专题03 导数高考专项复习
专题3.1 导数的基本概念和切线相关题型
3.1.1 导数的基本运算
知识点梳理
1.基本初等函数的导数公式
注意：（1）中学阶段研究的函数都是连续可导函数，若无特殊说明，一般不涉及函数不可
导的问题.（2）基本初等函数的导数公式不要求推导，直接使用即可.
2.导数的四则运算法则
（1）函数的和差的导数运算法则：
.
拓展：[f 1( x)± f 2( x)±⋯± f n( x)]' = f 1'( x)± f 2'( x)±⋯± f n'( x).
（2）函数积的导数运算法则：
.
拓展：①若c 为常数，则[cf ( x)]' =cf '( x).
②若a,b 为常数，则[af ( x)±b g( x)]' =af '( x)±b g'( x).
原函数
导函数
f ( x)=c(c 为常数)
f ( x)= sinx
f ( x)=cosx
f(x)＝ax（a>0 且a≠1）
f(x)＝ex（a>0 且a≠1）
f(x)＝logax(a>0，且a≠1)
f ( x)=lnx
（3）函数商的导数运算法则：
.
拓展：若c 为常数，[
c
g( x)]' =−c g'( x)
[g( x)]
2 .
3.简单复合函数的导数
（1）复合函数的定义：一般地，对于两个函数y = f ( μ)和μ= g( x),如果通过中间量μ
，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y = f ( μ)和μ= g( x)的复合函数，记作
y = f (g( x)).
（2）复合函数的求导法则：一般地，对于由函数y = f ( μ)和μ= g( x)复合而成的函数
y = f (g( x))，它的导数与函数y = f ( μ)和μ= g( x)的导数间的关系为y x' = yu' ⋅ux'.
典型例题
例1.求下列函数的导数：
（1）y=sin(2x+1)；
（2）y =(4 x −1)
3；
（3）y＝xln（x+1）；
（4）y＝sin22x+2x+1．
解：（1）y ' =cos(2 x +1)⋅(2 x +1)' =2cos(2 x +1)；
（2）y ' =3(4 x −1)
2⋅(4 x −1)'；
（3）根据题意，y＝xln（x+1），
其导数y ′ = ln( x +1)+ x⋅
1
x +1 = ln( x +1)+
x
x +1
；
（4）根据题意，y＝sin2（2x）+2x+1，
其导数y′＝4sin（2x）•cos（2x）+2xln2＝2sin（4x）+2xln2．
例2.已知函数f ( x)= ❑√x +1，则lim
Δx →0 f (1+ Δx)−f (1)
Δx
=（ ）
A．3
2
B．1
C．1
2
D．2
解：因为函数f ( x)= ❑√x +1，所以f′（x）=
1
2❑√x
，所以f′（1）= 1
2，
所以lim
Δx →0 f (1+ Δx)−f (1)
Δx
=f′（1）= 1
2
．
故选：C．
例3.已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足关系式f(x)= x
2+3 x f '(2)+e
x，则f '(2)
的值为（ ）
A．-2
B．e
2
2 −2
C．−e
2
2
D．−e
2
2 −2
解：∵f'(x)=2 x +3 f '(2)+e
x，令x=2 得f '(2)= 4 +3 f '(2)+e
2，f '(2)=−e
2
2 −2，
故选D.
例4.函数y =cos2 x +sin ❑√x的导数为（ ）
A．y ' =−2sin 2 x + cos ❑√x
2❑√x
B．y ' =2sin 2 x + cos ❑√x
2❑√x
C．y ' =−2sin 2 x + sin ❑√x
2❑√x
D．y ' =2sin 2 x−cos ❑√x
2❑√x
解：y ' =−sin2 x⋅(2 x)' +cos ❑√x⋅(❑√x)' =−2sin2 x + cos ❑√x
2❑√x
.
