对数及其运算
目录
模块一：基础知识......................................................................................................................................................2
考点一：对数的有关概念..................................................................................................................................2
考点二：对数与指数的关系..............................................................................................................................2
考点三：对数的性质..........................................................................................................................................2
考点四：对数运算性质......................................................................................................................................2
考点五：换底公式..............................................................................................................................................2
模块二：题型分类......................................................................................................................................................3
题型一：指数式与对数式的互化......................................................................................................................3
题型二：对数的运算..........................................................................................................................................4
题型三：对数运算性质的应用..........................................................................................................................8
题型四：运用换底公式化简计算......................................................................................................................9
题型五：运用换底公式证明恒等式................................................................................................................12
题型六：对数及其运算的综合应用................................................................................................................15
模块三：综合巩固....................................................................................................................................................21
对数及其运算
模块一：基础知识
考点一：对数的有关概念
对数的概念：
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x＝logaN，其中a
叫做对数的底数，N 叫做真数．
常用对数与自然对数：
通常将以10 为底的对数叫做常用对数，以e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，log10N
可简记为lg N，logeN 简记为ln N.
考点二：对数与指数的关系
一般地，有对数与指数的关系：
若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x.
对数恒等式：
logaN
a
＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)．
考点三：对数的性质
1．1 的对数为零．2．底的对数为1.3．零和负数没有对数．
考点四：对数运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaM
N＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
考点五：换底公式
1．logab＝logcb
logca(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
2．对数换底公式的重要推论：
(1)logaN＝
1
logNa(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；
(2)log
n
m
a b ＝m
nlogab(a>0，且a≠1，b>0)；
(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
模块二：题型分类
题型一：指数式与对数式的互化
1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)
3
2
8
；
(2)
5
10
100000
；
(3)3
7
x
；
(4)
2
log 32
5
；
(5)
3
1
log
3
27 ；
(6)log
2
x b
．
【答案】(1)
2
log 8
3
(2)
10
log 100000
5
(3)
3
log 7
x
(4)
5
2
32
(5)
3
1
3
27
(6)
2
0
1
x
b x
x
且
【分析】
(
0
1)
x
a
b a
a
且
可化为
log
(
0
1)
a
x
b a
a
且
，由此化简各个小问。
【详解】（1）因为
3
2
8
，所以
2
log 8
3
（2）因为
5
10
100000
，所以
10
log 100000
5
（3）因为3
7
x
，所以
3
log 7
x
（4）因为
2
log 32
5
，所以
5
2
32
（5）因为
3
1
log
3
27 ，所以
3
1
3
27
（6）因为log
2
x b
，所以
2
0
1
x
b x
x
且
2.将
3
1
1
2
8
化为对数式正确的是（
）
A．
1
2
1
log 3
8
B．
1
2
1
log
3
8
C．
1
8
1
log
3
2
D．
3
1
1
log 2
8
【答案】B
【分析】根据指对互化即可求解.
【详解】
3
1
1
2
8
化为对数式：
1
2
1
log
3
8
，
故选：B
3.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（
）
A．
0e
1
与ln1
0
B．
1
3
1
8
2
与
8
1
1
log 2
3
C．
3
log 9
2
与
1
2
9
3
D．
7
log 7
1
与
17
7
【答案】C
【分析】结合指数式与对数式互化的知识确定正确答案.
【详解】根据指数式与对数式互化可知：
对于选项A：
0e
1
等价于ln1
0
，故A 正确；
对于选项B：
1
3
1
8
2
等价于
8
1
1
log 2
3
，故B 正确；
对于选项C：
3
log 9
2
等价于
23
9
，故C 错误；
对于选项D：
7
log 7
1
等价于
17
7
，故D 正确；
故选：C.
题型二：对数的运算
1.求值：
(1)
2
lne
lne
；
(2) lg8
lg125
；
(3)
3
3
2log 6
log 4
；
(4)
2
2
log
log 16 ；
(5)
8
4
log 27
log 9 ；
(6)
2
3 log 5
2
；
(7)
2
lg5 lg20
lg2
；
(8) 1
32
4
lg
lg
8
lg
245
2
49
3
．
【答案】(1) 1
(2)3
(3) 2
(4) 2
(5)1
(6) 40
(7)1
(8) 1
2
【分析】根据对数的概念、运算性质及换底公式计算即可.
【详解】（1）
2
lne
lne
1 2
1
；
（2）
lg8
lg125
lg 8 125
lg1000
3
；
（3）
3
3
3
3
3
3
36
2log 6
log 4
log
6
log 4
log
log 9
2
3
4
；
（4）
2
2
2
log
log 16
log 4
2
；
（5）
3
2
3
2
8
2
2
4
2
2
3log 3
log
3
log 27
3
1
2
log 9
log
3
log 3
2
；
（6）
2
2
2
2
3 log 5
log 8 log 5
log 40
40
2
2
2
；
（7）
2
2
lg5 lg 20
lg 2
lg5
2lg 2
lg5
lg 2
2
2
2
2lg5 lg 2
lg5
lg 2
lg 2
lg5
1
；
（8）
4
1
3
3
2
2
1
32
4
32
lg
lg 8
lg
245
lg
lg 2
lg 7 5
2
49
3
49
4 2
lg
lg4
lg 7 5
7
4 2
1
lg
7 5
7
4
1
lg 10
2
.
2.求下列各式的值：
(1)lg0.01；
(2)
4
3
2
log
2
4
；
(3) lg 2
lg5
；
(4)
3
3
3
27
2
6
log
log
log
5
3
5
；
(5)
2
2
2
7
1
log
log 12
log 42
1
48
2
；
(6)
2
lg2
lg2 lg50
lg25
.
【答案】(1) 2
(2)14
3
(3)1
(4)1
(5)
3
2
(6)2
【分析】根据对数的定义、对数的运算法则及运算性质求解各题即可.
【详解】（1）
2
lg0.01
lg10
2
.
（2）
2
4
4
3
3
3
2
2
2
2
2
14
log
2
4
log 2
log
4
4
log 2
4 3
3
.
