7.1数系的扩充和复数的概念（解析版）(1)_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_复数知识点题型分类PDF

7.1 数系的扩充和复数的概念
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：复数的引入..................................................................2
考点二：复数的概念..................................................................2
考点三：复数的表示................................................................... 2
考点四：复数的分类................................................................... 2
考点五：复数相等......................................................................2
模块二：题型分类.........................................................................2
题型一：复数的概念................................................................... 2
题型二：求复数的实部与虚部....................................................... 6
题型三：虚数单位i 及其性质........................................................6
题型四：复数相等的充要条件....................................................... 7
题型五：复数的分类及应用........................................................ 10
题型六：复数中的比较大小........................................................ 11
题型七：根据复数的概念求参数...................................................13
模块三：综合巩固....................................................................... 14
7.1 数系的扩充和复数的概念
模块一：基础知识
考点一：复数的引入
为了解决
+1=0 这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定：
①
=-1，即i 是方程
+1=0 的根；
②实数可以和数i 进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立.
在此规定下，实数a 与i 相加，结果记作a+i；实数b 与i 相乘，结果记作bi；实数a 与bi 相加，结果
记作a+bi.注意到所有实数以及i 都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.
考点二：复数的概念
我们把形如
, ,
a
bi a b
R


的数叫做复数,其中i 叫做虚数单位,满足
2
1
i .全体复数所构成的集合
{
| ,
}
C
a
bi a b
R



叫做复数集.
复数的表示:复数通常用字母z 表示,即
, ,
z
a
bi a b
R



,其中的a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部.
考点三：复数的表示
复数通常用字母z 表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi 都有a,b∈R，其中的a
与b 分别叫做复数z 的实部与虚部.
考点四：复数的分类
对于复数a+bi，当且仅当b=0 时，它是实数；当且仅当a=b=0 时，它是实数0；当b≠0 时，它叫做虚
数；当a=0 且b≠0 时，它叫做纯虚数.
显然，实数集R 是复数集C 的真子集，即R
C.
复数z=a+bi 可以分类如下：
复数
，
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示.
考点五：复数相等
在复数集
{
| ,
}
C
a
bi a b
R



中任取两个数a
bi

，c
di

，（
, , ,
a b c d
R

），我们规定
a
c
a
bi
c
di
b
d







.
模块二：题型分类
题型一：复数的概念
1．复数2i （
）
A．i
B．i

C．1
D．1

【答案】D
【分析】直接根据复数的运算得答案.
【解析】
2i
1
.
故选：D.
2.在2 +
7，
2
7 i，8 + 5i，(1 −
3)i，0.618 这五个数中，纯虚数的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【解题思路】根据复数的定义、复数的分类判断．
【解答过程】
�
��，(�−
�)�是纯虚数，�+
�，0.618 是实数，�+ ��是虚数．故纯虚数的个数为2．
故选：C．
3．下列说法正确的是（
）
A．i 表示虚数单位，所以它不是一个虚数
B．1
的平方根是
i

C．


ib bR 是纯虚数
D．若


z
a a

R ，则复数z 没有虚部
【答案】B
【分析】用复数的相关概念判断即可
【解析】A：i 表示虚数单位，也是一个虚数，故A 错误；
B：由

2
i
1

，可知1
的平方根是
i
，故B 正确；
C：当
0, i
b
b

是实数，故C 错误；
D：若


z
a a

R ，则复数z 虚部为0，故D 错误；
故选：B
4.写出复数4，2
3i

，0，
1
4 i
2
3


，5
2i

，6i 的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是
纯虚数．
【答案】答案见解析
【详解】4，2
3i

，0，
1
4 i
2
3


，5
2i

，6i 的实部分别是4，2，0，
1
2

，5，0，虚部分别是0，3
，0，
4
3 ，
2 ，6．
4，0 是实数；
2
3i

，
1
4 i
2
3


，5
2i

，6i 是虚数，其中6i 是纯虚数．
5．复数
3
2
i
4
z










的虚部为（
）
A．2
B．
3
4

C．
3
2
4

D．
3
2
4









i
【答案】C
【分析】根据复数虚部的知识求得正确答案.
【解析】依题意，复数
3
2
i
4
z










的虚部为
3
2
4

.
故选：C
6.已知i 为虚数单位，下列说法正确的是（
）
A．若�2 + 1 = 0，则�= i
B．实部为零的复数是纯虚数
C．�= �2 + 1 i 可能是实数
D．复数�= 2 + i 的虚部是i
【解题思路】根据复数的概念即可求解.
【解答过程】A.�=± i，说法不正确；
B.实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，说法不正确；
C.当�= i 时，�= ��+ �i 是实数，说法正确；
D.复数�= �+ i 的虚部是1，说法不正确.
故选：C.
7．若复数
2
3
2 i
z
a
a


