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第1讲 导数的概念与运算
复习要点 1.了解平均变化率、瞬时变化率，了解导数概念的实际背景.2.通过函数图
象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y
＝的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.5.能
求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数．
一 导数的概念
1．平均变化率：对于函数y＝f(x)，我们把比值＝叫做函数y＝f(x)从x 到x ＋Δx的平
0 0
均变化率．
2．函数y＝f(x)在x＝x 处的导数：
0
称函数y＝f(x)在x＝x 处的瞬时变化率lim ＝lim 为函数y＝f(x)在x＝x 处的导数，记
0 0
作f′(x)或y′| ，即f′(x)＝lim ＝ lim .
0 x＝x0 0
3．几何意义
函数f(x)在x＝x 处的导数f′(x)的几何意义是：在曲线y＝f(x)上点(x ，f(x))处的切线的
0 0 0 0
斜率．相应地，切线方程为 y － f ( x ) ＝ f ′( x )( x － x ) ．
0 0 0
二 基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝ αx α － 1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝ － sin _x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ a x ln _a
f(x)＝ex f′(x)＝ e x
f(x)＝log x
a
f′(x)＝
(a>0，且a≠1，x>0)
f(x)＝ln x(x>0) f′(x)＝
三 导数的运算法则
若y＝f(x)，y＝g(x)的导数存在，则
(1)[f(x)±g(x)]′＝ f ′( x )± g ′( x ) ；
(2)[f(x)·g(x)]′＝ f ′( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′( x ) ；
(3)′＝(g(x)≠0)．
四 复合函数的导数
设函数u＝φ(x)在点x处有导数u′＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数y′＝f′
(u)，则复合函数y＝f(φ(x))在点x处也有导数y′＝y′·u′，即y对x的导数等于y对u的导数
x u x
与u对x的导数的乘积．
常/用/结/论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2. ′ ＝－ . ( )′＝
3.′＝(f(x)≠0)．
4．[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．
1．判断下列结论是否正确．
(1)f′(x)是函数y＝f(x)在x＝x 附近的平均变化率．()
0 0
(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．()
(3)f′(x)＝[f(x)]′.()
0 0
(4)若f(x)＝sin(－x)，则f′(x)＝cos(－x)．()
2．(2024·辽宁营口模拟)下列函数的求导正确的是( )
A．(x－2)′＝－2x
B．(xcos x)′＝cos x－xsin x
C．(ln 10)′＝
D．(e2x)′＝2ex
解析：∵(x－2)′＝－2x－3，∴A错误；∵(xcos x)′＝cos x－xsin x，∴B正确；∵(ln 10)′
＝0，∴C错误；∵(e2x)′＝2e2x，∴D错误．故选B.
答案：B
3．设正弦函数y＝sin x在x＝0和x＝处的瞬时变化率为k ，k ，则k ，k 的大小关系
1 2 1 2
为( )
A．k＞k B．k＜k
1 2 1 2
C．k＝k D．不确定
1 2
解析：∵y＝sin x，∴y′＝(sin x)′＝cos x.
∴k＝cos 0＝1，k＝cos ＝0，∴k＞k.
1 2 1 2
答案：A
4．(1)已知函数y＝f(x)，若f′(x)＝－3，则lim ＝________.
0
(2)曲线y＝－3ln x的斜率为－2的切线方程为________．
解析：(1)依题意，
lim ＝f′(x)＝－3.
0
(2)∵y＝－3ln x，x＞0，∴y′＝x－，由y′＝x－＝－2，可得x＝1或x＝－3(舍去)，当x
＝1时，y＝，∴曲线y＝－3ln x的斜率为－2的切线方程为y－＝－2(x－1)，即4x＋2y－5
＝0.
答案：(1)－3 (2)4x＋2y－5＝0
题型 对导数概念的理解
典例1(1)函数f(x)＝x2在区间[1,2]上的平均变化率为________，在x＝2处的
导数为________．(2)设f(x)＝x2－x，则lim ＝________.
解析：(1)函数f(x)＝x2 在区间 [1,2] 上的平均变化率为＝ 3 ；因为f′(x)＝2x，所以f(x)在
强调概念，平均变化率＝.
x＝2处的导数为2×2＝4.故答案为3 4.
(2)∵f(x)＝x2－x，∴f′(x)＝2x－1.
lim ＝－lim ＝－f′(2)＝－(2×2－1)＝－3.故答案为－3.