（3）lg 2
lg5
lg10
1
.
（4）
3
3
3
3
3
27
2
6
27
2
6
log
log
log
log
log 3
1
5
3
5
5
3
5
.
（5）
2
2
2
2
2
7
1
7
2
1
3
log
log 12
log 42 1
log
12
42
1
log
1
1
48
2
48
2
2
2
.
（6）
2
lg2
lg2 lg50
lg25
lg 2
lg 2
lg50
2lg5
2lg 2
2lg5
2lg10
2
.
3.计算：
3
27
8
2
(log 4
log
8)(log 9
log 3)
．
【答案】5
【分析】根据对数的运算性质计算即可
【详解】
3
27
8
2
(log 4
log
8)(log 9
log 3)
3
3
2
3
2
3
2
3
2
(log 2
log 2 )(log 3
log 3)
3
3
2
2
3
2
(2log 2
log 2)(
log 3
log 3)
3
3
3
2
5
3log 2
log 3
3
3
2
5
3
log 2 log 3
5
3
，
故答案为：5
4．已知10
3,10
5
x
y
，则用,x y 表示
9
lg 2 为（
）
A．2
1
x
y
B．3x
y
C．2
1
x
y
D．2
1
x
y
【答案】C
【分析】利用指对互化，求,x y ，再表示
9
lg 2 .
【详解】10
3
lg3
x
x
，10
5
lg5
y
y
，
9
lg
lg9
lg 2
2lg3
1 lg5
2lg3
lg5 1
2
1
2
x
y
.
故选：C
5．已知5
10
a
b
，则b
a （
）
A．1
2
B．2
C．
5
log 10
D．1 lg2
【答案】D
【分析】根据条件lg5
lg10
a
b
，然后化简可得b
a
【详解】5
10
a
b
，
lg5
lg10
a
b
，
lg5
a
b
，
lg5
1
lg 2
b
a
.
故选：D.
6．李明开发的小程序发布经过t 天后，用户人数
500ekt
A t
，其中k 为常数.已知小程序发布经过10 天后
有2000 名用户，则用户超过500000 名至少经过的天数为（
）( 取lg2
0.3
）
A．31
B．32
C．40
D．50
【答案】D
【分析】根据题意列出不等式，取对数求解不等式即可.
【详解】由题意，
10
t
时，
10
(10)
500e
2000
k
A
，即
10
e
4
k
，
令
500e
500000
kt
A t
，即e
1000
kt
，
即
10
4
1000
t
，
取常用对数可得，
lg 4
3
10
t
，即
15
15
50
lg2
0.3
t
，
故选：D
7．已知
2
log 6
a
，3
36
b
，则1
2
a
b
（
）
A．1
2
B．1
C．2
D．4
【答案】B
【分析】利用换底公式，对数运算性质用以6 为底的对数表示1 2
,
a b ，可得答案.
【详解】由换底公式，
6
2
lg
lg
a
，则
6
1
2
2
6
lg
log
lg
a
.
因3
36
b
，则
6
6
6
6
2
3
36
3
2
3
log
log
log
log
b
b
b
则1
2
a
b
6
6
2
3
1
log
log
.
故选：B
8．计算
6
6
3
3
1
(
log 4
log 3)(log 12
2log 2)
2
（
）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用对数运算性质计算即得.
【详解】因为
1
2
6
6
6
1 log 4
log 3
log
4
3)
1
(
2
，
3
3
3
2
12
log 12
2log 2
log
1
2
，
所以
6
6
3
3
1
(
log 4
log 3)(log 12
2log 2)
1
2
.
故选：B
题型三：对数运算性质的应用
1．正数,x y 满足
8
xy
y
，则
4
2
log
log
x
y
的最大值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据基本不等式结合对数的运算性质可求得结果
【详解】因为正数,x y 满足
8
xy
y
，
所以
2
8
2
xy
y
xy
，当且仅当xy
y
时，等号成立，得
1,
4
x
y
.
则
4
2
2
2
4,log
log
log
log 4
2
xy
x
y
xy
，当且仅当
1,
4
x
y
时取等号，
所以
4
2
log
log
x
y
的最大值为2，
故选：B
2.已知
8
2
15,log 3
a
b
，则
3
2a
b
（
）
A．25
B．5
C．25
9
D．5
3
【答案】B
【分析】先由对数公式把,a b化简，然后代入
3
2a
b
即可求解.
【详解】由题意可得
2
2
15
log 15
a
a
，
3
8
2
2
1
log 3
log
3
log 3
3
b
，
所以
2
2
2
2
2
2
1
15
3
log 15
3
log 3
log 15
log 3
log
log 5
3
3
a
b
，
所以
2
log 5
3
2
2
5
a
b
.
故选：B.
3.若
2lg
2
lg
lg
x
y
x
y
，则y
x 的值为（
）
A．4
B．1或1
4
C．1或4
D．1
4
【答案】D
【分析】利用对数的运算性质可得出
2
lg
2
lg
x
y
xy
，可得出
2
0,
0
2
0
2
x
y
x
y
x
y
xy
，求出x
y 的值，即可得出
y
x 的值.
【详解】因为
2lg
2
lg
lg
x
y
x
y
，可得
2
lg
2
lg
x
y
xy
，
则有
2
0,
0
2
0
2
x
y
x
y
x
y
xy
，整理可得
2
2
5
4
0
x
xy
y
，即
2
5
4
0
x
x
y
y
，
解得
1
x
y （舍）或
4
x
y
，所以，
1
4
y
x
.
故选：D.
4.已知0
1
m
，0
1
n
，且
4
2
2log
log
1
m
n
，则1
9
m
n
的最小值是（
）
A．18
B．16
C．10
D．4
【答案】B
【分析】先利用对数运算得
1
m
n
，然后利用“1”的代换求解最小值.
