对称轴可知，当 时， ，
根据函数图象可知，当 时，函数 的最小值为 ，最大值为0，
实数 的取值范围为 ．
5．（2024·江西宜春·模拟预测）如图，若b是正数，直线 与y轴交于点A；直线 与y轴
交于点B；抛物线 的顶点为C，且L与x轴右交点为D．(1)若 ，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；
(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；
(3)设 ，点 分别在l，a和L上，且 是 的平均数，求点 与点D
间的距离；
(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出
和 时“美点”的个数．
【答案】(1) ，L的对称轴 与 的交点
(2)最大值为1
(3)
(4) 时“美点”的个数为4040个， 时“美点”的个数为1010个
【分析】（1）算出 ，把 代入L求解即可；
（2）由 ，得到L的顶点 ，由于点C点l下方，于是得到结论；
（3）由题意得到 ，即 ，得 解得 或 ．但
，取 ，得到右交点 ．于是得到结论；
（4）①当 时，抛物线解析式 直线解析式 ，“美点”总计4040个点，
②当 时，抛物线解析式 ，直线解析式 ，“美点”共有1010个．
【详解】（1）解：当 时， ，∴ ，
∵ ，而 ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴L的对称轴 ，
当 时， ，
∴L的对称轴与a的交点为 ；
（2）解：∵ ，
∴L的顶点 ，
∵点C在l下方，
∴C与l的距离为 ，
∴点C与l距离的最大值为1；
（3）解：由题意得 ，即 ，
得 ，
解得 或 ．
但 ，取 ，
对于L，当 时， ，即 ，解得 ，
∵ ，
∴右交点 ．∴点 与点D间的距离为 ．
（4）解：①当 时，抛物线解析式为 ，
直线解析式 ，
联立上述两个解析式可得： ，
∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且 和2021之间(包括 和 )，共有2023个整数；
∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，
∴线段和抛物线上各有2023个整数点，∴总计4042个点，
∵这两段图象交点有2个点重复重复，
∴“美点”的个数： (个)；
②当 时，
抛物线解析式 ，
直线解析式 ，
联立上述两个解析式可得： ，
∴当x取整数时，在一次函数 上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，
在二次函数 图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，
可知 到 之间有1009个偶数，并且在 和 之间还有整数0，验证后可知0也符合条件，因
此“美点”共有1010个．
故 时“美点”的个数为4040个， 时“美点”的个数为1010个．
【点睛】本题考查了二次函数几何综合，熟练运用二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式是解题的
关键．
