导数
知识点+题型归纳全集
5.1 导数的概念及其意义...........................................................................................................................................7
模块一：基础知识..............................................................................................................................................7
考点一：物体的平均速度与瞬时速度......................................................................................................7
考点二：导数的平均变化率......................................................................................................................7
考点三：函数y=f(x)在x＝x0 处的瞬时变化率.................................................................................... 8
考点四：导数的几何意义87418458............................................................................................................... 8
考点五：求曲线“在”与“过”某点的切线......................................................................................... 8
模块二：题型分类..............................................................................................................................................8
题型一：求平均速度与平均变化率..........................................................................................................8
题型二：瞬时速度与瞬时变化率............................................................................................................10
题型三：导数定义中极限的简单计算....................................................................................................11
题型四：曲线在某点处的切线斜率或倾斜角....................................................................................... 12
题型五：求曲线“在”某点的切线方程............................................................................................... 12
题型六：求曲线“过”某点的切线方程............................................................................................... 13
题型七：导数几何意义的理解及运用....................................................................................................13
模块三：综合巩固............................................................................................................................................15
5.2 导数的运算.........................................................................................................................................................18
模块一：基础知识............................................................................................................................................18
考点一：基本初等函数的导数公式........................................................................................................18
考点二：导数的四则运算法则................................................................................................................18
考点三：复合函数的导数........................................................................................................................18
考点四：导函数的常用结论....................................................................................................................19
模块二：题型分类............................................................................................................................................19
题型一：导数公式与运算法则的简单应用........................................................................................... 19
题型二：求复合函数的导数....................................................................................................................20
题型三：解析式中含f′(x0)的导数问题............................................................................................. 21
题型四：求某点处的导数值....................................................................................................................21
题型五：求切线斜率................................................................................................................................22
题型六：求切线方程（在型）................................................................................................................23
题型七：求切线方程（过型）................................................................................................................23
题型八：已知切线求参数范围................................................................................................................24
题型九：利用切线求距离最值................................................................................................................24
模块三：综合巩固............................................................................................................................................25
5.3 导数求函数的单调性.........................................................................................................................................29
模块一：基础知识............................................................................................................................................29
考点一：函数的单调性与导数的关系....................................................................................................29
考点二：求已知函数（不含参）的单调区间....................................................................................... 29
考点三：由函数f(x)的单调性求参数的取值范围的方法.....................................................................29
考点四：含参问题讨论单调性................................................................................................................29
模块二：题型分类............................................................................................................................................30
题型一：求函数单调区间（不含参）....................................................................................................30
题型二：函数单调性求参数范围............................................................................................................31
题型三：求含参函数的单调区间............................................................................................................32
题型四：已知函数f(x)在区间D 上存在单调区间求参数.................................................................. 33
题型五：已知函数f(x)单调区间为（是）D 求参数值.......................................................................33
题型六：已知函数f(x)在区间D 上不单调，求参数.......................................................................... 34
题型七：含参问题讨论单调性(导函数一次型)................................................................................... 35
题型八：含参问题讨论单调性(导函数二次型且可因式分解)........................................................... 36
题型九：含参问题讨论单调性(导函数二次型不可因式分解)........................................................... 38
题型十：原函数与导函数的关系............................................................................................................39
题型九：利用单调性解不等式................................................................................................................40
题型十：利用单调性比较大小................................................................................................................41
模块三：综合巩固............................................................................................................................................42
5.4 函数的极值与最值.............................................................................................................................................45
模块一：基础知识............................................................................................................................................45
考点一：导数的极值................................................................................................................................45
考点二：函数的最大（小）值................................................................................................................46
考点三：函数的最值与极值的关系........................................................................................................46
模块二：题型分类............................................................................................................................................46
题型一：求函数极值与极值点................................................................................................................46
题型二：已知极值（点）求参数............................................................................................................47
题型三：导函数图象与极值的关系........................................................................................................48
题型四：求函数的最值（不含参）........................................................................................................50
题型五：求函数的最值（含参）............................................................................................................52
题型六：根据函数的最值求参数............................................................................................................53
题型七：函数的极值与最值综合应用....................................................................................................55
模块三：综合巩固............................................................................................................................................58
5.5 导函数与构造函数法应用.................................................................................................................................62
模块一：基础知识............................................................................................................................................62
考点一：关系式为“加”型构造...........................................................................................................62
考点二：关系式为“减”型构造............................................................................................................62
模块二：题型分类............................................................................................................................................62
题型一：f(x)与g(x)的构造...................................................................................................................62
题型二：构造f(x)±一次或二次函数.................................................................................................. 63
题型三：构造f(x)·x
n型函数...............................................................................................................64
题型四：构造f(x)/x
n型函数................................................................................................................. 64
题型五：指数型构造：f(x)·e
nx型函数...............................................................................................65
题型六：构造f(x)/e
nx型函数................................................................................................................66
题型七：构造f(x)与a
x型函数.............................................................................................................. 66
题型八：构造f(x)与lnx 型函数...........................................................................................................67
题型九：构造f(x)与三角型函数...........................................................................................................68
题型十：其他类型的函数构造................................................................................................................69
题型十一：换元构造................................................................................................................................70
题型十二：双元构造................................................................................................................................70
模块三：综合巩固............................................................................................................................................71
5.6 利用导数研究函数的零点.................................................................................................................................73
模块一：基础知识............................................................................................................................................73
考点一：函数的零点................................................................................................................................73
考点二：函数零点的判定........................................................................................................................73
模块二：题型分类............................................................................................................................................73
题型一：判断、证明、讨论函数零点个数........................................................................................... 73
题型二：利用极值最值研究函数零点问题........................................................................................... 74
题型三：数形结合法研究函数零点问题............................................................................................... 76
题型四：构造函数求函数零点................................................................................................................78
模块三：综合巩固............................................................................................................................................78
5.7 函数的曲线切线与导数.....................................................................................................................................80
模块一：基础知识............................................................................................................................................80
考点一：求曲线“在”与“过”某点的切线....................................................................................... 80
考点二：切线条数问题............................................................................................................................80
考点三：公切线问题................................................................................................................................80
考点四：已知切线求参数问题................................................................................................................80
模块二：题型分类............................................................................................................................................81
题型一：求“在”型的切线方程............................................................................................................81
题型二：求“过”型切线方程................................................................................................................81
题型三：切线的平行与垂直问题............................................................................................................82
题型四：切线的条数问题........................................................................................................................83
题型五：两曲线的公切线问题................................................................................................................84
题型六：三角函数的切线........................................................................................................................85
题型七：切线与倾斜角............................................................................................................................85
题型八：直线上点到曲线距离................................................................................................................86
题型九：两曲线上点距离最值................................................................................................................87
题型十：恒成立与存在求参....................................................................................................................87
题型十一：零点或交点交点求参数........................................................................................................88
题型十二：等式（不等式）整数解求参............................................................................................... 89
题型十三：恒等式、不等式....................................................................................................................90
模块三：综合巩固............................................................................................................................................90
5.8 导数与不等式恒成立、存在性问题................................................................................................................ 95
模块一：基础知识............................................................................................................................................95
考点一：分离参数法................................................................................................................................95
考点二：分类讨论法................................................................................................................................95
考点三：恒成立问题的等价转化法........................................................................................................95
考点四：存在性等价转化法....................................................................................................................95
考点五：最值定位法解决双参不等式问题........................................................................................... 95
考点六：值域法解决双参等式问题........................................................................................................96
模块二：题型分类............................................................................................................................................96
题型一：分离变量法求恒成立................................................................................................................96
题型二：分离变量法求存在性问题........................................................................................................97
题型三：分类讨论法求恒成立................................................................................................................99
题型四：分类讨论法求存在性问题..................................................................................................... 100
题型五：等价转化法求恒成立..............................................................................................................101
题型六：等价转化法求存在性问题..................................................................................................... 103
题型七：最值定位法解决双参不等式问题......................................................................................... 104
题型八：值域法解决双参等式问题..................................................................................................... 106
5.9 导数压轴大题：极值点偏移问题.................................................................................................................. 108
模块一：基础知识..........................................................................................................................................108
考点一：极值点偏移的含义..................................................................................................................108
考点二：极值点偏移加法型的一般题设形式..................................................................................... 108
考点三：极值点偏移解决策略..............................................................................................................109
题型四：极值点偏移加法型判定方法与证明..................................................................................... 109
模块二：题型分类..........................................................................................................................................110
题型一：极值点偏移加法型(x1 + x2)................................................................................................. 110
题型二：极值点偏移减法型(x1 −x2)................................................................................................. 112
题型三：极值点偏移乘积型(x1x2)...................................................................................................... 114
题型四：极值点偏移平方型(x1
2 + x2
2)................................................................................................. 116
题型五：极值点偏移倒数和
1
x1 +
1
x2与其他变形...................................................................................117
模块三：综合巩固..........................................................................................................................................118
5.10 导数中比大小问题........................................................................................................................................122
模块一：基础知识..........................................................................................................................................122
考点一：同构法比较大小常用八个函数............................................................................................. 122
考点二：常见不等式放缩......................................................................................................................123
考点三：泰勒展开..................................................................................................................................124
题型四：帕德逼近..................................................................................................................................124
模块二：题型分类..........................................................................................................................................124
题型一：同构法比较大小......................................................................................................................125
题型二：放缩比大小..............................................................................................................................126
题型三：取对数后比大小......................................................................................................................127
题型四：构造其它函数比大小..............................................................................................................128
题型五：反比例构造lnx＜
2(x−1)
x+1 型......................................................................................................128
题型六：零点构造法..............................................................................................................................129
题型七：切、弦、指、对混合构造..................................................................................................... 129
题型八：泰勒展开公式比大小..............................................................................................................130
题型九：帕德逼近..................................................................................................................................130
题型十：一题多解..................................................................................................................................131
模块三：综合巩固..........................................................................................................................................131
5.11 函数与导数压轴小题技巧............................................................................................................................134
模块一：基础知识..........................................................................................................................................134
考点一：零点构造型..............................................................................................................................134
考点二：存在(几个)整数解..................................................................................................................134
考点三：零点同构..................................................................................................................................134
考点四：不等式型同构求参..................................................................................................................134
考点五：恒成立求参..............................................................................................................................135
考点六：双变量型常见问题及策略..................................................................................................... 135
考点七：多参型解决策略......................................................................................................................136
模块二：题型分类..........................................................................................................................................136
题型一：函数零点构造型......................................................................................................................136
题型二：存在(几个)整数解..................................................................................................................137
题型三：方程零点型同构......................................................................................................................138
题型四：不等式型同构求参..................................................................................................................138
题型五：移项讨论或分离参数求恒成立问题..................................................................................... 139
题型六：虚设零点型求恒成立问题..................................................................................................... 140
题型七：等式型求恒成立问题..............................................................................................................140
题型八：倍缩型函数求参数..................................................................................................................141
题型九：双变量型求不等式..................................................................................................................142
题型十：双变量型转化为凸凹反转型................................................................................................. 143
题型十一：多参代换型..........................................................................................................................144
题型十二：多参二次构造放缩型..........................................................................................................144
题型十三：多参韦达定理求参型..........................................................................................................145
题型十四：多参单峰函数绝对值型..................................................................................................... 146
题型十五：导数与三角函数..................................................................................................................146
模块三：综合巩固..........................................................................................................................................147
5.12 导数压轴大题：证明不等式........................................................................................................................150
模块一：基础知识..........................................................................................................................................150
考点一：导数证明不等式常见策略..................................................................................................... 150
考点二：极值点偏移证不等式..............................................................................................................150
考点三：导数证明三角函数型不等式................................................................................................. 151
考点四：韦达定理证明不等式..............................................................................................................151
考点五：切线放缩法证明不等式..........................................................................................................151
考点六：数列不等式证明策略..............................................................................................................151
模块二：题型分类..........................................................................................................................................152
题型一：不等式证明常规方法..............................................................................................................152
题型二：单变量构造..............................................................................................................................154
题型三：双变量构造..............................................................................................................................155
题型四：虚设零点证不等式..................................................................................................................156
题型五：同构型不等式证明..................................................................................................................158
题型六：凸凹转化证明不等式..............................................................................................................159
题型七：三角函数型不等式证明..........................................................................................................160
题型八：切线放缩型证明......................................................................................................................161
题型九：韦达定理代换型......................................................................................................................163
题型十：极值点偏移加法型(x1 + x2)................................................................................................. 164
题型十一：极值点偏移乘积型(x1x2).................................................................................................. 166
题型十二：极值点偏移平方型(x1
2 + x2
2)............................................................................................. 167
题型十三：数列型单变量构造............................................................................................................168
题型十四：无限和裂项型数列不等式................................................................................................. 170
题型十五：累乘型数列不等式..............................................................................................................171
题型十六：取对数型数列不等式..........................................................................................................172
模块三：综合巩固..........................................................................................................................................174
5.13 导数压轴大题：求参数................................................................................................................................179
模块一：基础知识..........................................................................................................................................179
考点一：恒成立求参解决策略..............................................................................................................179
考点二：存在性问题求参数解决策略................................................................................................. 179
考点三：零点型求参数解决策略..........................................................................................................180
考点四：同构法求参数..........................................................................................................................180
考点五：虚设零点转化技巧..................................................................................................................180
模块二：题型分类..........................................................................................................................................181
题型一：常规型恒成立问题..................................................................................................................181
题型二：三角函数型恒成立问题..........................................................................................................182
题型三：双变量型恒成立求参..............................................................................................................183
题型四：整数解型恒成立求参..............................................................................................................184
题型五：三角函数型整数恒成立求参................................................................................................. 185
题型六：常规型存在性问题..................................................................................................................186
题型七：双变量型存在性问题..............................................................................................................188
题型八：正余弦型存在性问题..............................................................................................................189
题型九：常规型零点求参......................................................................................................................191
题型十：双零点型求参..........................................................................................................................192
题型十一：多零点型求参......................................................................................................................193
题型十二：同构型求参：x1，x2双变量同构87418458............................................................................ 195
题型十三：虚设零点型求参87418458....................................................................................................... 196
模块三：综合巩固87418458............................................................................................................................... 197
87418458
87418458
高二数学选择性必修二第五章
导数知识点+题型归纳全集
5.1 导数的概念及其意义
模块一：基础知识
考点一：物体的平均速度与瞬时速度
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
1、平均速度
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
设物体的运动规律是
s
s t
，则物体在0t 到0t
t
这段时间内的平均速度为
0
0
s t
t
s t
s
t
t
2、瞬时速度
（1）物体在某一时刻的速度称为瞬时速度；B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
（2）一般地，当t
无限趋近于0 时，
s
t
无限趋近于某一个常数v ，我们就说当t
趋近于0 时，
s
t
的
极限就是v ，这时v 就是物体在
0
t
t
时的瞬时速度，
即瞬时速度
0
0
0
0
lim
lim
t
t
s t
t
s t
s
v
t
t
考点二：导数的平均变化率
函数
( )
y
f x
从
1x 到
2x 的平均变化率
1、定义式：
2
1
2
1
(
)
(
)
f x
f x
y
x
x
x
2、实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．
3、意义：刻画函数值在区间
1
2
,
x x
上变化的快慢．
4、平均变化率的几何意义：
设
1
1
( ,
( ))
A x
f x
，
2
2
(
,
(
))
B x
f x
是曲线
( )
y
f x
上任意不同的两点，
函数
( )
y
f x
的平均变化率
2
1
1
1
2
1
(
)
(
)
(
)
(
)
f x
f x
f x
x
f x
y
x
x
x
x
为割线AB 的斜率，如图．
【注意】Δx 是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx 可以为正，
也可以为负．
5、求平均变化率的步骤：874184586
第一步：先计算函数值的改变量
2
1
(
)
y
f x
f
x
；
第二步：再计算自变量的改变量
2
1
x
x
x
；
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
第三步：求平均变化率
2
1
2
1
(
)
(
)
f x
f x
y
x
x
x
；B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
考点三：函数y=f(x)在x＝x0 处的瞬时变化率
1、瞬时变化率的定义
定义式
0
0
0
0
(
)
(
)
lim
lim
x
x
f x
x
f x
y
x
x
实质
瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0 时，平均变化率趋近的值
作用
刻画函数在某一点处变化的快慢
【注意】
（1）“
x
无限趋近于0”的含义
x
趋于0 的距离要多近有多近，即
0
x
可以小于给定的任意小的正
数，且始终
0
x
.
（2）“函数
( )
y
f x
在
0
x
x
的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系
“函数
( )
y
f x
在
0
x
x
处的导数”是一个数值，是针对
0x 而言的，与给定的函数及
0x 的位置有关，
而与
x
无关；“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函
数，依赖于函数本身，而与x ，x
无关．
2、瞬时变化率的变形形式
lim
∆�→0
��0+∆�−�(�0)
∆�
= lim
∆�→0
��0−∆�−��0
−∆�
= lim
∆�→0
��0+�∆�−�(�0)
�∆�
= lim
∆�→0
��0+∆�−�(�0−∆�)
2∆�
= �'(�0)
考点四：导数的几何意义
1、切线的定义：当
x
趋于零时，点B 将沿着曲线
( )
y
f x
趋于点A，割线AB 将绕点A 转动最后趋于直
线l，直线l 和曲线
( )
y
f x
在点A 处“相切”，称直线l 为曲线
( )
y
f x
在点A 处的切线．
2、导数的几何意义
函数
( )
y
f x
在
0x 处的导数，是曲线
( )
y
f x
在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．
与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
考点五：求曲线“在”与“过”某点的切线
1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点
0
0
,
x
f x
处切线的斜率
0
(
)
f
x
第二步（写方程）：用点斜式
0
0
0
(
)
(
)(
)
y
f x
f
x
x
x
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤
第一步：设切点为
0
0
,
Q x
f x
；
第二步：求出函数
( )
y
f x
在点
0x 处的导数
0
(
)
f
x
；
第三步：利用Q 在曲线上和
0
(
)
PQ
f
x
k
，解出
0x 及
0
(
)
f
x
；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为
0
0
0
(
)
(
)(
)
y
f x
f
x
x
x
．
模块二：题型分类
题型一：求平均速度与平均变化率
1.若函数
2
( )
f x
x
x
，则函数
( )
f x 从=
1
x 到
3
x 的平均变化率为（
）
A．6
B．3
C．2
D．1
2.在曲线
2
1
f x
x
的图象上取一点
1,2 及邻近一点
1 Δ 2
Δ
x
y
，
，则Δ
Δ
y
x 为（
）
A．
1
Δ
2
Δ
x
x
B．2
C．Δ
2
x
D．
1
Δ
2
Δ
x
x
3.函数
3
f x
x
在区间
1,1
上的平均变化率为（
）
A．1
B．0
C．1
D．2
4.函数
3
( )
ln
f x
x
x
在区间[1,e]上的平均变化率是（
）
A．
3e
2
1
e
B．
3e
2
e
1
C．
3e
2
e
1
D．
3e
2
e
1
5.函数
2
2
1
f x
x
在区间
1,1 Δx
上的平均变化率
y
x
等于（
）
A．4
B．4
2Δx
C．
2
4
2(Δ )x
D．4x
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
6.某物体沿直线运动，其位移s（单位：m ）与时间t（单位：s ）之间的关系为
2
1
4
s t
t
t
，则在1
4
t
这段时间内，该物体的平均速度为（
）
A．2m/s
B．9 m/s
4
C．11 m/s
4
D．3m/s
7.某物体做自由落体运动，其运动方程为
2
1
2
s t
gt
，其中t 为下落的时间（单位：s），g 为重力加速度，
大小为9.8m/s2．求它在时间段
1,3 内的平均速度．
8.某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程y 与时间t 的函数图象如图.记该车在时间段
1
2
,t t
，
2
3
,
t t
，
3
4
,
t t
，
1
4
,
t t
上的平均速度的大小分别为
1v ，
2v ，
3v ，
4v ，则平均速度最小的是（
）
A．
1v
B．
2v
C．
3v
D．
4v
题型二：瞬时速度与瞬时变化率
1.质点M 按规律s＝2t
2＋3t 做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M 在t＝2 s
时的瞬时速度是（
）
A．2 m/s
B．6 m/s
C．4 m/s
D．11 m/s
2.在高台跳水运动中，st 时运动员相对于水面的高度( 单位：m ）是
2
4.9
6.5
10
h t
t
t
，则
运动员在
1s
t
时的瞬时速度为（
）
A．3.3m / s
B．8.2m / s
C．3.3m / s
D．1.6m / s
3.某物体沿直线运动，其位移s（单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系为
2
1
4
s t
t
t
，
则在1
4
t
这段时间内，该物体的平均速度为（
）
A．2m/s
B．9 m/s
4
C．11m/s
4
D．3m/s
4.2020 年12 月1 日22 时57 分，嫦娥五号探测器从距离月球表面1800m 处开始实施动力下降，
7500 牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约1800m/s降为零.12 分钟后，
探测器成功在月球预选地着陆，记探测器与月球表面距离的平均变化率为v，相对月球纵向速
度的平均变化率为a ，则（
）
A．
5 m/s
2
v
，
2
5 m/ s
2
a
B．
5 m/s
2
v
，
2
5 m/s
2
a
C．
5 m/s
2
v
，
2
5 m/s
2
a
D．
5 m/s
2
v
，
2
5 m/s
2
a
5.有一机器人的运动方程为
2
s t
t
t
，(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻
3
t 时的瞬
时速度为（
）
A．7
B．14
C．21
D．28
6.在高台跳水运动中，st 时运动员相对于水面的高度( 单位：m ）是
2
4.9
6.5
10
h t
t
t
，则运动员在
1s
t
时的瞬时速度为（
）
A．3.3m / s
B．8.2m / s
C．3.3m / s
D．1.6m / s
7.设某质点的位移S（单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系是
2
S t
t
，则质点在第1s时的
瞬时速度等于（
）
A．2m/s
B．1m/s
C．1m/s
D．2m/s
8.某赛车比赛中，一赛车的位移s（单位：m）与比赛时间t（单位：s）存在函数关系
2
10
5
s
t
t
.
（1）当
20
t
，
0.1
t
时，求s
与
s
t
的值；
（2）求当
20
t
时的瞬时速度.
9.函数
2
( )
f x
x
在区间
0,2 上的平均变化率等于x
m
时的瞬时变化率，则m （
）
A．
1
2
B．1
C．2
D．3
2
题型三：导数定义中极限的简单计算
1.若函数
f x 在
1
x 处的导数为2，则
0
(1
)
(1)
lim
2
x
f
x
f
x
（
）
A．2
B．1
C．
1
2
D．4
2.已知
f x 在
1
x 处的导数为2，则
0
1
1
lim
h
f
h
f
h
（
）
A．2
B．6
C．
1
2
D．1
3
3.已知
2
1
f
，则
0
(2
2
)
(2)
lim
x
f
x
f
x
（
）
A．1
B．2
C．1
D．2
4.函数
f x 在R 上可导，若
2
3
f
，则
0
2
3
2
lim
x
f
x
f
x
x
（
）
A．12
B．9
C．6
D．3
5.已知
2
f
x
，则
0
2Δ
lim
Δ
x
f x
f x
x
x
（
）
A．－4
B．－1
C．1
D．4
6.已知函数
f x 的导函数是
f
x
，若
0
2
f
x
，则
0
0
0
1
(
)
(
)
2
lim
x
f x
x
f x
x
（
）
A．
1
2
B．1
C．2
D．4
7.若函数
y
f x
在
0
x
x
处可导，则
0
0
0
lim
h
f x
h
f x
h
h
（
）
A．
0
f
x
B．
0
2 f
x
C．
0
2 f
x
D．0
8.若
f x 在
0x 处可导，则
0
f
x
可以等于（
）．
A．
0
0
0
lim
x
f x
f x
x
x
B．
0
0
0
lim
x
f x
x
f x
x
x
C．
0
0
0
2
lim
x
f x
x
f x
x
x
D．
0
0
0
2
lim
x
f x
x
f x
x
x
题型四：曲线在某点处的切线斜率或倾斜角
1.已知函数
1
f x
x
x
，则该函数在
1
x 处的切线斜率为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
2.函数
2
1
y
x
在
1
x 处的导数为
．
3.函数
2
1
5
f x
x
x
在
2
x 处的导数值为
．
4.曲线
3
3
y
x
x
在点
2,2 处的切线斜率是（
）
A．9
B．6
C．3
D．1
5.点P 在曲线
3
1
2
3
4
y
x
x
上移动，设点P 处切线的倾斜角为，则角的范围是（
）
A．2π ,π
3
B．
π
2π
0,
,π
2
3
C．[0,π)
D．
π
π
,0
,π
2
2
6.设
f
x 为可导函数，且满足
0
2
2
lim
1
2
h
f
f
h
h
，则曲线
y
f x
在点
2
2
f,
处的切线的斜率是
（
）
A．.2
B．2
C．
1
2
D．1
7.已知函数
2
ln
f x
ax
x
满足
0
(1)
(1
2
)
lim
2
3
x
f
f
x
x
，则曲线
y
f x
在点1
1
,
2
2
f
处的切线斜率
为
．
题型五：求曲线“在”某点的切线方程
1.曲线
1
y
x
在点
1,1
P
处的切线方程为
．874184586
2.已知函数
4
( )
(2
3)
f x
x
m
的图象经过坐标原点，则曲线
( )
y
f x
在点( 1
，
( 1))
f
处的切线方程是
_________________________
．
3.曲线
( )
3
x
x
f x
e
，在点(0,3) 处的切线方程为
________________________
．874184586
4.求函数
1
f x
x
在
2
x 处的切线方程．
5.曲线
2
2
y
x
x
在点(
)
1, 1
-
处的切线方程为
.
题型六：求曲线“过”某点的切线方程
1.函数
( )
x
x
x
f x
3
2
3
＝
的图象上过原点的切线方程．
2.曲线
2
1
y
f x
x
过点
1,0
P
的切线方程是____________．
3.试求过点
(1, 3)
P
且与曲线
2
y
x
=
相切的直线的斜率．
4.曲线
1
y
f
x
x
在点P 处的切线与直线
1
4
y
x
垂直，则点P 的坐标为______．
5.已知曲线
3
:
2
S y
x
x
．
（1）求曲线S 在点
(1,1)
A
处的切线方程；
（2）求过点
(2,0)
B
并与曲线S 相切的直线方程．
题型七：导数几何意义的理解及运用
1.函数
( )
f x 的图象如图所示，则下列关系正确的是(
)
A．0
f
（2）
f
（3）
f
（3）
f
（2）
B．0
f
（2）
f
（3）
f
（2）
f
（3）
C．0
f
（3）
f
（3）
f
（2）
f
（2）
D．0
f
（3）
f
（2）
f
（3）
f
（2）
2.已知函数
( )
f x 的图象如图所示，则下列结论正确的是(
)
A．0
f
（3）
f
（2）
f
（1）
B．f （1）
f
（2）
f
（3）
0
C．0
f
（1）
f
（2）
f
（3）
D．f （3）
f
（2）
f
（1）
0
3.
( )
y
f x
的图象如上2 图所示，下列数值的排序正确的是(
)
A．0
f
（2）
f
（3）
f
（3）
f
（2）B．0
f
（3）
f
（3）
f
（2）
f
（2）
C．0
f
（3）
f
（2）
f
（3）
f
（2）D．0
f
（3）
f
（2）
f
（3）
f
（2）
4.函数
f x 的图像如图所示，则下列结论正确的是（
）
A．
0
1
1
f
a
f
a
f a
f a
B．
0
1
1
f
a
f a
f a
f
a
C．
0
1
1
f
a
f
a
f a
f a
D．
0
1
1
f a
f a
f
a
f
a
5.函数
y
f x
的图象如图所示，
f
x
是函数
f x 的导函数，则下列大小关系正确的是
（
）
A．
2
4
4
2
2
2
f
f
f
f
B．
2
2
4
2
2
4
f
f
f
f
C．
2
4
2
2
4
2
f
f
f
f
D．
4
2
2
4
2
2
f
f
f
f
模块三：综合巩固
1.曲线
3
1
y
x
在点
,2
a
处的切线方程为（
）
A．
3
3
y
x
B．
3
1
y
x
C．
3
1
y
x
D．
3
3
y
x
2.设函数
2
f x
x
，则
0
1
1
lim
x
f
x
f
x
（
）
A．4
B．2
C．2
D．4
3.函数
( )
2
1
f x
x
在区间
1,5
上的平均变化率为（
）
A．11
5
B．
11
5
-
C．2
D．2
4.定义在R 上的函数
y
f x
在区间
2,2
0
x
x
内的平均变化率为
2
2
1
y
x
x
x
，其中
2
2
y
f
x
f
，则函数
f
x 在
2
x
处的导数
2
f
（
）
A．1
B．1
C．3
D．9
5.函数
y
f x
的图象如图所示，
f
x
是函数
f
x 的导函数，则下列大小关系正确的是（
）
A．
2
4
4
2
2
2
f
f
f
f
B．
2
2
4
2
2
4
f
f
f
f
C．
2
4
2
2
4
2
f
f
f
f
D．
4
2
2
4
2
2
f
f
f
f
6.若函数
( )
y
f x
在
2
x
处的瞬时变化率为
0
lim
x
y
x
，且
(2
)
(2)
4
y
f
x
f
x
x
x
，则
(2)
f
（
）
A．2
B．4
C．2
x
D．4
x
7.已知抛物线
2
3
y
x
x
在
0
2
x
处的增量为
0.1
x
，则
y
x
的值为（
）
A．－0.11
B．－1.1
C．3.89
D．0.29
8.函数
2
( )
2
f x
x
x
在
2
x
附近的平均变化率是（
）
A．7
B．7
x
C．7
2 x
D．
2
7
2(
)x
9.(多选)设函数
( )
y
f x
，当自变量x 由
0x 变化到
0x
x
时，下列说法正确的是（
）
A．x
可以是正数也可以是负数，但不能为0
B．函数值的改变量
y
为
0
0
(
)
(
)
f x
x
f x
C．函数
( )
f x 在
0
0
[
,
]
x x
x
上的平均变化率为
0
(
)
f x
x
D．函数
( )
f x 在
0
0
[
,
]
x x
x
上的平均变化率
0
0
(
)
(
)
f x
x
f x
x
10.（多选）在高台跳水运动中，st 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是
2
4.9
6.5
10
h t
t
t
，判断
下列说法正确的是（
）
A．运动员在
1
t s 时的瞬时速度是3.3m / s
B．运动员在
1
t s 时的瞬时速度是3.3m /
s
C．运动员在
1
t s 附近以3.3m / s 的速度上升
D．运动员在
1
t s 附近以3.3m / s 的速度下降
11.已知函数
f x 满足
1
0
f
x
，
2
0
f
x
，则在
1
x 和
2
x 附近符合条件的
f x 的图象大致是（）
A．
B．
C．
D．
12.计算抛物线
2 4
3
y
x
x
上任一点
,
P u v 处的切线的斜率，并求过点(
)
3,0 的切线方程.