【详解】因为0
1
m
，0
1
n
，且
4
2
2log
log
1
m
n
，所以
2
2
log
log
1
m
n
，
所以
1
m
n
，所以
1
9
1
9
9
9
10
10
2
16
n
m
n
m
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
，
当且仅当
9
n
m
m
n
即
1
3
,
4
4
m
n
时，等号成立，所以1
9
m
n
的最小值是16.
故选：B
题型四：运用换底公式化简计算
1．已知
2
log 6
a
，3
36
b
，则1
2
a
b
（
）
A．1
2
B．1
C．2
D．4
【答案】B
【分析】利用换底公式，对数运算性质用以6 为底的对数表示1 2
,
a b ，可得答案.
【详解】由换底公式，
6
2
lg
lg
a
，则
6
1
2
2
6
lg
log
lg
a
.
因3
36
b
，则
6
6
6
6
2
3
36
3
2
3
log
log
log
log
b
b
b
则1
2
a
b
6
6
2
3
1
log
log
.
故选：B
2．（2023·全国·高一专题练习）
4
8
3
9
log 3
log 3
log 2
log 2
（
）
A．5
4
B．4
5
C．15
D．12
【答案】A
【分析】运用对数的运算性质进行求解即可.
【详解】
4
8
3
9
2
2
3
3
2
3
log 3
log 3
log 2
log 2
1
1
1
log 3
log 3
log 2
log 2
2
3
2
5
3
log 3
log 2
6
2
5
lg3
lg 2
4
lg 2
lg3
5 ,
4
故选：A
3．
2
2
log 3
3
5
8
2
lg
2lg 2
2
（
）
A．6
B．8
C．9
D．7
【答案】A
【分析】运用分数指数幂以及对数的运算公式进行化简求值.
【详解】解：
2
2
log 3
3
5
8
2
lg
2lg2
2
2
3
3
2
3
lg5
lg 2
2lg 2
2
2
3
lg5
lg 2
4
3 1
6
.
故选：A.
4．若实数a 、b 、c 满足25
403
2015
2019
a
b
c
，则下列式子正确的是
A．1
2
2
a
b
c
B．2
2
1
a
b
c
C．1
1
2
a
b
c
D．2
1
2
a
b
c
【答案】A
【分析】由指数式化对数式，然后利用换底公式得出
2019
1
log
5
2a
，
2015
1
log
403
b
，
2019
1
log
2015
c
，利
用对数的运算性质和2015
5 403
可得出1
2
2
a
b
c
成立.
【详解】由已知，得
2
5
403
2015
2019
a
b
c
，得
5
2
log 2019
a
，
403
log
2019
b
，
2
2
log 015 019
c
，
所以
2
1
log 5
2a
，
2019
1
log
403
b
，
2019
1
log
2015
c
，
而5 403
2015
，则
2019
2019
2019
log
5
log
403
log
2015
，
所以1
1
1
2a
b
c
，即1
2
2
a
b
c
.
故选A.
【点睛】本题考查对数式的运算，同时也考查了指数式与对数式的互化以及换底公式的应用，解题时要需
要注意各真数之间的关系，考查计算能力，属于中等题.
5.已知0
1
a
，且
3
2log
81 3
a
a
，则
9
2
1
log a
a
（
）
A．105
4
B．83
3
C．67
3
D．33
2
【答案】A
【分析】两边同时取以3为底的对数，求出a 后，结合对数的运算性质进行求解.
【详解】由题意，
3
2log
3
3
log
log
81 3
a
a
，根据对数的性质可得
1
9
4
2
2
3
3
3
3
9
2log
log
log 3
3
log 3
2
a
a
，
即
2
3
9
log
4
a
，注意到0
1
a
，于是
3
log
0
a ，故
3
3
log
2
a
，解得
3
2
3
a
，
故
3
3
2
2
9
9
2
3
3 ln3
1
1
ln3
3
105
2
log
log 3
27
27
27
3
ln9
2ln3
4
4
a
a
.
故选：A
6.已知
1
a ，
1
b ，且ln
4ln
2
a
b
，则
4
log
lo
e
e
g
a
b
的最小值为（
）
A．9lg2
B．21
2
C．25
2
D．12
【答案】C
【分析】变换得到
4
1
1
4
log
log
ln
4ln
2
ln
e
ln
e
a
b
a
b
a
b
，再利用均值不等式计算得到答案.
【详解】
n
e
1
log
l
a
a
，
4
4
l
l
e
og
n
b
b
，因为
1
a ，
1
b ，故ln
0
a
，ln
0
b
，
4
1
4
1
1
4
log
log
ln
4ln
ln
ln
2
ln
ln
e
e
a
b
a
b
a
b
a
b
1
4ln
4ln
1
4ln
4ln
25
17
17
2
2
ln
ln
2
ln
ln
2
b
a
b
a
a
b
a
b
，
当且仅当ln
ln
a
b
时，即
2
5
e
a
b
时等号成立．所以
4
log
lo
e
e
g
a
b
的最小值为25
2 ．
故选：C
7．已知
2
log 5
m
．
(1)求
2
5
2
log 2
4
m
m
的值；
(2)用m 表示
25
log 20 ．
【答案】(1) 20
(2) 1
1
2
m
【分析】（1）直接利用对数的运算法则计算得到答案.
（2）变换得到
25
5
1
log 20
log 2
2
，得到答案.
【详解】（1）
2
log 5
m
，则
2
2
2
2log 5
log 5
2
5
2
5
2
5
2
log 2
4
2
log 5 log 2
4
2
log 5 log 2
4
m
m
25 1 4
20
.
（2）
25
5
5
5
5
5
2
1
1
1
1
1
1
log 20
log 20
log 4
log 5
2log 2
1
log 2
2
2
2
2
log 5
2
1
1
2
m
.
8．（1）已知正实数a ，b 满足
1
a
b
，求1
1
a
b
的最小值，并求出此时a ，b 的值.
（2）已知lg 2
a
，lg3
b
，试用a ，b 表示
2
log 3，
12
log 5
【答案】（1）4；
1
2
a
b
；（2）1
.
2
a
a
b
【分析】（1）应用基本不等式求和的“乘1 法”，求和的最小值.
