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1.3 不等式性质与三个一元二次一元二次方程根的分布
设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ>0)有不相等的两根为x ，x ，且x<x ，相应的二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c，方
1 2 1 2
程的根即为二次函数的图象与x轴交点的横坐标，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)．
（1）两根与0的大小比较即根的正负情况
（2）两根与k的大小比较
一正根一负根即一个根小
两个负根即两根都小于 两个正根即两根都大于
分布情况 于0，一个根大于
0(x<0，x<0) 0(x>0，x>0)
1 2 1 2
0(x<0<x)
1 2
大致图象(a>0)
得出的结论 f(0)<0
大致图象(a<0)
得出的结论 f(0)>0
综合结论(不讨论a) a·f(0)<0
两根都小于k即 两根都大于k即x>k， 一个根小于k，一个根大
1
分布情况
x<k，x<k x>k 于k即x<k<x
1 2 2 1 2
大致图象(a>0)
f(k)<0
得出的结论
大致图象(a<0)
f(k)>0
得出的结论
综合结论(不讨 a·f(k)<0论a)
（3）根在区间上的分布
两根有且仅有一根在
两根分别在区间(m，n)
(m，n)内(图象有两 一根在(m，n)内，另一
分布情况 两根都在(m，n)内 外，即在区间两侧x<m，
1
种情况，只画了一 根在(p，q)内，m<n<p<q
x>n
2
种)
大致图象(a>0)
得出的结论 f(m)·f(n)<0 或
大致图象(a<0)
得出的结论 f(m)·f(n)<0 或
综合结论(不讨
__________ f(m)·f(n)<0
论a)
考点一 比较数（式）大小
【例1-1】（2024湖南长沙）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（2024辽宁丹东）（多选）下列各式的大小关系正确的是（ ）
A． B．C． D．
【例1-3】（2024·云南昆明·模拟预测）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2024吉林长春）（多选）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．无法确定
2（2023·云南）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
3（2024·重庆）（多选）下列大小关系正确的有（ ）
A． B． C． D．
考点二 判断不等式的正误
【例2-1】（2024高三·全国·专题练习）若 ,且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【例2-2】（2024广西贺州）（多选）若 ， ，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024北京·期中）若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上海）设 ，若 ，则（ ）.
A． B． C． D．
3．（2024高三·全国·专题练习）若 ，则下列不等式一定成立的是（ ）A． B．
C． D．
4．（2024四川成都）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
考点三 代数式不等式范围
【例3-1】（2024云南）（多选）已知 ， ，则（ ）
A． 的取值范围为 B． 的取值范围为
C．ab的取值范围为 D． 的取值范围为
【例3-2】（2024山东菏泽）已知 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例3-3】（2024云南大理）已知 的三边长分别为 ， ， ，且满足 ，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024河北石家庄）已知 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024河北·阶段练习）（多选）已知 ，则以下命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．3．（2024广东广州）已知 且满足 ，则 的取值范围是 .
考点四 解无参不等式
【例4】（2023秋·内蒙古呼和浩特）求解下列不等式的解集：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) .
(6) ；(7) ；(8) ；(9) .
【一隅三反】
（2024广东湛江）解下列关于x的不等式：
（1） （2）(1) （3） ．（4）(4) :(5)
(6) ；(7) ．(8) (9) (10)考点五 解含参的一元二次不等式
【例5-1】（2024广东潮州）解下来关于实数 的不等式
（1） (2) ．（3） ．
【例5-2】（2024·湖南邵阳）关于x的不等式 恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2024北京）关于 的不等式 的解集中至多包含1个整数，写出满足条件的一个 的取
值范围 .2（2024湖北武汉）若关于 的不等式 有且仅有两个整数解，则实数 的取值范围是
.