导数定义的探究
(1)判断一个函数在某点是否可导就是判断 当 Δ x →0 时该函数的平均变化率的极限是否
存在．这样讲很笼统，应这样说，基本初等函数在定义域内每个点处都可导.
(2)利用导数定义求函数的导数时，先算函数值的变化量Δy，再算比值＝，再这里有两
个量，Δx和x，在求极限过程中，x暂时理解为常量，此时Δx为变量，在极限结果中，Δx
消失，此时x可以看作变量了．
求极限y′＝lim .
(3)导数定义中，x在x 处的变化量是相对的，可以是Δx，也可以是2Δx，－Δx等，做
0
题时要将分子分母中变化量统一为一种．
(4)导数定义lim ＝f′(x)，也即lim ＝f′(x)．
0 0
对点练1(2024·河北张家口模拟)若f(x)＝ln(2－x)＋x3，则lim ＝( )
A．1 B．2 C．4 D．8
解析：由题意f′(x)＝＋3x2，
所以f′(1)＝＋3＝2，
所以lim ＝
lim ＝f′(1)＝1.
故选A.
答案：A
题型 基本的导数运算
典例2求下列函数的导数：
(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝e－0.05x＋1；
(4)f(x)＝；
(5)f(x)＝(sin 2x＋1)2.
解：(1)方法一：∵y＝ (3 x 3 － 4 x )(2 x ＋ 1) ＝ 6 x 4 ＋ 3 x 3 － 8 x 2 － 4 x ，∴y′＝24x3＋9x2－16x－4.
化为多项式再求导．
方法二： y ′ ＝ (3 x 3 － 4 x )′·(2 x ＋ 1) ＋ (3 x 3 － 4 x )(2 x ＋ 1) ′＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·
应用导数的运算法则求导．
2＝24x3＋9x2－16x－4.(2)∵f(x)＝＋
先运算，化为不带根式，再求导，运算简单些．
＝＋
＝＝－2，
∴f′(x)＝′＝＝.
(3)令u(x)＝ － 0.05 x ＋ 1 ， φ ( u ) ＝ e u，则f(x)＝
复合函数求导，先把复合过程弄清楚．
φ(u(x))，而u′(x)＝－0.05，φ′(u)＝eu，故f′(x)＝e－0.05x＋1×(－0.05)＝－0.05e－0.05x＋1.
(4)设 y ＝ u ， u ＝ 1 － 2 x 2 ，这里()′＝.
则f′(x)＝(u)′(1－2x2)′＝·(－4x)＝－(1－2x2) (－4x)＝2x(1－2x2) .
(5) 令 u ( x ) ＝ sin 2 x ＋ 1 ， φ ( u ) ＝ u 2，则f(x)＝φ(u(x))，而u′(x)＝2cos 2x，φ′(u)＝2u，故f′(x)
＝2cos 2x×2u＝4cos 2x(sin 2x＋1)，化简得到f′(x)＝2sin 4x＋4cos 2x.
导数的计算方法
(1)连乘形式：先展开化为多项式的形式，再求导．
(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．
(3)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．
(4)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．
(5)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．
对点练2求下列函数的导数：
(1)y＝3xex－2x＋e；
(2)y＝；
(3)y＝sin2；
(4)y＝ln x；
(5)y＝xsincos.
解：(1)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln 3·ex＋3xex－2xln 2＝(ln 3＋
1)·(3e)x－2xln 2.
(2)y′＝′
＝
＝.
(3)y＝sin2＝－cos，
故设y＝－cos u，u＝4x＋π，
∴y′＝y′·u′＝sin u·4
x u x
＝2sin u＝2sin.
(4)y′＝ln x＋·＝＝.
(5)∵y＝xsincos＝xsin(4x＋π)＝－xsin 4x.
∴y′＝－sin 4x－x·4cos 4x＝－sin 4x－2xcos 4x.
题型 导数几何意义的多维研讨维度1 求曲线的切线方程
典例3已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)求曲线y＝f(x)经过原点的切线方程及切点坐标．
解：(1) f ′( x ) ＝ ( x 3 ＋ x － 16) ′ ＝ 3 x 2 ＋ 1 ，
先求导函数，代入求切线斜率，切线方程为y－y＝f′(x )(x－x)．
0 0 0
∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13，
∴切线的方程为y－(－6)＝13(x－2)，
即y＝13x－32.