随堂演练
1.求下列函数的导函数．
（1）f（x）＝﹣2x3+4x2；
（2）f ( x)= 1
3 x
3−x
2+ax +1；
（3）f（x）＝x+cosx，x∈（0，1）；
（4）f（x）＝﹣x2+3x﹣lnx；
（5）y＝sinx；
（6）y = x +1
x−1
．
解：（1）f（x）＝﹣2x3+4x2，所以f′（x）＝﹣6x2+8x．
（2）f ( x)= 1
3 x
3−x
2+ax +1，所以f′（x）＝x2﹣2x+a．
（3）f（x）＝x+cosx，x∈（0，1），所以f′（x）＝﹣sinx+1，x∈（0，1）．
（4）f（x）＝﹣x2+3x﹣lnx，所以f ′( x)=−2 x−1
x +3．
（5）y＝sinx，所以y′＝cosx．
（6）y = x +1
x−1
，所以y ′ = ( x +1)′( x−1)−( x +1)( x−1)′
( x−1)
2
=−
2
( x−1)
2
．
2.已知函数f（x）＝xsinx+cosx，则f'( π
2 )的值为（ ）
A．π
2
B．1
C．-1
D．0
解：f ' （x ）＝sinx + xcosx −sin x = xcosx，则f'( π
2 )=0，故选：D.
3.已知函数f（x）的导数为f ' (x)，且满足f （x ）=3 x
2+2 x f ' （2），则f ' （5）的
值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．-12
解：∵f ' （x ）=6 x +2f ' （2），
∴ f ' （2）=6×2+2f ' （2），∴f ' （2）=−12，
所以f ' （x ）=6 x−24，∴f ' （5）=6.
4.设f ( x)=xlnx，若f ' (x0)=2，则x0
的值为（ ）
A．e
2
B．ln 2
2
C．e
D．ln2
解：f ' (x)=lnx +1，∴f ' (x0)= ln x0+1=2，即ln x0=1，解得：x0=e.故答案选：C.
5.求下列函数的导数．
（1）y＝（log3x）sinx
（2）y＝xtanx﹣2lnx
解：（1）y ′ =(lo g3 x)′ sinx +(lo g3 x)(sinx)′ = sinx
xln3 +(lo g3 x)cosx．
（
2
）
因
为
（
tanx
）
′
=
1
co s
2 x
，
所
以
y ′ =( x)′ tanx + x(tanx)′ −2(lnx)′ =tanx +
x
co s
2 x
−2
x ．
3.1.2 切线-已知点为切点
知识点梳理
1.导数的几何意义：函数y = f ( x)在x=x0处的导数f'(x0)就是曲线y = f ( x)在点（x0，
f ( x0)）处的切线的斜率k0,即k0= lim
∆x→0
f ( x0+ ∆x)−f ( x0)
∆x
= f '( x0).如果切线的倾斜角为
α，则tanα=f'(x0).
2. 由1 可知，若函数y = f ( x)在点（x0 ，f ( x0)）处的切线方程为：
y −f ( x0)= f '( x0)( x−x0).
典型例题
例1.曲线y＝ex+sin2x 在点（0，1）处的切线方程为（ ）
A．3x+2y﹣2＝0
B．2x﹣2y+1＝0
C．3x﹣y+1＝0
D．3x﹣2y+2＝0
解：因为y′＝ex+2cos2x，
所以y＝ex+sin2x 在点（0，1）处的切线斜率为y ′ |x =0=e
0+2cos0=3，
所以切线方程为y﹣1＝3×（x﹣0），即3x﹣y+1＝0．
故选：C．
例2.曲线y =
x
x−2
在点(1,-1)处的切线方程为（ ）
A．y =−2 x +1 B．y =−3 x +2
C．y =2 x−3 D．y = x−2
解：y ' =−
2
(x−2)
2
，在点（1，-1）处的切线的斜率k = y ' |x =1=−2，所以由点斜式可得
直线方程为y +1=−2( x−1)，即y =−2 x +1.
故选：A.