（2）通过换底公式和对数的运算性质求解即可.
【详解】（1）因为正实数a ，b 满足
1
a
b
，
所以1
1
1
1
(
)(
)
2
2
2
4
b
a
b a
a
b
a
b
a
b
a
b
a b
，
所以1
1
a
b
的最小值为4，此时b
a
a
b
，又
1
a
b
，即
1
2
a
b
.
（2）因为lg 2
a
，lg3
b
，
2
lg3
log 3
lg2
b
a
，
12
lg5
lg10
lg2
1 lg2
1
log 5
lg12
lg3
lg4
lg3
2lg2
2
a
a
b
题型五：运用换底公式证明恒等式
1．设a，b，c 均为不等于1 的正实数，则下列等式中恒成立的是（
）
A．logab·logcb＝logca
B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac
D．loga(b＋c)＝logab＋logac
【答案】B
【分析】根据换底公式可判断A、B 的正误，根据对数的运算性质可判断C、D 的正误．
【详解】由logab·logcb＝lg
lg
b
a · lg
lg
b
c ≠logca，故A 错；
由logab·logca＝lg
lg
b
a · lg
lg
a
c ＝lg
lg
b
c ＝logcb，故B 正确；
对选项C，D，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立.
故选：B.
2．下列计算恒成立的是
A．
2
log
2log
a
a
x
x
B．
log
log (
)
log
a
a
a
x
x
y
y
C．log
log
log (
)
a
a
a
x
y
x
y
D．
5
3
10
10
3
log
log
5
x
x
【答案】D
【分析】根据对数的运算性质一一验证选项即可得正确答案.
【详解】因为
2
2
2log
log
log
a
a
a
x
x
x
，所以A 不对；
因为
log
log
log (
)
log
a
y
a
a
x
x
x
y
y
，所以B 不对；
因为log
log
log
log (
)
a
a
a
a
x
x
y
x
y
y
，所以C 不对；
因为
3
5
3
5
10
10
10
3
log
log
log
5
x
x
x
，D 正确.
故选D.
【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题.
3．（多选）设, ,
a b c 是均不等于1 的正实数, 则下列等式中恒成立的是（
）
A．log
log
log
a
c
c
b
a
b
B．log (
)
log
log
a
a
a
bc
b
c
C．log (
)
log
log
a
a
a
b
c
b
c
D．log
log
c
c
a
a
b
b
【答案】AD
【分析】根据给定条件，利用换底公式计算判断AD；举例说明判断BC 作答.
【详解】依题意，
ln
ln
ln
log
log
log
ln
ln
ln
c
c
a
b
a
b
b
a
b
a
c
c
，A 正确；
令
2,
2,
4
a
b
c
，则
2
2
2
log (
)
log 8
3,log
log
log 2 log 4
2
a
a
a
bc
b
c
，B 错误；
令
2,
4,
4
a
b
c
=
=
=
，则
2
2
2
log (
)
log 8
3,log
log
log 4
log 4
4
a
a
a
b
c
b
c
，C 错误；
ln
l
l
n
ln
l
og
l g
n
o
c
c
c
c
a
a
b
b
c
b
a
c
a
b
，D 正确.
故选：AD
4．求满足下列条件的各式的值
(1)若
3
log 4
1
x
，求4
4
x
x
的值；
(2)设3
4
6
x
y
z
，求证：1
1
1
2
x
y
z
.
【答案】(1)10
3
(2)证明见解析
【分析】（1）运用对数的运算法则即可求解；
（2）运用对数的换底公式即可证明.
【详解】（1）
3
log 4
1
x
，
3
log 4
1
x ，
4
3
x
，
1
10
4
4
3
3
3
x
x
（2）证明：设
3
4
6
0
x
y
z
m m
，
则
3
log
x
m
，
4
log
y
m
，
6
log
z
m
.
所以1
log 3
m
x
，1
log 4
m
y
，1
log 6
m
z
.
所以1
1
log 3
log 2
log 6
2
m
m
m
x
y
，
所以
1
1
1
2
x
y
z
.
5．设
0
a
，
0
b
，
0
，且
1
a ，
1
b ，利用对数的换底公式证明：
(1)
1
log
log
a
b
b
a
；
(2) log
log a
a b
b
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】利用换底公式
log
log
log
c
a
c
N
N
a
，即可证明.
【详解】（1）
log
1
log
log
log
b
a
b
b
b
b
a
a
，所以等式成立；
（2）
log
log
log
log
log
log
a
a
a
a
a
a
b
b
b
b
a
a
，所以等式成立.
6.证明：
（1）log
log
log
1
a
b
c
b
c
a
；
（2）
m
log
log
n
a
a
n
b
b
m
.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】利用换底公式及对数的性质即可证明
【详解】证明：（1）
lg
lg
lg
log
log
log
1
lg
lg
lg
b
a
c
b
c
a
b
c
a
a
b
c
.
故log
log
log
=1
b
a
c
b
c
a
.
（2）
log
log
log
log
log
log
m
n
a
a
a
m
a
n
a
a
b
n
b
n
b
b
a
m
a
m
，
m
log
log
n
a
a
n
b
b
m
【点睛】本题考查换底公式及对数的性质的应用，属于基础题.
题型六：对数及其运算的综合应用
1．已知
4
8
2
3,log 3
x
y
，则
2
x
y
的值为（
）
A．3
2
B．5
C．4
D．3
【答案】D
【分析】确定
2
log 3
x
，得到
2
4
8
2
log 3
2log 3
x
y
，根据对数运算法则计算得到答案.
【详解】2
3
x ，则
2
log 3
x
，
4
8
log 3
y
，
故
2
4
2
2
2
8
8
2
log 3
2log
log 3
log
log 8
3
3
3
x
y
.
故选：D.