(2)方法一：设切点坐标为(x，y)，切线为l，
0 0
则切线l的斜率为f′(x)＝3x＋1，
0
∴切线l的方程为 y ＝ (3 x ＋ 1)( x － x ) ＋ x ＋ x － 16 .
0 0
又 ∵ 切线 l 过点 (0,0) ，
∴ 0 ＝ ( 3 x ＋ 1) ( － x ) ＋ x ＋ x － 16 ，
0 0
整理得 x ＝－ 8 ， ∴ x ＝－ 2 ，
0
代入原点(0,0)得到关于x 的方程，求解x 的值. 总之，过点作切线，先设切点(x ，
0 0 0
f(x))，得到切线方程，通过代入已知点，构造方程．
0
∴y＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
0
f′(－2)＝3×(－2)2＋1＝13.
故切线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
方法二：设切线为l，则l的方程为y＝kx，切点坐标为(x，y)，
0 0
则k＝＝.
又∵ k ＝ f ′( x ) ＝ 3 x ＋ 1 ，
0
∴ ＝ 3 x ＋ 1 ，解得 x ＝－ 2 ，
0
此构造方程的思路和方法一效果雷同．
∴y＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13，
0
∴切线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
求曲线的切线方程的两种类型
(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线
过点P的切线方程．在点P处的切线，一定是以点P为切点；过点P的切线，不确定点P
在不在曲线上，点P不一定是切点．
(2)求曲线y＝f(x)过点P(x，y)的切线方程的步骤：
0 0
第一步，设出切点坐标P′(x，f(x))；
1 1
第二步，写出过P′(x，f(x))的切线方程为y－f(x)＝f′(x)(x－x)；
1 1 1 1 1
第三步，将点P的坐标(x，y)代入切线方程，求出x；
0 0 1
第四步，将x 的值代入方程y－f(x)＝f′(x)·(x－x)，可得过点P(x，y)的切线方程．
1 1 1 1 0 0
对点练3(1)(2024·山西大同模拟)已知函数f(x)＝2e2ln x＋x2，则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为( )
A．4ex－y＋e2＝0 B．4ex－y－e2＝0
C．4ex＋y＋e2＝0 D．4ex＋y－e2＝0
(2)(2022·新高考全国Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________，
________.
解析：(1)因为f(x)＝2e2ln x＋x2，
所以f′(x)＝＋2x，f(e)＝2e2ln e＋e2＝3e2，所以f′(e)＝4e，
所以曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y－3e2＝4e(x－e)，
即4ex－y－e2＝0.
(2)当x>0时，y＝ln x，设切点为(x ，y)，x>0，则由y′＝，得切线斜率k＝，又切线
0 0 0
的斜率为，所以＝，解得y ＝1，代入y＝ln x，得x ＝e.所以k＝，所以切线方程为y＝x，
0 0
同理可求得当x<0时的切线方程为y＝－x.综上，两条切线方程分别为y＝x，y＝－x.
答案：(1)B (2)y＝x y＝－x
维度2 求切点坐标及参数值
典例4(1)过坐标原点作曲线y＝ln x的切线，则切点的纵坐标为( )
A．e B．1 C. D.
(2)(2024·江西九江模拟)已知函数f(x)＝x3＋3x2＋4.若过点(1，t)可作函数f(x)的图象的2
条不同的切线，则实数t的值为( )
A．0 B． 0 或 2
C．2 D． 0 或 8
从选项可以判断取值可能不止1个，解答时注意不要遗漏某种情况，同时要对求出的
各个解进行检验．
解析：(1)设切点为P(x，ln x)(x＞0)，切线为l，由y＝ln x，得y′＝，所以y′| ＝，
0 0 0 x＝x0
所以曲线在点P处的切线l的方程为
y － ln x ＝ ( x － x )，
0 0
写出在切点处的切线方程是解题关键，熟悉思路，形成固定思维模式．
又l过点(0,0)，所以－ln x＝(－x)，
0 0
解得x＝e，
0
所以切点为P(e,1)，纵坐标为1.故选B.