13.设
0
(
)
f
x
为函数
f x 在
0x 处的导数，则满足
1
2
3
f
f
f
的函数
f x 的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
14.若
f
x 为可导函数，且
0
1
2
1
lim
1
2
x
f
x
f
x
，则过曲线
y
f x
上点
1,
1
f
处的切线斜率
为
．
15.拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均
变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若
f
x 在
,a b 上满足以下条件：①在
,a b 上
图象连续，②在
,a b 内导数存在，则在
,a b 内至少存在一点c ，使得
f b
f a
f
c
b
a
（
f
x
为
f
x 的导函数）．则函数
1
ex
f
x
x
在
0,1 上这样的c 点的个数为
16.某人服药后，吸收药物的情况可以用血液中药物的质量浓度c（单位：μg/mL）来表示，它是时间t（单
位：min）的函数，表示为
c
c t
．下表给出了
c t 的一些函数值：
t/min
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
/
g/mL
c t
0.84
0.89
0.94
0.98
1.00
1.00
0.97
0.90
0.79
0.63
0.41
(1)求服药后30min 内，30min 到40min，80min 到90min 这3 段时间内，血液中药物质量浓度的平均变化
率；
(2)讨论刻画血液中的药物质量浓度变化快慢的方法，并说明上述3 段时间中，药物质量浓度变化最快的时
间段．
17.对一名工人的研究表明，工作t h 后生产出的产品量Q（单位：t）可以近似表示为
3
2
15
12
Q
Q t
t
t
t
，
该工人每天工作8h．
(1)求当t 从2h 变到4h，该工人生产的产品量Q 关于时间t 的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求
2
Q
，
4
Q
，并解释它们的实际意义．
18.充满气的气球近似为球体．在给气球充气时，我们都知道，开始充气时气球膨胀较快，随后膨胀速度逐
渐缓慢下来，气球膨胀实际上就是气球半径增大，表面积增大，体积增大．试描述气球的半径相对于体积
的平均变化率．
19.已知函数
3
( )
f x
x
．
(1)求函数
( )
f x 的导函数；
(2)过点
2 ,0
3
P
作函数
( )
f x 的图象的切线，求切线方程．
5.2 导数的运算
模块一：基础知识
考点一：基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
( )
f x
C
(C 为常数)
( )
0
f
x
( )
n
f x
x
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
1
( )
n
f
x
nx
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
( )
sin
f x
x
( )
cos
f
x
x
( )
cos
f x
x
( )
sin
f
x
x
( )
x
f x
a
( )
ln
x
f
x
a
a
( )
x
f x
e
( )
x
f
x
e
( )
log x
a
f x
1
( )
ln
f
x
x
a
( )
ln
f x
x
1
( )
f
x
x
( )
f x
x
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
1
( )
2
f
x
x
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
1
( )
f x
x
2
1
( )
f
x
x
考点二：导数的四则运算法则
1、两个函数
( )
f x 和
( )
g x 的和（或差）的导数法则：
[ ( )
( )]
( )
( )
f x
g x
f
x
g x
.
2、对于两个函数
( )
f x 和
( )
g x 的乘积（或商）的导数，有如下法则：
[ ( ) ( )]
( ) ( )
( )
( )
f x g x
f
x g x
f x g x
；
2
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ( )
0)
( )
[ ( )]
f x
f
x g x
f x g x
g x
g x
g x
.
3、由函数的乘积的导数法则可以得出[
( )]
( )
( )
( )
cf x
c f x
cf
x
cf
x
，
也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即[
( )]
( )
cf x
cf
x
考点三：复合函数的导数
1、复合函数的概念
一般地，对于两个函数
( )
y
f u
和
( )
u
g x
，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，
那么称这个函数为
( )
y
f u
和
( )
u
g x
的复合函数，记作
( ( ))
y
f g x
.
2、复合函数的求导法则
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
一般地，复合函数
( ( ))
y
f g x
的导数和函数
( )
y
f u
，
( )
u
g x
的导数间的关系为
x
u
x
y '
y ' u '
，
即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.
规律：从内到外层层求导，乘法连接。
3、求复合函数的导数的步骤
第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；
第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；
第三步相乘：把上述求导的结果相乘；
第四步变量回代：把中间变量代回。
4、求复合函数的导数注意以下几点：
（1）分解的函数通常为基本初等函数；
（2）求导时分清是对哪个变量求导；B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
（3）计算结果尽量简洁。
考点四：导函数的常用结论
1、奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数．
2、函数
( )
y
f x
的导数
( )
f
x
反映了函数
( )
f x 的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，
其大小
( )
f
x
反映了变化的快慢，
( )
f
x
越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
模块二：题型分类
题型一：导数公式与运算法则的简单应用
1.函数
( )
2sin
cos
f x
x
x
的导函数是(
)
A．
( )
2cos
sin
f
x
x
x
B．
( )
2cos
sin
f
x
x
x
C．
( )
2cos
sin
f
x
x
x
D．
( )
2cos
sin
f
x
x
x
2.求下列函数的导数．
(1)
3
4
1
1
6
3
2
f x
x
x
；
(2)
5
4 cos
f x
x
x
．
3.下列求导运算正确的是（
）
A．
2
1
1
( )
x
x
B．
2
cos
2
sin
x
x
x
x
C．
e
e
1
x
x x
D．
1
(ln2)
2
4.（多选）下列函数求导正确的是（
）
A．
sin
cos
x
x
B．
cos
sin
x
x
C．
1
2
2
x
x
x
D．
2
1
1
x
x
5.求下列函数的导数．
（1）
2
3
sin
y
x
x
x
＝
＋
；
（2）
2
3
e
ln
x
y
x
x
＋
＋
；
（3）
ln
1
x x
y
x
.
6.下列求导数运算中正确的是（
）
A．
2
2
x
x
B．
2 ln
2 ln
x
x
x
x
x
C．cos
sin
x
x
x
D．
sin
cos
sin
cos
x
x
x
x
7.（多选）下列求导运算正确的是（
）
A．
2
1
1
(
)
1
x
x
x
B．
1
(lg )x
x
C．(
)
1
kx
b
k
D．
2
1
(tan )
cos
x
x
题型二：求复合函数的导数
1.写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：
(1)
10
1
y
x
；
(2)
3
1
e x
y
；
(3)
sin
2
5
y
x
；
(4)
ln 3
1
y
x
；
(5)
3 2
1
y
x
；
(6)
tan
1
y
x
．
2.求下列函数的导数：
(1)
3
(2
3)
y
x
；
(2)
ln(5
1)
y
x
．
3.写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：
(1)
2
1
2
1
y
x
；
(2)
sin
1
y
x
；
(3)
2
1
e
x
y
；
(4)
cos
3
y
x
．
4.已知函数
1
f
x
x
，则
f
x
（
）
A．
1
2 1
x
B．
1
2 1
x
C．2 1
x
D．2 1
x
5.函数
2
1
e x
y
的导函数为
．
6.函数
2
1
x
f
x
x
，则
f
x
.
7.（多选）下列结论中正确的是（
）
A．若
1
cos
y
x
，则
2
1
1
sin
y
x
x
B．若
2
sin
y
x
，则
2
cos
y
x
C．若
2ex
y
x
，则
2
(
2 )ex
y
x
x
D．若
ln(2
1)
y
x
，则
1
2
1
y
x
题型三：解析式中含f′(x0)的导数问题
1.若
2
2
1
f x
xf
x
，则
0
f
等于（
）
A．2
B．0
C．-2
D．-4
2.已知函数
3
2
1
1
4
f
f
x
x
x
x
，
f
x
是
f
x 的导函数，则
1
2
f
f
．
3.已知函数
3
2
1
2
f x
x
f
x
，则
2
f
（
）
A．2
B．10
3
C．6
D．14
4.已知函数
3
2
1
f x
f
x
x
x
，则
1
f
的值为
．
题型四：求某点处的导数值
1.若函数
2
1
f
x
x
x
，则
1
f
（
）
A．3
B．1
C．3
D．4
2.已知函数
2
3
4
5
3
3
3
3
3
f x
x x
x
x
x
x
，则
0
f
（
）
A．
15
3
B．
14
3
C．
14
3
D．
15
3
3.函数
( )
f x 的导函数为
( )
f
x
，且满足
2
( )
3
2
(2)
f x
x
xf
，则
(5)
f
的值为（
）
A．5
B．1
C．6
D．-2
4.已知函数
3
2
0
0 e
0
x
f x
x
f
x
f
x
f
，则
0
2[ (
)
(0)]
lim
x
f
x
f
x
（
）
A．4
B．2
C．-2
D．-4
5.函数
1
y
x
在
3
x
处的导数是（
）
A．1
4
B．
1
2
C．2
D．4
6.在可导函数
f
x ，
g x 中，已知
1
1
f
，
1
2
f
，
1
2
g
，
1
1
g
，则
f
x
g x 在
1
x 时
的导数值是（
）
A．5
B．4
C．4
D．2
7.已知函数
π
cos
2
2
f x
x
xf
，则
π
2
f
（
）
A．－1
B．0
C．1
D．π
2
8.已知函数
2
1
2
1
ln
2
f x
f
x
x
x
（
f
x
是
f
x 的导函数），则
1
f
（
）
A．3
2
B．1
C．2
D．
1
2
9.已知函数
2
ln
1
1
2
f
x
x
f
x
f
x
，则
(e)
f
（
）
A．1
2e
1
e
B．
2
2e
5e
1
C．1
4e
1
e
D．
2
2e
e
3
题型五：求切线斜率
1.若直线l 过原点，且与函数
ln x
y
x
的图像相切，则该直线的斜率为（
）
A．1
B．1
2e
C．1
e
D．
2
1
e
2.函数
2
( )
2ln
f x
x
x
bx
a
（b＞0，a∈R）在点( ,
( ))
b f b
处的切线斜率的最小值是（
）
A．2
B．
3
C．2 2
D．1
3.已知
ex
f x
x
，过
1 ,0
2
P
作曲线
y
f x
的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为（
）
A．3 e
2
B．
2
3e
C．2e
D．e
4.已知
2cos
0 cos
2
f
x
x
f
x
，则曲线
y
f x
在点3
3
,
4
4
f
处的切线的斜率为（
）
A．
2
B．
2
C．2 2
D．2 2
5.点P 在曲线
3
2
3
y
x
x
上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（
）
A．[0，π
2）
B．π 3π
2
4
（，）
C．3π
π
4
（
，）
D．[0，π
3π
π
2
4
）（
，）
6.已知函数
ln
f
x
x
x
，过点
0, 1
作该函数曲线的切线，则该切线方程为（
）．
A．2
1
0
x
y
B．
1
0
x
y
C．
2
2
0
x
y
D．
1
0
x
y
7.已知函数
ln
f x
x
x
，过原点作曲线
y
f x
的切线l ，则切线l 的斜率为
．
8.已知函数
2
1
ln
2
f x
x
x
，则曲线
y
f x
所有的切线中斜率最小的切线方程为
．
题型六：求切线方程（在型）
1.设
R
a
，函数
3
2
2
3
f x
x
ax
a
x
的导函数为
f
x
，若
f
x
是偶函数，则曲线
y
f x
在原点
处的切线方程为（
）
A．
3
y
x
B．
2
y
x
C．
3
y
x
D．
2
y
x
2.曲线
3
1
x
f x
xe
x
在
0,1 点处的切线方程是
3.已知函数
sin
f x
x
，曲线
y
f x
在点
0,0 处的切线方程是
．
4.已知函数
2e
2
1
x
f x
x
x
，则
f
x 的图象在
0
x
处的切线方程为
题型七：求切线方程（过型）
1.写出曲线
2
1 ex
y
x
过坐标原点的一条切线方程
.
2.已知函数
3
2
2
f
x
x
x
．
(1)若曲线
y
f x
在其上一点Q 处的切线与直线
4
1
y
x
平行，求Q 的坐标；
(2)求曲线
y
f x
的过坐标原点O 的切线的方程．
3.过点(0,2) 与曲线
l
(
2
)
n
f x
x
相切的切线方程为
．
4.已知函数
3
f x
x
．
(1)用导数的定义，求函数
3
f x
x
在
2
x
处的导数；
(2)过点
2 8，作
y
f x
的切线，求切线方程．
题型八：已知切线求参数范围
1.若直线y
ax
是曲线
ln
1
f
x
x
x
在某点处的切线，则实数
a
．
2.若直线
2
y
x
与曲线
3
2
y
x
bx
c b
c
R
，
相切于点
1 3
M
，，则c
．
3.已知曲线
3
y
x
与曲线
1
ln 3
3
x
y
x
在
0
x
x
处的切线互相垂直，则
0x
．
4.已知函数
3
g x
x
ax
，若曲线
g x 在
0
x
处的切线也与曲线
ln
h x
x
相切，则
a
．
5.若直线y
kx
b
是曲线
e
1
x
y
和
1
ex
y
的公切线，则实数k 的值是（
）
A．
1
e
B．e
C．0
D．1
题型九：利用切线求距离最值
1.已知点P 为函数
2e x
f x
的图象上一点，则点P 到直线:
2
l y
x
的距离的最小值为（
）
A．
5
5
B．1
5
C．
1
2
D．1
4
2.设点A 在直线
3
1
0
x
y
上，点B 在函数
ln
f x
x
的图象上，则AB 的最小值为
.
3.曲线
( )
ln(
1)
1
f x
x
x
上的点到直线
2
4
y
x
的距离的最小值为
4.已知点A 在函数
e
2
x
f x
x
的图象上，点B 在直线:
3
0
l x
y
上，则A，B 两点之间距离的最小值
是
．
5.已知函数
e
3
x
f
x
x
，直线: 2
4
0
l
x
y
．若A，B 分别是曲线
y
f x
和直线l 上的动点，则AB
的最小值是
6.已知点P 在函数
e
1
x
f
x
x
的图象上，点Q 在函数
ln x
g x
x
的图象上，则PQ 的最小值为
.
7.若点P 是曲线
2
ln
y
x
x
上任意一点，点Q 是直线
3
0
x
y
上任意一点，则PQ 的最小距离
为
.
8.设点A 在直线
3
1
0
x
y
上，点B 在函数
ln
f x
x
的图象上，则AB 的最小值为
.
9.在函数
2
4
y
x
的图象上求一点P，使P 到直线
4
5
y
x
的距离最短，并求这个最短的距离．
10.若点P 是曲线
2
ln
y
x
x
上任意一点，则点P 到直线:
4
0
l x
y
距离的最小值为（
）
A．
2
2
B．
2
C．2
D．2 2
11.若动点P 在曲线
ex
y
x
上，则动点P 到直线
2
4
y
x
的距离的最小值为（
）
A．
5
B．e
1
C．2 5
D．2e
模块三：综合巩固
1.下列求导正确的是（
）
A．
π
π
sin
sin
cos
sin
6
6
x
x
B．
2
2
1
2 2
1
x
x
C．
2
1
log
ln 2
x
x
D．
2
2
2
2
x
x
x
x
2.下列求导正确的是（
）
A．(cos )
sin
x
x
B．
2
2
2
2
x
x
x
x
C．
π
1
π
sin
cos
cos
sin
3
3
3
x
x
D．
2
2
log e
log x
x
3.曲线
2x
1
y
x
2
在点
1, 3
处的切线方程为（
）
A．
5
2
y
x
B．
5
2
y
x
C．
5
2
y
x
D．
5
2
y
x
4.若曲线
2e ax
y
在点
0,1 处的切线与直线
2
1
0
x
y
垂直，则
a
（
）
A．2
B．1
C．1
D．2
5.函数
2
log
2
ln2
x
x
f x
x
的图象在
1
x 处切线的斜率为（
）
A．ln2
B．2ln2
C．2
D．
1
2
ln2
6.已知函数
π
cos
2
2
f x
x
xf
，则
π
2
f
（
）
A．－1
B．0
C．1
D．π
2
7.已知曲线
3
2
2
y
x
ax
x
b
在点
1,0 处的切线的倾斜角为3π
4 ，则a
b
（
）
A．
3
4
B．
5
4
C．-2
D．
11
4
8.若曲线
ln
f x
ax
x
与直线
2
2
2ln2
0
x
y
相切，则实数
a
（
）
A．1
B．1
C．2
D．e
9.（多选）下列导数的运算中正确的是（
）
A．
3
3 ln 3
x
x
B．
2ln
2 ln
x
x
x x
x
＝
＋
C．cos x
x
＝
2
sin
cos
x
x
x
x
D．
sin
cos
cos 2
x
x
x
10.已知函数
3
3
1
f x
x
x
，则过点(
)
1, 1
-
且与曲线
y
f x
相切的直线方程可以为（
）
A．2
1
0
x
y
B．
1
y
C．9
4
5
0
x
y
D．3
2
1
0
x
y
11.若动点P 在直线
1
y
x
上，动点Q 在曲线
2
2
x
y
上，则|PQ|的最小值为（
）
A．1
4
B．
2
4
C．
2
2
D．1
8
12.若点
,
A a a ，
,eb
B b
,
R
a b
，则A 、B 两点间距离AB 的最小值为（
）
A．1
B．
2
2
C．
2
D．2
13.已知函数
2
1
ln
f
x
xf
x
x
，则
1
f
.
14.已知曲线
f x
x
与曲线
ln
g x
a
x
（a
R
）相交，且在交点处有相同的切线，则
a
.
15.已知函数
3
f x
x
a
，点
0,0
A
在曲线
( )
y
f x
上.
(1)求曲线
( )
y
f x
在点( 1, 1)
处的切线方程；
(2)求曲线
( )
y
f x
过点
(2,0)
E
的切线方程.
16.已知函数
3
f x
x
.
(1)若曲线
y
f x
在点
1,
1
A
f
处的切线与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，求
MON
△
的面积（O为坐
标原点）；
(2)求与曲线
y
f x
相切，并过点
0,2 的直线方程.
17.已知
2
1
ln
8
f x
x
x
.
(1)求曲线
f
x 在
1
x 处的切线方程；
(2)设P 为曲线
f
x 上的点，求曲线C 在点P 处切线的斜率的最小值及倾斜角的取值范围.
18.已知函数
3
2
3
7
f x
x
ax
x
．
(1)若曲线
y
f x
的切线斜率不小于6
，求a 的取值范围；
(2)当
5
a 时，求曲线
y
f x
过点
1,0 的切线方程．
19.已知
0,
0
a
b
，直线
2
y
x
a
与曲线
1
e
1
x
y
b
相切，则2
1
a
b
的最小值为
.
5.3 导数求函数的单调性
模块一：基础知识
考点一：函数的单调性与导数的关系
函数
( )
y
f x
在区间( , )
a b 内可导，
(1)若
( )
0
f
x
，则
( )
f x 在区间( , )
a b 内是单调递增函数；
(2)若
( )
0
f
x
，则
( )
f x 在区间( , )
a b 内是单调递减函数；
(3)若恒有
( )
0
f
x
，则
( )
f x 在区间( , )
a b 内是常数函数．
注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则
条件
恒有
结论
函数
( )
y
f x
在区
间( , )
a b 上可导
( )
0
f
x
( )
y
f x
在( , )
a b 内单调递增
( )
0
f
x
( )
y
f x
在( , )
a b 内单调递减
( )
0
f
x
( )
y
f x
在( , )
a b 内是常数函数
考点二：求已知函数（不含参）的单调区间
①求
( )
y
f x
的定义域
②求
( )
f
x
③令
( )
0
f
x
，解不等式，求单调增区间
④令
( )
0
f
x
，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令
( )
0
f
x
（或
( )
0
f
x
）不跟等号.
考点三：由函数f(x)的单调性求参数的取值范围的方法
1、已知函数
f x 在区间D 上单调
①已知
f x 在区间D 上单调递增
x
D
，
0
f
x
恒成立.
②已知
f x 在区间D 上单调递减
x
D
，
0
f
x
恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
2、已知函数
f x 在区间D 上存在单调区间
①已知
f x 在区间D 上存在单调增区间
x
D
使得
( )
0
f
x
有解
②已知
f x 在区间D 上存在单调减区间
x
D
使得
( )
0
f
x
有解
3、已知函数
f x 在区间D 上不单调
0x
D
，使得
0
0
f
x
有变号零点
考点四：含参问题讨论单调性
第一步：求
( )
y
f x
的定义域
第二步：求
( )
f
x
（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
( )
g x
对于
( )
y
f x
进行求导得到
f
x
，对
f
x
初步处理（如通分），提出
f
x
的恒正部分，将该部分
省略，留下的部分则为
f
x
的有效部分（如：
2
2
(
2)
xe
x
ax
f
x
x
，则记
2
( )
2
g x
x
ax
为
( )
f
x
的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定
f
x
的正负.
第四步：确定导函数有效部分( )
g x 的类型：
①( )
g x 为一次型（或可化为一次型）②( )
g x 为二次型（或可化为二次型）
第五步：通过分析导函数有效部分，讨论
( )
y
f x
的单调性
模块二：题型分类
题型一：求函数单调区间（不含参）
1.函数
2
1
ln
2
f x
x
x
的单调递减区间为（
）
A．
1,1
B．
0,1
C．
1,
D．
0,
2.函数
2
5ln
4
f x
x
x
的单调递减区间是（
）
A．
0,3
B．
3,
C．
5
, 2
D．
5
0,2
【答案】D
【详解】
5
2
f
x
x
，定义域为
0,
，令
0
f
x
，解得
5
0
2
x
，所以
f
x 在
5
0,2
上单调递减.
故选：D.
3.（多选）函数
( )
ln
f x
x
x
的一个单调递增区间是（
）
A．(e,
)
B．1 ,
e
C．
1
(0, )
e
D．1 ,1
e
4.（多选）函数
4
2
2
5
y
x
x
的单调减区间可以为（
）
A．(
, 1)
B．( 1,0)
C．(0,1)
D．(1,
)
5.函数
sin
cos (0
2π)
y
x
x
x
x
的增区间为
．
6.已知函数
1
1
( )
e
e
x
x
f x
，求函数
( )
f x 的单调区间.
7.设
2
3
( )
2
f x
x
x
，则
( )
f x 的单调递减区间是（
）
A．
4
(0, )
3
B．4
( ,
)
3
C．(
,0)
D．(
,0)
和4
( ,
)
3
8.函数
ln
1
x
y
x
的单调减区间为（
）
A．
,1
B．
0,1
C．
1,e
D．
1,
题型二：函数单调性求参数范围
【例题】已知函数
ln
f
x
x
ax
在区间
1,3 上单调递减，则实数a 的取值范围为（
）
A．
1
a
B．
1
a
C．
1
3
a
D．
1
3
a
1.已知函数
2
e x
f x
x
ax
在
0,2 上为减函数，则a 的取值范围是（
）
A．
,2e
B．
e,
C．
1,
D．
1,
2.若函数
ln
f x
x
a x
在区间
1,2 内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是（
）
A．(
, 1)
B．(
, 1]
C．(
, 2)
D．(
, 2]
3.已知函数
2
1
ln
6
2
f x
a
x
x
x
在定义域内单调递增，则实数a 的取值范围是（
）
A．
,0
B．
9,
C．
,9
D．
0,
4.若函数
3
12
f x
x
x
在区间
1,
1
k
k
上单调，则实数k 的取值范围是（
）
A．
, 3
1,1
3,
B．
3, 1
1,3
C．
2,2
D．不存在这样的实数k
5.已知函数
e
ln
x
f x
a
x
在区间
2,3 上单调递增，则a 的最小值为（
）
A．
2
2e
B．e
C．
1
e
D．
2
1 e
2
6.已知函数
2
4
ln
f x
ax
ax
x
，则
f x 在
1,3 上不单调的一个充分不必要条件是（
）
A．
1
, 6
a
B．
6
1 ,
a
C．
1 ,
2
a
D．
1 1
,
2 6
a
7.已知函数
2
2
f
x
ax
x
在
1,上不单调，则实数a 的取值范围是（
）
A．
,1
B．
0,1
C．
1,
D．
1
0, 2
8.已知函数
2
2
ln
f x
x
x
，若
f x 在区间
2 ,
1
m m
上单调递增，则实数m 的取值范围是
.
题型三：求含参函数的单调区间
1.求函数
3
2
3
3
1
f x
ax
x
a
的单调区间．
2.讨论函数
3
y
x
ax
b
的单调性．
3.已知
2
2
1
2
ln
2 1
2
f
x
x
x
x
a
x
a x
，
0
a
．讨论
f
x 的单调性；
4.已知函数
2
ex
f x
x
a
x
.
（1）当
4
a
时，求曲线
y
f x
在
0,
0
f
处的切线方程；
（2）讨论
f
x 的单调性.
5.已知函数
2
2 ln
ln
0
f x
ax
a
x
a a
x
，讨论函数
f x 的单调性．
6.已知函数
1
ln
0
f
x
x
a
x a
x
.讨论
f x 的单调性．
题型四：已知函数f(x)在区间D 上存在单调区间求参数
1.若函数
2
(
)
ln
f
x
x
m
x
在区间
1,2 上有单调递增区间，则实数m 的取值范围是
．
2.函数
2
ex
x
a
f x
在R 上存在单调递增区间，则a 的取值范围是
.
3.若函数
3
2
1
( )
2
f x
x
ax
x
在
1,3 存在单调递减区间，则a 的取值范围为
．
题型五：已知函数f(x)单调区间为（是）D 求参数值
1.已知函数
3
2
2
3
1
1
0
f x
mx
m
x
m
m
的单调递减区间是
0,4 ，则m
.
题型六：已知函数f(x)在区间D 上不单调，求参数
1.若函数
2
2
ln
f x
x
x
在其定义域的一个子区间
2
1,2
1
k
k
内不是单调函数，则实数k 的取值范围是
（
）
A．1 3
,
2 4
B．3 ,
4
C．1 ,2
2
D．
1 3
,
2 4
2.已知函数
4
1
x
f
x
ax
x
e
在区间
1,3 上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（
）
A．
2
,
4
16
e
e
B．
2
,
4
16
e
e
C．
3
2
,
36
16
e
e
D．
3
,
4
16
e
e
3.已知函数
3
2
1
2
1
3
2
a
g x
x
x
x
．若
g x 在
2, 1
内不单调，则实数a 的取值范围是
．
4.若函数
3
2
4
1
3
2
x
a
f x
x
x
在区间(1，4)上不单调，则实数a 的取值范围是
.
题型七：含参问题讨论单调性(导函数一次型)
1.已知函数
( )
ln
(
)
f x
x
ax a
R .
(1)若
1
a ，求函数
( )
f x 的极值；
(2)求函数
( )
f x 的单调区间.
2.已知函数
( )
(
1)
ln (
)
f x
a x
x
x a
R ．求函数
( )
f x 的单调区间．
3.已知函数
ln
3(
R)
f
x
a
x
ax
a
，讨论函数
f
x 的单调性．
4.已知函数
e
2
R
x
f x
a
x a
．讨论函数
f
x 的单调性．
题型八：含参问题讨论单调性(导函数二次型且可因式分解)
1.知函数
2
( )
ln
(1 2 )
f x
ax
x
a x
，其中
R
a
．
(1)若
1
2
x
是函数
( )
f x 的极值点，求a 的值；
(2)若a<0 ，讨论函数
( )
f x 的单调性．
2.已知函数
2
ln
2
1
f x
a
x
x
a
x
，其中
0
a
.求函数
f
x 的单调区间；
3.已知函数
2
1
e
2
x
f
x
x
a
x
x
R
a
(1)若
0
a
，求曲线
y
f x
在点
2
x
处的切线方程；
(2)当
0
a
时，求函数
f
x 的单调递增区间.
4.已知函数
2
1
ln
(1
)
1
2
y
x
ax
a x
．
(1)当
1
a 时，求曲线
( )
f x 在点(1,
(1))
f
处的切线方程；
(2)当
1
a 时，讨论函数
( )
f x 的单调性；
5.已知函数
2
e
1
0
2
x
m
f x
x
x
m
.
(1)当
0
m
时，求函数
f
x 的最小值；
(2)当
0
m
时，讨论
f
x 的单调性.
6.已知
2
2
3
( )
(
)ln
2
2
f x
x
ax
x
x
ax
，求
( )
f x 的单调递减区间.
题型九：含参问题讨论单调性(导函数二次型不可因式分解)
1.设函数
1
( )
ln
1
x
f x
a
x
x
，其中a 为常数，讨论函数
( )
f x 的单调性．
2.已知函数
1
ln
0
f x
x
a
x a
x
.讨论
f
x 的单调性．
3.已知函数
2
( )
2ln
f x
x
x
kx
．
(1)讨论
( )
f x 的单调性；
4.已知函数
ln
2
a
f
x
x
x
x
．讨论当
0
a
时，
f
x 单调性．
题型十：原函数与导函数的关系
1.已知函数
y
xf
x
的图象如图所示（其中
f
x
是函数
f
x 的导函数），则
y
f x
的图象大致是
（
）
A．
B．
C．
D．
2.设函数
f
x 在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数
f
x
的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
3.若函数
y
f x
的导函数
y
f
x
的图象如图所示，则函数
f
x 的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
4.（多选）已知函数
,
y
f x
y
g x
的导函数图象如图，那么
,
y
f x
y
g x
的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
5.函数
y
f x
的图象如图，则导函数
y
f
x
的图象可能是下图中的（
）
A．
B．
C．
D．
6.已知函数
( )
y
f x
，其导函数
( )
y
f
x
的图像如图所示．以下四个选项中，可能表示函数
( )
y
f x
图像
的是（
）
A．
B．
C．
D．
7.
f
x
是函数
f x 的导函数，
y
f
x
的图象如图所示，则
y
f x
的图象最有可能是下列选项中的
（
）
A．
B．
C．
D．
8.已知
f
x
是函数
f x 的导函数，函数.
y
xf
x
的图象如图所示，则
y
f x
的大致图象可能是
（
）
A．
B．
C．
D．
9.（多选）设
f
x
是函数
f x 的导函数，将
y
f x
和
y
f
x
的图象画在同一直角坐标系中，可能正
确的是（
）
A．
B．
C．
D．
题型九：利用单调性解不等式
1.已知定义域为R 的奇函数
f
x 的图象是一条连续不断的曲线，当
2,
x
时，
0
f
x
，当
0,2
x
时，
0
f
x
，且
3
0
f
，则关于x 的不等式
1
0
x
f x
的解集为（
）
A．
3, 1
1,3
B．
3,0
0,3
C．
3, 1
0,3
D．
3,0
1,3
2.设函数
e
e
2sin
x
x
f
x
x
，则关于t 的不等式
2
1
0
f t
f
t
的解集为（
）
A．
, 1
B．
1
,
3
C．
1,
D．
1 ,
3
3.已知定义在R 上的函数
f
x 的导函数为
f
x
，且
0
f
x
f x
，
1
e
f
，则不等式
1 ln
2
f
x
x
的解集为（
）
A．
0,e
B．
2
0,e
C．
e,
D．
2e ,
4.已知
f
x 是定义在
π,π
上的奇函数，其导函数为
f
x
，
π
2
4
f
，且当
0, π
x
时，
sin
cos
0
f
x
x
f
x
x
，则不等式
1
sin
f x
x
的解集为
．
5.已知函数
2
1
( )
ln
2
2
f x
x
x
x
满足
2
(2
)
(4
12)
f
a
a
f
a
，则实数a 的取值范围是
.