的实部与虚部互为相反数，则实数a 的值为
．
【答案】1 或－3
【分析】复数
i
a
b

，实部为a ，虚部为b ，根据实部与虚部互为相反数列方程求解.
【解析】复数
2
3
2 i
z
a
a


的实部为
2
3
a ，虚部为2a .
则依题意
2
3
2 =0
a
a

，解得=1
a
或=
3

a
.
故答案为：1 或－3.
8．若
2
(1 i)
2 i(
n
n n


N 且
0)
n 
，则（
）
A．
4 (
n
k k

N 且
0)
n 
B．
4
1(
n
k
k


N 且
0)
n 
C．
4
2(
n
k
k


N 且
0)
n 
D．
4
3(
n
k
k


N 且
0)
n 
【答案】B
【分析】先化简

2
1
i

，结合
2
(1
i)
2 i
n
n


可得选项.
【解析】因为

2
1
2
i
i


，所以


2
(1
i)
2i
2 i
n
n
n n



，
由
2
(1
i)
2 i
n
n


，所以ni
i
，所以
4
1
n
k

；
故选：B.
9.已知
1z ＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i ，
2z ＝2a＋(a2＋a)i，其中a
R

，
1
2
z
z

，则a 的值为（
）
A．0
B．－1
C．
3
2

D．1
6
【答案】A
【详解】由
1
2
z
z

，可知两个复数均为实数，即其虚部为零，故
2
2
2
3
0
0
4
1
2
a
a
a
a
a
a










，即




2
3
0
1
0
1
6
a
a
a a
a











，解得a
＝0.
故选：A.
10.下列四种说法正确的是（
）
A．如果实数a
b

，那么
(
)i
a
b
a
b


是纯虚数．
B．实数是复数．
C．如果
0
a 
，那么
i
z
a
b


是纯虚数．
D．任何数的偶数次幂都不小于零．
【答案】B
【详解】对于A 中，若
0
a
b
=
=
，那么
(
)i
0
R
a
b
a
b





，所以A 错误；
对于B 中，由复数的概念，可得实数是复数，所以B 正确；
对于C 中，若
0
a 
且
0
b 
时，复数
i
0
R
z
a
b




，所以C 不正确；
对于D 中，由虚数单位
2i
1
，可得D 错误.
故选：B.
11.（多选）下列关于复数
i
x 的说法一定正确的是（
）
A．存在x 使得
i
x 小于0
B．存在x 使得

2023
i
1
x 

C．不是实数
D．实部和虚部均为1
【答案】AB
【详解】由复数x＋i，取x＝－2－i，可知A 正确；
当x＝1 i
时，

2023
i
1
x 
，故B 正确；
当x＝－i 时，x＋i＝0 为实数，故C 不正确；
由于x 的取值未知，故D 错误．
故选：AB .
题型二：求复数的实部与虚部
1．已知复数
2
i
z ，则z 的实部是（
）
A．
2