例3.设f ( x)=lnx−ax + 1−a
x
−1．
（1）求函数y＝f（x）的定义域；
（2）当a＝1 时，求函数y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
解：（1）根据题意可得f（x）的定义域为（0，+∞）；
（2）当a＝1 时，f（x）＝lnx﹣x﹣1，所以f ′( x)= 1
x −1，
所以f（1）＝﹣2，f'（1）＝0，
所以f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2＝0．
例4.已知函数f（x）＝（1
x +a）ln（1+x）．
则当a＝﹣1 时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
解：（1）a＝﹣1 时，f（1）＝0，
f′（x）=−1
x
2ln（x+1）+（1
x −1）（1
x +1），f′（1）＝﹣ln2，
∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣ln2（x﹣1）．
随堂演练
1.已知函数f（x）的定义域为R，f（x+1）是偶函数，当x＜1
2
时，f（x）＝ln（1﹣2x），
则曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为（ ）
A．2
5
B．−2
5
C．2
D．﹣2
解：根据题意，函数f（x）的定义域为R，f（x+1）是偶函数，则f（1+x）＝f（1﹣
x），
两边同时求导可得：f′（1+x）＝﹣f′（1﹣x），
当x＜1
2
时，f（x）＝ln（1﹣2x），求导可得f′（x）=
−2
1−2 x
，则有f（0）＝﹣2，
又由f′（1+x）＝﹣f′（1﹣x），令x＝1 可得：f′（2）＝﹣f′（0）＝2，
则曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为2．故选：C．
2.已知函数f ( x)= lnx
x +1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为
.
解：由于f（1）＝0，则切点坐标为（1，0），因为f ′( x)=
1+ 1
x −lnx
( x +1)
2
，所以切线斜率
为f ′(1)= 1
2
，
故切线方程为y −0= 1
2 ( x−1)，即y = 1
2 x−1
2 .
3.已知函数f（x）＝lnx﹣ax+x2，若a＝﹣1，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线
方程为 .
解：a＝﹣1 时，f（x）＝lnx+x+x2，f ′( x)= 1
x +1+2 x，则f′（1）＝4，f（1）＝2，
所求切线方程为y＝4（x﹣1）+2，整理得y＝4x﹣2.
4.已知曲线f ( x)=lnx + x
2
a
在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为π
3 ，则a 的值为
1 + ❑√3
．
解：函数f ( x)=lnx + x
2
a
的导数f ′( x)= 1
x + 2 x
a ，
可得曲线f（x）在x＝1 处的切线的斜率为1+ 2
a
，
而曲线f（x）在x＝1 处的倾斜角为π
3
，可得1+ 2
a =tanπ
3 = ❑√3，解得a＝1+ ❑√3．
故答案为：1+ ❑√3．
5.已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣ax+2，当a＝1 时，则f（x）在（1，f（1））处的切线方
程为 .
解：当a＝1 时，f（x）＝（x+1）lnx﹣x+2（x＞0），f ′( x)=lnx + 1
x
，则f′（1）＝1，f
（1）＝1，所以f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣1＝1×（x﹣1），即y＝x．
6.已知函数f ( x)= ❑√xlnx，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为
.
解：f ′( x)= lnx
2❑√x +
❑√x
x ，则f′（1）＝1，又f（1）＝0，
所以曲线在点（1，f（1））处的切线方程为y＝x﹣1；
故答案为：y＝x﹣1．
7.若曲线y＝ex+x 在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a 的切线，则a＝
．
解：曲线y＝ex+x，可得y′＝ex+1，
在点（0，1）处切线的斜率为：e0+1＝2，
切线方程为：y﹣1＝2x，即y＝2x+1．
曲线y＝ex+x 在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a 的切线，
设y＝ln（x+1）+a 的切点的横坐标为x，可得切线的斜率为：1
x +1 =2，可得x=−1
2
，
x=−1
2
代入y＝2x+1，可得切点坐标为：（−1
2
，0），
切点在曲线y＝ln（x+1）+a 上，所以0＝ln（−1
2 +1）+a，解得a＝ln2．
故答案为：ln2．
8.已知函数f（x）＝ex﹣a（x﹣1），若曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线l 在x
轴上的截距为2，则a 的值为 .