6.已知函数
2023
1
sin
e
e
x
x
f
x
x
x
，其中e 是自然对数的底数，若
2
1
2
0
f a
f
a
，则实数a 的取
值范围是（
）
A．
1 ,1
2
B．
1
1, 2
C．
1
, 1
,
2
D．
1
,
1,
2
7.已知
f x 是定义在R 上的偶函数，当
0
x
时，
e
sin
x
f x
x
，则不等式
π
3
1
e
f
x
的解集是（
）
A．1
π 1
π
,
3
3
B．
1
π
0,
3
C．
π
1 e
0,
3
D．1
π ,
3
题型十：利用单调性比较大小
1.设
2
ln 2
1
ln 6
,
,
4
e
12
a
b
c
，则（
）
A．a
c
b
B．a
b
c
C．b<c<a
D．c<a<b
2.已知实数：a ，b ，
(0.1)
c
，且
2023
2023ea
a
，
2024
2024eb
b
，
2025
2025ec
c
，则（
）
A．a
b
c
B．b
c
a
C．c
a
b
D．c
b
a
3.（多选）已知定义在R 上的函数
f
x 满足
f
x
f
x
，在下列不等关系中，一定成立的是（
）
A．
e
1
2
f
f
B．
e
1
2
f
f
C．
e 2
e
2
e
f
f
D．
e 2
e
e
2
f
f
4.已知函数
2
2
ln e
e
x
f x
x
，若
3e
a
f
，
1
2
b
f
，
4
3
c
f
，则（
）
A．a
b
c
B．b
a
c
C．c
a
b
D．c
b
a
5.已知
ln2
ln6
ln7
2
6
7
a
b
c
，
，
，则（
）
A．c
b
a
B．b
a
c
C．b
c
a
D．a
b
c
6.已知
1
97
ln 98
98
a
，
1
98
ln 99
99
b
，
1
99
ln100
100
c
，则a，b，c 的大小关系是（
）
A．a
c
b
B．a
b
c
C．c
a
b
D．c
b
a
7.已知定义在R 上的函数
f x ，其导函数为
f
x
，当
0
x
时，
0
xf
x
f x
，若
2
1
a
f
，
2
b
f
，
1
4
2
c
f
，则a ，b ，c 的大小关系是（
）
A．c
b
a
B．c<a<b
C．a
b
c
D．b
a
c
8.已知函数
f x 的导函数为
f
x
，且
f
x
f x
对任意的xR 恒成立，则（
）
A．
ln3
3
0
f
f
B．
2
2
e
0
f
f
C．
ln 2
2
0
f
f
D．
2
2
e
0
f
f
9.已知函数
y
f x
是定义在R 上的奇函数，且当
,0
x
时不等式
0
f x
xf
x
成立，若
0.3
0.3
3
3
a
f
，
π
π
log 3
log 3
b
f
，
1
1
3
3
log 9
log 9
c
f
，则a ，b ，c 的大小关系是（
）
A．c
b
a
B．c
a
b
C．a
c
b
D．b
a
c
模块三：综合巩固
1．.函数
(
e
3
)
(
) x
f x
x
的单调递减区间是（
）
A．(, 2]
B．[0 , 3]
C．[1, 4]
D．[2 ,
)
2.函数
2
5ln
4
f x
x
x
的单调递增区间是（
）
A．
0,3
B．
,0
和5 ,
2
C．
5
0,2
D．5 ,
2
3.已知函数
( )
y
f x
的导函数
f
x
的图象如图所示，那么函数y
( )
f x （
）
A．在(
, 1)
上单调递增
B．在(1,
)
上单调递减
C．在(
,2)
上单调递增
D．在(2,
)
上单调递减
4.已知函数
2 ,0
,
ln
,
,
x
a
x
f x
x x
a
x
若
f
x 在
0,
上单调递减，则实数a 的取值范围是（
）
A．
2
1,e
B．
e,2e
C．
2
,e e
D．
e,
5.若函数
3
3
1
f x
x
kx
在区间
1,上单调递增，则实数k 的取值范围是（
）
A．
,1
B．
,1
C．
1,
D．
1,
6.已知函数
3
2
1
f x
x
x
ax
在R 上为单调递增函数，则实数a 的取值范围为（
）
A．
1
,
3
B．
1
,
3
C．
1 ,
3
D．
1 ,
3
7.若函数
ln
f x
x
a x
在区间
1,2 内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是（
）
A．(
, 1)
B．(
, 1]
C．(
, 2)
D．(
, 2]
8.已知函数
ln
1
a
f
x
x
x
在
1 ,1
2
上单调递增，则实数a 的取值范围是（
）
A．
9
2
a
B．
9
2
a
C．
4
a
D．
4
a
9．(多选)设
f
x ，
g x 都是单调函数，其导函数分别为
f
x
，
g
x
，
h x
f x
g x
，下列命题
中，正确的是（
）
A．若
( )
0
f
x
¢
>
，
0
g
x
，则
h x 单调递增；
B．若
( )
0
f
x
¢
>
，
0
g x
，则
h x 单调递增；
C．
0
f
x
，
0
g
x
，则
h x 单调递减；
D．若
0
f
x
，
0
g x
，则
h x 单调递减；
10．若函数
cos
f
x
ax
x
在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是
．
11．已知函数
2
2
ln
f x
x
x
，若
f
x 在区间
2 ,
1
m m
上单调递增，则实数m 的取值范围是
.
12．已知函数
2
ln
a
g x
x
x
x
在区间
1,2 上不单调，则实数a 的取值范围是
.
13.已知定义在R 上的函数
f x 的导函数为
f
x
，且对任意
R
x
都有
2
f
x
，
2
0
f
，则不等式
2
4
0
f x
x
的解集为（
）
A．
2,
B．
1,
C．
,1
D．
,2
14.定义在
0,
上的函数
f x 满足：
0
x
有
0
f x
xf
x
成立且
2
2
f
，则不等式
4
f x
x
的
解集为
.
15.已知函数
2
2
1
2
ln
2
f x
a
x
x
ax a
R ．
(1)当
1
a 时，求曲线
y
f x
在
1,
1
f
处的切线方程；
(2)讨论函数
f
x 的单调性；
16.已知函数
3
2
1
1
1
3
2
a
f
x
x
x
a
x
.
(1)若曲线
y
f x
在点
2
2
f,
处的切线与直线6
1
0
x
y
平行，求出这条切线的方程；
(2)讨论函数
f
x 的单调性.
5.4 函数的极值与最值
模块一：基础知识
考点一：导数的极值
1.极值的概念：极大值与极小值统称为极值
（1）函数的极大值：一般地，设函数y＝f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，
都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值，记作y 极大值＝f(x0)，x0是极大值点．
（2）函数的极小值：一般地，设函数y＝f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，
都有f(x)＞f(x0)，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值，记作y 极小值＝f(x0)，x0是极小值点．
2.极值与导数的关系
如图（1），若x0是极大值点，则在x0的左侧附近f(x)只能是增函数，即f′(x)>0，在x0的右侧附近f(x)
只能是减函数，即f′(x)<0.
如图（2），若x0是极小值点，则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数，即f′(x)<0；在x0的右侧附近f(x)
只能是增函数，即f′(x)>0.
综合以上情形，可以得到：
若x0满足f′(x0)＝0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值．
若f′(x)在x0的两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；
若f′(x)在x0的两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值．
【注意】（1）可导函数的极值点．必须是导数为0 的点，但导数为0 的点不一定是极值点．
即“点x0是可导函数f(x)的极值点”是“f′(x0)＝0”的充分不必要条件．
不可导的点可能是极值点也可能不是极值点．
例如：①导数为0 的点是极值点：y＝x
2，y′|x＝0＝0，x＝0 是极值点．
②导数为0 的点不是极值点：y＝x
3，y′|x＝0＝0，x＝0 不是极值点．
③不可导的点是极值点：y＝|sinx|，x＝0 不可导，但x＝0 是极值点．
（2）函数的极值只是一个局部性的概念，是仅对某一点及左、右两侧区域而言的．在函数的整个定义区
间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大，如图，
点x1、x3是极大值点，x2、x4是极小值点，且在点x1处的极大值小于在点上x4处的极小值．
（3）极值点是自变量的值，极值指的是函数值．
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．
（5）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝对不会是单调函数，即在区间上的单调函数没有
极值．
3.利用导数求函数极值的方法步骤
（1）求导数f′(x)；
（2）求方程f′(x)＝0 的所有实数根；
（3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数f′(x)的符号如何变化．
①如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；
②如果由负变正，则f(x0)是极小值．
③如果在f′(x)＝0 的根x＝x0的左右侧f′(x)的符号不变，则不是极值点．
考点二：函数的最大（小）值
一般地，如果在区间[ , ]
a b 上函数
y
f x
的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数
f x 在[ , ]
a b 上连续，在( , )
a b 内可导，求
f x 在[ , ]
a b 上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求
f x 在( , )
a b 内的极值；
（2）将函数
f x 的各极值与端点处的函数值
( )
f a ，
( )
f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的
一个是最小值.
考点三：函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[ , ]
a b 的整体而言；
（2）在函数的定义区间[ , ]
a b 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个
（或者没有）；
（3）函数
f x 的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
模块二：题型分类
题型一：求函数极值与极值点
1.函数
3
2
2
y
x
x
的极值情况是（
）
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既无极大值也无极小值
D．既有极大值又有极小值
2.设函数
2
2ln
f x
x
x
，则（
）
A．
e
x为极大值点
B．
1
x 为极大值点
C．
1
x 为极小值点
D．无极值点
3.求下列函数的极值.
（1）
3
2
( )
3
9
5
f x
x
x
x
；
（2）
ln
( )
x
f x
x
.
4.已知函数
ln
f
x
x
x
．
(1)求曲线
y
f x
在点
1,
1
f
处的切线方程；
(2)求
f
x 的单调区间和极值．
5.若函数
3
1
4
3
f x
x
bx
，
2
x
为函数
f
x 的极值点.
(1)求b 的值；
(2)求函数的极值.
题型二：已知极值（点）求参数
1.已知函数
3
2
2
3
f x
x
mx
nx
m
在=
1
x 处有极值0，则实数m
n
的值为（
）
A．4
B．4 或11
C．9
D．11
2.已知函数
3
2
f x
x
ax
x
b
在
1
x 处取得极值5，则a b
（
）
A．7
B．3
C．3
D．7
3.已知函数
3
3
1
f x
ax
x
的极小值为1
，则
a
（
）
A．1
B．2
C．1
D．2
4.已知函数
2
f
x
x x
m
在
1
x 处有极大值，则m 的值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．1 或3
5.若函数
4
f x
x
x
与函数
e
x
g x
a
x有相等的极小值，则实数
a
（
）
A．1
2
B．
3e
C．2
D．
2
1
e
6.已知
ex
f x
x
在区间
2
,6
m
m
上有极小值，则实数m 的取值范围是（
）
A．
, 5
B．
2, 5
C．
2, 5
D．
5,1
7.已知函数
( )
e
3
ax
f x
x
有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是（
）
A．
1
3
a
B．
1
3
a
C．
3
a
D．
3
a
8.设函数
2
1
e
(
)(
R)
2
x
f
x
a
x
x a
有两个极值点
1
2
,
x x ，则实数a 的取值范围是（
）
A．
e,
B．
2e ,
C．
e,
D．
1,e
9.已知函数
3
2
6
1
f x
x
mx
m
x
既存在极大值，又存在极小值，则实数m 的取值范围是（
）
A．(
)
1,2
-
B．
, 3
6,
C．
3,6
D．
, 1
2,
10.若函数
( )
ex
f x
ax
b
在R 上有小于0 的极值点，则实数a 的取值范围为
.
11.函数
ln
1
x
f x
ax
b
在
1
x 处取得极值0，则a
b
（
）
A．0
B．1
2
C．1
D．2
12.已知函数
3
2
2
3
f x
x
ax
bx
a
在= 1
x 时有极值0，求常数a ，b 的值.
题型三：导函数图象与极值的关系
1.如图是导函数
y
f
x
的图象，则下列说法不正确的是（
）
A．函数
y
f x
在区间
1,3 上单调递减
B．函数
y
f x
在区间
0,1 上单调递减
C．函数
y
f x
在
1
x 处取得极大值
D．函数
y
f x
在
2
x 处取得极小值
2.如图是函数
y
f x
的导函数
f
x
的图象，则下面判断正确的是（
）
A．在区间
2,1
上
f x 是增函数
B．在
1,3 上
f x 是减函数
C．当
4
x
时，
f x 取极大值
D．在
4,5 上
f x 是增函数
3.（多选）函数
f x 的导函数
y
f
x
的图象如图所示，则下列结论正确的是（
）
A．函数
f x 在区间
2
4
,
x x
上单调递减
B．
6
x
x
是函数
f x 的极小值点
C．函数
f x 在
4
x
x
处取得极小值
D．函数
f x 在
2
x
x
处取得极大值
4.（多选）已知定义域为R 的函数
( )
f x ，且函数
( )
f
x
y
x
的图象如图，则下列结论中正确的是（
）
A．
( 1)
(1)
0
f
f
B．函数
( )
f x 在区间(
, 1)
上单调递减
C．当= 1
x 时，函数
( )
f x 取得极小值
D．当
1
x 时，函数
( )
f x 取得极小值
5.（多选）如图所示是
y
f x
的导数
y
f
x
的图象，下列结论中正确的有（
）．
A．
f
x 的单调递增区间是
1,2
4,
B．= 1
x 是
f
x 的极小值点
C．
f
x 在区间
2,4 上单调递减，在区间(
)
1,2
-
上单调递增
D．
2
x
是
f
x 的极小值点
6.已知函数
3
2
f x
ax
bx
cx
，其导函数
y
f
x
的图象经过点
1,0 ，
2,0 ，如图所示，则下列说法
中正确结论的序号为
．
①当
3
2
x
时函数取得极小值；
②
f
x 有两个极值点；
③当
2
x
时函数取得极小值；
④当
1
x 时函数取得极大值．
题型四：求函数的最值（不含参）
1.求下列函数的最值．
（1）
3
]
( )
2
12 ,
,3
[ 2
f x
x
x x
；
（2）
]
1
( )
sin
[
,
0,2π
2
f x
x
x x
.
2.函数
2
3
27ln
2
f x
x
x
在区间
1,2 上的最大值是（
）
A．0
B．
1
2
C．1
D．3
2
3.已知函数
2
( )
3
1 ex
f x
x
x
．
(1)求曲线
y
f x
在
0,
0
f
处的切线方程；
(2)求
f
x 在区间
2,0
上的最大值和最小值．
4.设函数
3
4ln
f
x
x
x
x
．
（1）求
f x 的单调区间；
（2）求
f x 在1,e
e
上的最大值与最小值．
5.已知函数
2
3 ex
f
x
x
.
（1）求函数
f x 的单调区间；
（2）求
f x 在
1,2
上的最值.
6.函数
e
1
x
f x
x
在区间
1,1
上的最大值是
.
7.函数
( )
2
sin
f x
x
x
在区间
0,π 上的（
）
A．最小值为0，最大值为π+1
B．最小值为0，最大值为2π
C．最小值为π+1，最大值为2π
D．最小值为0，最大值为2
8.设函数( )
2
1
1 ln
2
f
x
x
x
=
+ -
.
（1）求
( )
f x 的单调区间;
（2）求函数
( )
( )
2
g x
f x
x
在区间1 ,3
2
上的最大值和最小值.
9.已知函数
3
2
3
2
1
2
2
a
f
x
x
x
ax
．
（1）当
2
a 时，求
f x 极值：
（2）当
0,2
a
时，求函数
f x 在
2 ,a a
上的最大值．
10.已知函数
2
2ln
f x
x
ax
b
在
1
x 处取得极值1.
(1)求a 、b 的值；
(2)求
f
x 在
1
e ,e
上的最大值和最小值.
题型五：求函数的最值（含参）
1.设函数
( )
e x
f x
ax
(1)当
1
a 时，求函数
( )
f x 在
0
x
处的切线方程；
(2)当
2
a
时，求证：
( )
0
f x
(3)当
1
a 时，求函数
( )
f x 在[0,1] 上的最小值
2.已知函数
3
2
f
x
x
ax
，求函数
f
x 在区间
0,2 上的最大值．
3.已知函数
( )
ln
2
f x
x
x
x
，求：
(1)求函数
( )
f x 的单调区间；
(2)求函数
( )
f x 在[1, ]
a 的最小值.
4.已知函数
3
2
2
3
1
f x
x
ax
a
R ．
(1)讨论
f
x 的单调性；
(2)当a<0 时，求
f
x 在区间
0,2 上的最小值．
题型六：根据函数的最值求参数
1.函数
3
( )
3
f x
x
x
a
，
[ 2,0]
x
的最小值为1，则实数a 的值为（
）
A．1
B．4
C．3
D．1
2.函数
3
3
,
0,2
f x
x
x
a x
的最大值为1，则实数a 的值为（
）
A．1
B．4
C．3
D．1
3.已知函数
( )
ln
(
R)
f x
a
x
x a
在区间(e,
)
内有最值，则实数a 的取值范围是（
）
A．(e,
)
B．e ,
2
C．(
,e]
D．(
, e)
4.已知函数
3
2
( )
6
9
f x
x
x
x
．
(1)求函数
( )
f x 的单调区间；
(2)若
( )
f x 在区间[1,
]
m 上的最小值为0 ，求m 的取值范围.
5.已知函数
3
f x
x
ax
b
，且满足
f
x 的导数
y
f
x
的最小值为
3
4
.
(1)求a 值；
(2)若函数
y
f x
在区间
1,2
上的最大值与最小值的和为7，求b 值.
6.已知函数
ln
a
f
x
x
x
，a R ．
(1)当
2
a
时，求曲线
y
f x
在点
1,
1
f
处的切线方程；
(2)若函数
f
x 在
1,e 上的最小值是3
2 ，求a 的值．
7.若函数
2e x
f x
x
在区间1 ,
4 a
上的最小值为2e，则a 的取值范围是（
）
A．1
1
4
2
a
B．
1
2
a
C．1
1
2
a
≤
≤
D．
1
a
8.已知函数
3
1
4
4
3
f x
x
x
．
（1）求曲线
y
f x
在点(3,1)处的切线方程；
（2）若
f x 在区间
,
5
a a
上既有最大值又有最小值，求a 的取值范围．
题型七：函数的极值与最值综合应用
1.已知函数
( )
ln (
R)
x
a
f x
x a
x
.
（1）讨论
( )
f x 的极值；
（2）求
( )
f x 在1 ,e
e
上的最大值( )
g a .
2.已知函数
2
1
2
2ln
2
f
x
ax
a x
x
，
（1）当
0
a
，求曲线
y
f x
在
1,
1
f
处的切线方程；
（2）若a<0，证明：
6
4
f x
a
．
3.已知有数
2
ln
1
f x
ax
x
．
（1）若
1
2
a
，判断
f x 的单调性；
（2）若
f x 在
1,e 上有零点，求实数a 的取值范围．
4.设a 为实数，函数
3
2
3
f x
x
x
a
，
ln
g x
x
x
.
（1）求
f x 的极值；
（2）对于
1
1,3
x
，
2
1,e
e
x
，都有
1
2
f x
g x
，试求实数a 的取值范围.
5.已知函数
ex
f x
kx
，xR ，k 为常数，e 是自然对数的底数．
（1）当
e
k
时，求
f x 的极值；
（2）若
0
k
，且对于任意
0
x
，
0
f x
恒成立，试确定实数k 的取值范围．
6.已知函数
( )
ln
2(
0)
f x
x
ax
a
，若
( )
f x 的最大值为2.
（1）求a 的值；
（2）若
( )
f x
bx
在[1,
)
上恒成立，求b 的取值范围.
7.已知函数
2
( )
2ln
f x
x
x
kx
．
（1）讨论
( )
f x 的单调性；
（2）若对于任意正实数x，不等式
2
( )
(ln
1)
f x
x
x
恒成立，求实数k 的取值范围．
8.已知函数
1 ex
f x
a
ax
，其中
0
a
．
（1）讨论
f x 的单调性；
（2）若
0
x
，
2
1
f x
x
x
，求实数a 的取值范围．
9.已知函数
ln
2
f
x
x
mx
．
（1）求
f x 的极值；
（2）若
f x 在区间
2
1 ,e
e
有2 个零点，求m 的取值范围．
模块三：综合巩固
1．已知函数
f
x ，其导函数
f
x
的图象如图所示，则（
）
A．
f
x 有2 个极值点
B．
f
x 在
1
x 处取得极小值
C．
f
x 有极大值，没有极小值
D．
f
x 在
,1
上单调递减
2．设函数
1
ln
0
3
f
x
x
x x
，则
y
f x
（
）
A．在区间1 ,1
e
递减
B．在区间
0,3 上递增
C．在点
3
x
处有极大值
D．在区间
3,上递减
3．若函数
3
2
3
f x
ax
x
b
在
2
x
处取得极值1，则a
b
（
）
A．-4
B．-3
C．-2
D．2
4．已知函数
( )
(ln
1)
(
)
f x
a
x
x a
R 在区间(e,
)
内有最值，则实数a 的取值范围是（
）
A．(e,
)
B．e ,
2
C．(
,e]
D．(
, e)
5．已知函数
2
1,
2
3,
x
x
a
f x
ax
x
x
a
，若
( )
f x 有且只有1 个极值点，则a 的取值范围是（
）
A．(
,0)
B．(0,1]
C．(0,
)
D．[1,
)
6．若函数
3
2
( )
f x
x
x
a
在[ 1,1]
上的最小值是1，则实数a 的值是（
）
A．1
B．3
C．31
27
D．1
7．已知直线y
ax
b
与曲线
ln e
y
x
相切，则a
b
的最小值为（
）
A．
1
2
B．1
C．
2
D．
3
8．当
2
x
时，函数
3
2
12
f x
x
bx
x
取得极值，则
f
x 在区间
4,4
上的最大值为（
）
A．8
B．12
C．16
D．32
9．(多选)已知函数
3
2
1
2
2
3
3
f x
x
x
ax
，若函数
f
x 在
0,2 上有极值，则实数a 可以为（
）
A．0
B．1
C．3
2
D．2
10．(多选)若函数
e
2
3
x
f x
x
，则（
）
A．函数
f
x 只有极大值没有极小值
B．函数
f
x 只有最大值没有最小值
C．函数
f
x 只有极小值没有极大值
D．函数
f
x 只有最小值没有最大值
11．已知
3
2
3
,
f x
x
ax
bx
a b
R 的两个极值点分别为1
，2，则函数
f
x 在区间
2 2
, 上的最大
值为
．
12．若函数
3
2
( )
2
3
2
f x
x
ax
x
在
1
x 处取得极小值，则函数
( )
f x 的极大值为
．
13．已知函数
3
f x
ax
bx
在
1
x 处有极值2.
(1)求a ，b 的值；
(2)求函数
f
x 在区间
2,3
上的最值.
14．设函数
3
2
1
( 1)
( )
2
(1)
3
4
f
f x
x
x
x
f
，
(1)求
( 1)
f ¢ -
、
(1)
f
的值；
(2)求
( )
f x 在[0,2] 上的最值．
15.已知函数
2
ln
,
,
1
x
f
x
a
x
x
a
b a b
a
R
，e是自然对数的底数.
(1)当
e
a ，
4
b
时，求整数k 的值，使得函数
f
x 在区间
,
1
k k
上存在零点；
(2)若
1,1
x
，且
0
b
，求
2
ln
,
,
1
x
f
x
a
x
x
a
b a b
a
R
的最小值和最大值.
16.已知函数
2
1
log
1
log e
2
a
a
f
x
x
x
x
，
1
a ．
(1)当
e
a 时，求曲线
y
f x
在
1
x 处的切线方程；
(2)若
1
x 为
f
x 的极小值点，求a 的取值范围．
17.已知
2
ln
f x
x
ax
x
，
R
a
．
(1)若函数
f
x 在1 ,1
2
上是增函数，求实数a 的取值范围；
(2)令
2
g x
x
f x
，
0,e
x
（e 是自然对数的底数）.求当实数a 等于多少时，可以使函数
g x 取得
最小值为3？
5.5 导函数与构造函数法应用
模块一：基础知识
考点一：关系式为“加”型构造
关系式为“加”型的构造，一般需要依据题干已知中的关系式，反向构造成一个相乘关系的原函数。
（1）
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
构造
)
(
)
(
)
(
)
(
])
(
)
(
[
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
（2）
'( )
( )
0
xf
x
f x
构造
'
'
[
( )]
( )
( )
xf x
xf
x
f x
（3）
'( )
( )
0
f
x
f x
构造
'
'
[
( )]
[
( )
( )]
x
x
e f x
e
f
x
f x
（4）
'( )
( )
0
xf
x
nf x
构造
'
'
1
1
'
[
( )]
( )
( )
[
( )
( )]
n
n
n
n
x f x
x f
x
nx
f x
x
xf
x
nf x
（注意x 的符号）
（5）
)
(
)
(
x
f
x
f
构造
)]
(
)
(
[
)
(
)
(
]
)
(
[
x
f
x
f
e
e
x
f
e
x
f
e
x
f
x
x
x
x
考点二：关系式为“减”型构造
关系式为“减”型的构造，一般需要依据题干已知中的关系式，反向构造成一个相比关系的原函数。
（1）
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
构造
2
)]
(
[
)
(
)
(
)
(
)
(
]
)
(
)
(
[
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
（2）
'( )
( )
0
xf
x
f x
构造
'
'
2
( )
( )
( )
[
]
f x
xf
x
f x
x
x
（3）
'( )
( )
0
f
x
f x
构造
'
'
'
2
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
(
)
x
x
x
x
x
f x
f
x e
f x e
f
x
f x
e
e
e
（4）
'( )
( )
0
xf
x
nf x
构造
'
1
'
'
2
1
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
(
)
n
n
n
n
n
f x
x f
x
nx
f x
xf
x
nf x
x
x
x
（注意x 的符号）
（5）
)
(
)
(
x
f
x
f
构造
x
x
x
x
x
e
x
f
x
f
e
e
x
f
e
x
f
e
x
f
)
(
)
(
]
[
)
(
)
(
])
(
[
2
模块二：题型分类
题型一：f(x)与g(x)的构造
【例题】设
( ), ( )
f x g x 是R 上的可导函数，( ),
( )
f
x g x
分别为
( ), ( )
f x g x 的导函数，且
( ) ( )
( )
( )
0
f
x g x
f x g x
，
则当a
x
b
时，有（
）
A．
( ) ( )
( ) ( )
f x g b
f b g x
B．
( ) ( )
( ) ( )
f x g a
f a g x
C．
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f b g b
D．
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f a g a
1.设函数
f x ，
g x 在R 上的导函数存在，且
f
x
g
x
恒成立，则当
,
x
a b
时，下列不等式中一
定成立的是（
）
A．
f x
g x
B．
f x
g x
C．
f
x
g a
g x
f a
D．
f
x
g b
g x
f b
2.设函数f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当x<0 时，( ) ( )
( )
( )
0
f
x g x
f x g x
，且(3)
0
g
，
则不等式f(x)g(x)>0 的解集是（
）
A．
3,0
3,
B．
3,0
0,3
C．
, 3
3,
D．
, 3
0,3
3.设
,
f
x
g x 在R 上的导函数均存在，
0
f x
，且
f
x g x
f x g
x
，当
,
x
a b
时，下列结论一
定正确的是（
A．
f x
g x
B．
f x
g x
C．
g x f b
f x g b
D．
g x f a
f x g a
4.已知函数
f
x 、
g x 是定义域为R 的可导函数，且
x
R ，都有
0
f x
，
0
g x
，若
f
x 、
g x
满足
f
x
g
x
f x
g x
，则当
1
2
x
x
x
时下列选项一定成立的是（
）
A．
2
1
1
2
f x
g x
f x
g x
B．
1
1
f x g x
f x
g x
C．
2
2
2
1
1
1
f x
g x
g x
f x
g x
g x
D．
2
1
2
2
1
2
f x
f x
f x
g x
g x
g x
题型二：构造f(x)±一次或二次函数
1.已知定义在R 上的函数
f
x 的导函数为
f
x
，且对任意
R
x
都有
2
f
x
，
2
0
f
，则不等式
2
4
0
f x
x
的解集为（
）
A．
2,
B．
1,
C．
,1
D．
,2
2.已知函数
f
x 是定义在R 上的可导函数，且满足
0
f
x
f x
，
1
f
x
，
1
2
f
，则不等式
1
f x
x
的解集是（
）
A．
1,
B．
1,
C．
2,
D．
3,
3.已知函数
( )(
)
f x xR 满足
1
1
f
，且
f
x 的导函数
1
( )
2
f
x
，则
1
( )
2
2
x
f x
的解集为（
）
A．
,0
B．
,1
C．
0,
D．
1,
4.已知函数
f
x ，对任意的xR ，都有
2
f x
f
x
x
，当
0,
x
时，
1
0
f
x
x
，若
2
4
4
f
a
f a
a
，则实数a 的取值范围为（
）
A．
0,
B．
1,
C．
,0
D．
,1
题型三：构造f(x)·x
n型函数
1.若函数
y
f x
满足
xf
x
f x
在R 上恒成立，且a
b
，则（
）
A．
af b
bf a
B．
af a
bf b
C．
af a
bf b
D．
af b
bf a
2.设函数
( )
f x 是定义在R 上的偶函数，
( )
f
x
为其导函数．当
0
x
时，
( )
( )
0
xf
x
f x
，且
(1)
0
f
，则不
等式
( )
0
f x
的解集为（
）
A．
, 1
(
)
,
)
1(
B．(
, 1)
(0,1)
C．( 1,0)
(0,1)
D．( 1,0)
(1,
)
3.定义在R 上的偶函数
f
x 的导函数为
f
x
，且当
0
x
时，
2
0
xf
x
f
x
．则（
）
A．
2
e
2
4
e
f
f
B．
9
3
1
f
f
C．
4
2
9
3
f
f
D．
2
e
3
9
e
f
f
4.函数
f
x 是定义在区间(0,
)
上的可导函数，其导函数为
( )
f
x
，且满足
2
0
f
x
f
x
x
，则不等式
2023
2023
2
2
2
2023
x
f
x
f
x
的解集为（
）
A．
|
2021
x x
B．
|
2021
x x
C．
| 2023
0
x
x
D．
| 2023
2021
x
x
5.若
f
x 为R 上的奇函数，
f
x
为其导函数，当
0
x
时，
3
0
xf
x
f x
恒成立，则不等式
3
3
2
1
1 2
0
x f x
x
f
x
的解集为（
）
A．1,1
3
B．
1,3
C．
,1
3,
D．
1
,
1,
3
题型四：构造f(x)/x
n型函数
1.已知
f
x 是定义在R 上的偶函数，当
0
x
时，
0
xf
x
f x
，且
1
0
f
，则不等式
0
f
x
x
的解
集是
.