2．白细胞是一类无色、球形、有核的血细胞，正常成人白细胞总数为
9
4.0
10.0
10 /L
，可因每日不同
时间和机体不同的功能状态而在一定范围内变化.若白细胞计数因为感染产生病理性持续升高，则需进一步
探查原因，进行药物干预.研究人员在对某种药物的研究过程中发现，在特定实验环境下的某段时间内，可
以用对数模型：
0 ln
W m
W
Km
描述白细胞数量
W m （单位：
9
10 /L ）随用药量m（单位：mg）的
变化规律，其中
0
W 为初始白细胞数量，K 为参数.已知
0
20
W
，用药量为50 时，在规定时间后测得白细胞
数量为14，若使白细胞数量达到正常值，则需将用药量至少提高到（
）（参考数据：
5
1
e
1.221
）
A．58
B．59
C．60
D．62
【答案】D
【分析】由已知条件求出K 值，再令
10
W m
，根据对数运算求得结果即可.
【详解】由已知
0
20
W
，
50
m
，
50
14
W
，代入
0 ln
W m
W
Km
，
则
14
20ln 50K
，解得
7
10
e
50
K
，
则
10
7
e
20ln
50
m
W m
，
因为用药量为50 时，在规定时间后测得白细胞数量为14，白细胞数量偏高，
所以令
7
10
e
20ln
10
50
m
W m
，即
10
7
e
1
ln
50
2
m
，解得
1
5
50e
50 1.221
61.05
m
.
所以使白细胞数量达到正常值，则需将用药量至少提高到62.
故选：D.
3．垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存､投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做
好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率v 与时间t（月）近似地满足关系
t
v
a b
（其
中,a b 为正常数），经过5 个月，这种垃圾的分解率为5%，经过10 个月，这种垃圾的分解率为10% ，那么
这种垃圾完全分解大约需要经过（
）个月.（参考数据：lg2
0.3
）
A．20
B．24
C．26
D．27
【答案】D
【分析】根据题意，
5
5%
v
，
10
10%
v
联立方程组，可解得,a b 的值，求得
v t 的函数表达式，令
100%
v
，运算得t 的值.
【详解】依题意得
5
10
5%
10%
a b
a b
，解得
1
5
2
b
，
2.5%
a
，则
1
5
2.5% 2
t
v
，
这种垃圾完全分解，即分解率为100% ，即
1
5
2.5% 2
1
t
v
，
所以
1
5
2
40
t
，所以
2
1
log 40
5t
，
所以
2
5lg40
5log 40
lg2
t
5(lg4 1)
5(2lg2 1)
lg2
lg2
5
5
10
10
27
lg2
0.3
.
故选：D.
4．已知
5
log 2
a
，
8
log 3
b
，3
2
c
，则下列判断正确的是（
）
A．c
b
a
B．b
a
c
C．a
c
b
D．a
b
c
【答案】D
【分析】用中间特殊值法进行对数式比较大小，对于,b c 可通过作商进行比较即可.
【详解】由题意得，
5
log 2
a
，
8
log 3
b
，3
2
c
，
所以
3
log 2
c
，
3
8
2
2
1
log 3
log
3
log 3
3
b
又因为
3
0.3010
0.631
0.4771
lg 2
log 2
lg3
，所以
2
3
3 log 2
1.19
，
所以
2
3
3
3
3
3
2
3
2
3
2
8
log 2
log 2
3log 2
1
3log 2
3log 2
3 log 2
1
1
log 3
log 2
log 3
log
log 3
3
3
c
b
，
即c
b
,
又因为
5
5
8
8
1
log 2
log
5
log 2 2
log 3
2
a
b
，
即a
b
c
．
故选：D．
5．下列结果正确的是（
）
A．n
n
a
a
B．log
)
log
lo
(
g
a
a
a
MN
M
N
＋
C．
1
1
3
2
2
2
a
a
a
a
D．
3
9
4
8
5
log 2
log 2
log 3
lo
(
)
g 3
(
4
)
【答案】D
【分析】根据指数幂运算及对数运算公式判断各个选项.
【详解】对A：当n为偶数且a<0 时，n
n
a
a
a
，故A 不正确；
对B：只有
0,
0
M
N
时，log
)
log
lo
(
g
a
a
a
MN
M
N
＋
才成立，故B 不正确；
对C：
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
，故C 不正确；
对D：
3
9
4
8
3
3
2
2
1
1
log 2
log 2
log 3
log 3
lo
1
(
) (
)
(
) (
g 2
log 2
log 3
log 3 )
3
2
2
3
2
3
3 ln 2
ln3
5
log 2
log 3
2
2 ln3
ln 2
4
5
5
6
6
，故D 正确；
故选：D
6．已知
5
3
0.2,
log 0.3
a
b
，则（
）
A．
2
ab
B．1
2
ab
C．0
1
ab
D．1
0
ab
【答案】B
【分析】利用指对互化及对数运算法则化简求解即可.
【详解】因为3
0.2
a
，所以
3
3
log 0.2
log 5
a
，
所以
5
3
5
3
3
5
log 0.3
10
log 5
log 0.3
log 0.3
log
log 3
3
ab
.
因为
3
3
3
10
log 3
log
log 9
3
，所以
3
10
1
log
2
3
ab
，
故选：B.
7．若2
3
12
1
x
y
z
，则
4
8
x
y
z
xy
的取值范围是（
）
A．
1,4
B．
1,
C．
2 2,
D．
4,
【答案】D
【解析】首先利用指对互化，得到2
1
1
x
y
z
，变形
4
8
x
y
z
xy
后，利用基本不等式求最值.
【详解】设2
3
12
1
x
y
x
k
，所以
2
log
0
x
k
，
3
log
0
y
k
，
12
log
0
z
k
，
1
log 2
k
x
，1
log 3
k
y
，1
log 12
k
z
，所以2
1
1
x
y
z
，
所以
1
2
4
4
4
2
4
z
z
z
y
x
z
z
，当且仅当
2
z
时，等号成立.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用指对互化，以及换底公式，得到2
1
1
x
y
z
，再变形已知式子后就
可以使用基本不等式求最值.