B．2
C．
1

D．i

【答案】A
【解析】
2
i
z ，故实部为
2
.故选：A
2．设
6
2i
z 

，则复数z 的虚部为（
）
A．2

B．2
C．2i

D．2i
【答案】A
【解析】复数z 的虚部为2
，故选：A
3．复数
sin
icos
6
6
π
π
z 

，则复数z 的虚部是（
）
A．
1
2

B．
3
2

C．1 i
2
D．
3 i
2

【答案】B
【解析】
1
3
sin
icos
i
π
6
π
6
2
2
z 



，故虚部为
3
2

.故选：B
4．复数
1
2i
z 
，则（
）
A．z 的实部为1

B．z 的虚部为
2

C．z 的实部为1

D．z 的虚部为
2i

【答案】B
【解析】因为
1
2i
z 
，所以，
1
2i
z 
所以z 与z 的实部均为1，A，C 错误；
z 的虚部为
2

，B 正确，D 错误.故选：B.
5．（多选）
cos
icos2 (0
2 π)
z







的实部与虚部互为相反数，则的取值可能是（
）
A．π
3
B．2π
3
C．π
D．5π
3
【答案】ACD
【解析】由题意得：cos
cos 2



，
2
2cos
cos
1
0





，解得：cos
1
或1
2 ，
0
2





，
π



或π
3 或5π
3 ，故选：ACD.
题型三：虚数单位i 及其性质
1.计算：
(1)
2
3
4
i i
i
i



；
(2)
2
3
4
5
6
7
8
i
i
i
i
i
i
i
i






．
【答案】(1) 1

(2)0
【详解】（1）原式



2
i
1
i 1
i
1


；
（2）原式
2
3
4
2
3
4
i
i
i
i
i
i
i
i






，



2
i
1
i
1
0










.
2：
2
3
2023
1 i
i
i
i






.
【答案】0
【详解】


2
3
2023
2
3
2
3
1
i
i
i
i
1
505 i
i
i
1
i
i
i
0












，
故答案为：0.
3.计算下面式子：
2
3
2022
2023
i
2i
3i
2022i
2023i





．
【答案】1012 1012i


/ 1012
1012
i


【详解】∵
2
3
4
2i
2,3i
3i,4i
4



，∴
2
3
4
i
2i
3i
4i
i
2
3i
4
2
2i








，
则
5
6
7
8
2021
2022
2023
2024
5i
6i
7i
8i
2
2i,
,2021i
2022i
2023i
2024i
2
2i











，故原式


506
2
2i
2024
1012
1012i






．
故答案为：1012 1012i


.
5.已知i 为虚数单位，则2033
i
（
）
A．i
B．i

C．1
D．1

【答案】A
【详解】

508
2033
4
i
i
i
i

，
故选：A
题型四：复数相等的充要条件
1．求适合下列各方程的实数x ，y 的值：
（1）

i
6
7i
x
y
xy




；
（2）


2
2
4
5
3
4 i
0
x
x
y
y






；
（3）




2
1
1 i
i
x
y
x
y
x
y






．
【答案】（1）
1
7
x
y





或
7
1
x
y





；（2）
5
4
x
y





或
5
1
x
y





或
1
4
x
y





或
1
1
x
y





；（3）
2
3
y
x




【解析】（1）因为x ，y 为实数，且

i
6
7i
x
y
xy




，
则
6
7
x
y
xy






，解得
1
7
x
y





或
7
1
x
y





；
（2）因为


2
2
4
5
3
4 i
0
x
x
y
y






且x ，y 为实数，
所以
2
2
4
5
0
3
4
0
x
x
y
y









，
解
2
4
5
0
x
x



得
5
x 
或= 1
x ，
解
2
3
4
0
y
y



得
4
y 或
1
y ，
所以
5
4
x
y





或
5
1
x
y





或
1
4
x
y





或
1
1
x
y





；
（3）因为




2
1
1 i
i
x
y
x
y
x
y






且x ，y 为实数，
所以


2
1
1
x
x
y
y
x
y






，解得
2
3
y
x




.
2.已知





2
i
2
5
3
i
x
y
x
y
x
x
y







，求实数x ，y 的值．
【答案】
3
2
x
y





【详解】解根据两个复数相等的充要条件，可得
2
5,
2
3
,
x
y
x
x
y
x
y








整理得
5,
2
3
0,
x
y
x
y







解得
3,
2.
x
y





3.若
2
i
2i
2 i
x
y
y



，,
R
x y 
，则复数
i
x
y

等于（
）
A．2 i

B．4
2i

C．1
2i

D．1
2i

【答案】B
【详解】由
2i
1
，得
2
i
2i
2
i
x
x



，则2
i
2 i
x
y
y



，
根据复数相等的充要条件得
2
2
y
x
y




，解得
4
2
x
y





，
故
i
4
2i
x
y



．
故选：B．
4．已知�
1
2 −
i
2 = 1 −�i，其中x，y 是实数，i 是虚数单位，则�−�=（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【解题思路】由复数相等的条件列方程组求解出�, �，从而可求出�−�的值.
【解答过程】由题意得
�
�−
�
�i = �−�i，
所以
�
�= �
−
�
�=−�
，得�= �
�= �，
所以�−�= �.
故选：A.
5．若,
R
a b
，i 是虚数单位，
2020i
2
i
a
b