2.已知
f
x 是定义在R 上的偶函数，当
0
x
时，
0
xf
x
f x
，且
2
0
f
，则不等式
0
f
x
x
的
解集是（
）
A．
2,0
0,2
B．
, 2
2,
C．
2,0
2,
D．
, 2
0,2
3.已知函数
f
x 的定义域为
,0
,其导函数
'f
x 满足
'
2
0
xf
x
f x
,则不等式
2
2023
2023
1
0
f x
x
f
的解集为（
）
A．( 2024, 2023)
B．( 2024,0)
C．(
, 2023)
D．(
, 2024)
4.已知奇函数
0
f x
x
的导函数为
f
x
，且满足
2
0
f
．当
0
x
时，
3 f x
xf
x
，则使得
0
f x
成立的x 的取值范围为（
）
A．
, 2
0,2
B．
2,0
2,
C．
, 2
2,
D．
2,0
0,2
5.已知
g x 是定义域为R 的偶函数，
2
0
g
，当
0
x
时，
5
0
xg
x
g x
（
g
x
是
g x 的导函数），
则不等式
0
g x
的解集为（
）
A．
, 2
2,
B．
2, 1
1,2
C．
2, 1
1,2
D．
2,0
0,2
题型五：指数型构造：f(x)·e
nx型函数
1.设函数
( )
f x 的定义域为R，
( )
f
x
是其导函数，若
( )
( )
0
f x
f
x
，(1)
1
f
，则不等式
1
( )
e
x
f x
的解集是
（
）
A．(0,
)
B．(1,
)
C．(
,0)
D．(0,1)
2.已知
f
x
是定义在R 上的函数
f
x 的导函数，对于任意的实数x，都有
2e x
f
x
f x
，当
0
x
时，
0
f x
f
x
．若
2
1
1
e
3
a
f a
f
a
，则实数a 的取值范围为（
）
A．
1 1
,
2 4
B．
1 1
,
4 2
C．
1
1
,
,
2
4
D．
1
1
,
,
4
2
3.已知
f
x
是函数
f
x 的导函数，
1
2e
2
f
，其中e是自然对数的底数，对任意xR ，恒有
2
0
f
x
f x
，则不等式
2 2
2e
0
x
f
x
的解集为（
）
A．
,e
B．
1
, 2
C．1 ,
2
D．
e,
4.已知定义在R 上的函数
f
x 的导函数为
f
x
，且
3
0,
ln2
1
f
x
f
x
f
，则不等式
3e
8
x
f x
的
解集为（
）
A．
,2
B．
,ln2
C．
ln2,
D．
2,
题型六：构造f(x)/e
nx型函数
1.已知函数
f
x 及其导函数
f
x
定义域均为R ，且
0
f x
f
x
，
0
e
f
，则关于x 的不等式
1
ex
f x
的解集为（
）
A．
0
x x
B．
0
x x
C．
e
x x
D．
e
x x
2.已知
f
x 是可导函数，且
f
x
f x
对于xR 恒成立，则（
）
A．
(1)
e (0)
f
f
，
2023
(2023)
e
(0)
f
f
B．
(1)
(0)
f
ef
，
2023
(2023)
e
(0)
f
f
C．
(1)
(0)
f
ef
，
2023
(2023)
e
(0)
f
f
D．
(1)
e (0)
f
f
，
2023
(2023)
e
(0)
f
f
3.已知
f
x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为
f
x
，对
x
R 时，有
2
0
f
x
f x
，则不等式
2
4042
2023
e
2
0
x
f x
f
（其中e 为自然对数的底数）的解集为（
）
A．
2021,
B．
2025,
C．
, 2021
D．
, 2025
4.已知定义在
2,2
上的函数
f
x 导函数为
f
x
，若
4
2
e
0,
1
e
x
f
x
f
x
f
且当
0
x
时，
2
f
x
f x
，则不等式
2
4
e
2
e
x f
x
的解集为（
）
A．
1,4
B．
2,1
C．
0,4
D．
0,1
题型七：构造f(x)与a
x型函数
1.已知函数
f
x 是R 上的奇函数，对任意的xR 均有
ln3
f
x
f
x
成立.若
1
1
f
，则不等式
1
3x
f x
的解集为（
）
A．{
1}
x x
∣
B．{
1}
∣
x x
C．{
1}
x x
∣
D．{
1}
x x
∣
2.已知定义在R 上的函数
f
x 的导函数为
f
x
，
ln 2
0
f
x
f
x
，则下列不等关系成立的是（
）
A．
2
1
0
f
f
B．
1
2
2
f
f
C．
2
5
log 5
4
2
f
f
D．
2
3
log 3
2
1
f
f
3.函数
( )
f x 的导函数为
( )
f
x
，对任意的xR ，都有
ln 2
f
x
f x
成立，则（
）
A．
4
3
5
f
f
B．
4
3
5
f
f
C．
4
3
5
f
f
D．
4
3
f
与
(5)
f
大小关系不确定
4.已知
f
x 是R 上的奇函数，且对任意的xR 均有
0
ln 3
f
x
f
x
成立．若
1
1
f
，则不等式
13
x
f x
的解集为（
）
A．
, 1
B．
,1
C．
1,
D．
1,
5.（多选）定义在R 上的函数
f
x 使不等式
2
2
ln3
2
0
f
x
f
x
恒成立，其中
f
x
是
f
x 的导函数，
则(
)
A．
2
3
0
f
f
B．
2
3
0
f
f
C．
2
9
2
f
f
D．
0
3
2
f
f
题型八：构造f(x)与lnx 型函数
1.已知函数
f
x
是奇函数
f x
xR 的导函数，且满足
0
x
时，
1
ln
0
x f
x
f
x
x
，则不等式
985
0
x
f x
的解集为（
）
A．
985,
B．
985,985
C．
985,0
D．
0,985
2.设
f
x
是定义在R 上的连续奇函数
f
x 的导函数，当
0
x
时，
1
ln x f
x
f x
x
，则使得
2
2
0
x
x f x
成立的x 的取值范围是（
）．
A．
,0
2,
B．
,2
C．
0,2
D．
2,
3.函数
f
x 的导函数
f
x
，对任意
0,
x
，
3
ln
3
x
x
f
x
f x
，则（
）
A．
2
2
e
e
f
f
B．
2
2
e
e
f
f
C．
2
2
e
e
f
f
D．
2
e
f
与
2e
f
的大小不确定
4.已知函数
f
x 的定义域为
0,
，
f
x
为函数
f
x 的导函数，若
2
1
x f
x
xf x
，
1
0
f
，则
不等式
2
3
x
f
的解集为（
）
A．
0,2
B．
2
log 3,2
C．
2
log 3,
D．
2,
5.已知定义在
0,
上的函数
f
x 的导数为
f
x
，且满足
2
ln
2
f
x
x x
f x
，则（
）
A．
3
2
6
e
2
e
3
e
f
f
f
B．
2
3
6
e
3
e
2
e
f
f
f
C．
2
3
6
e
3
e
2
e
f
f
f
D．
3
2
6
e
2
e
3
e
f
f
f
题型九：构造f(x)与三角型函数
1.已知偶函数
y
f x
满足
cos
sin
0
x f
x
x f x
对
π
0, 2
x
恒成立，下列正确的是（
）
A．
π
π
2
4
3
f
f
B．
π
6
π
4
2
6
f
f
C．
π
3
π
6
3
3
f
f
D．
π
2
0
4
f
f
2.设
f
x
是函数
f
x 的导函数，当
π π
,
2 2
x
时，
cos2
sin2
x f
x
x f
x
f
x
，则（
）
A．
π
0
6
f
B．
π
π
0
6
6
f
f
C．
π
π
3
2
3
4
f
f
D．
1
1
0
f
f
3.已知
f
x
是函数
f
x 的导函数，
0
f x
f
x
，且对于任意的
π
0, 2
x
有
cos
sin
0
f
x
x
f x
x
．请你试用构造函数的方法，利用函数的单调性判断下列不等式一定成立的是
（
）
A．
3
1
π
1
cos
2
2
6
2
f
f
B．
π
6
π
6
2
4
f
f
C．
π
1
2
cos1
4
f
f
D．
2
π
π
2
4
3
f
f
4.记函数
( )
f x 的导函数为
( )
f
x
，若
( )
f x 为奇函数，且当
π ,0
2
x
时恒有
( )
( ) tan
f x
f
x
x
成立，则（
）
A．
π
π
2
6
4
f
f
B．
π
π
3
3
6
f
f
C．
π
π
2
3
3
4
f
f
D．
π
π
3
3
6
f
f
5.已知函数
( )
f x 及其导函数
f
x
的定义域均为R ，且
( )
f x 为偶函数，
π
2
6
f
，
3 ( )cos
sin
0
x
f
x
f
x
x
，则不等式
3
π
1
cos
0
2
4
f
x
x
的解集为（
）
A．
2π ,
3
B．
π ,
3
C．
2π π
,
3
3
D．
2π
,
3
题型十：其他类型的函数构造
1.已知可导函数
f
x 的导函数为
f
x
，若对任意的xR ，都有
1
f
x
f x
，且
0
2022
f
，则不
等式
1
2023e x
f x
的解集为（
）
A．
,0
B．
0,
C．
1
, e
D．
,1
2.已知定义在
0,
上的函数
f
x 满足
1
0
f x
f
x
x
，且
1
1
f
，则不等式
e
1 e
0
x
x
f
x
的
解集为（
）
A．
0,
B．
1,
C．
,0
D．
,1
3.定义在R 上的函数
f
x 满足
1
f x
为偶函数，当
1
x 时，
1
0
x
f
x
f x
，其中
f
x
是
f
x
的导数.若关于x 的不等式
2
2
e
e
1
2
2
1
x
x
f
x
a f
x
a
恒成立，则实数a 的取值范围为（
）
A．
,ln2
2
B．
ln2
2,
C．
, 1
D．
1,
4.定义在
0,
上的函数
f
x 的导函数为
f
x
，且
3
2
2
3
2
1
x
x
x f
x
x
x
f x
恒成立，则必
有（
）
A．
2
3
1
2
7
f
f
f
B．
2
3
3
1
2
7
f
f
f
C．
2
3
1
2
7
f
f
f
D．
2
3
3
1
2
7
f
f
f
5.设偶函数
( )
f x 在R 上的导函数为
( )
f
x
，当
0
x
时，有
3
2
1
( )
( )
4
x f
x
f x
x
，则下列结论一定正确的是
（
）
A．16 ( 2)
(1)
f
f
B．16 (2)
(1) 1
f
f
C．
3
(1)
16 ( 2)
2
f
f
D．
3
( 1)
14 (2)
2
f
f
题型十一：换元构造
1．已知函数
( )
( e
e )(e
e )
x
x
f x
a
x
x
与
2
( )
e x
g x
的图象恰有三个不同的公共点（其中e 为自然对数的底数），
则实数a 的取值范围是（
）
A．
1 ,1
2
B．
1
2
,
2
2
C．
2 ,1
2
D．(1,
2)
2.已知函数
ln
2
f x
x
ax
，
2
4
2
ln
ax
g x
x
x
，若方程
f x
g x
恰有三个不相等的实根，则a 的
取值范围为（
）
A．
0,e
B．
1
0, 2e
C．
,e
D．
1
0, e
3.设大于1 的两个实数a，b 满足
2
2
ln
a
n
b
b
e
a
，则正整数n 的最大值为（
）．
A．7
B．9
C．11
D．12
题型十二：双元构造
1.对于任意
1x ，
2
[1,
)
x
，当
2
1
x
x
时，恒有
2
2
1
1
ln
2(
)
x
a
x
x
x
成立；则实数a 的取值范围是（
）
A．(
,0]
B．(
,1]
C．(
,2]
D．(
,3]
【注意】双元构造，就是借助相同结构来构造对应“统一函数”
2.对于任意
1x ，
2
[1,
)
x
，当
2
1
x
x
时，恒有
2
2
1
1
ln
2(
)
x
a
x
x
x
成立；则实数a 的取值范围是（
）
A．(
,0]
B．(
,1]
C．(
,2]
D．(
,3]
3.已知变量
1
2
,
0,
x x
m
(m>0)，且
1
2
x
x
，若
2
1
1
2
x
x
x
x
恒成立，则m 的最大值________．
4.若对于任意的
1
2
0
x
x
a
，都有
2
1
1
2
1
2
ln
ln
2
x
x
x
x
x
x
，则a 的最大值为（
）
A．1
B．e
C．1
e
D．
1
2
模块三：综合巩固
1.已知f(x)是定义在(0，＋∞) 上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的0<a<b，则必有(
)．
A．af(b)≤bf(a)
B．bf(a)≤af(b)
C．af(a)≤f(b)
D．bf(b)≤f(a)
2.设a＞0，b＞0，e 是自然对数的底数
A．若ea+2a=eb+3b，则a＞b
B．若ea+2a=eb+3b，则a＜b
C．若ea-2a=eb-3b，则a＞b
D．若ea-2a=eb-3b，则a＜b
3.已知9
10,
10
11,
8
9
m
m
m
a
b
，则（
）
A．
0
a
b
B．
0
a
b
C．
0
b
a
D．
0
b
a
4.设函数
'( )
f
x 是奇函数
( )
f x （x R ）的导函数，( 1)
0
f
，当
0
x
时，
'( )
( )
0
xf
x
f x
，则使得
( )
0
f x
成立的x 的取值范围是
A．(
, 1)
(0,1)
B．( 1,0)
(1,
)
-
È
+¥
C．(
, 1)
( 1,0)
D．(0,1)
(1,
)
5.若定义在R 上的函数
f x 满足
0
1
f
，其导函数
f
x
满足
1
f
x
k
，则下列结论中一定错误的
是（）
A．
1
1
f
k
k
B．
1
1
1
f
k
k
C．
1
1
1
1
f
k
k
D．
1
1
1
k
f
k
k
6.设函数
f x 满足
2
2
2
,
2
,
8
xe
e
x f
x
xf x
f
x
则
0
x
时，
f x
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值
D．既无极大值也无极小值
7.已知函数
f x 的定义域为
,
2 2
，其导函数是
( )
f
x .有
( )cos
( )sin
0
f
x
x
f x
x
，则关于x 的不等式
3 ( )
2
cos
6
f x
f
x
的解集为（
）
A．
,
3 2
B．
,
6 2
C．
,
6
3
D．
,
2
6
8.设定义在
0,上的函数
0
f x
恒成立，其导函数为
f
x
，若
1
ln
1
0
f x
x
f
x
x
，则
（
）
A．
2
1
3
0
f
f
B．
2
1
3
0
f
f
C．
2
3
1
0
f
f
D．
2
3
1
0
f
f
9.已知定义域为R 的函数
f x 的图象是连续不断的曲线，且
2 2
2
e
x
f
x
f x
，当
1
x 时，
f
x
f x
，
则下列判断正确的是
A．
1
e
0
f
f
B．
4
3
e
1
f
f
C．
3
2
e
1
f
f
D．
5
3
e
2
f
f
10.已知定义域为R 的函数
( )
f x 满足
( )
( )
1
f x
xf
x
（
( )
f
x 为函数
( )
f x 的导函数），则不等式
2
(1
) (1
)
(1
)
x f
x
f
x
x
的解集为（
）
A．(0,1)
B．(0,1]
C．(0,
)
D．(0,1)
(1,
)
5.6 利用导数研究函数的零点
模块一：基础知识
考点一：函数的零点
（1）函数零点的定义：对于函数
( )
y
f x
，把使
( )
0
f x
的实数x 叫做函数
( )
y
f x
的零点．
（2）三个等价关系
方程
0
)
(
x
f
有实数根函数
)
(x
f
y
的图象与x 轴有交点的横坐标函数
)
(x
f
y
有零点．
考点二：函数零点的判定
如果函数
( )
y
f x
在区间[ , ]
a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
( )
( )
0
f a
f b
，那么函数
( )
y
f x
在区间( , )
a b 内有零点，即存在
( , )
c
a b
，使得
( )
0
f c
，这个c 也就是
( )
0
f x
的根．我们
把这一结论称为函数零点存在性定理．
注意：单调性+存在零点=唯一零点
模块二：题型分类
题型一：判断、证明、讨论函数零点个数
1.已知函数
3
2
1
1
1
3
2
f
x
x
x
ax
a
R ，在
0
x
处切线的斜率为-2.
（1）求a 的值及
f
x 的极小值；
（2）讨论方程
f
x
m m
R 的实数解的个数.
2.已知函数
2
cos
f
x
x
x
.
(1)设
g x
f
x
，求
g x 在区间π ,π
4
上的最值；
(2)讨论
f
x 的零点个数.
3.已知函数
1
1
e
0,
R
x
f x
x
m
m
，讨论函数
f x 的零点的个数.
4.已知
e
ln
x
g x
x
a
x
x
．
(1)当
1
a 时，求
g x 在
1,上的单调性；
(2)若
ex
h x
x
，令
f x
h x
，讨论方程
f
x
m m
R 的解的个数．
题型二：利用极值最值研究函数零点问题
1.已知函数
3
2
9
6
2
f x
x
x
x
a
（
R
a
）.
(1)求
f
x 在
2,3
上的最大值；
(2)若函数
f
x 恰有三个零点，求a 的取值范围.
2.已知函数
ln
R
f x
a x
x a
.
(1)讨论
f
x 的单调性；
(2)若
f
x 在
2
1 ,e
e
上存2 个零点，求a 的取值范围.
3.已知函数
2
2ln
1
x
f
x
a x
x
.
(1)当
0
a
时，求
f
x 的极值；
(2)当
1
a 时，求
f
x 在
1,上的最小值；
(3)若
f
x 在
1,e 上存在零点，求a 的取值范围.
4.已知函数
3
2
1
( )
, ( )
(
)
3
f x
x
ax g x
x
a a
R
.
(1)若函数
( )
( )
( )
F x
f x
g x
在
[1,
)
x
上单调递增，求a 的最小值；
(2)若函数
( )
( )
( )
G x
f x
g x
的图象与y
ax
有且只有一个交点，求a 的取值范围．
5.已知函数
x
f x
a
，
loga
g x
x
，其中
1
a ，若
0
ax
h x
x
f
x
.
(1)当
2
a
时，求
h x 的单调区间；
(2)曲线
y
h x
与直线
1
y 有且仅有两个交点，求a 的取值范围.
题型三：数形结合法研究函数零点问题
1.已知函数
3
2
1
( )
, ( )
(
)
3
f x
x
ax g x
x
a a
R
.
(1)若函数
( )
( )
( )
F x
f x
g x
在
[1,
)
x
上单调递增，求a 的最小值；
(2)若函数
( )
( )
( )
G x
f x
g x
的图象与y
ax
有且只有一个交点，求a 的取值范围．
2.已知
e
ln
x
g x
x
a
x
x
．
(1)当
1
a 时，求
g x 在
1,上的单调性；
(2)若
ex
h x
x
，令
f x
h x
，讨论方程
f
x
m m
R 的解的个数．
3.已知函数
3
2
2
1
2
3
f x
x
k
x
kx
，
2
1(
g x
kx
其中
)
k
R
．
(1)讨论函数
f
x 的单调性；
(2)若方程
f x
g x
有三个根，求k 的取值范围．
4.已知函数
1 e
R
x
f x
x
a a
.
(1)求
f
x 的极值：
(2)若
f
x 有两个零点，求a 的取值范围.
5.已知函数
3
1
6
3
f
x
x
x
，函数
2
1
2
g x
x
a
，
(1)已知直线l 是曲线
y
f x
在点
0,
0
f
处的切线，且l 与曲线
y
g x
相切，求a 的值；
(2)若方程
f x
g x
有三个不同实数解，求实数a 的取值范围.
题型四：构造函数求函数零点
1.已知函数
2
1
e
,
R
2
x
f
x
ax
x
x x
．
(1)讨论函数
( )
f x 的单调性．
(2)若关于x 的方程
2
1
( )
ln
2
f x
x
x
有两个实数根，求实数a 的取值范围．
2.已知函数
2ln
1
f
x
x
ax
a
R .
(1)讨论函数
f
x 的零点个数；
(2)已知函数
2
e
e
ax
g x
x
a
R ，当
2 e
0
e
a
时，关于x 的方程
f x
g x
有两个实根
1
2
1
2
,
x x
x
x
，
求证：
1
2
1
1
e
e
x
x
.（注：e
2.71828
是自然对数的底数）
模块三：综合巩固
1.函数
2
2
2
f x
x
m
x
m
．
(1)若
f
x 为奇函数，求实数m 的值；
(2)已知
f
x 仅有两个零点，证明：函数
3
y
f x
仅有一个零点．
2.已知函数
3
2
1
( )
2
1
3
f x
x
ax
x
．
(1)求函数
( )
f x 在
0
x
处的切线方程；
(2)若
1
x 是
( )
f x 的极值点，且方程
( )
0
f x
m
有3 个不同的实数解，求实数m 的取值范围．
3.已知函数
2
2ln
f x
x
x
.
(1)求
f
x 的单调区间；
(2)令
2
g x
f
x
x
ax
（a 为常数），若
g x 有两个零点
1
2
1
2
,
x x
x
x
，求实数a 的取值范围.
4.已知
1
e
e
b
x
ax
f
x
ax
b
.
(1)当
0,
0
a
b
时，求函数
f
x 的极值；
(2)当
0
a
时，设
ln
g x
f x
x
x
.若函数
g x 在
2
1,e 上有两个不同的零点，求b 的取值范围.
5.7 函数的曲线切线与导数
模块一：基础知识
考点一：求曲线“在”与“过”某点的切线
1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点
0
0
,
x
f x
处切线的斜率
0
(
)
f
x
第二步（写方程）：用点斜式
0
0
0
(
)
(
)(
)
y
f x
f
x
x
x
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤（此类问题的点不一定是切点）
第一步：设切点为
0
0
,
Q x
f x
；
第二步：求出函数
( )
y
f x
在点
0x 处的导数
0
(
)
f
x
；
第三步：利用Q 在曲线上和
0
(
)
PQ
f
x
k
，解出
0x 及
0
(
)
f
x
；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为
0
0
0
(
)
(
)(
)
y
f x
f
x
x
x
．
考点二：切线条数问题
求曲线的切线条数一般是设出切点
,t f t
，由已知条件整理出关于t 的方程，把切线问条数
问题转化为关于t 的方程的实根个数问题。
考点三：公切线问题
研究曲线的公切线，一般是分别设出两切点，写出两切线方程，然后再使用这两个方程表示
同一条直线，但要注意以下两个方面：
（1）两个曲线有公切线，且切点是同一点；
（2）两个曲线有公切线，但是切点不是同一点。
考点四：已知切线求参数问题
此类问题常见的考查形式有两种，一是判断符合条件的切线是否存在，二是根据切线满足条
件求参数的值或范围。常用的求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函
数，再根据方程的根的情况或函数性质去求解。
模块二：题型分类
题型一：求“在”型的切线方程
1.曲线
3
1
f x
x
在点
1,
1
f
处的切线方程为（
）
A．
3
1
y
x
B．
3
1
y
x
=
+
C．
3
3
y
x
D．
3
3
y
x
2.（多选）若曲线
2
y
x
ax
b
在点
0,b 处的切线方程是
1
0
x
y
，则（
）
A．
1
a
B．
1
a
C．
1
b = -
D．
1
b
3.已知曲线
ln
y
x
x
在点
1,1 处的切线与曲线
2
(
2)
1
y
ax
a
x
相切，求a 的值.
4.（多选）下列函数的图象可能与直线2
0
x
y
m
(
R)
m
相切的是（
）
A．
2
( )
f x
x
x
B．
( )
2
ex
f x
x
C．
2
1
( )
ln
2
f x
x
x
D．
( )
2
f x
x
x
5.（多选）若( )
ln
f
x
x
=
的图象在
1
2
1
2
,
x
x x
x
x
x
处的切线分别为1
2
,l l ，且1
2
l
l
，则（
）
A．
1
2
1
x x
B．
1
2
x
x
的最小值为2
C．1
2
,l l 在y 轴上的截距之差为2
D．1
2
,l l 在y 轴上的截距之积可能为1
6.已知函数
1
( )
(
3)e
ln
x
f x
ax
x
x
（其中e 为自然对数的底数）的图象在(1,
(1))
f
处的切线的斜率为8，
则实数a 的值为（
）
A．1
B．2
C．e
D．3
7.已知函数
2
1
2
f x
x
f
x
，则
f
x 的图象在点
2
2
f,
处的切线的斜率为（
）
A．3
B．3
C．5
D．5
题型二：求“过”型切线方程
1.过坐标原点且与曲线
ln x
y
x
相切的直线斜率为（
）
A．1
B．1
2e
C．1
e
D．1
2
2.已知曲线
3
:
2
S y
x
x
．
（1）求曲线S 在点
(1,1)
A
处的切线方程；
（2）求过点
(2,0)
B
并与曲线S 相切的直线方程．
3.过点
2, 6
作曲线
3
3
y
x
x
的切线，所得切线斜率为（
）
A．－3
B．0 或3
C．－3 或24
D．0
4.已知过点
1,0
的直线与曲线
ex
y
的相切于点A ，则切点A 坐标为（
）
A．
0,1
B．
1,e
C．
2
2,e
D．
3
3,e
5.已知函数
3
2
2
( )
( 1)
3
f x
x
x
f
x
，其中
f
x
是
f
x 的导函数.
（1）求
1
f
；
（2）求过原点与曲线
y
f x
相切的切线方程.
5.设
0
1
x ，曲线
ln
3
2
f
x
a x
x
a
在点
0,0
P x
处的切线经过点
0,2e ，则
0
a
x
（
）
A．e
B．
2e
C．
3e
D．2e
6.写出a 的一个值，使得直线
0
x
ay
a
是曲线
sin x
y
x
的切线，则a=______.【答案不唯一】
题型三：切线的平行与垂直问题
1.设曲线
2x
f
x
a x
在点
1,
1
f
处的切线与直线ln2
3
0
x
y
平行，则实数
a
（
）
A．ln2
2
B．ln2
C．2ln2
D．3ln2
2.已知
ln
f x
x
x
，曲线
y
f x
在点Q 处的切线l 与直线2
14
0
x
y
平行，则直线l 的方程为（
）
A．2
1
0
x
y
B．2
1
0
x
y
C．
2
1
0
x
y
D．
2
1
0
x
y
3.已知曲线
1e
ln
x
y
x
x
在
1
x 处的切线与直线
2
0
x
my
垂直，则实数m
.
4.函数
2
ex
f x
x
a
的图象在点
0,
0
f
处的切线与直线
2
1
0
x
y
垂直，则实数
a
．
5.已知曲线
3
y
x
与曲线
1
ln 3
3
x
y
x
在
0
x
x
处的切线互相垂直，则
0x
．
题型四：切线的条数问题
1.若过
,a b 可作
1 (
0)
y
x
x
x
的两条切线，则（
）
A．
1
a
b
a
a
B．a
b
C．
0
b
D．
1
b
a
a
2.（多选）已知函数
3
f x
x
mx
，若过点
1,1
P
恰能作2条曲线
y
f x
的切线，则m 的值可以为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
3.若曲线
1 ex
y
x
过点
,0
P a
的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是
.
4.若曲线
ex
x
f x
有三条过点
0,a 的切线，则实数a 的取值范围为（
）
A．
2
1
0, e
B．
2
4
0, e
C．
1
0, e
D．
4
0, e
5.若过点
,s t 可以作曲线
ln
y
x
的两条切线，则（
）
A．
ln
s
t
B．
ln
s
t
C．
ln
t
s
D．
ln
t
s
6.已知函数
1 ex
f x
x
，过点M（1，t）可作3 条与曲线
y
f x
相切的直线，则实数t 的取值范围
是（
）
A．
2
4 ,0
e
B．
2
4
2
,
e
e
C．
3
6 ,2e
e
D．
3
6 ,0
e
7.若过点( , )
m n 可以作曲线
2
log
y
x
的两条切线，则（
）
A．
2
log
m
n
B．
2
log
n
m
C．
2
log
m
n
D．
2
log
n
m
8.过点
0,b 作曲线
ex
y
的切线有且只有两条，则b 的取值范围为（
）
A．
0,1
B．
,1
C．
,1
D．
0,1
题型五：两曲线的公切线问题
1.曲线
log
1
a
y
x a
与y
x
在公共点处有相同的切线，则
a
.
2.若直线l 是曲线
ln
y
x
的切线，也是曲线
2
ex
y
的切线，则直线l 的方程为
．
3.若直线
4
y
x
m
是曲线
3
13
y
x
nx
与曲线
2
2ln
y
x
x
的公切线，则n
m
．
4.若函数
2
( )
1
f x
x
与( )
ln
1
g x
a
x
的图象存在公共切线，则实数a 的最大值为（
）
A．2e
B．e
C．
e
D．
2e
5.曲线
2(
0)
f x
ax a
与
ln
g x
x
有两条公切线，则a 的取值范围为
6.若函数
1
( )
3
3(
0)
f x
x
x
x
的图象与函数
ex
g x
tx
的图象有公切线l ，且直线l 与直线
1
2
2
y
x
互相垂直，则实数t （
）
A．1
e
B．
2e
C．1
e 或2 e
D．1
e 或4 e
7.若函数
2
1
f x
x
与
2 ln
1
g x
a
x
的图象存在公共切线，则实数a 的最大值为（
）
A．e
2
B．e
C．
e
D．
2e
8.若曲线
ln
y
x
与曲线：y =
2x k 有公切线，则实数k 的最大值为（
）
A．7
8 + 1 ln2
2
B．7
8 - 1 ln2
2
C．1
2 + 1 ln2
2
D．1
2
1 ln2
2
题型六：三角函数的切线
1.函数
2 cos
2sin
f x
x
x
x
在
π
x
处的切线在y 轴上的截距为（
）
A．
2
π
2π
B．2π
C．
2
π
2
D．
2
2π
π
2
2π
2.设函数
3
2
1
( )
(
1)
sin
3
f x
x
a
x
a
x
，若
( )
f x 为奇函数，则曲线
( )
y
f x
在点(0,0) 处的切线斜率为（
）
A．3
B．2
C．1
D．
1
2
3.过曲线
cos
y
x
上一点
1
,
3 2
P
且与曲线在P 点处的切线垂直的直线的方程为（
）
A．
2
3
2
3
0
3
2
x
y
B．
2
1
2
0
3
2
x
y
C．
2
3
2
3
0
3
2
x
y
D．
2
1
2
0
3
2
x
y
4.已知函数
3sin
4cos
f x
x
x
，则曲线
y
f x
在点
0,
0
f
处的切线方程为（
）
A．
3
4
y
x
B．
0
y
C．
4
y
D．
4
3
y
x
题型七：切线与倾斜角
1.设点P 是曲线
3
3
2
y
x
x
上的任意一点，P 点处切线倾斜角为，则角的取值范围是______.
2.函数
2ln
1
sin
y
x
x
的图象在
0
x
处的切线对应的倾斜角为，则sin2=（
）
A．3
10 B．± 3
10
C．3
5
D．± 3
5
3.已知P 是曲线
2
:
ln
3
C y
x
x
a x
上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为，若3
2
，
则实数a 的取值范围是（
）
A．
2 3,0
B．
2 2,0
C．
,2 3
D．
,2 2
题型八：直线上点到曲线距离
1.已知
1
1
1
ln
2
0
x
x
y
，
2
2
2
5
2ln 2
0
x
y
，则
2
2
1
2
1
2
x
x
y
y
的最小值为（
）
A．3 5
5
B．4 5
5
C．9
5
D．16
5
【注意】直线与曲线最短距离，方法主要是“切线平行法”
2.曲线
ex
y
上到直线
e
2
y
x
的距离为
1
2 的点的个数为（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
3.曲线
ln
y
x
上的点到直线
2
y
x
的最短距离是（
）
A．2 2
B．3 2
2
C．
2
3
D．
2
4.已知实数a，b，c，d 满足：
2e
1
1
1
a
a
c
b
d
，其中e 是自然对数的底数，则
2
2
(
)
(
)
a
c
b
d
的最小值是
（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
题型九：两曲线上点距离最值
【基础知识】
两曲线最短距离数学思想，可以借鉴如下“双飞燕”思维图
1.设P 为曲线
ex
y
上一点，Q 为曲线
ln
y
x
上一点，则|PQ|的最小值为（
）
A．
2
2
B．1
C．
2
D．2
2.已知函数
4
3
e x
y
的图象与函数
ln(
1) 1
4
x
y
的图象关于某一条直线l 对称，若P，Q 分别为它们上的两
个动点，则这两点之间距离的最小值为______．
3.已知点P 为曲线
ln
e
x
y
上的动点，O 为坐标原点．当OP 最小时，直线OP 恰好与曲线
ln
y
a x
相切，则
实数a＝___．
4.若
1
2
,
x x
R
，则
2
1
2
2
1
2
e
e
x
x
x
x
的最小值是
A．1
B．2
C．3
D．4
题型十：恒成立与存在求参
1.已知函数
2
2 ,
0,
ln ,
0,
x
x x
f
x
x
x x
，若关于x 的不等式
e
f x
ax
（e是自然对数的底数）在R 上恒成
立，则a 的取值范围是（
）
A．
2
1 e
1
,
3e
2
B．
2
1 e
1
,
3e
2
C．
2
1 e ,2
2e
D．
2
1 e ,2
2e
2.已知函数
2
e
2
x
f x
ax
ax
在
0,
x
上有最小值，则实数a 的取值范围为（
）
A．1 ,
2
B．
e
1
,
2
2
C．
1,0
D．
1
,
2
3.已知P 是曲线
2
:
ln
3
C y
x
x
a x
上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为，若3
2
，
则实数a 的取值范围是（
）
A．
2 3,0
B．
2 2,0
C．
,2 3
D．
,2 2
4.若曲线
ex
y
过点( 2,0)
的切线恒在函数
2
1
2
( )
e
3
1
e
e
x
f x
a
x
x
的图象的上方，则实数a 的取值
范围是__________．
题型十一：零点或交点交点求参数
【注意】常用思维：1.分参，水平线法2.分离函数，切线法3.移项到一侧求导讨论法
1.若函数
ln
1
f x
x
ax
有3 个零点，则实数a 的取值范围是（
）
A．
0,1
B．
0,1
C．
1,1
D．
1,0
0,1
U
2.已知函数
2
2
,
0
1 ,
0
x
x
x
f
x
x
x
，若函数
g x
f
x
x
m
恰有三个零点，则实数m 的取值范围是
（
）
A．
1
, 2
(
,0]
4
B．
1
2,
0,
,
4
C．
1
2,
0,
4
D．
1 ,2
0,
4
3.已知函数
( )
eln
|
|
f x
x
x
a
，
2
[1,e ]
x
.若
( )
y
f x
的图象与x 轴有且仅有两个交点，则实数a 的取值范
围是（
）
A．[1,e]
B．(0,e]
C．
2
[1,e
2e]
D．
2
(0,e
2e]
4.函数
2
3
4
,
2
( )
log (
1),
2
x
x
f x
x
x
，
( )
3
g x
kx
k
，若函数
( )
f x 与( )
g x 的图象有三个交点，则实数k 的取值范
围为（
）
A．(2 2
6,0)
B．(2 3
6,0)
C．( 2,0)
D．(2 5
6,0)
题型十二：等式（不等式）整数解求参
1.已知函数
1
ln
f x
kx x
x
，若
0
f
x
有且只有两个整数解，则k 的取值范围是（
）
A．ln5 ln 2
,
30
10
B．ln5 ln 2
,
30
10
C．ln 2 ln3
,
10
12
D．ln 2 ln3
,
10
12
2.已知函数
2
e
2
x
x
f
x
a
x
，若有且仅有两个正整数，使得
0
f x
成立，则实数a 的取值范围是（
）
A．
2
1
1
,
3e e
B．
3
2
9
1
,
5e
e
C．
3
9
1
,
5e
3e
D．
2
1
2
,
2e e
3.已知不等式ln
(
1)
2 ln2
x
x
x
k
x
的解集中仅有2 个整数，则实数k 的取值范围是（
）
A．
3
4
0,
ln
4
3
B．3
4 2
ln
,
ln2
4
3 3
C．2 ln2,
3
D．3
4 2
ln
,
ln2
4
3 3
4.若关于x 的不等式
1
e
2
1
x
a
x
x
（其中
1
a ），有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围是（
）
A．
2
3
5
,
4 3e
B．
3
1, 2e
C．
2
3
5
,
4
3e
D．
2
3
5
,
2e
3e
题型十三：恒等式、不等式
1.已知直线
R
y
ax a
与曲线
ln
y
x
相交于
1
1
(
,
)
M x y ､
2
2
(
,
)
N x
y
两点，若
1
2
x
x
，则下列结论错误的是
（
）
A．
1
0
e
x
B．
1
2
2e
x
x
C．
2
1
y
D．
1
2
2
y
y
2.已知m，n 为实数，不等式ln
0
x
mx
n
恒成立，则n
m 的最小值为______．
3.若直线l 与函数
ex
f
x
，
ln
g x
x
的图象分别相切于点
1
1
,
A x
f x
，
2
2
,
B x g x
，则
1
2
1
2
x x
x
x
______.
4.若曲线
ln
y
x
在点
1
1
,
P x y
处的切线与曲线
x
y
e
相切于点
2
2
,
Q x
y
，则
1
2
1
1
1
x
x
x
__________.
模块三：综合巩固
1.已知函数
2
( )
2
(1)
f x
x
xf
，则曲线
( )
y
f x
在点(2,
(2))
f
处的切线方程为（
）
A．6
8
0
x
y
B．6
8
0
x
y
C．6
8
0
x
y
D．6
8
0
x
y
2.已知函数
(
0)
x
f x
e
ax a
在
0
x
处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为1
4 ，则实数a 的值为
（
）
A．1
B．1
C．3
D．3
3.若直线y
kx
b
是曲线
ln
2
y
x
的切线，也是曲线
ln
1
y
x
的切线，则k （
）
A．2
B．4
C．
2e
D．
2
e
4.已知M 是曲线
2
1
ln
1
2
y
x
x
a x
上的任一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于4
的锐
角，则实数a 的取值范围是（
）
A．
2,
B．
4,
C．
,2
D．
,4
5.函数
( )
ln
f x
x
ax
存在与直线2
0
x
y
平行的切线，则实数a 的取值范围是（
）
A．(
,2]
B．
1
1
,2
2
,2
e
e
C．
2,
D．
0,
6.如图所示，函数
y
f x
的图像在点P 处的切线方程是
2
10
y
x
，则
4
4
f
f
的值为（
）
A．0
B．1
C．-1
D．2
7.曲线
2
1
3ln
2
y
x
x
在点P 处的切线与直线
2
2
0
x
y
垂直，则点P 的横坐标为（
）
A．e
B．1
C．3
D．2e
8.已知函数
3cos
sin
f
x
x
x
.曲线
y
f x
在点
,
3
3
f
处的切线方程为（
）
A．
2
2
3
3
y
x
B．
2
2
3
3
y
x
C．
3
3
y
x
D．
3
3
y
x
9.函数
2ln(
1)
cos
y
x
x
的图象在
0
x
处的切线对应的倾斜角为，则cos2
（
）
A．3
10
B．
3
10
C．3
5
D．
3
5
-
.