8．（多选）已知函数
2
log
,
0
2 ,
0
x
x x
f
x
x
，若
1
2
f a
，则
a
（
）
A．1
B．1
C．
2
D．
2
【答案】BC
【分析】分
0
a
与
0
a
两种情况，解方程，求出答案.
【详解】当
0
a
时，
2
1
log
2
a
，解得
1
2
2
2
a
，满足要求，
当
0
a
时，
1
2
2
a
，解得
1
a ，满足要求.
故选：BC
9.求值：
(1)
2
3
lg3
lg9
lg
27
lg 3
5
5
lg81 lg27
；
(2)
5
5
5
5
7
log 35
2log
log 7
log 1.8
3
．
【答案】(1)11
5
(2)2
【分析】结合对数的化简和对数的基本运算化简即可.
【详解】（1）
4
3 3
1
2
3
4
3 3
1
1
lg3
lg3
lg3
lg9
lg
27
lg 3
lg3
lg3
lg3
lg3
11
5
5 2
2
5
5
5
5 2
2
81
lg81 lg27
lg3
5
lg 27
；
（2）
2
5
5
5
5
5
5
5
5
7
7
log 35
2log
log 7
log 1.8
log 35
log
log 7
log 1.8
3
3
2
5
5
5
49
9
9
5
log
35
7
log
35
7
log 5
2
9
5
49
9
10．求下列各式中x 的值：
(1)
lg 10
1
3lg
x
x
；
(2)3ln
6
ln
x
x
；
(3) lg
2
2lg
10
x
x
；
(4)
1
log
2
2
x
x
．
【答案】(1)10
(2)
3e
(3)
1
3
10
(4) 1
4
【分析】根据对数运算公式和换底公式解方程即可.
【详解】（1）
lg 10
1
lg
1 1
3lg
x
x
x
，即2lg
2
x
，即lg
1
x ，
10
x
.
（2）3ln
6
ln
2ln
6
ln
3
x
x
x
x
，所以
3e
x
.
（3）
1
lg
2
2lg
lg
1
2
2lg
3lg
1
lg
10
3
x
x
x
x
x
x
，所以
1
3
10
x
.
（4）
1
lg 2
lg
1
1
log
2
lg
lg 4
lg
2
lg
2
4
x
x
x
x
x
，所以
1
4
x
.
11.已知log 3
a
m
，log 2
a
n
（
0
a
且
1
a ）．
(1)求
2
m
n
a
的值；
(2)若
3
log 2 1
m
n
，解关于x 的不等式：
2
(
1)
6
0
tx
at
x
a
（其中
R
t
）．
【答案】(1)12
(2)答案见解析
【分析】（1）利用对数式与指数式的互化，及指数幂的运算即可得解；
（2）利用对数的运算可得
3
a
，再分类讨论
0
t
，
0
t
，
1
0
3
t
，
1
3
t
和
1
3
t
，解不等式即可得解.
【详解】（1）由log 3
a
m
，log 2
a
n
，得
3
m
a
，
2
n
a
,
所以
2
2
2
3 2
12
m
n
m
n
a
a
a
；
（2）因为
log 3
log 2
log 6
a
a
a
m
n
，
3
3
3
36
log 2 1
log 2
log
l
3
og
，
又
3
log 2 1
m
n
，所以
3
log 6
6
log
a
，解得
3
a ，
不等式
2
2
(
1)
6
0
(3
1)
3
0
tx
at
x
a
tx
t
x
，
①当
0
t
时，不等式为
3
0
x
，解得
3
x
，不等式的解集为
3,；
②当
0
t
时，
2
(3
1)
3
0
tx
t
x
变形为
1
3
0
tx
x
，
令
1
3
f
x
tx
x
，
当
0
t
时，1
3
t
，二次函数
f
x 开口向下，不等式的解集为
1
,
3,
t
；
当
1
0
3
t
时，1
3
t
，二次函数
f
x 开口向上，不等式的解集为
1
3, t
；
当
1
3
t
时，二次函数开口向上，不等式的解集为；
当
1
3
t
时，1
3
t ，二次函数开口向上，不等式的解集为1,3
t
；
综上可知，当
0
t
时，不等式的解集为
1
,
3,
t
；
当
0
t
时，不等式的解集为
3,；
当
1
0
3
t
时，不等式的解集为
1
3, t
；
当
1
3
t
时，不等式的解集为；
当
1
3
t
时，不等式的解集为1,3
t
.
模块三：综合巩固
1．求值：
(1)
5
log 25；
(2)
3
1
log 243 ；
(3)
1
16
log
2；
(4)
3
log
9 ；
(5) lg100；
(6)
0.1
log
10 ；
(7)
15
1
log
225 ；
(8)
3
7
log
49 ．
【答案】(1)2
(2) 5
(3)
1
4
(4)4
(5)2
(6) 1
(7) 2
(8) 2
3
【分析】根据对数的定义，以及对数运算公式，即可求解.
【详解】（1）
5
5
log 25
2log 5
2
；
（2）
5
3
3
3
1
log
log 3
5log 3
5
243
；
（3）
4
1
2
2
16
1
1
log
2
log
2
log 2
4
4
-
=
= -
= -
；
（4）
1
2
3
3
3
log
9
log
9
2log 9
4
；
（5）
2
lg100
lg10
2lg10
2
；
（6）
1
0.1
10
log
10
log
10
lg10
1
；
（7）
2
15
15
15
1
log
log 15
2log 15
2
225
；
（8）
1
3
3
7
7
7
1
2
log
49
log 49
log 49
3
3
.
2．用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式：
(1)
lg xyz ；
(2)
2
3
lg x yz
；
(3)
2
3
lg x y
z
；
(4)
2
1
3
2
lg x
yz
．
【答案】(1) lg
lg
lg
x
y
z
(2) 2lg
lg
3lg
x
y
z
(3) 2lg
lg
3lg
x
y
z
(4)
1
2
lg
lg
lg
2
3
x
y
z
【分析】根据对数的运算法则和性质即可.