3.（2024江苏无锡）已知函数 ．
(1)解关于 的不等式 ；
(2)若不等式 有且仅有唯一整数解，求实数a的取值范围．
4. （2023·全国·高三专题练习）解下列关于 的不等式
（1） （2） （3） ．（4）
考点六 三个一元二次的关系
【例6-1】（2024云南昭通）不等式 的解集是 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【例6-2】（2024黑龙江大庆）（多选）已知关于x的不等式 的解集为 或 ，则下
列说法正确的是（ ）
A． B．关于x的不等式 的解集是C． D．关于x的不等式 的解集为 或
【一隅三反】
1．（2024广东揭阳）（多选）已知不等式 的解集为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024山东临沂）（多选）已知关于 的一元二次不等式 的解集为{ 或 }，则
（ ）
A． 且 B．
C．不等式 的解集为 D．不等式 的解集为
3．（2024江苏）（多选）关于 的不等式 的解集为 ，下列说法正确的是
（ ）
A．
B．不等式 的解集为
C． 的最大值为
D．关于 的不等式 解集中仅有两个整数，则 的取值范围是
考点七 一元二次方程根的分布
【例7-1】（2024河南南阳）一元二次方程 有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件
是（ ）
A． B． C． D．
【例7-2】（2024重庆）关于x的一元二次方程 有一个根小于 ，另一个根大于1，则a
的取值范围是 .
【例7-3】（23-24高三上·四川·阶段练习）若关于 的方程 在区间 上有两个不相等的实数解，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例7-4】（2024北京石景山）若关于 的一元二次方程 有两个实根，且一个实根小于1，另一
个实根大于2，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2024山西太原）（多选）已知关于 的方程 ，则（ ）.
A．当 时，方程有两个不相等的实数根
B．方程无实数根的一个充分条件是
C．方程有两个不相等的负根的充要条件是
D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是
2．（2024辽宁大连）关于x的方程 至少有一个负根的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024河南南阳）若方程 的两实根均在区间 内，求 的取值范围（ ）.
A． B．
C． D．
4．（2024高三·全国·专题练习）关于 的方程 有两个不相等的实数根 ，且 ，
那么 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
5．（2024浙江）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实根 ，且 ．
则实数a的取值范围为 ．
考点八 一元二次（能）恒成立
【例8-1】（2024上海）若对于任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是 .
【例8-2】（2024湖南郴州） ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 .
【例8-3】（2024新疆哈密）已知关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是
．
【一隅三反】
1．（2024上海）若存在 ，使得 ，则实数a的取值范围 ．
2．（2024广西柳州）若不等式 对一切 恒成立，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·重庆）已知命题“对 ，都有 恒成立”为真，则 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024贵州铜仁）当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024河南南阳）已知函数 ，若 ， ，则实数 的最大值为
（ ）A． B． C．2 D．
一．单选题
1．（2024北京·期中）若a，b是任意实数，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024浙江杭州）已知a、b都是实数，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
3．（2024上海浦东新）方程 在区间 和 各有一个根的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·浙江·模拟预测）若不等式 的解为全体实数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024浙江金华）若对于任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024山东滨州）若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024四川绵阳）设 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024河南信阳）若 ，那么下列不等式一定不成立的是（ ）A． B． C． D．
二．多选题
9．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．不等式 的解集是
B．不等式 的解集是
C．若不等式 恒成立，则a的取值范围是
D．若关于x的不等式 的解集是 ，则 的值为
10．（2024湖南长沙）已知 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ， ， ，则
11．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知 ，关于x的一元二次不等式 的解集可能是
（ ）
A． 或 B．
C． D．
三．填空题
12．（2024江苏连云港）已知方程 的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数 的取值
范围 .
13．（2024上海闵行）已知函数 对任意实数 都有 成立，则实数 的取值范围是
.
14（2024重庆）若 时， 恒成立，则a的取值范围为______.
四．解答题15．（2024高三·全国·专题练习）已知函数
(1)若函数 在 上是单调函数，求实数 的取值范围.
(2)当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
16．（2024·江西）已知 .
(1)若不等式 的解集为 ，求实数 、 的值；
(2)若 时，对于任意的实数 ，都有 ，求 的取值范围.
17．（2024山东济南）已知函数 .(1)若不等式 的解集为 ，求实数 的值；
(2)当 时，
（i）解关于x的不等式 ；
（i）若存在 ，使得 ，求实数a的取值范围.
18．（2024辽宁）已知函数
(1)解关于 的不等式 ；
(2)若方程 有两个正实数根 ，求 的最小值.19．（2024江苏宿迁）已知函数 ．
(1)若不等式 的解集是空集，求m的取值范围；
(2)当 时，解不等式 ；
(3)若不等式 的解集为D，若 ，求m的取值范围．