10.已知
0
a
，
0
b
，直线y
x
b
与曲线
ex a
y
相切，则4
1
a
b
的最小值是（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
11.若点P 是曲线
2
ln
y
x
x
上任意一点，则点P 到直线:
4
0
l x
y
距离的最小值为（
）
A．
2
2
B．
2
C．2
D．2 2
12.已知点P（x,y）是曲线
2
y
x
=
上的一动点，则点P（x,y）到直线2
4
0
x
y
的距离的最小值为（
）
A．
5
5
B．2 5
5
C．3 5
5
D．3
5
13.已知点A 在函数
( )
e
2
x
f x
x
的图象上，点B 在直线:
3
0
l x
y
上，则A ，B 两点之间距离的最小
值是（
）
A．2 2
B．4
C．4 2
D．8
14.已知
2
2
(
)
e
1
(
R)
x
y
x
a
x
a
a
，则y 的最小值为（
）
A．
2
2
B．
2
C．
1
2
D．
2
e
15.若过点
,a b 可以作曲线
ex
y
的两条切线，则（
）
A．eb
a
B．ea
b
C．0
eb
a
D．0
ea
b
16.若直线l 与曲线y=
x 和x2+y2= 1
5 都相切，则l 的方程为（
）
A．y=2x+1
B．y=2x+ 1
2
C．y= 1
2 x+1
D．y= 1
2 x+ 1
2
17.函数
4
3
( )
2
f x
x
x
的图像在点(1
(1))
f
，
处的切线方程为（
）
A．
2
1
y
x
B．
2
1
y
x
C．
2
3
y
x
D．
2
1
y
x
18.曲线
2
1
2
x
y
x
在点
1, 3
处的切线方程为__________．
19.曲线
cos
2
x
y
x
在点
0,1 处的切线方程为__________.
20.已知曲线
e
ln
x
y
a
x
x
在点
1,ae 处的切线方程为
2
y
x
b
，则
A．
,
1
a
e b
B．
,
1
a
e b
C．
1,
1
a
e
b
D．
1,
1
a
e
b
21.设函数
3
2
1
f x
x
a
x
ax
．若
f
x 为奇函数，则曲线
y
f x
在点
0 0
，处的切线方程为(
)
A．
2
y
x
B．y
x
C．
2
y
x
D．y
x
22.在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线
4 (
0)
y
x
x
x
上的一个动点，则点P 到直线x+y=0 的距离的最小
值是_____.
23.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y=lnx 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e，-1)(e 为自然对
数的底数），则点A 的坐标是____.
24.若过点(1,2) 可作曲线
3
y
x
ax
的三条切线，则实数a 的取值范围是（
）
A．( 3, 1)
B．( 2, 1)
C．(1,2)
D．(1,3)
25.曲线
2ln
y
x
上的点到直线
2ln2
0
x
y
的最短距离是（
）
A．2
B．2
ln2
C．ln2
D．
2
26.已知过原点的直线与函数
e
,
0
ln ,
0
x x
f
x
x x
的图像有两个公共点，则该直线斜率的取值范围（
）
A．
1
, e
e
B．
1
e
0,e
C．
1
e, e
D．
1
, e
0,e
5.8 导数与不等式恒成立、存在性问题
模块一：基础知识
考点一：分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，
另一端是变量表达式的不等式；
1.恒成立问题步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量x 的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若
( )
a
f x
)对x
D
恒成立，则只需
max
( )
a
f x
；若
( )
a
f x
对x
D
恒成立，则只需
min
( )
a
f x
．
③求最值.
2.存在性问题步骤
①分类参数（注意分类参数时自变量x 的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：x
D
，使得
( )
a
f x
能成立
min
( )
a
f x
；
x
D
，使得
( )
a
f x
能成立
max
( )
a
f x
．
③求最值.
考点二：分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以
考虑二次项系数与判别式的方法(
0
a
，
0
或
0
a
，
0
)求解．
考点三：恒成立问题的等价转化法
当遇到
( )
( )
f x
g x
型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数
( )
( )
( )
F x
f x
g x
或者“右减左”的函数
( )
( )
( )
H x
g x
f x
，进而只需满足
min
( )
0
F x
，或者
max
( )
0
H x
，将比较法
的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
考点四：存在性等价转化法
当遇到
( )
( )
f x
g x
型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数
( )
( )
( )
F x
f x
g x
或者“右减左”的函数
( )
( )
( )
H x
g x
f x
，进而只需满足
max
( )
0
F x
，或者
min
( )
0
H x
，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
考点五：最值定位法解决双参不等式问题
（1）
1x
A
,
2x
B
,使得
1
2
(
)
(
)
f x
g x
成立
1 max
2
max
(
)
(
)
f x
g x
（2）
1x
A
,
2x
B
,使得
1
2
(
)
(
)
f x
g x
成立
1 min
2
min
(
)
(
)
f x
g x
（3）
1x
A
,
2x
B
,使得
1
2
(
)
(
)
f x
g x
成立
1 max
2
min
(
)
(
)
f x
g x
（4）
1x
A
,
2x
B
,使得
1
2
(
)
(
)
f x
g x
成立
1 min
2
max
(
)
(
)
f x
g x
考点六：值域法解决双参等式问题
1
1
x
D
,
2
2
x
D
,使得
1
2
(
)
(
)
f x
g x
成立
①
1
1
x
D
，求出
1
(
)
f x
的值域，记为
1
1
1
{ (
) |
}
A
f x
x
D
②
2
2
x
D
求出
2
(
)
g x
的值域，记为
2
2
2
{ (
) |
}
B
g x
x
D
③则A
B
,求出参数取值范围.
模块二：题型分类
题型一：分离变量法求恒成立
1.已知函数
ex
f
x
kx
，xR ，k 为常数，e 是自然对数的底数．
(1)当
e
k
时，求
f
x 的极值；
(2)若
0
k
，且对于任意
0
x
，
0
f x
恒成立，试确定实数k 的取值范围．
2.已知函数
2e
2
x
f
x
x
.
(1)求曲线
y
f x
在点
0,
0
f
处的切线方程；
(2)求
f
x 的极值；
(3)若对于任意xR ，不等式
2 e 1
f
x
x
m
恒成立，求实数m 的取值范围.
3.（1）已知
1
ln
x
a
x
x
对于
1 ,2
2
x
恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）已知函数
2
e
2
x
f x
a
x
，若不等式
( )
0
f
x
在R 上恒成立，试求a 的取值范围.
4.已知函数
e
1
x
f x
a x
．
(1)求函数
f
x 的单调区间；
(2)当
1,
x时，
0
f x
恒成立，求实数a 的取值范围．
5.已知函数
2
( )
2
f x
x
x
k
，
3
2
( )
(
0)
g x
ax
bx
cx
d a
是R 上的奇函数，当
1
x 时，( )
g x 取得极值2
．
(1)求函数( )
g x 的单调区间和极大值；
(2)若对任意
1 3
,
x
，都有
( )
( )
f x
g x
成立，求实数k 的取值范围；
题型二：分离变量法求存在性问题
1.已知函数
3
2
6
f x
ax
bx
x
c
，当= 1
x 时，
f
x 的极小值为
5
2
，当
2
x
时，
f
x 有极大值．
（1）求函数
f
x ；
（2）存在
0
2,0
x
，使得
2
0
2
f x
t
t
成立，求实数t 的取值范围．
2.已知函数
( )
ln ,(
0)
f x
x x x
.
(1)求函数
( )
f x 的极值；
(2)若存在
(0
)
x
,+
，使得
2
3
2
x
mx
f x
成立，求实数m 的最小值.
3.已知函数
3
2
3
1
a
f x
x
x
x
，a R .
(1)当
5
a
时，讨论
f
x 在区间
0,
上的单调性；
(2)若存在
1 ,4
2
x
，使不等式
2
2ln x
f x
x
成立，求a 的取值范围.
4.已知函数
2
( )
ln
f x
a
x
x
(a 为实常数）．若存在
[1,e]
x
，使得
( )
(
2)
f x
a
x
成立，求实数a 的取值范
围．
题型三：分类讨论法求恒成立
1.已知不等式
e
2
3
x
a
x
对任意xR 恒成立，则实数a 的最大值是
.
2.设函数
2
e
1
( )
x
f x
x
ax
，若当
0
x
时
( )
0
f x
，求a 的取值范围．
3.设函数
ln
1
1
ax
f x
x
x
．
(1)讨论
f
x 的单调性；
(2)若
0
f x 恒成立，求a 的值．
4．已知函数
2
1
1
( )
(
1)ln
(
,
0)
2
2
f x
x
a
x
a
a
R
．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的
[1,
)
x
，都有
( )
0
f x
成立，求a 的取值范围．
题型四：分类讨论法求存在性问题
1.已知
ln
f x
x
ax
a
(1)若
f
x 在
1
x 处取到极值，求a 的值；
(2)若存在
0
(0,
)
x
使得
0
(
)
0
f x
，求a 的范围；
(3)直接写出
( )
f x 零点的个数，结论不要求证明.
2.已知函数
2
e
2
2
R
x
f
x
x
ax
a
a
，其中e是自然对数的底数．
(1)讨论函数
f
x 的单调性；
(2)若
2e
a
f
x
在区间
2,0
上有解，求实数a 的取值范围．
3.已知函数
e
1
,
x
f x
m
x m
R
(1)当
1
m 时，求曲线
y
f x
在点（0，f（0））处的切线方程；
(2)若存在
,1 2
x
，使得不等式
2
l
e
n
2
x
x
m x
m
f x 成立，求m 的取值范围．
4.已知函数
3
2
( )
2
8
f
x
x
ax
．
（1）当
1
a 时，求曲线
( )
y
f x
在点(1，f （1）)处的切线方程；
（2）若在区间[1，2]内至少存在一个实数x ，使得
( )
0
f x
成立，求实数a 的取值范围．
题型五：等价转化法求恒成立
1.已知函数
1 ln
a
f
x
a
x
x
x
，
a
g x
x
（其中a R ）．
(1)若
2
a ，求函数
( )
f x 的单调区间；
(2)若对于任意
1,e
x
，都有
f x
g x
成立，求a 的取值范围．
2.已知函数
2
1
e
,
1
2
x
f
x
x
g x
ax
a
R
.
(1)求
f
x 的图象在
0
x
处的切线方程；
(2)当
0,
x
时，
f x
g x
恒成立，求a 的取值范围.
3.已知函数
( )
ln(
1)
f x
x
，( )
g x
kx
．
(1)当
1
k 时，求函数( )
( )
( )
h x
f x
g x
的最大值；
(2)若关于x 的不等式
( )
( )
f x
g x
恒成立，求实数k 的值．
4.已知函数
2
1
ln
f x
x
a
x
x
，
2
2
1
g x
x
x
a
．
(1)若
f
x 在
1,上单调递增，求实数a 的取值范围；
(2)当
1,e
x
时，
f x
g x
恒成立，求实数a 的取值范围．
5.已知函数
e
ln
x
f x
a
a
，( )
ln(
1)
1
g x
x
（其中a 为常数，e 为自然对数底数）.若
( )
( )
f x
g x
恒成
立，求a 的取值范围．
题型六：等价转化法求存在性问题
1．已知函数
1
( )
ln , ( )
(
R)
a
f x
x
a
x g x
a
x
，若在[1,e]上存在一点
0x ，使得
0
0
f
x
g x
成立，求a
的取值范围.
2.已知函数
ln
f x
x
a x
，
1
(
0)
a
g x
a
x
．
(1)若
f
x 在点
1,
1
f
处的切线为
1
y ，求实数a 的值；
(2)设函数
h x
f x g x
，求函数
h x 的单调区间与极值；
(3)若存在
0
1,e
x
，使得
0
0
f
x
g x
成立，求a 的取值范围．
3.已知函数f(x)＝－2aln x－2
x ，g(x)＝ax－(2a＋1)ln x－2
x ，其中a∈R.
(1)若x＝2 是函数f(x)的驻点，求实数a 的值；
(2)当a >0 时，求函数g(x)的单调区间；
(3)若存在x[ 1
e ，e2 ]（e 为自然对数的底），使得不等式f(x)g (x)成立，求实数a 的取值范围．
4.设函数
2ln
p
f
x
px
x
x
，其中e 是自然对数的底数.
(1)当
3
2
p
时，求函数
f
x 的极值.
(2)若
f
x 在其定义域内为单调函数，求实数p 的取值范围.
(3)设
2e
g x
x
，若在
1,e 上至少存在一点
0x ，使得
0
0
f x
g x
成立，求实数p 的取值范围.
题型七：最值定位法解决双参不等式问题
1.已知函数
sin x
f x
x
．
(1)当
π
0, 2
x
时，求函数
f
x 的最小值；
(2)若
3
3
ex
x
g x
x
x
a
，且对
1
π
0, 2
x
，都
2
0,2
x
，使得
1
2
f x
g x
成立，求实数a 的取值范
围．
2.已知函数
2
ex
x
f x
，
ln
e
g x
x
ax
，其中e是自然对数的底数．
(1)求函数
f
x 的极值；
(2)对
1
1,0
x
，总存在
2
2
2,e
x
，使
1
2
f x
g x
成立，求实数a 的取值范围．
3.已知函数
1
2
( )
(
1)e x
f x
x
mx
，当0
6
m
时，
3
4
( )
g x
x
mx
x
，
0,2
x
，若
1x
R ，
2
0,2
x
，
使
1
2
(
)
(
)
f x
g x
成立，求实数m 的取值范围．
4.设函数
2
e
ex
x
ax
a
f x
，
R
a
．
(1)若曲线
y
f x
在
1
x 处的切线过点
2,3
M
，求a 的值；
(2)设
1
1
1
3
g x
x
x
若对
0,2
n
，
0,2
m
，使得
f m
g n
成立，求a 的取值范围．
5.已知函数
1
ln
1
R
a
f x
x
ax
a
x
．
(1)当
1
0
2
a
时，讨论
f
x 的单调性；
(2)设
2
2
4
g x
x
bx
．当
1
4
a
时，若对
1
0,2
x
，
2
1,2
x
，使
1
2
f x
g x
，求实数b 的取值范围．
题型八：值域法解决双参等式问题
1.已知函数
1
2
x
x
m
f x
m
n
（其中
0
m
且
1,
0
m
n
）是奇函数．
(1)求m ，n 的值并判断函数
y
f x
的单调性；
(2)已知二次函数
2
g x
ax
bx
c
满足
2
2
g
x
g
x
，且其最小值为3
．若对
1
1,2
x
，都
2
1 ,8
2
x
，使得
1
2
2
log
f
x
g
x
成立，求实数a 的取值范围．
2.函数
2
1
1
x
x
f
x
x
，
2
3
g x
x
ax
.
(1)当
1,4
x
时，总有
g x
a
成立，求实数a 的取值范围；
(2)若
3
a ，对
1
2,
x
，
2
2,
x
，使得
1
2
f x
g x
，求实数a 的取值范围.
3.已知函数
2
2
f x
x
x
a
，
5
g x
ax
a
.
(1)若函数
y
f x
在区间
3,0
上存在零点，求实数a 的取值范围；
(2)若对任意的
1
3,3
x
，总存在
2
3,3
x
，使得
1
2
f x
g x
成立，求实数a 的取值范围.
4.已知函数
2
( )
2,
R
f x
x
ax
a
．
(1)若不等式
( )
0
f x
的解集为[1,2] ，求不等式
2
( )
1
f x
x
的解集；
(2)若对于任意
[ 1,1]
x
，不等式
( )
2 (
1)
4
f x
a x
恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)已知
( )
g x
x
m
，当
3
a 时，若对任意
1
[1,4]
x
，总存在
2
(1,8)
x
，使
1
2
f x
g x
成立，求实数m
的取值范围．
5.9 导数压轴大题：极值点偏移问题
在导数这一模块的学习中，极值点偏移问题是导数的应用中非常重要的一种问题，也是在压轴题中容
易出现的一种题型。但是常常它的出现的特征非常明显，其中涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，
不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转
化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数．
极值点偏移问题大体可分为加法型、减法型、乘积型、平方和型及倒数和型5 个类型，考查学生化归
与转化思想，逻辑思维能力、运算求解能力，
模块一：基础知识
考点一：极值点偏移的含义
一、极值点偏移的含义
我们知道，如果对于函数y=f(x)在定义域D 内任何一个x 都满足f(x)=f(2a-x)，则函数f(x)关于直线直线
x=a 对称；可以理解为函数f(x)在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若f(x)为单峰函数，则x=a 必为f(x)
的极值点.如二次函数f(x)的顶点就是极值点x₀,若f(x)=c的两根的中点为
�1+�2
2
,则刚好有
�1+�2
2
= �0即极值点在
两根的正中间，也就是极值点没有偏移.如下1 图。
若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数f(x)的极值点为m,且函数f(x)满足定义域内x=a 左侧的任
意自变量x 都有f(x)>f(2a-x)或f(x)<f(2a-x),则函数f(x)极值点m 左右侧变化快慢不同.故单峰函数f(x)定义域内
任意不同的实数x1,x2 满f(x₁)=f(x₂),则
�1+�2
2
与极值点m 必有确定的大小关系：
若a<
�1+�2
2
，称为极值点左偏；若a>
�1+�2
2 ,则称为极值点右偏.
就比如说：函数g(x)=
�
��的极值点x₀=1 刚好在方程g(x)=c 的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏.如上2
图
考点二：极值点偏移加法型的一般题设形式
1．若函数
( )
f x 存在两个零点
1x ，
2x 且
1
2
x
x
，求证：
1
2
0
2
x
x
x
（
0x 为函数
( )
f x 的极值点）；
2．若函数
( )
f x 中存在
1x ，
2x 且
1
2
x
x
满足
1
2
( )
(
)
f x
f x
，求证：
1
2
0
2
x
x
x
（
0x 为函数
( )
f x 的极
值点）；
3．若函数
( )
f x 存在两个零点
1x ，
2x 且
1
2
x
x
，令
1
2
0
2
x
x
x
，求证：
0
(
)
0
f
x
；
4．若函数
( )
f x 中存在
1x ，
2x 且
1
2
x
x
满足
1
2
( )
(
)
f x
f x
，令
1
2
0
2
x
x
x
，求证：
0
(
)
0
f
x
．
考点三：极值点偏移解决策略
（1）证明
1
2
2
x
x
a
（或
1
2
2
x
x
a
）：
①首先构造函数
2
g x
f x
f
a
x
，求导，确定函数
y
f x
和函数
y
g x
的单调性；
②确定两个零点
1
2
x
a
x
，且
1
2
f x
f x
，由函数值
1
g x
与
g a 的大小关系，得
1
1
1
2
1
2
2
g x
f
x
f
a
x
f
x
f
a
x
与零进行大小比较；
③再由函数
y
f x
在区间
,a 上的单调性得到
2
x 与
1
2a
x
的大小，从而证明相应问题；
（2）证明
2
1
2
x x
a
（或
2
1
2
x x
a
）（
1
x 、
2
x 都为正数）：
①首先构造函数
2
a
g x
f x
f
x
，求导，确定函数
y
f x
和函数
y
g x
的单调性；
②确定两个零点
1
2
x
a
x
，且
1
2
f x
f x
，由函数值
1
g x
与
g a 的大小关系，得
2
2
1
1
2
1
1
a
a
g x
f x
f
f x
f
x
x
与零进行大小比较；
③再由函数
y
f x
在区间
,a 上的单调性得到
2
x 与
2
1
a
x 的大小，从而证明相应问题；
（3）应用对数平均不等式
1
2
1
2
1
2
1
2
ln
ln
2
x
x
x
x
x x
x
x
证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到
1
2
1
2
ln
ln
x
x
x
x
；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
题型四：极值点偏移加法型判定方法与证明
对于可导函数
( )
y
f x
，在区间( , )
a b 上只有一个极大（小）值点
0x ，方程
( )
0
f x
的解分别为
1x ，
2x ，
且
1
2
a
x
x
b
，
（1）若
1
0
2
( )
(2
)
f x
f
x
x
，则
1
2
0
( )
2
x
x
x
，即函数
( )
y
f x
在区间
1
2
( ,
)
x x
上极（小）大值点
0x 右
（左）偏；
（2）若
1
0
2
( )
(2
)
f x
f
x
x
，则
1
2
0
( )
2
x
x
x
，即函数
( )
y
f x
在区间
1
2
( ,
)
x x
上极（小）大值点
0x 右
（左）偏．
证明：（1）因为对于可导函数
( )
y
f x
，在区间( , )
a b 上只有一个极大（小）值点
0x ，则函数
( )
f x 的单
调递增（减）区间为
0
( ,
)
a x
，单调递减（增）区间为
0
(
, )
x b ，由于
1
2
a
x
x
b
，有
1
0
x
x
，且
0
2
0
2x
x
x
，
又
1
0
2
( )
(2
)
f x
f
x
x
，故
1
0
2
( )2
x
x
x
，所以
1
2
0
( )
2
x
x
x
，即函数极（小）大值点
0x 右（左）
偏；
（2）证明略．
左快右慢（极值点左偏
1
2
2
x
x
m
）
左慢右快（极值点右偏
1
2
2
x
x
m
）
左快右慢（极值点左偏
1
2
2
x
x
m
）
左慢右快（极值点右偏
1
2
2
x
x
m
）
模块二：题型分类
题型一：极值点偏移加法型(��+ ��)
1．已知函数
3
1
( )
2
8ln
6
f x
x
ax
x
．
（1）若函数
( )
f x 在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围；
（2）若函数
( )
f x 存在两个极值点
1
2
,
x x ，求证：
1
2
4
x
x
．
2．已知a 为常数，函数
2
x
f x
e
ax
.
（1）讨论函数
f
x 的单调性；
（2）若函数
f
x 有两个不同的零点
1
2
1
2
,
x x
x
x
.
（i）求实数a 的取值范围；
（ii）证明：
1
2
2
x
x
.
3．已知函数
2
3
2
ln x
f x
x
a
，a 为实数．
(1)当
2
3
a
时，求函数在
1
x 处的切线方程；
(2)求函数
f
x 的单调区间；
(3)若函数
f
x 在
e
x处取得极值，
f
x
是函数
f
x 的导函数，且
1
2
f
x
f
x
，
1
2
x
x
，证明：
1
2
2
e
x
x
．
4．已知函数
2
(
1)
)
1
(
x
f
x
x
e
a x
a
R
.
（1）讨论函数
f
x 的单调性；
（2）当函数
f
x 仅有两个零点
1
x ，
2
x 时.
（i）求实数a 的取值范围；
（ii）求证：
1
2
0
x
x
.
题型二：极值点偏移减法型(��−��)
1．已知函数
ln
f x
x
ax
（1）讨论
f
x 的单调性；
（2）若
1
x ，
2
x ，
1
2
x
x
是
f
x 的两个零点.证明：
（i）
1
2
2
x
x
a
；
（ii）
2
1
2 1
ea
x
x
a
.
2．
2
ln e
1
2
4
x a
x
x
f x
b
有两个零点
1
2
1
2
,
x x
x
x
．
(1)
0
a
时，求b 的范围；
(2)
1
b = - 且
5
4
a
时，求证：
2
1
2 5
4
x
x
a
．
3．已知函数
e
2
1
x
f x
x
a
，
2
1
2
g x
x
a
x
a
（其中e
2.71828
是自然对数的底数）
(1)试讨论函数
f
x 的零点个数；
(2)当
1
a 时，设函数
h x
f x
g x
的两个极值点为
1
x 、
2
x 且
1
2
x
x
，求证：
2
1
e
e
4
2
x
x
a
.
4．已知函数
2
( )
(
1)
(
1)ln ,
2
2
x
f x
a x
a
x a
.
（1）求函数
f
x 的单调区间；
（2）若
1
f m
f
且
1
m ，证明：
(1,
)
x
m
，(
1)ln
1
a
x
x
；
（3）记方程
2
4
3ln
4
2
x
x
x
的三个实根为
1
x ，
2
x ，
3x ，若
1
2
3
x
x
x
，证明：
3
2
2 3
x
x
.
题型三：极值点偏移乘积型(����)
1．已知函数
2
1
( )
(2
1)
2ln (
R)
2
f x
ax
a
x
x a
.
(1)若
( )
f x 有唯一极值，求a 的取值范围；
(2)当
0
a
时，若
1
2
( )
(
)
f x
f x
，
1
2
x
x
，求证：
1
2
4
x x
.
2．已知函数
2
1
ln
0
2
f x
x
x
ax
a
.
(1)若函数
f
x 在定义域内为减函数,求实数a 的取值范围;
(2)若函数
f
x 有两个极值点
1
2
1
2
,
x x
x
x
,证明：
1
2
1
x x
a
.
3．已知( )
2
sin
ln
f x
x
x
a
x
．
(1)当
1
a 时，讨论函数
( )
f x 的极值点个数；
(2)若存在
1
x ，
2
1
2
(0
)
x
x
x
，使
1
2
( )
(
)
f x
f x
，求证：
1
2
x x
a ．
4．已知函数
ln
f
x
a
x
，
ex
g x
b
（e 为自然对数的底数）
(1)当
e
a 时，恰好存在一条过原点的直线与
f
x ，
g x 都相切，求b 的值；
(2)若
1
b ，方程
0
xg x
f
x
ax
有两个根
1
2
x
x
，
，（
1
2
0
x
x
），求证：
1
2
2
1
2
e
x
x
x
x
．
题型四：极值点偏移平方型(��
�+ ��
�)
1．已知函数
1 lnx
f x
ax
，
0
a
．
(1)若
1
f x ≤，求a 的取值范围；
(2)证明：若存在
1
x ，
2
x ，使得
1
2
f x
f x
，则
2
2
1
2
2
x
x
．
2．在平面直角坐标系xOy 中，Rt OAB
的直角顶点A 在x 轴上，另一个顶点B 在函数
lnx
f
x
x
图象上
(1)当顶点B 在x 轴上方时，求Rt OAB
以x 轴为旋转轴，边AB 和边OB 旋转一周形成的面所围成的几何
体的体积的最大值；
(2)已知函数
2
2
e
e
1
ax
x
ax
g x
x
，关于x 的方程
f x
g x
有两个不等实根
1
2
x
x
，
1
2
x
x
.
（i）求实数a 的取值范围;
（ii）证明：
2
2
1
2
2
e
x
x
.
3．已知函数
ln x
f
x
ax
x
.
(1)若
1
f
x ，求实数a 的取值范围；
(2)若
f
x 有2 个不同的零点
1
2
,
x x （
1
2
x
x
），求证：
2
2
1
2
12
2
3
5
x
x
a
.
4．已知函数
ln
1
( )
x
f x
x
，
e
( )
x
g x
x ．
(1)若对任意的
,
(0,
)
m n
都有
( )
( )
f m
t
g n
，求实数t 的取值范围；
(2)若
1
2
,
(0,
)
x x
且
1
2
x
x
，
1
2
1
2
2
1
e
x
x
x
x
x
x
，证明：
3
3
1
2
2
x
x
．
题型五：极值点偏移倒数和
�
��+
�
��与其他变形
1．已知函数
( )
2
ln
f x
e
x
x
，其中
2.71828
e
为自然对数的底数.
（1）讨论函数
( )
f x 的单调性；
（2）若
1
2
,
0,1
x x
，且
2
1
1
2
1
2
1
2
ln
ln
2
ln
ln
x
x
x
x
ex x
x
x
，证明：
1
2
1
1
2
2
1
e
e
x
x
.
2．已知
1
( )
,
( )
(
1)
1
x
x
f x
e
g x
a x
x
．
（1）求
( )
y
f x
的单调区间；
（2）当
0
a
时，若关于x的方程
( )
( )
0
f x
g x
存在两个正实数根
1
2
1
2
,
x x
x
x
，证明：
2
a
e
且
1
2
1
2
x x
x
x
．
3．已知
ln
h x
x
ax
(1)若
h x 有两个零点，求a 的取值范围；
(2)若方程
e
ln
x
ax
x
x
有两个实根
1
x 、
2
x ，且
2
1
x
x
，证明：
1
2
1
2
e
e
0
2
x
x
x
x
h
.