【详解】（1）lg(
)
lg
lg
lg
xyz
x
y
z
；
（2）
2
3
2
3
lg
lg
lg
lg
2lg
lg
3lg
x yz
x
y
z
x
y
z
；
（3）
2
2
3
2
3
lg
lg
lg
lg
lg
3lg
2lg
lg
3lg
x y
x y
z
x
y
z
x
y
z
z
；
（4）
2
2
1
1
3
3
2
2
1
2
lg
lg
lg
lg
lg
lg
lg
2
3
x
yz
x
y
z
x
y
z
.
3.若
0
a
，
2
3
4
9
a
，则
2
3
log a ＝（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】利用指数运算求出a ，再利用对数运算性质计算即得.
【详解】由
2
3
4
9
a
，得
2
6
2
( )
3
a
，而
0
a
，解得
3
2
( )
3
a
，
所以
3
2
2
3
3
2
log
log ( )
3
3
a
.
故选：B
4.二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21 大小的，即441 个点，根据0 和1 的二进制编
码，一共有2441 种不同的码，假设我们1 万年用掉3×1015 个二维码，那么大约可以用（
）（lg 2
0.301
，
lg3
0.477
）
A．
117
10
万年
B．
118
10
万年
C．
119
10
万年
D．
200
10
万年
【答案】A
【分析】设
441
15
2
3 10
x
，然后根据对数的运算解出x 即可.
【详解】
1
万年用掉
15
3 10
个二维码，大约能用
441
15
2
3 10
万年，设
441
15
2
3 10
x
，
则
441
441
15
15
2
lg
lg
lg2
lg3
lg10
441lg2
lg3 15
3 10
x
441 0.301
0.477
15
117,
即
117
10
x
万年，
故选：A
5.（1）已知a ，b ，c是不等于1 的正数，且
x
y
z
a
b
c
，1
1
1
0
x
y
z
，求abc ；
（2）已知3
5
a
b
c
，且1
1
2
a
b
，求c ．
【答案】（1）1；（2）15
【分析】（1）将指数式化为对数式，结合对数运算，化简求得abc 的值.
（2）将指数式化为对数式，结合对数运算，化简求得c 的值.
【详解】（1）设
x
y
z
a
b
c
t
，
0
t
，
loga
x
t
，
logb
y
t
，
logc
z
t
，
1
1
1
1
1
1
log
log
log
log
0
log
log
log
t
t
t
t
a
b
c
a
b
c
abc
x
y
z
t
t
t
，
0
1
abc
t
，即
1
abc ．
（2）
3
5
0
a
b
c
，
3
log
a
c
，
5
log
b
c
，
且
3
5
1
1
1
1
log 3
log 5
log 15
2
log
log
c
c
c
a
b
c
c
，
2
15
c
，
又
0
c
，则
15
c
．
6．(多选)下列运算正确的是（
）
A．
3
2
1
4
2
3
0
x
x
x
B．
3
4
1
5
6
4
a
a
a
a
a
a
C．
27
3
log 16
4
log 8
9
D．若
1
x
xe ,则
ln
0
x
x
【答案】ACD
【分析】关于A,B 将根式转化为分数指数幂的形式,再根据分数指数幂计算法则进行化简,即可得选项正误,
关于C 用对数的运算法则将幂转化为分式,化简即可,关于D,先判断出
0
x
,然后两边取对数,再展开即可判
断正误.
【详解】解:由题知关于选项A:
2
1
4
4
2
3
3
3
3
2
0
x
x
x
x
,
故选项A 正确;
关于选项B:
1
5
1
1
1
3
4
3
6
2
4
4
1
5
5
1
1
5
6
4
6
6
4
4
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
,
故选项B 错误;
关于选项C:
3
4
3
27
3
3
3
3
3
4
4
log 2
log 2
log 16
4
3
3
log 8
log 2
3log 2
3
9
,
故选项C 正确;
关于选项D:
e
1
x
x
,
0
x
,
对等式两边取对数有,
ln
e
ln1
x
x
,
即ln
ln e
ln
0
x
x
x
x
故选项D 正确.
故选:ACD
7．(多选)已知
10
lg
log
1
x
y
，则（
）
A．
2
2
10
lg
log
2
x
y
B．
10
x y
C．
10
lg 10
log
10
4
x
y
D．当
1,
1
x
y
时，log 10
log
10
x
y
的最小值为4
【答案】ACD
【分析】由对数化简式和对数基本运算逐一验证ABC 选项即可；由换底公式和基本不等式可验证D 项
【详解】由题可知
0,
0
x
y
，则
2
2
10
10
lg
log
2lg
2log
2
x
y
x
y
，A 正确；
由
10
lg
log
1
x
y
，得
2
2
10
2
lg
log
lg
lg
lg
1
2
x
y
x
y
xy
，
所以
2
10
xy
，B 错误；
10
10
10
lg 10
log
10
lg10
lg
log
10
log
x
y
x
y
10
1 2
lg
log
3 1
4
x
y
，C 正确；
当
1,
1
x
y
时，
10
lg
0,log
0
x
y
，则
10
1
1
log 10
log
10
lg
log
x
y
x
y
10
10
10
10
log
1
1
lg
lg
log
2
lg
log
lg
log
y
x
x
y
x
y
x
y
10
10
log
lg
2
2
4
lg
log
y
x
x
y
，当且仅当
2
10
x
y
时，等号成立，
所以log 10
log
10
x
y
的最小值为4，D 正确．
故选：ACD
8．若
1
x
xe ，ln
1
e
y
y
，则xy （
）
A．3
B．e
C．1
e
D．1
【答案】B
【分析】由已知等式可得
ln
0
ln
0
x
x
e
e
y
y
，构造函数
ln
f x
x
x
，分析出函数
f
x 在
0,
上为增函数，
由
e
f x
f
y
可求得xy 的值.
