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7.10 复数单元测试（二）
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求.
1．已知
，则
（ ）
A．2i
B．4i
C．1
D．2
【答案】D
【解析】
，故
．故选：D．
2．已知
，
，若
，则z 的虚部是（ ）
A．-2
B．1
C．-2i
D．2i
【答案】A
【解析】由
，可得
，所以
，所以的虚部是
．故选：A．
3．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题得
，所以
．故选：C
4．在复平面内，复数
对应的向量为
，复数
对应的向量为
，那么向量
对应的复
数是（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意得
，
，
，则
对应复数1.故选：A．
5．在复平面内，复数和
表示的点关于虚轴对称，则复数z＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可得
对应的点为
，
该点关于虚轴对称的点为
，所以复数对应的点为
，所以
.故选：B
6．已知
，若
为纯虚数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】B
【解析】由
为纯虚数，得
，
，解得
，
所以
，故选:B．
7．“
”是“复数
在复平面内对应的点位于第四象限”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为复数
在复平面内对应的点位于第四象限
，
而
成立推不出
成立，
，
所以
是复数
在复平面内对应的点位于第四象限的必要不充分条件，
故选：B
8．已知
，其中
，i 为虚数单位，则以
为根的一个一元二次方程是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
所以
，所以
，
因此所选方程的两根为
，仅有
符合要求，故选：A.
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目
9．在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若复数满足
，则是纯虚数
【答案】AD
【分析】利用复数的运算和性质判断ABD；虚数无法比较大小判断C.
【解析】对于A，
，故A 正确；
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对于B，
，故B 不正确；
对于C，两个虚数不能比较大小，故C 不正确；
对于D，设
，则
，
，则
，解得
，
故
是虚数，故D 正确；
故选：AD
10．已知复数
，
满足
，
，则，（ ）
A．
B．
在复平面内对应的点位于第三象限
C．
为纯虚数
D．
的共轭复数为
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，求出复数
，
，再逐一计算判断各个选项作答.
【解析】因为
，
，则
，
，
解得
，A 正确；
复数
在复平面内对应的点
位于第三象限，B 正确；
，则
为实数，C 错误；
，所以
的共轭复数为
，D 正确.
故选：ABD
11．已知复数z1，z2，则下列有关复数运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】根据复数乘法和除法的运算法则，结合复数模的运算公式、特例法逐一判断即可.
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【解析】当
时，显然
，
显然有
，
，因此选项AB 都不正确；
设
，
，
，
，因此选项C 正确，
，
，
所以
，因此选项D 正确，
故选：CD
12．已知方程
，则下列说法正确的是（ ）
A．若方程有一根为0，则
且
B．方程可能有两个实数根
C．
时，方程可能有纯虚数根
D．若方程存在实数根
，则
或
【答案】ACD
【分析】将方程进行等价变形为
，利用复数的定义，若复数为0，则实部为
0，虚部也为0，判断AB 选项；结合基本不等式求解实根的范围判断D 选项；举例当
且
时，
有纯虚根判断C.
【解析】解：A 选项：若方程有一根为0，则代入方程有
，则有
，
，即
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且
，故A 正确；
B 选项：方程可变形为：
，
即
，则
，只有一解，故B 错误；
C 选项：当
且
时，方程为
，
是该方程的一个纯虚根，故C 正确；
D 选项：若方程存在实数根
，则
，代入方程可得：
，即
，即
，解得：
或
，即
或
，故D 正确
故选：ACD
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分
13．已知x、
，若
，则
．
【答案】2
【解析】由题意，得
，所以
.
14．设复数满足
，则
.
【答案】5
【解析】设
，则
，
于是
，解得
，则
.
15．已知
为实数，若复数
为纯虚数，则
的值为 .
【答案】
【解析】因为复数
为纯虚数，可得
，所以
.
16．如果
都是实数，关于
的方程
有一个根
，则
【答案】
【解析】因为
为关于
的方程
的一个根，
所以
为关于
的方程
的一个根，
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所以
，解得
，
，
所以
.
四．解答题：本小题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．计算下列各题:
（1）
；
（2）
.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）
.
；
（2）
.
.
18．已知复数：
，
.
（1）若复数在复平面上对应的点在虚轴上，求
的值.
（2）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求
的范围.
【答案】（1）
或
；（2）
或
【解析】（1）
，
且复数在复平面上对应的点在虚轴上
解得
或
（2）
，
且复数在复平面上对应的点在第一象限
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，即
，则
解得：
或
19．已知复数
．
（1）求
；
（2）若
，求
；
（3）若
，且
是纯虚数，求
．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
或
【解析】（1）
；
（2）
；
（3）设
，
则
，所以
①
，
因为
是纯虚数，所以
②
由①②联立，解得
或
所以
或
．
20．设复数
，
（1）写出
的三角形式；
（2）复数
满足
，且
在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，
，求
的代数形
式．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）由已知可得，
，
所以，
.
（2）由已知可设
，
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则
.
所以，
.
由已知可得
，所以
，
所以，
.
又
，所以
.
所以，
.
21．设复数
在复平面内对应的向量为
，复数
在复平面内对应的向量为
，复数
在复平面内对应的向量为
，且A，E，C 三点共线.
（1）求实数
的值；
（2）求
的坐标；
（3）已知点
，若A，B，C，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）复数
在复平面内对应的向量
，
复数
在复平面内对应的向量
，
复数
在复平面内对应的向量
，
，
因为A，E，C 三点共线，所以存在实数k，使得
，
所以
，解得
，
；
（2）
；
（3）因为A，B，C，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以
，
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设
，则
，
因为
，所以
，解得
，
即点A 的坐标为
.
22．已知复数
，
为z 的共轭复数，且
．
（1）求m 的值；
（2）若
是关于x 的实系数一元二次方程
的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）已知
，则
，
由于
，得
，解得：
（2）由（1）可知，
，将
代入方程可得：
，
即
，得
，解得：
，
，
带入一元二次方程中得：
，
解得：
，
，
即方程另外一个复数根为