解：已知函数f（x）＝ex﹣a（x﹣1），曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线l 在
x 轴上的截距为2，
因为f（1）＝e，则点P（1，e）．因为f′（x）＝ex﹣a，则f′（1）＝e﹣a．
据题意，切线l 经过点A（2，0），则f′（1）＝kPA，
即e−a=
e
1−2 =−e，所以a＝2e．
3.1.3 切线-已知点为曲线外一点
知识点梳理
已知函数y = f ( x)的切线过了点A（m，n），且点A 不在y = f ( x)图像上，则可先设切
点坐标为( x0，y0)，则斜率k = f '( x0)，则切线方程为y −f ( x0)= f '( x0)( x−x0)，然后
将点A（m，n）代入得n−f ( x0)= f '( x0)(m−x0)，由此解出x0的值.
典型例题
例1.已知函数f（x）＝x3+a，点A（0，0）在曲线y＝f（x）上，则曲线y＝f（x）过点E
（2，0）的切线方程为 .
解：令所求切线在曲线y＝f（x）上的切点为（m，m3），则f′（m）＝3m2，
所以切线方程为y﹣m3＝3m2（x﹣m）⇒3m2x﹣y﹣2m3＝0，
又E（2，0）在切线上，故6m2﹣2m3＝0⇒m＝0 或m＝3，
所以切线方程为y＝0 或27x﹣y﹣54＝0．
例2.已知曲线f（x）＝x3，则过点（﹣1，﹣1）且与曲线f（x）相切的直线方程为
．
解：设切点坐标为( x0，x0
3)，
则切线方程为y −x0
3=3 x0
2( x−x0)，又其过点（﹣1，﹣1），
所以−1−x0
3=3 x0
2(−1−x0)，
即( x0+1)
2(2 x0−1)=0，所以x0＝﹣1 或x0= 1
2
，
故过点（﹣1，﹣1）且与曲线f（x）相切的直线有两条，
其方程分别是y+1＝3（x+1）和y −1
8 = 3
4 ( x−1
2 )，即3x﹣y+2＝0 和3x﹣4y﹣1＝0．
例3.已知函数f（x）＝x3﹣ax2+b（a，b∈R）的图象过点（2，4），且f'（1）＝1．
（1）求a，b 的值；
（2）求曲线y＝f（x）过点（0，﹣1）的切线方程．
解：（1）由f（x）＝x3﹣ax2+b，得f′（x）＝3x2﹣2ax，
则{
8−4 a+b= 4
3−2a=1 )，解得a＝1，b＝0；
（2）由（1）得，f（x）＝x3﹣x2，则f′（x）＝3x2﹣2x，
设切点坐标为（x0，x0
3−x0
2），
则函数在切点处的切线方程为y−x0
3+ x0
2=(3 x0
2−2 x0)( x−x0)，
把点（0，﹣1）代入，可得−1−x0
3+ x0
2=−3 x0
3+2 x0
2，
整理得：( x0−1)(2 x0
2+ x0+1)=0，解得x0＝1．
∴曲线y＝f（x）过点（0，﹣1）的切线方程为y＝x﹣1．
随堂演练
1.已知函数f（x）＝x3﹣3x2+1 在x＝0 时取得极大值1，则过点（0，2）与曲线y＝f（x）
相切的直线方程为 ．
解：f（x）＝x3﹣3x2+1，f′（x）＝3x2﹣6x，
设切点坐标为( x0，x0
3−3 x0
2+1)，切线斜率k =3 x0
2−6 x0
，
则切线方程为y −( x0
3−3 x0
2+1)=(3 x0
2−6 x0)( x −x0)，
把点（0，2）代入y −( x0
3−3 x0
2+1)=(3 x0
2−6 x0)( x −x0)，
得2−( x0
3−3 x0
2+1)=(3 x0
2−6 x0)(−x0)，
整理得( x0−1)
2(2 x0+1)=0，解得x0＝1 或x0=−1
2
．
所以切线方程为y+1＝﹣3（x﹣1）或y −1
8 = 15
4 ( x + 1
2 )，即3x+y﹣2＝0 或15x﹣4y+8＝
0．
2.已知函数f（x）＝x3-6x2+9x-7，直线l 过点(0,1)且与曲线y＝f（x）相切,则直线l 的斜
率为（ ）
A．24
B．24 或-3
C．45
D．0 或45
解：由f ( x)= x
3−6 x
2+9 x−7，得f
′( x)=3 x
2−12 x +9，
设直线l与曲线y = f ( x)相切的切点为 P( x0, y0)，则f ( x)在P( x0, y0)处的切线斜率为
f
′( x0)=3 x0
2−12 x0+9，
所以切线方程为y −( x0
3−6 x0
2+9 x0−7)=(3 x0
2−12 x0+9)( x−x0)，
将点(0,1)的坐标代入并整理，得x0
3−3 x0
2+ 4 =0，
即( x0+1)( x0−2)
2=0，解得x0=−1或x0=2，所以直线l的斜率为24 或-3.