4．已知函数
ln x
f x
a
x
a
，
ex
g x
ax
a
．（e
2.71828
为自然对数的底数）
(1)当
1
a 时，求函数
y
f x
的极大值；
(2)已知
1
x ，
2
0,
x
，且满足
1
2
f
x
g x
，求证：
2
1
e
2
x
x
a
a
．
模块三：综合巩固
1．已知函数
( )
ln |
1|
a
f x
x
x ，
R
a
是常数．
(1)求曲线
( )
y
f x
在点
2
2
f,
处的切线方程，并证明对任意
R
a
，切线经过定点；
(2)证明：a<0 时，设
1
x 、
2
x 是
( )
f x 的两个零点，且
1
2
2
x
x
．
2．已知函数
2
( )
2ln
x
f x
x
a
( a
R
且
0
a
)．
（1）讨论函数
( )
f x 的单调性；
（2）若函数
( )
f x 有两个零点
1
x 、
2
x (
1
2
x
x
)，且
2
a
e
，证明：
1
2
2
x
x
e
．
3．已知函数
2
( )
e (1
)(
0)
x
f x
ax
a
（e为自然对数的底数）.
(1)求函数
( )
f x 的单调区间；
(2)当
1
a 时，
( )
y
f x
在点(1,0) 处的切线方程为
( )
y
g x
，设方程
( )
(
0)
f x
t t
有两个实数根
1
2
1
2
,
(
)
x x
x
x
，求证：
（i）
( )
( )
f x
g x
；
（ii）
2
1
1
2
(1
)
2e
x
x
t
.
4．已知函数
2
2
1
e 1 e
e
e
2
x
f x
x
x
x
．
(1)求函数
f
x 的单调区间与极值．
(2)若
1
2
3
1
2
3
f
x
f
x
f
x
x
x
x
，求证：
3
1
e 1
2
x
x
．
5．已知函数
2
e
2
2
x
a
f
x
x
ax
，aR ，其中e为自然对数的底数．
(1)若
f
x 有两个极值点，求a 的取值范围；
(2)记
f
x 有两个极值点为
1
x 、
2
x ，试证明：
1
2
1
2
2
3
x x
x
x
．
6．已知函数
e
ln
x
f x
x
x
a
x
.若
( )
f x 有两个零点
1
2
,
x x ，证明：
1
2
1
x x .
7．已知aR ，
( )
ax
f x
x e
，（其中e 为自然对数的底数）.
（1）求函数
( )
y
f x
的单调区间；
（2）若
0
a
，函数
( )
y
f x
a
有两个零点x ，
2
x ，求证：
2
2
1
2
2
x
x
e
.
8．已知函数
ln
1
x
f
x
ax
.
(1)讨论
f
x 的单调性；
(2)若
2
1
1
2
e
e
x
x
x
x
（e 是自然对数的底数），且
1 > 0
x
，
2
0
x
，
1
2
x
x
，证明：
2
2
1
2
2
x
x
.
9．已知函数
2
f x
ax
，
1
ln
g x
x
x
.
(1)若对于任意
0,
x
，都有
f x
g x
，求实数a 的取值范围；
(2)若函数
y
g x
m
有两个零点
1
2
,
x x ，求证：
1
2
1
1
2
x
x
.
10．已知函数
1
ln
f x
x
a
x
，a
R
.
(1)讨论f（x）的单调性；
(2)若
1
0, 2
x
时，都有1
f x ，求实数a 的取值范围；
(3)若有不相等的两个正实数
1
x ，
2
x 满足
2
2
1
1
1 ln
1 ln
x
x
x
x
，证明：
1
2
1
2
x
x
ex x
.
5.10 导数中比大小问题
模块一：基础知识
考点一：同构法比较大小常用八个函数
我们由,
,ln
x
x e
x 三个基本初等函数进行加减乘除组合，可以得到常用八个函数。对任一函数先求导，求
出函数单调区间与极值点，再描点画图，注意图形的渐近线.
函数
x
y
xe
x
x
y
e
图像
函数
ex
y
x
1
x
y
e
x
图像
函数
ln
y
x
x
ln x
y
x
图像
函数
ln
x
y
x
ln
1
y
x
x
图像
在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征(指除了变量不同，其余地方均相同的表达式．)，则
可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系，可以比较大小、解不等式、解决不等式
恒成立问题、证明不等式等．
①指对各一边，参数是关键；
②常用八个“母函数”：
x
f x
x e
，
x
f x
e
x
……；
③凑同构，凑常数、x 、参数；
④复合函数比大小，利用单调性求参数范围．
八大函数中一些函数的证明或记忆方法：
1．
1
x
y
e
x
，对应不等式
1
xe
x
x
R
证明：设
( )
1
x
f x
e
x
，则
( )
1
x
f
x
e
，当
0
x
时，
( )
0
f
x
，当
0
x
时，
( )
0
f
x
，
∴
( )
1
(0)
0
x
f x
e
x
f
，即
1
xe
x
，当且仅当
0
x
时取等号，得证.
图形表示：如下1 图，
x
y
e
在(0,1)处的切线方程为
1
y
x
.
2．
ln
1
y
x
x
，对应不等式
ln
1
0
x
x
x
证明：设
( )
ln
1
f x
x
x
，则
1
1
( )
1
x
f
x
x
x
，当0
1
x
时，
( )
0
f
x
，当
1
x 时，
( )
0
f
x
，
∴
( )
(1)
0
f x
f
，即ln
1
x
x
，当且仅当
1
x 时取等号，得证．
图形表示：如上2 图，
ln
y
x
在(1,0) 处的切线方程为
1
y
x
．
考点二：常见不等式放缩
1.常见的指数放缩：
1(
0)
xe
x
x
；
1 ,
1
1
xe
x
x
，；
(
1)
xe
ex x
证明1：设
1
x
e
x
f
x
，所以
1
xe
x
f
，所以当
0,
x
时，
0
x
f
，所以
x
f
为减函
数，当当
,0
x
时，
0
x
f
，所以
x
f
为增函数，所以当
0
x
时，
x
f
取得最小值为
0
0
f
，
所以
0
x
f
，即
1
x
ex
证明2：对于
1
xe
x
，该不等式在R 上恒成立，若令x
x
，则有
1
1
1
x
x
e
x
x
e
，当
1
x
时，不等式两边同乘
1
xe
x
，则有
1
1
x
e
x
，
最后得出
1
1
,
1
1
x
x
e
x
x
，
2.常见的对数放缩：
)
(
ln
);
1
(1
ln
1
1
e
x
e
x
x
x
x
x
x
证明3：
1
ln
x
x
x
对于
1
ln
x
x
，令
1
x
x
，则有1
1
1
1
ln
ln
x
x
x
x
x
，可得
1
ln
x
x
x
.
3.常见三角函数的放缩：
x
x
x
x
tan
sin
,
2
,0
考点三：泰勒展开
2
(0)
(0)
( )
(0)
(0)
2!
!
n
f
f
f x
f
f
x
x
n
附：常用公式
（1）
2
3
1
1
1
x
x
x
x
（2）
2
3
1
1
1
x
x
x
x
（3）
2
3
1
1
2
1
6
xe
x
x
x
（4）
2
3
1
1
ln(1
)
2
3
x
x
x
x
（5）
3
tan
3
x
x
x
（6）
2
4
cos
1
2
24
x
x
x
（7）
3
sin
6
x
x
x
题型四：帕德逼近
2
2
6
12 ,( 2
2)
6
12
x
x
x
e
x
x
x
2
2
3
6
ln(1
)
,( 1
1)
6
6
x
x
x
x
x
x
2
2
3
3
ln( )
,(0
2)
4
1
x
x
x
x
x
2
1
1
1
1
1
1
,(
)
2
8
2
2
x
x
x
x
模块二：题型分类
题型一：同构法比较大小
1.已知
ln 2
2
a
，
1
e
b
，
ln5
5
c
，则以下不等式正确的是（
）
A．c
b
a
B．a
b
c
C．b
a
c
D．b
c
a
2.设
2
2(2 ln2)
a
e
，
ln2
2
b
，
1
c
e
，则（
）
A．a
b
c
B．b
a
c
C．a
c
b
D．b
c
a
3.
2
3(2
ln3)
1
ln3
,
,
3
a
b
c
e
e
，则a，b，c 的大小顺序为（
）
A．a
c
b
B．c
a
b
C．a
b
c
D．b
a
c
4.设
1
2
a
e
，
ln 2
b
，
2
4
ln 4
c
e
，则(
)
A. a
b
c
B. a
c
b
C. a
c
b
D.b
c
a
5.设
ln 2
8
a
，
2
1
e
b
，
ln 6
12
c
，则（
）
A．a
c
b
B．a
b
c
C．b
a
c
D．c
a
b
6.设
ln1.01
a
，
1.01
b
，
0.01
e
c
，其中e 为自然对数的底数，则（
）
A．a
c
b
B．b
c
a
C．b
a
c
D． c
b
a
7．已知
1
2
2
a
，
1
3
3
b
，
1
ee
c
，则a，b，c 的大小关系为（
）
A．a
b
c
B．b
a
c
C．c<a<b
D．a
c
b
8．已知, ,
(1,
)
a b c
，且e
9 ln11,e
10 ln10,e
11 ln 9
a
b
c
a
b
c
，则, ,
a b c 的大小关系为（
）
A．a
b
c
B．c
a
b
C．b
c
a
D．c
b
a
9．已知
2e
ln 3
a
，
e 1
e
b
，
3e
2ln 2
c
，则有（
）
A．a
b
c
B．a
c
b
C．b
a
c
D．< <
b c a
10．已知
5
ln 6
x
，
24
4
ln
25
5
y
，
1
6
z
，则（
）
A．y
x
z
B．y
z
x
C．z
x
y
D．x
y
z
11.设
15ln13
a
，
14ln14
b
，
13ln15
c
，则（
）
A．a
c
b
B．c
b
a
C．b
a
c
D．a
b
c
12.已知
1
, ,
,
e
a b c
，且ln5
5lna
a
，ln3
3lnb
b
，ln2
2lnc
c
，则（
）
A．b
c
a
B．c
b
a
C．a
c
b
D．a
b
c
题型二：放缩比大小
1. 已知
0.2
1,
ln1.2,
tan 0.2
e
a
b
c
，其中e
2.71828
为自然对数的底数，则（
）
A. c
a
b
B. a
c
b
C. b
a
c
D. a
b
c
2.已知
6 ln1.2
5
a
，
0.2
0.2 e
b
，
1
3
c
，则（
）
A. a
b
c
B. c
b
a
C. c
a
b
D. a
c
b
3.已知
0.05
a
e
，
ln1.1
1
2
b
，
1.1
c
则(
)
.
> >
A a
b
c
>
.
>
B c b a
.
C b
a
c
>
.
>
D a
c
b
4.设
1
5
a
，
1
1
2ln sin
cos
10
10
b
，
6
6
ln
5
5
c
则a，b，c 的大小关系是_________.
5.设
ln 1.1
a
，
0.1 1
b
e
，
tan 0.1
c
，
0.4
d
，则(
)
A．a＜b＜c＜d
B．a＜c＜b＜d
C．a＜b＜d＜c
D．a＜c＜d＜b
6.已知
1
1
1
1013
1013
2ln sin
cos
,
,
ln
2024
2024
1012
1012
1012
a
b
c
，则下列正确的是（
）
A．a
b
c
B．c
a
b
C．c
b
a
D．b
a
c
7.已知
0.05
a
e
，
ln1.1
1
2
b
，
1.1
c
则(
)
.
> >
A a
b
c
>
.
>
B c b a
.
C b
a
c
>
.
>
D a
c
b
8.设
ln 1.1
a
，
0.1 1
b
e
，
tan 0.1
c
，
0.4
d
，则(
)
A．a＜b＜c＜d
B．a＜c＜b＜d
C．a＜b＜d＜c
D．a＜c＜d＜b
9.已知
sin1 1
e
,
sin1,
cos1
a
b
c
，则（
）
A．a
c
b
B．a
b
c
C．c
b
a
D．c<a<b
题型三：取对数后比大小
1.若
1
1
3
5
3
,
5
,
2
a
b
c
，则（
）
A．c
b
a
B．c
a
b
C．b
c
a
D．a
b
c
2.已知
8
7
6
6 ,
7 ,
8
a
b
c
，则, ,
a b c 的大小关系为（
）
A. b
c
a
B. c
b
a
C. a
c
b
D. a
b
c
3.已知实数
, ,
0,
a b c
e
，且
3
3a
a
，
4
4b
b
，
5
5c
c
，则（
）
A．c
b
a
B．b
c
a
C．a
c
b
D．a
b
c
4.已知
ln7
2
a
，
ln6
3
b
，
ln5
4
c
，则（
）
A．b
c
a
B．a
b
c
C．b
a
c
D．a
c
b
5.已知
10
11
9
10
9
11
a
b
c
，
，
，则, ,
a b c的大小关系为（
）
A．c
a
b
B．b
a
c
C．a
b
c
D．c
b
a
6.已知
10
8
a
，
99
b
，
8
10
c
，则a ，b ，c 的大小关系为（
）
A．b
c
a
B．b
a
c
C．a
c
b
D．a
b
c
题型四：构造其它函数比大小
1.设正实数a，b，c，满足
2
ln
2
a
c
e
b
b
ce
，则a，b，c 的大小关系为（
）
A．a
b
c
B．a
c
b
C．c
a
b
D．b
a
c
2.若
2
4
2
log
4
2log
a
b
a
b
，则（
）
A．
2
a
b
B．
2
a
b
C．
2
a
b
D．
2
a
b
3.已知9
10,
10
11,
8
9
m
m
m
a
b
，则（
）
A．
0
a
b
B．
0
a
b
C．
0
b
a
D．
0
b
a
4.设
2ln1.01
a
，
ln1.02
b
，
1.04
1
c
．则（
）
A．a
b
c
B．b<c<a
C．b
a
c
D．c<a<b
题型五：反比例构造���＜
�(�−�)
�+�型
1.设
1.1
e
2 7
a
，
1.4 1
b
，
2ln1.1
c
，则（
）
A．a
b
c
B．a
c
b
C．b
a
c
D．c
a
b
2.若
0.2
e
a
，
1.2
b
，
ln 3.2
c
，则a，b，c 的大小关系为（
）
A．a
b
c
B．a
c
b
C．b
a
c
D．c
b
a
3.设
2
4(2
ln 4)
e
a
，
1
e
b
，
ln 4
4
c
，则a ，b ，c的大小顺序为（
）
A．a
c
b
B．c
a
b
C．a
b
c
D．b
a
c
题型六：零点构造法
1.设
ln1.1
a
，
0.1
e
1
b
，
tan0.1
c
，
0.4
d
，则（
）
A．a
b
c
d
B．a
c
b
d
C．a
b
d
c
D．a
c
d
b
2.已知
1x ＝
1
ln 2
，
2x ＝
1
2
e
，
3x 满足
3
3
ln
x
e
x
，则下列各选项正确的是
A．
1
3
2
x
x
x
B．
1
2
3
x
x
x
C．
2
1
3
x
x
x
D．
3
1
2
x
x
x
题型七：切、弦、指、对混合构造
1.已知
0.2
1,
ln1.2,
tan0.2
e
a
b
c
，其中e
2.71828
为自然对数的底数，则（
）
A．c
a
b
B．a
c
b
C．b
a
c
D．a
b
c
2.设
0.02
e
1
a
，
0.01
2 e
1
b
，
sin0.01 tan0.01
c
，则（
）
A．a
b
c
B．a
c
b
C．c
a
b
D．b
c
a
3.已知0
π
x
y
，且e sin
e sin
y
x
x
y
，其中e 为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（
）
A．
co
co
s
0
s x
y
B．cos
cos
0
x
y
C．cos
sin
x
y
D．sin
sin
x
y
4.设
1
50
a
，
1
1
2ln sin
cos
100
100
b
，
6
51
ln
5
50
c
，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（
）
A．a
b
c
B．a
c
b
C．b
c
a
D．b
a
c
题型八：泰勒展开公式比大小
1.设
0.1
1
0.1e ,
ln0.9
9
a
b
c
，
，则（
）
A．a
b
c
B．c
b
a
C．c
a
b
D．a
c
b
2.设
2ln1.01
a
，
ln1.02
b
，
1.04
1
c
．则（
）
A．a
b
c
B．b
c
a
C．b
a
c
D．c
a
b
题型九：帕德逼近
1.设
0.1
1
0.1e ,
ln0.9
9
a
b
c
，
，则（
）
A．a
b
c
B．c
b
a
C．c
a
b
D．a
c
b
2.已知
1.3
2 7,
4 1.1
4,
2ln1.1,
a
e
b
c
则
A．a
b
c
B．c
b
a
C．c
a
b
D．a
c
b
3.设a＝
1
1.01 ，b＝ln1.01，c＝
0.01
e
1
，则（
）
A．abc B．bca
C．bac
D．cab
4.设
2ln1.01
a
，
ln1.02
b
，
1.04
1
c
．则（
）
A．a
b
c
B．b
c
a
C．b
a
c
D．c
a
b
题型十：一题多解
1.已知
7
5
8
log 5
a
，
3
7
8ln 5
b
，
6
5
7
log 5
c
，则
,
,
a b c 的大小关系为（
）
A. b
c
a
B. b
a
c
C. a
c
b
D. a
b
c
2.已知
31
1
1
,
cos ,
4sin
32
4
4
a
b
c
，则（
）
A．c
b
a
B．b
a
c
C．a
b
c
D．a
c
b
3.设
0.1
1
0.1e
,
ln 0.9
9
a
b
c
，
，则（
）
A．a
b
c
B．c
b
a
C．c<a<b
D．a
c
b
模块三：综合巩固
1．设
2
e
2
2
e
,
,
ln e
2
ln 2
4
ln 4
a
b
c
，其中e是自然对数的底数，则（
）
A．c
b
a
B．b<c<a
C．a
c
b
D．c
a
b
2．设
10
1
11
e
,
,
ln
11
10
a
b
c
，则（
）
A．a
b
c
B．a
c
b
C．b
c
a
D．c
b
a
3．已知
0.2
0.2
1.2
ln 1.2e ,
e
,
e
a
b
c
，则有（
）
A．a
b
c
B．a
c
b
C．c
a
b
D．c
b
a
4．若
2
2
1
ln lnπ ,
ln
,
3
3
e
a
b
c
，则（
）
A．c
a
b
B．b
c
a
C．c
b
a
D．b
a
c
5．设
0.1
1
0.1e
,
ln 0.9
9
a
b
c
，
，则（
）
A．a
b
c
B．c
b
a
C．c<a<b
D．a
c
b
6.已知
ln 3
2
a
，
1
e 1
b
，
ln 4
3
c
，则a，b，c 的大小关系是（
）
A．b
a
c
B．b
c
a
C．c
a
b
D．c
b
a
7.
2
3(2 ln3)
1
ln3
,
,
3
a
b
c
e
e
，则a，b，c 的大小顺序为（
）
A．a
c
b
B．c<a<b
C．a
b
c
D．b
a
c
8.已知
1
, ,
,
e
a b c
，且ln5
5lna
a
，ln3
3lnb
b
，ln2
2lnc
c
，则（
）
A．b
c
a
B．c
b
a
C．a
c
b
D．a
b
c
9.已知
eπ
π
e
e ,
π ,
2
a
b
c
，则这三个数的大小关系为（
）
A．c
b
a
B．b
c
a
C．b
a
c
D．c
a
b
10.已知
8ln 6
a
，
7ln 7
b
，
6ln8
c
，则a ，b ，c 的大小关系为（
）
A．b
c
a
B．c
b
a
C．a
c
b
D．a
b
c
11.已知
10
8
a
，
99
b
，
8
10
c
，则a ，b ，c 的大小关系为（
）
A．b
c
a
B．b
a
c
C．a
c
b
D．a
b
c
12.已知
ln2
2
a
，
ln 3
e
b
，
2
2
e
c
，则（参考数据：ln 2
0.7
）（
）
A．a
b
c
B．b
a
c
C．b
c
a
D．c
a
b
13. (多选)已知0
x
y
，且e sin
e sin
y
x
x
y
，其中e 为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的
是（
）
A．sin
sin
x
y
B．sin
sin
x
y
C．cos
cos
0
x
y
D．
co
co
s
0
s x
y
14. (多选)已知
1
2
0
1
x
x
<
<
< ，下列不等式恒成立的是（
）
A．
1
2
2
1
e
e
x
x
x
x
B．
2
1
1
2
ln
ln
x
x
x
x
C．
1
1
2
2
ln
ln
x
x
x
x
D．
1
2
2
1
ln
e
l
e
n
x
x
x
x
5.11 函数与导数压轴小题技巧
模块一：基础知识
考点一：零点构造型
1.与对称有关的常用结论
①若点
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
关于直线x
a
对称，则
1
2
2
x
x
a
；
②若
( )
f x 的图象关于直线x
a
对称，则
( )
(2
)
f x
f
a
x
=
-
；
③若
(
)
(
)
f a
x
f b
x
，则
( )
f x 的图象关于直线
2
a
b
x
对称；
④若
(2
)
( )
2
f
a
x
f x
b
，则
( )
f x 的图象关于点( , )
a b 对称．
2.数形结合法解决零点问题
①零点个数：几个零点
②几个零点的和
③几个零点的积.
考点二：存在(几个)整数解
整数解，属于导数研究函数的性质，根据题意求得整数型参数的取值范围，或者整数解求参数范围等，涉
及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最
大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究
函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.
考点三：零点同构
对于既含有指数式又含有对数式的等式或不等式，直接求导会出现越求导式子越复杂的情况，此时可通过
同构函数，再利用函数的单调性，把问题转化为较为简单的函数的导数问题．
导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现ex 与ln x ，通常使用同构来进行求解，难点是寻找构造突破
口。
如
e
2
e
(e 1)ln
2
x
x
x
变形得到
eln
2
ln
e
eln
2 e
ln
x x
x
x x
x
，从而构造
( )
et
f t
t
进行求解.
常见同构：
①
1
ln
ln
ln
ln
log
ln
ln
ln
ln
ln
ln
x
x
a
x
a
x
e
a
x
a
x
e
x
a e
x
x
x e
x
a
x
a
e
a
；
②
ln
ln
1
ln
ln
ln
ln
x
x
x
x
x
x
e
e
x
x e
x
x
x e
x e
x
x
e
；
③
ln
1
ln
1
1
ln
1
ln
1
x
ax
e
ax
x
x
e
x
ax
x
④
ln
e
e
ln
1
x
x
x
x
x
x
；
ln
ln
e
e
1
x
x
x
x
x
x
考点四：不等式型同构求参
（1）乘积模型：
ln
ln
( )
ln
ln
ln
( )
ln
ln
ln
ln(ln )
( )
ln
a
b
x
a
a
a
ae
b e
f x
xe
ae
b
b
e
e
b
b
f x
x
x
a
a
b
b
f x
x
x
（2）商式模型：
ln
( )
ln
ln
ln
( )
ln
ln
ln
ln
ln(ln )
( )
ln
a
a
a
a
b
x
e
b
x
f x
e
b
x
e
b
e
e
e
f x
a
b
a
b
x
a
a
b
b
f x
x
x
（3）和差模型：
ln
ln
ln
( )
ln
ln
ln
ln
( )
ln
a
a
a
a
a
b
x
e
e
b
b
f x
x
x
e
a
b
b
e
e
e
b
f x
e
x
考点五：恒成立求参
1.移项讨论型
一般地，已知函数
( ),
,
y
f x x
a b ，
( ),
,
y
g x x
c d
（1）若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
(
)
(
)
f x
g x
成立，故
max
1
2
min
(
)
(
)
f x
g x
；
（2）若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
(
)
(
)
f x
g x
成立，故
1 max
2
max
( )
(
)
f x
g x
；
（3）若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
(
)
(
)
f x
g x
成立，故
1 min
2
max
(
)
(
)
f x
g x
；
（4）若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
(
)
(
)
f x
g x
成立，故
1 min
2
min
(
)
(
)
f x
g x
；
2.虚设零点法
涉及到导函数有零点但是求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形时，可以将这个零点只设出来而不必求
出来，然后寻找一种整体的转换和过度，再结合其他条件，进行代换变形，从而最重获得问题的解决
（1）整体代换：把超越式子（多为指数和对数式子）转化为普通的（如二次函数一次哈数等）可解式子，
如比值代换等等。
（2）反代消参：反解参数代入，构造单一变量的函数。如果要求解（或者要证明）的结论与参数无关，
则可以通过反解参数，用变量（零点）表示参数，然后把函数变成关于零点的单一函数，再对单一变量
求导就可以解决相应的问题。
（3）留参降次（留参、消去指对等超越项）：如果要求解的与参数有关，则可以通过消去超越项，建立
含参数的方程或者不等式。恒等变形或者化简方向时保留参数，通过“降次”变换，一直降到不可再降
为止，再结合条件，求解方程或者不等式，解的相应的参数值或者参数范围
3.等式型求参数
一般地，已知函数
( ),
,
y
f x x
a b ，
( ),
,
y
g x x
c d
，若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
(
)
(
)
f x
g x
，
则
( )
f x 的值域是( )
g x 值域的子集．
考点六：双变量型常见问题及策略
1.不等关系型
一般地，已知函数
,
,
y
f x
x
a b
，
,
,
y
g x
x
c d
不等关系
(1)若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，总有
1
2
f x
g x
成立，故
max
min
f x
g x
；
(2)若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
f x
g x
成立，故
max
max
f
x
g x
；
(3)若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
f x
g x
成立，故
min
min
f x
g x
；
(4) 若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
f x
g x
成立，故
min
max
f
x
g x
．
2.转化法
凸凹翻转型常见思路，如下图
转化为两个函数的最值问题是关键。
考点七：多参型解决策略
1.代换型
不等式中，可以借助对数均值不等式解决，完整的对数均值不等式为：
1
2
1
2
1
2
1
2
ln
ln
2
x
x
x
x
x x
x
x
，可用
两边同除
2
x ，
令
1
2
x
t
x
整体换元的思想来构造函数，证明不等式成立求解参数
2.二次构造放缩：能够两次构造函数，利用导数求出相应函数的最值
3.韦达定理求参数
模块二：题型分类
题型一：函数零点构造型
1.已知函数
ln
,0
2
ln ,
x
x
e
f x
x x
e
，若实数0
a
b
c
互不相等，且
f a
f b
f c
，则b
c
a
的取值
范围为______．
2.已知函数
2
ln ,
1
( )
1
3 ,
1
2
2
x x
f x
x
x
，若实数
1
2
,
x x 满足
1
2
x
x
，
1
2
( )
(
)
4
f x
f x
，则
1
2
x
x
的取值范围为
___________ .
3.已知函数
x
f
x
xe
，
ln
g x
x
x
，若
1
2
f x
g x
t
，其中
0
t
，则
1
2
ln t
x x 的取值范围是______.
4.设函数
,
0,
,
0,
x
a x
f x
lnx x
已知
1
2
x
x
，且
1
2
f x
f x
，若
2
1
x
x
的最小值为1
e ，则a 的值为___________．
5.已知函数
1
( )
|
1| 1
f x
x
，
2
( )
2
g x
x
x
a
，若方程
( )
( )
f x
g x
有4 个不同的实根
1
x ，
2
x ，
3x ，
4
1
2
3
4
x
x
x
x
x
，则
1
4
3
a x
x
x
的取值范围是______．
题型二：存在(几个)整数解
1.已知函数
( )
(
N )
k
f x
k
x
，
ln
1
( )
1
x
g x
x
，若对任意的
1
c
，存在实数,a b 满足0
a
b
c
，使得
( )
( )
( )
g a
f b
g c
，则k 的最大值是
A．3
B．2
C．4
D．5
2.已知函数
( )
1
x
f x
e
ax
在区间( 1,1)
内存在极值点，且
( )
0
f x
恰好有唯一整数解，则
的取值范围
是（
）
A．
2
2
1,e
2
e
e
B．
2
2
2
1
1
,1
1,
2
2
e
e
e
e
C．
1,
e
e
D．
2
2
1
1
,
1,
2
e
e
e
e
e
e
3.在关于x 的不等式
2
2
2
2
e
e
4e
e
4e
0
x
x
x
a
x
a
（其中e=2.71828 L为自然对数的底数）的解集中，
有且仅有两个大于2 的整数，则实数a 的取值范围为（
）
A．
4
16
1
,
5e
2e
B．
2
9
1
,
4e
2e
C．
4
2
16
4
,
5e
3e
D．
2
2
9
4
,
4e
3e
4.已知偶函数
f
x 满足
3
3
f
x
f
x
，且当
0,3
x
时，
2
x
f
x
xe
，若关于x 的不等式
2
0
f
x
tf x
在
150,150
上有且只有150 个整数解，则实数t 的取值范围是（
）
A．
1
2
0,e
B．
1
3
2
2
,3
e
e
C．
3
1
2
3
,2
e
e
D．
1
1
2,2
e
e
5.已知函数
1 ln
( )
x
f x
x
，若关于x 的不等式
2( )
( )
0
f
x
af x
恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是
A．
1 ln 2
1 ln3
(
,
]
2
3
B．1
ln 3 1
ln 2
[
,
)
3
2
C．
1 ln 2
1 ln3
(
,
)
2
3
D．
1
ln 3
( 1,
]
3
题型三：方程零点型同构
1.已知m 是方程
e
2
e
(e 1)ln
2
x
x
x
的一个根，则
2
e 1
e
(e 1)ln
m
m
（
）
A．1
B．2
C．3
D．5
2.若方程
2
2
2 ln
(
0)
ex
a
x
a
a
x
在
,0
a
上有实根，则a 的取值范围是（
）
A．
, 2
B．
2,0
C．
, ln 2
D．
ln 2,0
3.已知
0x 是方程e
ln3
2
0
x
x
x
的一个根，则
0
0
ex
x （
）
A．1
3
B．
1
2
C．2
D．3
4.已知
0,
1,
a
b
且
2
2
e
2ln
1
2 ,
a
b
b
a
则一定有（
）
A．
ea
b
B．lnb
a
C．
ln
1
a
b
D．
ln
1
a
b
5.已知正实数x ，y 满足
n
ln
e
l
x
y
x
y
y
，则ln
1
ln
x
y
x
的最大值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
题型四：不等式型同构求参
1.已知关于x 的不等式
1
ln
e
1
x
m
m x
x
x
在
3
1,e
上恒成立，则正数m 的最大值为（
）
A．1
e
B．0
C．e
D．1
2.已知不等式
1
ln
e
a
x
x
a
x
x
对
1
x
，
恒成立，则实数a 的最小值为（
）
A．
e
B．
e
2
C．e
D．2e
3.若关于x 的不等式
e
ln
1
e
x
ax
a
x
x
在
1,上恒成立，则实数a 的取值范围为（
）
A．
1
, e
B．
,3
C．
,2
D．
,e
4.已知关于x 的不等式e
ln
2 ln
x
a
x
a
x
x
恒成立，其中e 为自然对数的底数，a
R
，则（
）
A．a 既有最小值，也有最大值
B．a 有最小值，没有最大值
C．a 有最大值，没有最小值
D．a 既没有最小值，也没有最大值
5.已知a<0 ，若
1
x
时，e
lne
ln
x
x
a
a
x
x
恒成立，则a 的最小值为（
）
A．1
B．2
C．e
D．2e
题型五：移项讨论或分离参数求恒成立问题
1.已知函数
2
ln 1
ln
f x
x
x
a
x
有唯一零点，则
a
（
）
A．0
B．
1
2
C．1
D．2
2.若对任意
0,
x
，不等式
2
2
ln
ln
0
x
e
a
a
a
x
恒成立，则实数a 的最大值为（
）
A．
e
B．e
C．2e
D．
2e
3.已知2
1
a
，且
0
x
时，
5
8
5
48
4 2
x
e
x
a
恒成立，则a 的最小值是（
）
A．1
B．ln 2
2
C．1 e
D．ln3
3
4.已知函数
3
2
1
1
1
3
2
x
f x
xe
ax
ax
，
0,
x
，若
f
x 有最小值，则实数a 的取值范围是
A．
,e
B．
,e
C．
3
2
2
,
3 e
D．
3
2
2
,
3 e
5.当
0
x
时，不等式
2e
2ln
1
x
x
mx
x
有解，则实数m 的范围为（
）
A．
1,
B．
1 ,
e
C．
2 ,
e
D．
2,
题型六：虚设零点型求恒成立问题
1.已知不等式
1
e
ln
2
3
x
x
x
x
m
对
0,
x
恒成立，则m 取值范围为（
）
A．
1
2
m
B．
1
2
m
C．
2
m
D．
2
m
2.若关于x 的不等式
ln
x a
e
x
a
对一切正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（
）
A．
1
, e
B．
,e
C．
,1
D．
,2
3.设实数
0
，若对任意
0,
x
，不等式
ln
0
xe
x
恒成立，则的取值范围是（
）
A．
1
0
e
B．0
1
e
C．0
e
D．
2
0
e
4.已知函数
2
ln 1
ln
f x
x
x
a
x
有唯一零点，则
a
（
）
A．0
B．
1
2
C．1
D．2
5.若对任意
0,
x
，不等式
2
2
ln
ln
0
x
e
a
a
a
x
恒成立，则实数a 的最大值为（
）
A．
e
B．e
C．2e
D．
2e
题型七：等式型求恒成立问题
1.已知函数
( )
x
f x
x e
，
2
1
( )
ln
2
g x
x
x
a
，若
1
2
,
[1,2]
x x
，使得
1
2
f x
g x
，则实数a 的取值范
围是
A．
2
2
1
1
ln 2
2,
2
e
e
B．
2
2
1
1
ln 2
2,
2
e
e
C．
2
1
1 2
,
ln 2
2
2
e e
D．
2
1
1 2
,
ln 2
2
2
e e
2.已知
1
x ，
2
x 是函数
2
2
2ln
f x
x
ax
x
的两个极值点，且
1
2
x
x
，当
5
2
a
时，不等式
1
2
f
x
mx
恒成
立，则实数m 的取值范围（
）
A．
8
ln 2,0
9
B．
8
,
ln 2
9
C．
8
ln 2,0
9
D．
8
ln 2,
9
3.设函数
1
e
e
x
f
x
x
，
ln
g x
x
ax
，其中a R ．若对任意的正实数
1
x ，2
x ，不等式
1
2
f x
g x
恒成立，则a 的最小值为（
）
A．0
B．1
C．1
e
D．e
4.已知函数
ln
( )
x
f x
x
，
2
( )
ln(
1)
2
g x
x
ax
，若
2
1
1,e
x
，
2
(0,1]
x
使得
1
2
f x
g x
成立，则实
数a 的取值范围是（
）
A．
ln 2
,
2
B．
ln 2
,
2
C．
1
,
e
D．
ln 2
,e
2
5.已知函数
( )
(
2)e
e
1
x
f x
x
，( )
ln
a
g x
x
x
x
，对任意的
1 ,3
e
m
，总存在
1 ,3
e
n
使得(
)
( )
g m
f n
成立，则a 的范围为_________．
题型八：倍缩型函数求参数
【基础知识】
如果函数
( )
f x 在定义域的某个区间
,
m n （m
n
）上的值域恰为
,
km kn （
0
k
），则称函数
( )
f x 为
,
m n
上的k 倍域函数，
,
m n 称为函数
( )
f x 的一个k 倍域区间．
把函数( )
h x 存在区间
,
m n ，使得函数( )
h x 为
,
m n 上的k 倍域函数，结合函数的单调性，转化为
( )
( )
h m
km
h n
kn
是解答的关键.