，则
2
i
a
b

＝（
）
A．2020
2i

B．2020
4i

C．2
2020i

D．4
2020i

【答案】D
【解析】因为
i
i
2020
2
a
b



，所以
2
a 
，
2020
b

，即
2
a 
，
2020
b 
，
所以
2
i
4
2020i
a
b



．故选：D．
6．已知
2
1
2
log (
)
(
3 )i
1
m
n
m
m



，且
*
N
n
，则m
n


.
【答案】1或2
【解析】因为
2
1
2
log (
)
(
3 )i
1
m
n
m
m



，
所以




1
2
2
log
1
3
0
m
n
m
m








①
②
，
由②解得
0
m 
或
3
m 
，
当
0
m 
时，
1
2
log
1
n ，解得0
2
n


，
又因
*
N
n
，所以
1
n 或2 ，
当
3
m 
时，


1
2
log
3
1
n 
，解得3
1
n

，
又
*
N
n
，所以不存在这样的n ，
综上所述，
1
m
n

或2 .
7．（1）若




2
1
1 i
i
x
y
x
y
x
y





，则实数,x y 的值为多少？
（2）若



2
2
1
2
3
4i,
3
1
6 i
z
z
n
m
n
m








，且
1
2
z
z

，则实数,n m 的值分别为多少？
【答案】（1）
3
2
x
y





；（2）
1
1
n
m





或
1
1
n
m





【解析】（1）由已知得
2
1
1
x
x
y
y
x
y





，解得
3
2
x
y





；
（2）由已知得
2
2
3
1
3
6
4
n
m
n
m








，解得
1
1
n
m





或
1
1
n
m





.
8.已知复数�1 = �+ 4 −�2 i, �2 = 2cos�+ �+ 3sin�i, �, �, �∈�，且�1 = �2，则�的取值范围是（
）
A．−
9
16 , 1
B．−
9
16 , 7
C．−
9
16 , + ∞
D．1,7
【解题思路】利用复数相等可得和三角函数的平方关系可得�= �����−
�
�
�
−
�
��，再根据正弦函数的取
值范围与二次函数的性质可得�的取值范围.
【解答过程】复数��= �+ �−��i, ��= �cos�+ �+ �sin�i, �, �, �∈�，且��= ��，
所以
�= �����
�−��= �+ �����，则�= �−������−�����= ������−�����= �����−
�
�
�
−
�
��
因为�∈�，所以����∈−�, �，当����=
�
�时，�min =−
�
��，当�=−�时，�max = �
所以�的取值范围是−
�
��, �.
故选：B.
题型五：复数的分类及应用
1.当实数m 取什么值时，复数
2
2
(
2
8)
(
2 )i
m
m
m
m




是下列数？
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数.
【答案】(1)
0
m 
或
2
m 
(2)
0
m 
且
2
m 
(3)
4
m 
【详解】（1）由题意复数
2
2
(
2
8)
(
2 )i
m
m
m
m




，
当
2
2
0
m
m


，即
0
m 
或
2
m 
时，所给复数是实数.
（2）当
2
2
0


m
m
，即
0
m 
且
2
m 
时，所给复数是虚数.
（3）当
2
2
2
8=0
2
0
m
m
m
m







，即
=
4
m 
时，所给复数是纯虚数.
2.若


2
2
2
3
2
2
k
k
k
k i




是纯虚数，则实数k 的值等于（
）
A．0 或2
B．2 或
1
2

C．
1
2

D．2
【答案】C
【详解】因为


2
2
2
3
2
2
k
k
k
k i




是纯虚数，所以
2
2
2
3
2
0
2
0
k
k
k
k








，解得
1
2
k 
；
故选：C.
3．已知复数



2
2
3
28
16 i
z
m
m
m
m





R ．
（1）若z 为实数，求m 的值；
（2）若z 为纯虚数，求m 的值．
【答案】（1）
4
m ；（2）
7
m 
【解析】（1）由题意得
2
16
0
m 