故选:B.
3.若曲线f ( x)=lnx在点P( x0，y0)处的切线过原点O(0,0)，则x0= .
解：因为f ( x)= ln x，所以f
′( x)= 1
x
，
所以f ( x)在点P( x0, y0)处的切线方程为y −ln x0= 1
x0
( x−x0).
又切线过原点O(0,0)，则−ln x0=−1，所以x0=e.故答案为：x0=e.
4.已知直线l 为曲线f ( x)= 1
3 x
3+ 4
3
过点P(2，4)的切线. 则直线l 的方程为 .
解：对f(x)=1
3 x
3+4
3
求导，得：f
′(x)=x
2.切线斜率：k=f
′(2)=2
2=4.
由点斜式方程y−y1=k(x−x1)，得：y
4=4(
−
x
2)
−
,化简得4x−y
4=0
−
.
故答案为：4x−y
4=0
−
.
5.已知点A 在曲线y =lnx上，且该曲线在点A 处的切线经过点(-e,-1)（e 为自然对数的底
数），则点A 的坐标是 ，切线方程为
.
解: 设A(x0,lnx0), 由y=ln x, 得y
′=1
x
，∴y
′|x=x0=1
x0
，
则该曲线在点A处的切线方程为y
ln
−
x0=1
x0
(x−x0)，∴切线经过点(−e, 1)
−
，
∴
1 ln
−
−
x0=−e−x0
x0
，即lnx0=e
x0
, 则x0=e.
∴ 点A的坐标是(e,1)，此时切线方程为y
1=
−
1
e (x−e)，即y=1
e x.故答案为:
(e,1);y=1
e x.
6.过点(0,-2)作曲线f ( x)=lnx −2的切线，则切线方程为
.
解：由题意知,点 (0,−2) 不在曲线 f ( x)= ln x−2 上,设切点坐标为 ( x0,ln x0−2),
切线的斜率为 f
′( x0)= 1
x0
, 则切线方程为 y −(ln x0−2)= 1
x0
( x−x0),
即 y = 1
x0
x + ln x0−3. 又点 (0,−2) 在切线上,所以 −2= ln x0−3,
解得 x0=e, 所以切线方程为y = 1
e x−2.故答案为：y = 1
e x−2.
7.已知函数f ( x)=alnx (a≠0)，过原点作曲线y＝f（x）的切线l，则切线l 的斜
率为
．
解：根据题意得 f
′(x)=a
x
，设切点坐标为(x0,y0)，则 f
′(x0)=a
x0
，
所以切线 l 的方程为 y=a
x0
(x−x0)+y0，
将点 (0,0) 代入， 可得 0=a
x0
(0−x0)+y0，整理得：y0=a，故 alnx0=a， 解
得 x0=e
故 f
′(x0)=a
e
，即切线 l 的斜率为 a
e
.