【详解】等式
1
x
xe 两边取自然对数可得
ln
ln
0
x
xe
x
x
，
由ln
1
e
y
y
可得ln
1
ln
ln
ln
0
e
e
y
e
y
y
e
y
y
e
y
，所以，
ln
ln
0
e
y
e
e
y
e
y
y
，
构造函数
ln
f x
x
x
，则函数
f
x 在
0,
上为增函数，
由
1
x
xe 可知
0
x
，由ln
1
e
y
y
可知
0
y
，从而
0
e
y
，
由上可知
e
f x
f
y
，所以，
e
x
y
，因此，xy
e
.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键点在于利用已知等式变形得出
ln
0
ln
0
x
x
e
e
y
y
，通过利用函数
f
x 的单
调性得出
e
x
y
，进而求得结果.
9.已知
0
a
，
0
b
，则“
1
a
b
”是“lg
lg
0
a
b
”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由lg
lg
0
a
b
可得
1
ab ，利用充分条件和必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】因为
0
a
，
0
b
，由
lg
lg
lg
0
a
b
ab
，可得
1
ab ，
所以，“
1
a
b
”“
1
ab ”；但“
1
a
b
”“
1
ab ”.
所以，已知
0
a
，
0
b
，则“
1
a
b
”是“lg
lg
0
a
b
”的充分不必要条件，
故选：A.
10.已知
3
4
log 3
a
，
1
2
8.8
b
，
8
log 2
c
，则（
）
A．a
b
c
B．a
c
b
C．b
a
c
D．c
a
b
【答案】B
【分析】求得
1
3
c
，分别比较
2
b 与1
9 ，3a 与1的大小可得, ,
a b c 的大小.
【详解】
8
lg2
lg2
1
log 2
lg8
2lg2
3
c
，
2
1
1
1
.8
8
8
8.
9
b
，所以
1
3
b
c
，
3
3
3
4
64
81
3
3log
log
log
1
3
27
27
a
，所以
1
3
a
c
，
所以a
c
b
.
故选：B.
11.设
ln3
m =
，
lg3
n
，则（
）
A．m
n
mn
m
n
＞
＞
B．m
n
m
n
mn
＞
＞
C．m
n
mn
m
n
＞
＞
D．m
n
m
n
mn
＞
＞
【答案】D
【分析】先求出m ，n 的大致范围，可以得出m
n
与m
n
、mn 的大小关系，然后通过研究m
n
与mn 的
比值，可得出它们的大小关系.
【详解】解：因为
(
)
ln3
1,2
m =
Î
，
lg3
0,1
n
，
所以m
n
mn
，m
n
m
n
，
因为
3
3
3
3
1
1
1
1
10
log 10
log e
log
log 3
1
lg3
ln3
e
m
n
mn
n
m
，
所以
1
m
n
mn
，即m
n
mn
，
故选：D.
12.(多选)下列各式正确的是（
）
A．设
0
a
，
1
a 则
1
2
3
2
2
a
a
a
B．已知3
1
a
b
，则81 3
3
3
a
b
a
C．若log 2
a
m
，log 5
a
n
，则
2
20
m n
a
D．
4
5
1
1
2
log 9
log 3
【答案】BCD
【分析】由幂指数的运算可判断AB,由对数的运算性质以及换底公式可判断CD.
【详解】对于A,
2
2
2
2
3
2
2
3
3
4
3
a
a
a
a
a
a
,故A 错误，
对于B，
4
3
81 3
3
3
3
3
3
3
a
b
a
b
a b
a
a
，故B 正确，
对于C,由log 2
a
m
，log 5
a
n
得2
2log 2
l
log 5
log 5
log 2
og
0
4
a
a
a
a
a
m
n
，所以
2
20
m n
a
，故C
正确，
对于D，
9
3
3
3
3
4
5
3
1
1
log
log
log
log
2
log
4
5
2
5
l
9
og 10
l
o
g
3
9
l g
o
，故D 正确，
故选：BCD
13.正数
,a b 满足
2
3
6
3
log
2
log
1
log
a
b
a
b
，则a
b
的最小值为
．
【答案】1
3
【分析】利用对数的运算法则求得1
1
12
a
b
，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】令
2
3
6
3
log
2
log
1
log
a
b
a
b
x
，
则
3
2x
a
，
2
3x
b
，
1
6x
a
b
，
所以
1
1
1
2
3
2
3
2
1
1
6
2
3
2
3
12
2
3
2
3
x
x
x
x
x
x
x
a
b
a
b
ab
，
故
1
1
1
1
1
1
2
2
2
12
12
12
3
a
b
a b
a
b
a
b
a
b
b
a
b a
，
当且仅当a
b
b
a
，即
1
6
a
b
时等号成立，
所以a
b
的最小值为1
3 .
故答案为：1
3 ．
14.已知
0,
1, ,
a
a
x y
为正实数，且
log
log
log
3
4
a
a
a
x
y
x
y
，则
y
x
的值为
.
【答案】7
3 5
2
±
【分析】利用对数运算法则得到
1
4
3
x
y
xy
，变形得到
4
4
3
x
y
y
x
，换元后求出答案.
【详解】
1
4
log
log
log
log
3
4
a
a
a
a
x
y
x
y
xy
，
故
1
4
3
x
y
xy
，即
1
1
1
1
2
2
4
4
3
x
y
x y
，
方程同除以
1
1
4
4
x y 得
1
1
2
2
1
1
4
4
3
x
y
x y
，即
4
4
3
x
y
y
x
，
设4 y
t
x ，则1
3
t
t
，故
2
3
1
0
t
t
，
解得
3
5
2
t
，
故
2
2
3
5
2
7
3 5
2
y
t
x
.
故答案为：7
3 5
2
±
15．已知
5
5
log 3
,log 4
a
b
，求证：
25
1
log 12
(
)
2 a
b
.
【答案】证明见解析.
【解析】对
25
log 12 用换底公式，换成以5 为底的对数即可证明.
【详解】证明：
5
5
log 3
,log 4
a
b
，
5
5
5
25
5
log 12
log 3
log 4
log 12
log 25
2
2
a
b
，
即
25
1
log 12
(
)
2 a
b
.
【点睛】本题考查对数的换底公式的应用，属于基础题.