1.设函数的定义域为D，若满足条件：存在
,a b
D
，使
f x 在
,a b 上的值域为
,
2 2
a b
，则称
f x 为“倍
缩函数”.若函数
=
x
f x
e
t
为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是
A．
1
ln2
,
2
B．
1 ln2
,
2
C．1
ln2 ,
2
D．1
ln2 ,
2
2.设函数
( )
f x 的定义域为D ，若函数
( )
f x 满足条件：存在[ , ]
a b
D
，使
( )
f x 在[ , ]
a b 上的值域是
,
2 2
a b
，
则
( )
f x 称为“倍缩函数”，若函数
2
( )
log
2x
f x
t
为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是________.
3.设函数
h x 的定义域为D，若满足条件：存在
,a b
D
，使
h x 在
,a b 上的值域为
2 ,2
a
b ，则称
h x 为
“倍胀函数”.若函数
ln
f x
x
t
为“倍胀函数”，则实数t 的取值范围是________.
4.设函数
f
x 的定义域为I ，若存在
,a b
I
，使得
f
x 在区间
,a b 上的值域为
*
,
ka kb
k
N
，
则称
f
x 为“ k 倍函数”.已知函数
3
log
3x
f x
m
为“3 倍函数”，则实数m 的取值范围为（
）
A．
2 3
0, 9
B．
2 3 ,0
9
C．2 3 ,
9
D．
2 3
, 9
5.设函数
f
x 的定义域为D ，若满足条件：存在[ , ]
m n
D
，使
f
x 在[
]
m
n
，
上的值域为[
]
km
kn
，
（k R
且
0
k
），则称
f
x 为“ k 倍函数”，若函数
( )
x
f x
a
1
a
为“3 倍函数”，则实数a 的取值范围是（
）
A．
3
1,
ee
B．
3
1,e
C．
2
,
ee
e
D．
3
,e e
题型九：双变量型求不等式
1.已知函数
ex
f x
ax
有两个零点
1
2
,
x x ，且
1
2
x
x
，则下列说法不正确的是（
）
A．
e
a
B．
1
2
1
2
ln
2
x
x
x x
C．
1
2
1
x x
D．
f
x 有极小值点
2.已知函数
2 ex
f x
x
，若
1
2
f x
f x
，且
1
2
x
x
，
1
2
0
x
x
，则（
）
A．
1
1
2
x
B．
2
3
2
x
C．
1
2
1
x x
D．
1
2
2
x
x
3.已知函数
2
1
1
ln
x
f x
k
x
k
x
，
2,
k
，曲线
y
f x
上总存在两点
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，
使曲线
y
f x
在
,
M N 两点处的切线互相平行，则
1
2
x
x
的取值范围为（
）
A．4 ,
5
B．8 ,
5
C．4 ,
5
D．8 ,
5
4.若方程x﹣2lnx+a＝0 存在两个不相等的实数根x1 和x2，则（
）
A．
1
2
1
1
1
x
x
＜
B．
1
2
1
1
1
x
x
＞
C．
1
2
1
1
1
x
x
D．
1
2
1
1
1
x
x
5.已知直线
2
y
x
分别与函数
x
y
e
和
ln
y
x
的图象交于点
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，则下列结论错误的是
（
）
A．
1
2
2
x
x
B．
1
2
2
x
x
e
e
e
C．
1
2
2
1
ln
ln
0
x
x
x
x
D．
1
2
2
e
x x
题型十：双变量型转化为凸凹反转型
1.设大于1 的两个实数a，b 满足
2
2
ln
a
n
b
b
e
a
，则正整数n 的最大值为（
）．
A．7
B．9
C．11
D．12
2.已知正数,a b 满足
2e
1
2
ln
1
8
2
a
b
a
b
，则ea
b
（
）
A．9
4
B．3
2
C．1
D．3
4
3.已知实数x ，y 满足
2
ln 4
3
6
3
2
6
x y
x
y
e
x
y
，则x
y
的值为
A．2
B．1
C．0
D．1
4.已知函数
( )
(| ln
|
)
x
f x
e
x
m
x
有两个零点，则m 的取值范围为（
）
A．(
,
)
e
B．
1
(
,
)
e
C．( 1,
)
D．(0,
)
题型十一：多参代换型
1.已知函数
ln x
f
x
x
，对于正实数a，若关于t 的方程
a
f t
f
t
恰有三个不同的正实数根，则a 的取
值范围是（
）
A．
1,8
B．
2,8
e
C．
8,
D．
2,
e
2.若对任意正实数
2
2
, ,
(
)
a b a
lnb
lna b
ab
mab
恒成立，则实数m 的取值范围是_________
3.设三次函数
3
2
1
1
( )
3
2
f x
ax
bx
cx
，（a,b,c 为实数且
0
a
）的导数为
( )
f
x ，记( )
( )
g x
f
x
，若对任
意xR ，不等式
( )
( )
f
x
g x
恒成立，则
2
2
2
b
a
c
的最大值为____________
4.已知存在
1
2
(0,
)
x
x
，
，若要使等式
1
2
1
1
2
2
(
2
)(ln
ln
)
x
x
ex
x
x
成立（e=2.71828…），则实数的可
能的取值是（
）
A．1
2e
B．2
e
C．1
e
D．0
5.若正实数,a b 满足
1
a
b
，则函数
2
1
( )
(3
)
f x
ax
x
a
b
的零点的最大值为______.
题型十二：多参二次构造放缩型
1.已知关于x 的不等式
1
ln
a
x
x
b
恒成立，则
1
eb
a
的最小值为（
）
A．1
B．
1
2
C．
1
4
D．
1
8
2.已知e 为自然对数的底数，,a b 为实数，且不等式ln
(2
1)
1
0
x
e
a
x
b
对任意的
(0,
)
x
恒成立.
则当
2
1
b
a
取最大值时，a 的值为（
）
A．2e
B．2
1
e
C．3e
D．3
1
e
3.设k ，bR ，若关于x 的不等式
ln
1
x
x
kx
b
在
1,上恒成立，则
1
1
b
k
的最小值是（
）
A．
2e
B．
1
1
e
C．
2
1
e
D．
1
e
4.已知函数
2
3
1
2
xe
x
f
x
x
，若x
R
时，恒有
2
'
3
f
x
x
ax
b
，则ab
b
的最大值为
A．
e
B．
2
e
C．2
e
D．e
5.已知
0
a
，
0
b
，关于x 的不等式
ln
1
a
b
x
x
a
无实数解，则b
a
的最小值为（
）
A．
1
4
B．1
4
C．
1
2
D．
1
2
题型十三：多参韦达定理求参型
1.若函数
2
( )
ln
(
0)
b
c
f x
a
x
a
x
x
既有极大值也有极小值，则错误的是（
）
A．
0
bc
B．
0
ab
C．
2
8
0
b
ac
D．
0
ac
2.若函数
2
3
1
ln
0
2
x
f x
a
x
a
x
x
既有极大值也有极小值，则a（
）
A．
9
0, 4
B．(0,3)
C．
9
0,
9,
4
D．(
)
(
)
0 3
9
,
,
3.若函数
2
1
( )
ln
2
f x
x
x
ax
=
+
+
有两个极值点
1
2
,
x x ，且
1
2
5
f
x
f
x
，则（
）
A．
4 2
a
B．
2 2
a
C．
2 2
a
D．
4 2
a
4.已知
2
1
ln
f
x
x
a
x
在1 ,
4
上恰有两个极值点
1
x ，
2
x ，且
1
2
x
x
，则
1
2
f x
x
的取值范围为（
）
A．
1
3,
ln 2
2
B．1
ln 2,1
2
C．
1
,
ln2
2
D．1
3
ln 2,
ln 2
2
4
5.已知函数
2
1
ln
2
f x
x
ax
a
x
的两个极值点分别是
1
2
,
x x ，则下列结论正确的是（
）
A．a<0 或
4
a
B．
2
2
1
2
16
x
x
C．存在实数a，使得
1
2
0
f x
f x
D．
2
2
1
2
1
2
1
6
4
f
x
f
x
x
x
题型十四：多参单峰函数绝对值型
1.若存在实数a
b
、，对任意实数
0 4
x
，，使不等式
x
m
ax
b
x
m
恒成立，则实数m 的取值范围
为________.
2.设函数
3
2
6
f
x
x
x
ax
b
，若对任意的实数a 和b ，总存在
0
0,3
x
，使得
0
f x
m
，则实数m 的
最大值为__________．
3.设函数
1
( )
f x
ax
b
x
，若对任意的实数,a b ，总存在
0
1 ,2
2
x
使得
0
f x
m
成立，则实数m 的取值
范围是________．
4.若
0
a
，
2
ln
1
f x
x
a
x
，
2
2ln 2
g x
x x
a
，对任意
1
1
x
，
，总存在唯一的
．．．
2
2
x
，
，
使得
1
2
f x
g x
成立，则实数a 的取值范围____________．
5.设函数
3
( )
|
| 3
f x
x
x
a
.若
( )
f x 在[ 1,1]
上的最大值为2，则实数a 所有可能的取值组成的集合是
________.
题型十五：导数与三角函数
1.函数
sin 2
4cos
f x
x
x
的最大值为（
）
A．
9
6 3
B．3 2
C．10
6 2
D．
6
3
2.已知函数
( )
sin
2 sin(
)
4
f x
x
x
x
，若对于任意的
1
2
1
2
,
[0,
),(
)
2
x x
x
x
，均有
1
2
1
2
|
( )
(
)|
|
|
x
x
f x
f x
a e
e
成立，
则实数a 的最小值为
A．2
3
B．1
C．3
2
D．3
3.函数
π
π
5sin
( 15
10)
5
5
y
x
x
的图象与函数
2
5(
1)
2
2
x
y
x
x
图象的所有交点的横坐标之和为
___________.
4.已知0
π
x
y
，且e sin
e sin
y
x
x
y
，其中e 为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（
）
A．
co
co
s
0
s x
y
B．cos
cos
0
x
y
C．cos
sin
x
y
D．sin
sin
x
y
5.已知函数
3
1
( )
sin
2cos (
)
3
f x
ax
x
x
x a
R ，若f(x)在R 上单调，则a 的取值范围是（
）
A．
1
1
,
,
2
2
B．
2
2
,
,
C．(
, 1]
[1,
)
D．
,
,
2
2
模块三：综合巩固
1.已知函数
( )
1
x
f x
e
ax
在区间( 1,1)
内存在极值点，且
( )
0
f x
恰好有唯一整数解，则
的取值范围
是（
）
A．
2
2
1,e
2
e
e
B．
2
2
2
1
1
,1
1,
2
2
e
e
e
e
C．
1,
e
e
D．
2
2
1
1
,
1,
2
e
e
e
e
e
e
2.已知函数
( )
ln(
1)
f x
x
x
，( )
ln
g x
x
x
，若
1
( )
1 2ln
f x
t
，
2
2
(
)
g x
t
，则
1
2
2
(
)ln
x x
x
t
的最小值为
___________.
3.已知实数
1
x ，
2
x 满足
1
1
4
ex
x
，
2
2
2
2
ln x
x
，则
2
1
2
x x （
）
A．1
B．2
C．4
D．8
4.设
0
k
，若存在正实数x ，使得不等式
1
27
log
3
0
kx
x
k
成立，则k 的最大值为（
）
A．
1
ln3
e
B．ln3
e
C．ln3
e
D．ln3
2
5.若
0,1
x
，
ln
mx
x
x
m
恒成立，则实数m 的取值范围为（
）
A．
1,
B．1 ,
2
C．
2,
D．
,1
6.当
0
x
时，不等式
2e
2ln
1
x
x
mx
x
有解，则实数m 的范围为（
）
A．
1,
B．
1 ,
e
C．
2 ,
e
D．
2,
7.设函数的定义域为D，若满足条件：存在
,a b
D
，使
f x 在
,a b 上的值域为
,
2 2
a b
，则称
f x 为“倍
缩函数”.若函数
=
x
f x
e
t
为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是
A．
1
ln2
,
2
B．
1 ln2
,
2
C．1
ln2 ,
2
D．1
ln2 ,
2
8.已知
2
1
x
f
x
xe
e
e
，
2
1
ln
1
g x
x
a
x
，若存在
1x
R
，
2
1,
x ，使得
1
2
f x
g x
成
立，则实数a 的取值范围是______.
9.若
1
2
ln
xe
x
，令
2
1
t
x
x
，则t 的最小值属于（
）
A．
3
1, 2
B．3 ,2
2
C．
5
2, 2
D．5 ,3
2
10.已知函数
ln ,
1
1
,
1
2
x x
f x
x x
，若
1
F x
f
f
x
m
有两个零点
1
2
,
x x ，则
1
2
x
x
的取值范围是（
）
A．
4
2ln 2,
B．
1
,e
C．
4
2ln 2,1
e
D．
,1
e
11.若存在两个正实数x，y 使等式
2
2
ln
ln
0
x
m y
ex
y
x
成立，（其中
2.71828...
e
）则实数m 的取
值范围是________.
12.已知
f
x
mx
n
，
ln
g x
x
，对于
0,
x
，
f x
g x
恒成立，则
2
m
n
的最小值为（
）
A．
ln 2
B．－1
C．
ln 4
D．－2
13.已知
1
x ，
2
x 是函数
2
2
2ln
f x
x
ax
x
的两个极值点，且
1
2
x
x
，当
5
2
a
时，不等式
1
2
f
x
mx
恒
成立，则实数m 的取值范围（
）
A．
9
ln 2,0
8
B．
9
,
ln 2
8
C．
9
ln 2,0
8
D．
9
ln 2,
8
14.设函数
f x
x
ax
b
，a ，b
R
，若对任意的实数a ，b ，总存在实数
0
0,4
x
，使得不等式
0
f x
m
成立，则m 的最大值是_______．
15.已知函数
2
sin ,
0
1
,
0
xe
a
x
x
f x
x
a
x
a
x
．若关于x 的不等式
0
f x 的解集为
1,
，则实数a 的
取值范围为___________．
5.12 导数压轴大题：证明不等式
模块一：基础知识
考点一：导数证明不等式常见策略
1.利用导数证明不等式问题，基本思维方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式
f x
g x
（或
f x
g x
）转化为证明
0
f x
g x
（或
0
f x
g x
），进而构造辅助函数
h x
f x
g x
；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
2.利用导数证明不等式的基本步骤
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数
h x ；
(3)利用导数研究
h x 的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值
问题．
3.一些试题，可以通过对第一问分类讨论，得出一些不等式放缩式子或者放缩方向
（1）可以利用第一问单调性提炼出不等式
（2）可以利用第一问极值或者最值提炼出常数不等式
（3）可以利用题干和第一问结论构造新函数（新不等式）
4.虚设零点法：【前面章节有讲到，这里不细讲】
涉及到导函数有零点但是求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形时，可以将这个零点只设出来而不必求出
来，然后寻找一种整体的转换和过度，再结合其他条件，进行代换变形，从而最重获得问题的解决
5.凸凹反转型【前面章节有讲到，这里不细讲】
首先是证明不等式的一种技巧，欲证明
0
)
(
x
f
，若可将不等式左端
)
(x
f
拆成
)
(
)
(
x
h
x
g
，且
)
(
)
(
max
min
x
h
x
g
的话，就可证明原不等式成立. 通常情况，我们一般选取
)
(x
g
为上凸型函数，
)
(x
h
为
下凹型函数来完成证明.
考点二：极值点偏移证不等式
【前面章节有讲到，这里不细讲】
极值点偏移多有零点这个条件。零点型，注意数形结合思想的应用：
1. 零点是否是特殊值，或者在某个确定的区间之内。
2. 零点是否可以通过构造零点方程，进行迭代或者转化。
3. 将方程根的判定转化为函数的单调性问题处理
4.处理极值点偏移问题中的类似于
1
2
1
2
x x
a f x
f x
的问题的基本步骤如下：
①求导确定
f
x 的单调性，得到
1
2
,
x x 的范围；
②构造函数
a
F x
f x
f
x
，求导可得
F x 恒正或恒负；
③得到
1
f x
与
1
a
f
x
的大小关系后，将
1
f x
置换为
2
f x
；
④根据
2
x 与
1
a
x 的范围，结合
f
x 的单调性，可得
2
x 与
1
a
x 的大小关系，由此证得结论.
考点三：导数证明三角函数型不等式
1.正余弦的有界性
2.三角函数与函数的重要放缩公式：
sin
0
x
x x
.
考点四：韦达定理证明不等式
1.题干条件大多数是与函数额极值x1，x2 有关。
2.利用韦达定理代换：可以消去参数
考点五：切线放缩法证明不等式
常用的切线放缩有：
（1）
1
xe
x
；（2）
xe
ex
；（3）
1
1
ln
1
x
x
x
；（4）ln
x
x
e
.
考点六：数列不等式证明策略
1.单变量构造
数列型不等式证明
（1）对于n
N
型数列不等式证明，可以转化为定义域为x≥1,在实数范围内证明不等式。
（2）一些特殊形式的数列不等式，可以通过选择合适的换元，构造新函数，注意因为n 的正整数属性，
注意对应换元的取值范围
数列型不等式的证明，一般需要联系前面第一问的结论，对要证明的不等式进行适当的拆分凑配来证明
2.裂项求和型
证明不等式
1
2
f
f
f n
g n
，该不等式左边是求和式，右边只有单独的一项，但可以通过变
形将右边也转化为求和式，即
1
1
2
2
3
2
1
1
0
g n
g n
g n
g n
g n
g n
g n
g
g
g
g
这样一来，设
1
nb
g n
g n
*
nN
，
则只需证
1
2
1
2
n
f
f
f n
b
b
b
，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关
系，即如果能够证出
n
f n
b
恒成立，则原不等式也就成立.
3.累乘证明数列不等式
证明不等式
1
2
f
f
f n
g n
为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项，但可以
通过变形将右边也转化为求和式，如转化为累积相消型
1
2
1
1
2
1
g n
g n
g
g n
g
g n
g n
g
这样一来，设
1
n
g n
b
g n
*
nN
，
则只需证
1
2
1
2
n
f
f
f n
b
b
b
，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，
即如果能够证出
n
f n
b
恒成立，则原不等式也就成立.
4.两边同时取对数型
证明不等式
1
2
t
f
f
f n
为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项常数，但可以
通过取对数，把左边的积转化为对数和型，如转化为累加或者累积相消型
ln
1
2
ln t
ln
1
ln
2
ln
3
ln
2
ln t
f
f
f n
f
f
f
f
（
）
（
）+ （
）+ （
）+ （
）
模块二：题型分类
题型一：不等式证明常规方法
1.已知函数
2
( )
2ln
f x
x
x
.
(Ⅰ)求函数
( )
f x 的单调区间；
(Ⅱ)求证：当
2
x
时，
( )
3
4
f x
x
.
2.设函数
( )
ln
1
f x
x
x
．
(1)讨论
( )
f x 的单调性；
(2)证明：当
(1,
)
x
时，
1
1
ln
x
x
．
3.已知函数
ex
f x
ax
b
，曲线
y
f x
在点
0,
0
f
处的切线方程为y
a
b
．
(1)求a，b 的值；
(2)证明：
0
f x
．
4.已知函数f（x）＝ax3﹣3lnx.
(1)若a＝1，证明：f（x）≥1；
(2)讨论f（x）的单调性.
题型二：单变量构造
1.已知函数
( )
e
1
x
f x
a
bx
在
0
x
处有极值2．
（Ⅰ）求a ，b 的值；
（Ⅱ）证明：
( )
e
f x
x
x
．
2.已知函数
2
1
( )
1
ln
2
f x
x
x
.
(1)求
f
x 的最小值；
(2)证明：
4
7
ln 3
32
.
3.设函数
2
2
2
ln
x
f
x
x
x e
aex
e
x
，其中e 为自然对数的底数，曲线
y
f x
在
2
2
f,
处切线的倾
斜角的正切值为
2
3
2
2 e
e
．
（1）求a 的值；
（2）证明：
0
f x
．
4.已知函数
( )
ln
f x
x
x
.
(1)讨论
( )
y
f x
的单调性并求极值；
(2)证明：当
1
x 时，
2
ln (
1)
ln
ln(
2)
x
x
x
.
题型三：双变量构造
1.已知函数
R
ln
1
1
x
a
f
x
x
a
x
．
(1)求函数
f
x 的单调区间；
(2)已知m，n 是正整数，且1
m
n
，证明
1
1
n
m
m
n
．
2.已知函数
ln
( )
(
0)
x
f x
m
mx
.
(1)试讨论函数
( )
f x 的单调性；
(2)对
,
e,
a b
，且a
b
，证明：
b
a
a
b
.
3.已知函数
1 ln
1
x
g x
x
．
（1）求
g x 的单调区间；
（2）当1
1
e
m
n
时，试证明
1
ln
1
ln
n
n
m
m
．
4.已知函数
2
1
ln
1
x
f x
x
x
．
（1）求证：函数
f
x 在
0,
上单调递增；
（2）设
0
m
n
，求证：ln
ln
2
m
n
m
n
m
n
．
题型四：虚设零点证不等式
1.已知函数
ln
f x
ax
x x
,
R
a
.
(1)判断
f
x 的单调性;
(2)若
1, 0
1
a
x
, 求证:
e
1
e
x
f
x
,其中e 是自然对数的底数.
2.已知函数
2
( )
(
2)
ln (
)
f x
x
a
x
a
x a
R
．
(1)求函数
( )
y
f x
的单调区间；
(2)当
1
a 时，证明：对任意的
0
x
，
2
( )
2
x
f x
x
x
e
．
3.已知函数
2
( )
(
2)
ln (
)
f x
x
a
x
a
x a
R
．
(1)求函数
( )
y
f x
的单调区间；
(2)当
1
a 时，证明：对任意的
0
x
，
2
( )
2
x
f x
x
x
e
．
4.设函数
2
( )
e
ln
x
f x
a
x
．
(1)求
e
a 时，
( )
f x 的单调区间；
(2)求证：当
0
a
时，
2
( )
2
ln
f x
a
a
a
．
题型五：同构型不等式证明
1.已知
1
2
ex
f x
x
，
ln
a
x
x
g x
x
，
R
a
．
(1)当
1,
x
时，求函数
g x 的极值；
(2)当
0
a
时，求证：
f x
g x
．
2.已知
1
2
ex
f x
x
，
ln
a
x
x
g x
x
，
R
a
．
(1)当
1,
x
时，求函数
g x 的极值；
(2)当
0
a
时，求证：
f x
g x
．
3.已知函数
3
e
( )
1
x
f x
x
，e
2.71828
为自然对数的底数.
(1)试判断函数
( )
f x 的零点个数并说明理由；
(2)证明：
( )
f x
3ln
x
x
.
题型六：凸凹转化证明不等式
1.已知函数
( )
(
)
x
f x
e
x
m m
R
．
（1）当
0
x
时，
( )
0
f x
恒成立，求m 的取值范围；
（2）当
1
m 时，证明：
2
1
(
) ( )
1
x
x
lnx f x
e
e
．
2.已知函数
ln ,
R
m
f
x
x m
x
.
(1)讨论
f
x 的单调性；
(2)证明：当
0
m
时，
2
1
mf x
m
.
3.已知
( )
ln
f x
x
ax
，a R ．
（Ⅰ）讨论
( )
f x 的单调性；
（Ⅱ）若
1
a ，证明：
( )
1
f x ．
4.已知
( )
f x
xlnx
，
2
( )
3
g x
x
ax
（1）对
(0,
)
x
，不等式2 ( )
( )
f x
g x
恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）证明：对一切
(0,
)
x
，都有
1
2
x
lnx
e
ex
．
题型七：三角函数型不等式证明
1.已知函数
( )
sin
cos
f x
x
ax
x
，a R
(1)若
( )
f x 在
0
x
处的切线为y
x
，求实数a 的值；
(2)当
1
3
a
，
[0,
)
x
时，求证：
2
.
f x
ax
2.已知函数
e
1
x
f x
x
.
(1)证明：
0
f x ；
(2)当
1
m £ 时，证明不等式e
cos
2
0
x
mx
x
，在
0,
x
上恒成立.
3.已知函数
3
1
f x
x
ax
．
(1)当
1
a 时，过点
1,0 作曲线
y
f x
的切线l，求l 的方程；
(2)当
0
a
时，对于任意
0
x
，证明：
cos
f
x
x
．
题型八：切线放缩型证明
1.已知函数f(x)＝4ex－1＋ax2，曲线y＝f(x)在x＝1 处的切线方程为y＝bx＋1.
(1)求实数a，b 的值；
(2)x>0 且x≠1 时，证明：曲线y＝f(x)的图象恒在切线y＝bx＋1 的上方；
(3)证明不等式：4xex－1－x3－3x－2ln x≥0.
2.已知x1ln x1＝x2ln x2＝a，且x1<x2，求证：
x2－x1<2a＋1＋e
－2.
求证：|a－b|<
n n1－n
ln n t＋n n.
3.已知函数
1
2
( )
4
x
f x
e
ax ，曲线
( )
y
f x
在
1
x 处的切线方程为
1
y
bx
.
（1）求实数a
b
、的值；
（2）
0
x
且
1
x 时，证明：曲线
( )
y
f x
的图象恒在切线
1
y
bx
的上方；
（3）证明：不等式：
1
3
4
3
2ln
0
x
xe
x
x
x
.
4.已知函数
ln
x
f x
e
x
m
①
（1）设
0
x
是
f x 的极值点，求m 并讨论
f x 的单调性；
（2）当
2
m
时，证明：
0
f x
题型九：韦达定理代换型
1.已知函数
2
ln
f x
x
x
ax a
R
.
（1）求函数
f
x 的单调区间；
（2）设
f
x 存在两个极值点
1
2
,
x x ，且
1
2
x
x
，若
1
1
0
2
x
，求证：
1
2
3
ln 2
4
f x
f x
.
2.已知函数f（x）＝ln x＋ax2－x.
（1）若a＝－1，求函数f（x）的极值；
（2）设f′（x）为f（x）的导函数，若x1，x2 是函数f′（x）的两个不相等的零点，求证：f（x1）＋f（x2）
<x1＋x2－5
3.已知函数
1
n
)
l
(
f
x
x
a
x a
x
R ，
（1）求曲线
y
f x
在点
1
( ,
)
e
e
处的切线与坐标轴围成三角形的面积．
（2）
f
x
是
f
x 的导函数，若函数
2
2ln
g x
x
f
x
ax
x
有两个极值点
1
2
,
x x ，且
1
2
0
x
x
e
，
求证：
2
1
2
2
1
4
g x
g x
e
e
．
4.已知函数
2
1
ln
2
f x
x
x
mx
，（m
R
）．
（1）若
f
x 存在两个极值点，求实数m 的取值范围；
（2）若
1x ，
2x 为
f
x 的两个极值点，证明：
2
1
2
1
2
2
2
2
8
f x
f x
m
x
x
f
．
题型十：极值点偏移加法型(��+ ��)
1.已知函数
2
2
e
e
x
f x
ax
x 有两个极值点
1
3
a，
2
1
2
x
x
x
．
(1)求实数a 的取值范围；
(2)证明：
1
2
2ln 2
x
x
a
．
2.已知函数
ln
1,
f
x
x
a x
a
R .
(1)若
0
f x
，求a 的取值范围；
(2)若关于x 的方程
2
2
e
e
ax
f
x
x
有两个不同的正实根
1
2
,
x x ，证明：
1
2
2 e
x
x
.
3.已知函数
( )
ex
m
f x
x
．
(1)讨论
( )
f x 的单调性；
(2)若
1
2
x
x
，且
1
2
2
f x
f x
，证明：0
e
m
，且
1
2
2
x
x
．
4.已知函数
2
ln
,
R
a
f
x
x
a
x
．若函数
f
x 有两个不相等的零点
1
2
,
x x ．
(1)求a 的取值范围；
(2)证明：
1
2
4
x
x
a
．
题型十一：极值点偏移乘积型(����)
1.已知函数
2
1
( )
(2
1)
2ln (
R)
2
f x
ax
a
x
x a
.
(1)若
( )
f x 有唯一极值，求a 的取值范围；
(2)当
0
a
时，若
1
2
( )
(
)
f x
f x
，
1
2
x
x
，求证：
1
2
4
x x
.
2.已知函数
ex
f x
x
，
ln
g x
x
x
.
(1)求函数
g x 的极值；
(2)若
h x
f x
g x
，求函数
h x 的最小值；
(3)若
h x
a
有两个零点
1
x ，
2
x ，证明：
1
2
1
x x .
3.已知函数
2
ln
,
R
f x
x x
ax
x a
．
(1)若函数
f
x 是减函数，求a 的取值范围；
(2)若
f
x 有两个零点
1
2
,
x x ，且
2
1
2
x
x
，证明：
1
2
2
8
e
x x
．
4.已知函数
2
1
ln
1
2
f x
x
ax
a
x a
R .