，解得
4
m 
（2）由题意得
2
2
3
28
0
16
0
m
m
m








,即
7
4
4
4
m
m
m







或
且
,解得
7
m 
4．实数x 分别取什么值时，复数
2
2
6
(
2
15)i
3
x
x
z
x
x
x







是（1）实数？（2）虚数？
【答案】（1）
5
x 
；（2）
3
x 且
5
x 
．
【解析】（1）当x 满足
2
2
15
0
3
0
x
x
x







，即
5
x 
时，z 是实数．
（2）当x 满足
2
2
15
0
3
0
x
x
x







，即
3
x 且
5
x 
时，z 是虚数．
5．已知复数



2
2
1 i
z
m
m
m





（
R
m
，i 为虚数单位）为纯虚数，则m 的值是（
）
A．1
B．-1
C．2
D．-2
【答案】C
【解析】因为z 是纯虚数，所以
2
2
0
1
0
m
m
m







，解得
2
m 
.故选：C.
6．复数


2
2
i
z
a
b
a
a




，

,a bR 为实数的充要条件是（
）
A．a
b

B．a<0 且a
b

C．
0
a 
且a
b

D．
0
a 
【答案】D
【解析】若复数


2
2
i
z
a
b
a
a




，

,a bR 为实数，则
0
a
a


，
即a
a
，所以
0
a 
.故选：D
7．（多选）下列命题不正确的是（
）
A．复数


i
,
R
a
b
a b


不可能是纯虚数
B．若
1
x ，则复数
(
1)
(
1)i
z
x
x




为纯虚数
C．若
2
2
(
4)
(
3
2)i
x
x
x




是纯虚数，则实数
2
x 
D．若复数
i
z
a
b


，则当且仅当
0
b 
时，z 为虚数
【答案】ACD
【解析】选项A 中，当=0
a
，
0
b 
时，复数a
bi

是纯虚数，错误；
选项B 中，
1
x 时，
(
1)
(
1)i
2i
z
x
x





为纯虚数，正确；
选项C 中，若


2
2
4
3
2 i
x
x
x




是纯虚数，则
2
2
4
0
3
2
0
x
x
x








，即
2
1
2
x
x
x





且
，
所以
2
x 
，错误；
选项D 中，没有给出,a b 是实数，当
i(
0,
R),
0
a
x x
x
b




时，
i
z
a
b


也是虚数，错误.故选：ACD
题型六：复数中的比较大小
1.已知



2
1
3
2 i
z
m
m
m





，



2
2
2
4
2 i
z
m
m
m





，且
1
2
z
z

，则实数m 
．
【答案】－2
【详解】由题意知
1z ，
2z 均为实数，则
2
2
0
m
m



，即
1
m 或
2
m ．又
1
2
z
z

，则
3
2
4
m
m



，则
1
m ，故
2
m ．
故答案为：－2
2．已知


2
2
1
4
5
6 i
z
k
k
k





，


2
2
3
5
6 i(
R)
z
k
k
k
k





．若
1
2
z
z

，则k 的值为（
）
A．2
B．3
C．2 或3
D．不存在
【答案】C
【解析】因为
1
2
z
z

，
所以
2
2
4
3
5
6
0
k
k
k
k








，解得
2
k 
或
3
k 
．故选：C
3．已知a ，bR ，若


2
2
a
b
a
b i




（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（
）
A．
2
a 
或
1
a 
B．
1
a 或
2
a 
C．1
2
a


D．2
1
a


【答案】A
【解析】由题意，


2
2
a
b
a
b i




，故


2
a
b
a
b i



为实数
2
0
2
a
b
a
b







2
2
0
(
2)(
1)
0
a
a
a
a







，
2
a 
或
1
a ，故选：A
4．已知复数
2
2
3
(
5
6)i
z
k
k
k
k





（k R ），且
0
z 
，求k 的值.
【答案】2
【解析】因为
0
z 
，所以z 是负实数，
则
2
2
3
0
5
6
0
k
k
k
k








，解得
2
k 
.
5．若不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10 成立，求实数m 的值.
【答案】3
【解析】由题意，不等式两边复数可比较大小，即两个复数均为实数，其虚部为零，
故
2
2
2
3
0
4
3
0
10
m
m
m
m
m