(2)设所求切线的切点坐标为P(x ，x＋3x＋4)，则切线斜率 k ＝ 3 x ＋ 6 x ，故切线方程为
0 0
y－x－3x－4＝(3x＋6x)(x－x)，
0 0
k＝f′(x)
0
因为切线过点(1，t)，所以t－x－3x－4＝(3x＋6x)(1－x)，即2x－6x＋t－4＝0.
0 0 0
令g(x)＝2x3－6x＋t－4，则 关于 x 的方程 2 x 3 － 6 x ＋ t － 4 ＝ 0 有 2 个实根，即曲线 y ＝
g ( x ) 与 x 轴有 2 个交点 ，【破题有招】方程中虽然含有参数，但形式简单，可以看作含参数
的三次函数问题，此时不需要分离参数也能通过数形结合快速求解．
求导得g′(x)＝6x2－6，令g′(x)>0，得x<－1或x>1；令g′(x)<0，得－10，解得a<－4或a>0.
答案：(1)C (2)(－∞，－4)∪(0，＋∞)
维度3 导数几何意义的综合应用
典例5(1)(2021·新高考全国Ⅰ卷)若 过点 ( a ， b ) 可以作曲线 y ＝ e x 的两条切线 ，
则
此题为当年压轴题，数形结合可迅速判断. 由于y＝ex的凹凸性，只有在y＝ex和x轴
之间的点(a，b)才符合题意．
( )
A．eb＜a B．ea＜b
C．0＜a＜eb D．0＜b＜ea
(2)(2024·江西南昌模拟)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x
＋1相切，则a＝( )
A．4 B．8 C．2 D．1
解析：(1)设切点为(x，y)，y＞0，y′＝ex，则切线方程为y－b＝e (x－a)，由得e (1－
0 0 0
x＋a)＝b，则由题意知关于x 的方程e (1－x＋a)＝b有两个不同的解．
0 0 0
设f(x)＝ex(1－x＋a)，则 f ′( x ) ＝ e x (1 － x ＋ a ) － e x ＝－ e x ( x － a ) ，由f′(x)＝0得x＝a，所以
当本例的解法，转化为y＝b和y＝ex(1－x＋a)有两个不同交点，而研究后面函数单调性和
极值是关键．x＜a时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x>a时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x) ＝f(a)
max
＝ea(1－a＋a)＝ea，当x＜a时，a－x＞0，所以f(x)＞0，当x→－∞时，f(x)→0，当x→＋∞
时，f(x)→－∞，函数f(x)＝ex(1－x＋a)的大致图象如图所示，因为f(x)的图象与直线y＝b有
两个交点，所以0＜b＜ea.故选D.
(2)y＝x＋ln x的导数为y′＝1＋，曲线y＝x＋ln x在x＝1处的切线斜率k＝2，则曲线y
＝x＋ln x在x＝1处的切线方程为y－1＝2(x－1)， 即 y ＝ 2 x － 1 . 由于切线与曲线 y ＝ ax 2 ＋ ( a
＋ 2) x ＋ 1 相切 ，
【仔细分析】很简单，即直线y＝2x－1与二次函数相切. 此题并非传统的公切线问题．
联立得ax2＋ax＋2＝0，又a≠0，两曲线相切有一切点，所以Δ＝a2－8a＝0，解得a＝
8.故选B.
解决两曲线的公切线问题的两种方法
(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解．
(2)设公切线l在y＝f(x)上的切点P(x ，f(x))，在y＝g(x)上的切点P(x ，g(x))，则f′
1 1 1 2 2 2
(x)＝g′(x)＝.
1 2
对点练5二次函数f(x)＝x2－2x＋2与g(x)＝－x2＋ax＋b(a＞0，b＞0)在它们的一个交点
处的切线互相垂直，则＋的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：设该交点为(x ，y)，因为f′(x)＝2x－2，所以f′(x)＝2x －2，因为g′(x)＝－2x＋
1 1 1 1
a，所以g′(x)＝－2x ＋a，因为两函数在交点处的切线互相垂直，所以(2x －2)·(－2x ＋a)
1 1 1 1
＝－1，又y ＝x－2x ＋2＝－x＋ax ＋b，分别化简得－2x＋2x ＋ax ＝a－，2x－2x －ax ＝
1 1 1 1 1 1 1
b－2，两式左右两边相加并整理得 a＋b＝，因此＋＝(a＋b)＝≥×＝，当且仅当＝，即b
＝，a＝时取等号，即所求最小值为.故选D.
答案：D