(1)当
1
a 时，求函数
y
f x
的零点个数.
(2)若关于x 的方程
2
1
2
f x
ax
有两个不同实根
1
2
,
x x ，求实数a 的取值范围并证明
2
1
2
x
x
e
.
题型十二：极值点偏移平方型(��
�+ ��
�)
1.已知函数
ln
1
x
f x
ax
.
(1)讨论
f
x 的单调性；
(2)若
2
1
1
2
e
e
x
x
x
x
（e 是自然对数的底数），且
1 > 0
x
，
2
0
x
，
1
2
x
x
，证明：
2
2
1
2
2
x
x
.
2.已知函数
2
ln
f x
x
ax
.
(1)讨论函数
f
x 的单调性：
(2)若
1
2
,
x x 是方程
0
f
x
的两不等实根，求证：
2
2
1
2
2e
x
x
；
3.已知函数
ln x
f x
ax
x
.
(1)若
1
f
x ，求实数a 的取值范围；
(2)若
f
x 有2 个不同的零点
1
2
,
x x （
1
2
x
x
），求证：
2
2
1
2
12
2
3
5
x
x
a
.
4.已知函数
1 lnx
f x
ax
，
0
a
．
(1)若
1
f x ≤，求a 的取值范围；
(2)证明：若存在
1
x ，
2
x ，使得
1
2
f x
f x
，则
2
2
1
2
2
x
x
．
题型十三：数列型单变量构造
1.已知函数
1
1
(
0)
x
f
x
x
x
．
(1)证明：
e
f x
；
(2)讨论
f
x 的单调性，并证明：当
*
nN 时，
2
1 ln
1
ln
1 ln
2
n
n
n
n
n
n
．
2.设函数
2
( )
ln(
)
f x
x
b
x
a
,其中
0
b
．
(1)当
1
b 时，
( )
f x 在
2
x 时取得极值，求a ；
(2)当
1
a 时，若
( )
f x 在( 1,
)
上单调递增，求b 的取值范围；
(3)证明对任意的正整数n ,不等式
2
3
1
1
1
ln(
1)
n
n
n
都成立．
3.设函数
1
ln
1
f x
ax
x
bx
，其中a 和b 是实数，曲线
y
f x
恒与x 轴相切于坐标原点．
1 求常数b 的值；
2 当0
1
x
时，关于x 的不等式
0
f x
恒成立，求实数a 的取值范围；
3 求证：
10000.4
1000.5
10001
1001
10000
1000
e
．
4.（1）已知函数
ln
f x
x x
，判断函数
1
1
g x
f
x
f
x
的单调性并证明；
（2）设n 为大于1 的整数，证明：
1
1
1
1
2
1
1
n
n
n
n
n
.
题型十四：无限和裂项型数列不等式
1.已知函数
ln 1
f
x
x
mx
．
(1)求函数
f
x 的极值；
(2)求证：
*
1
1
1
ln 2
N
1
2
1
n
n
n
n
n
．
2.已知函数
2
( )
2 ln
f x
a
x
x
a
，
R
a
．
(1)讨论函数
f
x 的单调性；
(2)证明:
*
1
1
1
1
2ln
1
(
2
3
4
1
)
n
n
n
N
．
3.已知函数
ln
,(
R)
f
x
ax
x
x a
）.
(1)讨论
f
x 的单调性；
(2)若
1
x 时，
1
f x ，求实数a 的取值范围；
(3)对任意
*
N
n
，证明：
1
2
3
ln
1
2
3
4
1
n
n
n
n
.
4.已知函数
ln
,
x
f x
kx g x
x
.
(1)若不等式
f x
g x
在区间
0,
内恒成立，求实数k 的取值范围；
(2)求证：
4
4
4
ln 2
ln3
ln
1
...
2
3
2e
n
n
（
2,
N ,e
n
n
为自然对数的底数）
题型十五：累乘型数列不等式
1.已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋
x2
'( )
m
f
x
n
(
( )
f
x
是f(x)的导函数)在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围；
(3)求证：ln 2
ln 3
ln 4
2
3
4
×…× ln n
n < 1
n (n≥2，n∈N*)
2.已知函数
ln
1
f x
a
x
x
．
(1)若
0
f x
，求a 的值；
(2)证明：当n
N 且
2
n
时，
2
2
2
2
ln 2
ln3
ln 4
ln
1
2
3
4
n
n
n
．
3.已知函数
( )
(
1)ln
f x
x
x
，
2
g x
ax
a
R
(1)若
( )
( )
f x
g x
对任意的
[1,
)
x
恒成立，求实数a 的取值范围；
(2)求证：
2
ln 2 ln3 ln 4...ln
(
1)
n
n
n n
2,
n
n
N
.
4.设整数
1
p ，
*
N
n
，
1
x 且
0
x
，函数
1
1
p
f
x
x
px
．
(1)求证：
0
f x
；
(2)求证：
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
3
5
2
1
n
n
．
题型十六：取对数型数列不等式
1.已知函数
ln 1
f x
x
．
(1)求证：当
0,
x
时，
1
x
f x
x
x
；
(2)已知e 为自然对数的底数，求证：
*
N
n
，
2
2
2
1
2
e
1
1
1
e
n
n
n
n
．
2.已知函数
( )
sin
cos (
0)
f x
x
x
x x
．
(1)求函数
( )
f x 的图象在π ,1
2
处的切线方程；
(2)若任意
,
(
)
0
x
，不等式
3
( )
f x
ax
恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)设
2
3
( )
( )
g x
f x
x
，证明：
2
1
1
1
1
1
1
e
3
3
3n
g
g
g
．
3.已知函数
ln
f x
ax
a
x
．
(1)求曲线
y
f x
在点
1,
1
f
处的切线方程；
(2)证明：当
1
a 时，
0
f x ；
(3)设m 为整数，若对于
2
1
*
2
3
1
2
2
2
, 1
1
1
1
3
3
3
3
n
n
n
m
N
成立，求m 的最小值．
4.已知关于x 的函数
ln
1
ln2 .
f
x
ax
x
（1）讨论
f
x 的单调性；
（2）证明：当
*
nN 时，
2
ln 1 2 3
ln2.
n
n
n
模块三：综合巩固
1.已知函数
( )
sin
f x
x
x
，
,
(
)
0
x
．
(1)求曲线
( )
y
f x
在点(
,
( ))
2
2
f
处的切线方程；
(2)证明：2e
( )
cos
e
1
x
x
f x
x
．
2.已知函数
e
,
R
x
a
f x
a
x
.
(1)若
f
x 在定义域内无极值点，求实数a 的取值范围；
(2)求证：当
1,
0
a
x
0
时，
1
f x 恒成立.
3.已知函数
1
ln
1
a x
f x
x
x
.
（1）若函数
f
x 在
0,
上为单调增函数，求a 的取值范围；
（2）设
,
R
m n
，且m
n
，求证ln
ln
2
m
n
m
n
m
n
.
4.已知函数
ln
4,
f
x
x
a x
a
R .
(1)讨论函数
f
x 的单调性；
(2)当
1
a 时，令
2 ex
F x
x
f
x
，若
0
x
x
为
F x 的极大值点，证明：
0
0
1
F x
.
5.设
3
( )
e x
f x
a
x
，
2
( )
3
ln
h x
x
x
x
，
(1)试讨论
( )
f x 的单调性；
(2)当
1
a 时，证明
( )
( )
f x
h x
恒成立.
6.已知函数f（x）＝ax2﹣xlnx．
（I）若f（x）在区间（0，+∞）内单调递增，求a 的取值范围；
（Ⅱ）若a＝e（e 为自然对数的底数），证明：当x＞0 时，f（x）＜xex+
．
7.设函数
( )
e cos
x
f x
x
，
2
cos
( )
e x
a
x
g x
，
π
0, 3
x
.
(1)求
f
x 的最小值，并证明：
π
12
e
2
；
(2)若不等式：
3
( )
2
e x
g x
成立，求实数a 的取值范围.
8.已知函数
1
( )
ln
x
f x
x
ax
；
(1)若函数
( )
f x 在[1,
)
上为增函数，求正实数a 的取值范围；
(2)当
1
a 时，求函数
( )
f x 在1
[ ,2]
2
上的最值；
(3)当
1
a 时，对大于1 的任意正整数n ，试比较ln
1
n
n 与1
n 的大小关系．
9.已知函数
e
e
x
x
f
x
a
，a R ．
(1)若函数
f
x 在R 上单调递减，求a 的取值范围；
(2)已知
1
a ，
1
2
m
，
1
x ，
ln
ln
g x
x
mf
x
，求证：
0
g x
；
(3)证明：
*
1
1
1
ln 5
1
5
n
n
n
n
N
．
10.已知函数
ln
f
x
x
x
，
2
2
a x
x
g x
.
(1)若
f x
g x
在
1,上恒成立，求实数a 的取值范围；
(2)求证：
2
2
2
1
2
1
1
1
e
1
1
1
n
n
n
n
.
11.已知函数
2
1
e
2
x
f
x
ax
x
(1)若
f
x 单调递增，求a 的值；
(2)判断
2
1
1
1 1 1
1
4
n
（
*
nN 且
2
n
）与
2e 的大小，并说明理由.
12.设函数
( )
2
cos ,
x
f x
e
a
x a
R ．
（1）若
( )
f x 在0, 2
上存在零点，求实数a 的取值范围；
（2）证明：当
1,2 ,
0, 2
a
x
时，
( ) 2
3
f x
x
．
13.已知函数
2
( )
(
1)
ln
f x
x
a
x
ax
.
(1)讨论
( )
f x 的单调性；
(2)证明：当a<0 时，
2
3
( )
2
1
4
a
f x
a
.
14.已知函数
2
( )
sin
f x
x
x
.
(1)求曲线
( )
y
f x
在点(0,
(0))
f
处的切线方程，
(2)证明：
5
( )
16
f x
.
5.13 导数压轴大题：求参数
模块一：基础知识
考点一：恒成立求参解决策略
1.常规方法
（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的
关系，求解出参数范围；
（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范
围最后取并集.
2. 双变量型求参数
一般地，已知函数
,
,
y
f x
x
a b
，
,
,
y
g x
x
c d
(1)若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，总有
1
2
f x
g x
成立，故
max
min
f x
g x
；
(2)若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
f x
g x
成立，故
max
max
f
x
g x
；
(3)若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
f x
g x
成立，故
min
min
f x
g x
；
(4) 若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
f x
g x
成立，故
min
max
f
x
g x
．
3. 三角函数与导数应用求参
（1）利用正余弦函数的有界性
（2）三角函数与函数的重要放缩公式：x≥sinx(x≥0).
4.整数解型
①若
( )
k
f x
在[ , ]
a b 上恒成立，则
max
( )
k
f x
；
②若
( )
k
f x
在[ , ]
a b 上恒成立，则
min
( )
k
f x
；
③若
( )
k
f x
在[ , ]
a b 上有解，则
min
( )
k
f x
；
④若
( )
k
f x
在[ , ]
a b 上有解，则
max
( )
k
f x
；
考点二：存在性问题求参数解决策略
1.形如
f x
g x
的有解的求解策略：
（1）构造函数法：令
F x
f
x
g x
，利用导数求得函数
F x 的单调性与最小值，只需
max
0
F x
恒
成立即可；
（2）参数分离法：转化为
a
x
或
a
x
恒成立，即
min
a
x
或
max
a
x
恒成立，只需利用导数
求得函数
x
的单调性与最值即可.
2. 双变量型求参数
一般地，已知函数
,
,
y
f x
x
a b
，
,
,
y
g x
x
c d
（1）相等关系
记
,
,
y
f x
x
a b
的值域为A,
,
,
y
g x
x
c d
的值域为B,
①若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
=
f
x
g x
成立，则有A
B
；
②若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
=
f
x
g x
成立，则有A
B
；
③若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
=
f
x
g x
成立，故A
B
；
（2）不等关系
①若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，总有
1
2
f x
g x
成立，故
max
min
f x
g x
；
②若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
f x
g x
成立，故
max
max
f
x
g x
；
③若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
f x
g x
成立，故
min
min
f
x
g x
；
④若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
f x
g x
成立，故
min
max
f
x
g x
．
考点三：零点型求参数解决策略
1.常规方法
（1）分类讨论思想与转化化归思想
（2）数形结合与单调性的综合应用：一个零点，则多为所求范围内的单调函数，或者“类二次函数”切
线处（极值点处）
（3）注意“找点”难度，对于普通学生，可以用极限思维代替“找点思维”。
2. 双零点型
利用导数解决
f
x 有两个零点，求实数m 的取值范围问题，综合性强，难点在于要分类讨论参数的范围，
进而判断函数的单调性，确定极值的正负问题，关键在于要多次构造函数，利用导数判断函数单调性
3.多零点型（＞2 个）
（1）三个零点型，注意是否有容易观察出来的零点，这样可以转化为两个零点型以降低难度。
（2）三个零点型，可通过讨论，研究函数是否是“类一元三次函数”型。
（3）如果函数有“断点”，注意分段讨论研究。
考点四：同构法求参数
1.双变量同构型，较多的是含有绝对值型。
（1）含绝对值型，大多数都是有单调性的，所以可以通过讨论去掉绝对值。
（2）去掉绝对值，可以通过“同构”重新构造函数。
2.不含绝对值型，可以直接调整构造函数求解
考点五：虚设零点转化技巧
1.整体代换：把超越式子（多为指数和对数式子）转化为普通的（如二次函数一次哈数等）可解式子，如
比值代换等等。
2.反代消参：反解参数代入，构造单一变量的函数。如果要求解（或者要证明）的结论与参数无关，则
可以通过反解参数，用变量（零点）表示参数，然后把函数变成关于零点的单一函数，再对单一变量求
导就可以解决相应的问题。
3.留参降次（留参、消去指对等超越项）：如果要求解的与参数有关，则可以通过消去超越项，建立含参
数的方程或者不等式。恒等变形或者化简方向时保留参数，通过“降次”变换，一直降到不可再降为止，
再结合条件，求解方程或者不等式，解的相应的参数值或者参数范围。
模块二：题型分类
题型一：常规型恒成立问题
1.已知函数
2
ln
1
ex
x
f x
a
x
.
(1)当
0
a
时，求
f
x 的最大值；
(2)若
0
f x
在
0,
x
上恒成立，求实数a 的取值范围.
2.设
0
a
，函数
( )
ln
a
f x
x
x
．
(1)讨论
( )
f x 的单调性；
(2)若
( )
f x
x
，求a 的取值范围；
(3)若
( )
1
f
x
，求a．
3.已知函数
2
ex
x
ax
f x
．
(1)若
f
x 在
2, 1
上单调递增，求实数a 的取值范围；
(2)若
sin
f x
x
对
,0
x
恒成立，求实数a 的取值范围．
4.已知函数
2
1
2
2ln
f x
m x
x
x
，
2
m
.
(1)求证：函数
f
x 存在单调递减区间，并求出该函数单调递减区间
,a b 的长度b
a
的取值范围；
(2)当
1
x
时，
1
2 e
4
x
f x
x
x
恒成立，求实数m 的取值范围.
题型二：三角函数型恒成立问题
1.已知函数
( )
e sin
2
x
f x
x
x
.
(1)求曲线
( )
y
f x
在点(0,
(0))
f
处的切线方程；
(2)求
( )
f x 在区间
π
0, 2
上的最大值；
(3)设实数a 使得
( )
e x
f x
x
a
对xR 恒成立，求a 的最大整数值.
2.已知函数
sin x
f x
x
，
cos
g x
a
x
．
(1)求证：
π
0, 2
x
时，1
f x ；
(2)当
π
π
,0
0,
2
2
x
时，
f x
g x
恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)当
π
π
,0
0,
2
2
x
时，
2
f x
g x
恒成立，求实数a 的取值范围．
3.已知函数
e
2
R,
0
ax
f x
ax a
a
.
(1)讨论
f
x 的单调性；
(2)若不等式
sin
cos
2
2
f x
x
x
ax
对任意
0
x
恒成立，求实数a 的取值范围.
题型三：双变量型恒成立求参
1.设函数
ex
f x
ax
，其中aR .
66289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366
(1)讨论函数
( )
f x 在[1,
)
上的极值；
66289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366
(2)若函数f(x)有两零点
1
2
1
2
,
x x
x
x
，且满足
1
2
1
1
x
x
，求正实数的取值范围.
66289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366
2.已知函数
ex
f
x
a
x a
R ．
(1)当
1
a 时，求
f
x 的单调区间；
(2)设函数
2
1 ex
g x
x
x
f
x
，当
g x 有两个极值点
1
2
1
2
,
x x
x
x
时，总有
2
2
2
1
2
g
2
e
3
x
t
x
x
x
成立，求实数t 的值．
3.已知函数
e
( )
ln
x
f x
ax
a
x
x
.
(1)若
0
a
，求函数
( )
y
f x
的极值点；
(2)若不等式
( )
0
f x
恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)若函数
( )
y
f x
有三个不同的极值点
1
x 、
2
x 、
3x ，且
2
1
2
3
( )
(
)
(
)
3e
e
f x
f x
f x
，求实数a 的取值范围.
4.已知函数
2
1
2ln
(
)
2
f x
x
a
x
，其中a R .
(1)讨论函数
f
x 的单调性；
(2)若
f
x 存在两个极值点
1
2
1
2
2
1
,
,
x x
x
x
f
x
f
x
的取值范围为3
15
ln2,
2ln2
4
8
，求a 的取值范
围.
题型四：整数解型恒成立求参
1.已知函数
2
ex
f x
a
，
1
2 ln
g x
x
x
x
，e
2.71828
为自然对数底数．
(1)证明：当
1
x 时，
1
ln
2
2
x
x
x
；
(2)若不等式
f x
g x
对任意的
0,
x
恒成立，求整数a 的最小值．
2.已知
e
2
x
f
x
x
a
．
(1)若
0
f x 恒成立，求实数a 的取值范同：
(2)设
x 表示不超过x 的最大整数，已知
e
2ln
e
2
2
0
x
x
x
的解集为
x x
t
，求
et ．（参考数据：
e
2.72
，ln 2
0.69
，ln 3
1.10
）
3.已知函数
sin
sin
f
x
x
ax
，
π
0, 2
x
.
(1)若
2
a
，求函数
sin
g x
f
x
x
值域；
(2)是否存在正整数a 使得
3cos
f
x
x
x
恒成立？若存在，求出正整数a 的取值集合；若不存在，请说明理
由.
题型五：三角函数型整数恒成立求参
1.已知
1
( )
2
2
x
f x
e
x
．
（1）证明：
( )
0
f x
；
（2）对任意
1
x
，
sin
2
1 ln
0
x
e
x
ax
x
，求整数a 的最大值．
（参考数据：sin1
0.8,ln2
0.7
）
2.已知函数
sin
sin 2
f x
a
x
x
，a
R
.
（1）若
2
a
，求函数
f
x 在
0,上的单调区间；
（2）若
1
a ，不等式
cos
f x
bx
x
对任意
2
0, 3
x
恒成立，求满足条件的最大整数b.
3.已知函数
( )
e
cos
2
2
x
f x
a
x
x
，
( )
f
x
为
( )
f x 的导函数．
(1)讨论
( )
f
x
在区间(0,
)
2
内极值点的个数；
(2)若
[
2
x
，0]时，
( )
0
f x
恒成立，求整数a 的最小值．
题型六：常规型存在性问题
1.已知函数
ln
f
x
a
x
x
，a
R
.
(1)讨论函数
f
x 的单调性；
(2)若存在
2
e,e
x
，使
1 ln
2
f x
ax
x
成立，求实数a 的取值范围.
注：e为自然对数的底数.
2.已知函数
2
2
1
e
2 e
2
2
x
x
a
f
x
a
x
，
y
g x
是
y
f x
的导函数.
(1)若
3
a ，求
y
g x
的单调区间；
(2)若存在实数
0,1
x
使
3
2
2
f
x
a
成立，求a 的取值范围.
3.已知函数
2
ln e
f x
x
a
x
．
(1)讨论
f
x 的单调性；
(2)若存在
1,e
x
，使得
2
f
x
a
a
x
，求实数a 的最小值．
4.已知函数
2
1
ln
2
a
f
x
a
x
x
x a
R .
(1)若
2
a
，求函数
f
x 的单调区间；
(2)若存在
0
1
x ，使得
0
1
a
f
x
a
，求a 的取值范围.
题型七：双变量型存在性问题
1.已知函数
( )
2
e
2
x
f x
ax
，其中a≠0.
66289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366
(1)若
1
2
a
，讨论函数f(x)的单调性；
66289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366
(2)是否存在实数a，对任意
1
[0,1]
x
，总存在
2
[0,1]
x
，使得
1
2
4
f
x
f
x
成立？若存在，求出实数a
的值；若不存在，请说明理由．
66289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366
2.已知函数
1
ln
0
f
x
a
x
x
x
．
(1)讨论函数
f
x 的单调性；
(2)若存在
1
x ，
2
x 满足
1
2
0
x
x
，且
1
2
1
x
x
+
，
1
2
f x
f x
，求实数a 的取值范围．
3.已知函数
2
2
5
5ln
R
f
x
ax
a x
x a
，
2
5
2
g x
x
x
.
(1)若曲线
y
f x
在
3
x
和
5
x
处的切线互相平行，求a 的值；
(2)求
f
x 的单调区间；
(3)若对任意
1
5
0, 2
x
，均存在
2
5
0, 2
x
，使得
1
2
f x
g x
，求a 的取值范围．
4.已知函数
2
( )
ln (
R), ( )
2
2
f x
ax
x a
g x
x
x
．
(1)当
1
2
a
时，求函数
( )
f x 在区间[1,e]上的最大值和最小值;
(2)若对任意的
1
[ 1,2]
x
，均存在
2
(0,
)
x
，使得
1
2
g x
f x
，求a 的取值范围．
.
题型八：正余弦型存在性问题
1.函数
( )
cos
(
0,
0)
f x
a
x
x
b a
b
.
（1）求证：函数
( )
f x 在区间
0,a
b
内至少有一个零点；
（2）若函数
( )
f x 在
π
6
x
处取极值，且
π
0, 2
x
，使得
( )
3cos
sin
f x
x
x
成立，求实数b 的取值范围.
2.已知函数f（x）＝x+2﹣2cosx
（1）求函数f（x）在[
2
，2
]上的最值：
（2）若存在x∈（0，2
）使不等式f（x）≤ax 成立，求实数a 的取值范围
3.已知函数
sin
( )
, ( )
(
1)
2ln
x
f x
g x
x
m
x
x
.
（1）求证：当x∈(0,π]时，f(x)<1；
（2）求证：当m＞2 时，对任意x0∈(0,π] ，存在x1∈(0,π]和x2∈(0,π](x1≠x2)使g(x1)=g(x2)=f(x0)成立.
4.已知函数
ln 1
sin
f x
x
a
x
，aR ．
（1）若
y
f x
在
0,0 处的切线为
3
0
x
y
，求a 的值；
（2）若存在
1,2
x
，使得
2
f x
a
，求实数a 的取值范围．
题型九：常规型零点求参
1.已知函数
f
x 为R 上的偶函数，
g x 为R 上的奇函数，且
4
log
4
1
x
f
x
g x
．
(1)求
,
f
x
g x 的解析式；
(2)若函数
2
1 log
2
2 2
(
0)
2
x
h x
f x
a
a
a
在R 上只有一个零点，求实数a 的取值范围．
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
2.已知函数
9
( )
log
9
1
x
f x
kx
是偶函数．
(1)求k 的值；
(2)若函数
1
( )
( )
2
g x
f x
x
a
无零点，求a 的取值范围；
(3)设
9
4
( )
log
3
3
x
t x
m
m
，（其中实数
1
m £ ）．若函数( )
( )
( )
h x
f x
t x
有且只有一个零点，求m 的取值
范围．
3.已知
( )
ln
(
1)
(
R)
f x
x
x
a x
a
．
(1)试判断函数
( )
( )
f x
g x
x
的单调性；
(2)若函数
y
f x
有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．
4.已知函数
3
2
1
,
R
3
f x
x
ax g x
x
a a
．
(1)若函数
F x
f
x
g x
在
1,
x
上单调递增，求a 的最小值；
(2)若函数
G x
f x
g x
ax
有且只有一个零点，求a 的取值范围．
题型十：双零点型求参
1.已知函数
1
ln
( )
e
1
x
x
f x
a
x
．
(1)当
0
a
时，求曲线
( )
f x 过原点的切线的方程．
(2)若
( )
f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．
2.已知函数
π
( )
sin 2
2
0,2
f x
a
x
x x
，且
( )
0
f x
恒成立．
(1)求实数a 的最大值；
(2)若函数
( )
( )
tan
m x
f x
x
有两个零点，求实数a 的取值范围．
3.已知函数
e
e
1
x
x
f x
a
ax
a
R .
(1)当
1
a 时，求
f
x 的图象在
1
x 处的切线方程;
(2)若函数
ln
1
F x
f
x
x
有两个零点，求实数a 的取值范围.
4.已知函数
2
1
1
2ln
f
x
m
x
x
x
x
.
(1)求
f
x 的单调区间；
(2)若
f
x 有两个零点，求实数m 的取值范围.
题型十一：多零点型求参
1.已知函数
3
2
( )
(2
)
3
t
f x
x
t x
8
4
7
x
t
.
（1）当
0
t
时，讨论
( )
f x 的单调性；
（2）已知函数
( )
ln
g x
x
，记函数
( )
( )
( )
2
f x
g x
m x
|
( )
( ) |
2
f x
g x
，若函数
( )
m x 有三个零点，求实数t 的
取值范围.
2.已知
2
( )
2
1
g x
x
ax
在区间[1，3] 上的值域[0 ，4].
（1）求a 的值；
（2）若不等式
2
4
0
x
x
g
k
在
[1
x
，
)
上恒成立，求实数k 的取值范围；
（3）若函数
( 2
1)
2
·
3
2
1
2
1
x
x
x
g
y
k
k
有三个零点，求实数k 的取值范围.
3.已知函数
ln
f
x
x
.
（1）求函数
0
f
x
y
x
x
的最值；
（2）已知函数
3
2
1 2
6
5
2
3
2
3
a
a
a
g x
x
x
x
，设函数
,
,
f
x
f
x
g x
h x
g x
f
x
g x
，若函数
h x 有三个
零点，求实数a 的取值范围.
4.已知函数
4
ln
1
ln 2,
x
a
f
x
x
ax
g x
x
.
(1)求函数
f
x 的极值点；
(2)当
0
a
时,当函数
h x
f x
g x
恰有三个不同的零点，求实数a 的取值范围.
题型十二：同构型求参：x1，x2双变量同构
1.已知函数
2
( )
ln
f x
ax
x
bx
ax
.
（1）曲线
( )
y
f x
在点
1,
1
f
处的切线方程为
1
0
2
x
y
，求a ，b 的值；
（2）若
0
a
，
1
2
b
时，
1
2
,
1,
x x
e
，都有
1
2
1
2
3
f x
f x
x
x
，求a 的取值范围.
2.已知函数
2
ln
f x
a
x
x
.
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
（Ⅰ）若
f
x 在
1
x 处的切线方程为2
3
0
x
y
，求a 的值；
（Ⅱ）若
0
a
，
1
2
,
1,
x x
e
，都有
1
2
1
2
2020
2020
f x
f x
x
x
恒成立，求实数a 的取值范围.
3.已知函数
2
ln
f x
x
a
x
.
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
（1）求函数
f
x 的单调区间；
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
（2）设
0
a
，若对任意
1
x 、
2
0,1
x
，且
1
2
x
x
，都有
1
2
1
2
1
1
3
f x
f x
x
x
，求实数a 的取值范围.
4.已知函数
( )
2
ln(
)
f x
x
a
ax
.
(Ⅰ)求函数
( )
f x 的单调区间；
(Ⅱ)设
0
a＞，
3,4
t
，若对任意
1
2
,
0,1
x x
，且
1
2
x
x
，都有
1
2
1
2
1
1
( )
(
)
f x
f x
t x
x
＜
，求实数a 的取值
范围.
题型十三：虚设零点型求参
1.已知函数
1 ex
f x
x
，
ln
g x
a
x
．
(1)若曲线
y
f x
有两条过点
0
m,
的切线，求实数m 的取值范围；
(2)若当
0
x
时，不等式
f x
g x
恒成立，求实数a 的取值集合．
2.已知函数
ln
2
f x
x
x
.
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
(1)求曲线
y
f x
在点
1,
1
f
处的切线方程；
(2)讨论函数
f
x 的单调性；
(3)若对任意的
1,
x
，都有
ln
1
x
x
x
k x
成立，求整数k 的最大值.
3.已知函数
2
1
(ln )
2
ex
f
x
x
x
a
a
R .
(1)证明：曲线
y
f x
在
1
x 处的切线经过坐标原点；
(2)记
f
x 的导函数为
f
x
，设
g x
xf
x
，求使
0
g x
恒成立的a 的取值范围.
4.已知函数
ln
2
1
x
f x
x
，
ex
g x
m
f
x
（mR ，e为自然对数的底数）.
(1)求函数
f
x 的极值；
(2)若对
0,
x
，
0
g x
恒成立，求m 的取值范围.
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
模块三：综合巩固
1.已知函数
2
( )
2
ln
1
f x
x
a
x
，a R ．
(1)求函数
( )
f x 的单调区间；
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
(2)若对任意的
,
(
)
0
x
，不等式
2
1
1
(
1)
(
1)
1
ex
f x
x
x
恒成立，求实数a 的取值范围．
66289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366
2.已知函数
e
sin
cos ,
x
f
x
x
x f
x
为其导函数．
(1)求
f
x 在
π,
上极值点的个数；
66289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366
(2)若
( )
2
2cos
f
x
ax
x a
R 对
π,
x
恒成立，求a 的值．
66289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366
3.已知函数
5
ln
f x
x
，
R
1
kx
g x
k
x
．
(1)若函数
f
x 的图象在点
1,
1
f
处的切线与函数
y
g x
的图象相切，求k 的值；
(2)若
N
k
，且
1,
x
时，恒有
f x
g x
，求k 的最大值．
（参考数据：
ln5
1.61,ln 6
1.7918,ln
2
1
0.8814
）
4.设函数
sin
f x
x
x
，xR
(1)求
f
x 在区间
0,π 上的极值点个数；
(2)若
0x 为
f
x 的极值点，则
2
0
0
ln 1
f
x
x
，求整数的最大值.
5.已知函数
ln
e
1
f x
x
a
x
x
a
R ．
(1)当
0
a
时，讨论函数
( )
f x 的单调性；
(2)若
( )
0
f x
在(1,
)
上恒成立，求a 的取值范围．
6.设函数
cos
sin
( )
e
,
R, ( )
e
x
x
x
x
f x
ax a
g x
.
(1)讨论( )
g x 在区间(0, π) 上的单调性；
(2)若
(2 )
( )
f
x
g x
在
[0,
)
x
上恒成立，求a 的取值范围.
7.已知函数
2
1
ln
(
)
2
f
x
x
a
x
，其中aR ．
(1)当
1
a 时，求函数
f
x 在
1,
1
f
处的切线方程；
(2)讨论函数
f
x 的单调性；
(3)若
f
x 存在两个极值点
1
2
1
2
2
1
,
,
x x
x
x
f
x
f
x
的取值范围为3
15
ln2,
2ln2
4
8
，求a 的取值范
围．
8.已知函数
e
1
x
f x
(1)若
)
R
(
g x
f x
ax a
，讨论
g x 的单调性.
(2)当
0
x
时，都有
1
1
0
x
k
f x
x
成立，求整数k 的最大值.
9.已知函数
( )
sin
ln(1
)(
)
f x
a
x
x a
R ．
(1)若
1
a ，求证：
0,
( )
2
0
x
f x
x
；
(2)当
1
a 时，对任意
0, 2
k
x
，都有
( )
0
f x
，求整数k 的最大值．
10.已知函数
ln
1 ,
R
x
f x
a x
a
x
．
(1)试讨论
f
x 的极值点的个数；
(2)若
g x
xf
x
，且对任意的
1,
x
都有
0
g x
，求a 的取值范围．