，∴





3
0
3
1
0
10
m m
m
m
m











，∴m＝3.
6.已知
2
1
2
log (
)
(
3 )i
1
m
n
m
m



，且
*
N
n
，则m
n


.
【答案】1或2 /2 或1
【详解】因为
2
1
2
log (
)
(
3 )i
1
m
n
m
m



，
所以




1
2
2
log
1
3
0
m
n
m
m








①
②
，
由②解得
0
m 
或
3
m 
，
当
0
m 
时，
1
2
log
1
n ，解得0
2
n


，
又因
*
N
n
，所以
1
n 或2 ，
当
3
m 
时，


1
2
log
3
1
n 
，解得3
1
n

，
又
*
N
n
，所以不存在这样的n ，
综上所述，
1
m
n

或2 .
故答案为：1或2 .
题型七：根据复数的概念求参数
1．已知复数


2
2
7
6
36 i
z
m
m
m





是纯虚数，则实数m 的值为（
）
A．6

B．1 或6
C．6

D．1
【答案】D
【分析】根据实部为零，虚部不为零列式计算.
【解析】由题意可得：
2
7
6
0
m
m



且
2
36
0
m 

，则
1
m .
故选：D.
2．已知a，b 均为实数，复数：
2
(
2 )i
z
a
b
b
a




，其中i 为虚数单位，若
3
z 
，则a 的取值范围为（
）
A．

1,3

B．(
, 1)
(3,
)



C．(
, 3)
(1,
)



D．

3,1

【答案】A
【分析】由复数为实数及不等关系列不等式，解一元二次不等式即可.
【解析】由题


2
2
i
3
z
a
b
b
a




，所以z 为实数，即
2
2
0
3
b
a
a
b







，
则有
2
2
3
0
a
a



，解得1
3
a


，即a 的取值范围为

1,3

.
故选：A
3．若,
R
a b
，i 是虚数单位，
i
2021
2
i
a
b



，则
2
i
a
b

等于（
）
A．2021 2i

B．2021 4i

C．2
2021i

D．4
2021i

【答案】D
【分析】根据复数相等可得
2
a 
，
2021
b

，进而即得.
【解析】因为
i
2021
2
i
a
b



，
所以
2
a 
，
2021
b

，即
2
a 
，
2021
b 
，
所以
2
i
4
2021i
a
b



．
故选：D．
模块三：综合巩固
1．若aR ，则“
1
a ”是复数“
2
1 (
1)i
z
a
a



为纯虚数”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由“
2
1 (
1)i
z
a
a



”为纯虚数，得
2
1
0
1
0
a
a




，解得
1
a ，
故“
1
a ”是复数“
2
1 (
1)i
z
a
a



为纯虚数”的充要条件.故选：C.
2.复数3i 1

的虚部是（
）
A．1
B．1

C．3
D．3

【答案】D
【详解】复数3i 1

的虚部是3
.
故选：D.
3.若a R ，则“
2
a 
”是复数“
2
4
(
2)i
z
a
a




”为纯虚数的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】若
2
a 
，则
4i
z 
为纯虚数；
若
2
4
(
2)i
z
a
a




为纯虚数，a R ，则有
2
4
0
2
0
a
a






，解得
2
a 
.
所以，当aR 时，“
2
a 
”是复数“
2
4
(
2)i
z
a
a




”为纯虚数的充要条件.
故选：C
4.适合
3i
8
i
(
)
x
x
y



的实数x、y 的值为（
）
A．
0
x 
且
3
y 
B．
0
x 
且=
3
y 
C．
5
x 
且
3
y 
D．
3
x 
且
0
y 
【答案】A
【详解】根据复数相等的定义可得，
0
3
8
x
x
y





，解得
0
3
x
y




.
故选：A．
5.已知i 为虚数单位，若复数
(
1)
2i
z
a



为纯虚数，则实数

a
（
）
A．1

B．0
C．1
D．i
【答案】A
【详解】复数
(
1)
2i
z
a



为纯虚数,
1=0
1
，
a
a

.
故选:A.
6.如果复数


2
2
3
1 i
z
m
m
m




是纯虚数，
R
m
，i 是虚数单位，则（
）
A．
1
m 且
3
m 
B．
3
m 
C．
1
m 
D．
1
m 或
3
m 
【答案】B
【详解】复数


2
2
3
1 i
z
m
m
m




是纯虚数，则
2
2
3
0
1
0
m
m
m







，解得
3
m .
故选：B
7.已知纯虚数




2
1 i
4
i
3
z
m
m





，其中i 为虚数单位，则实数m 的值为（
）
A．1
B．3
C．1 或3
D．0
【答案】B
【详解】因为




2
1 i
4
i
3
z
m
m





为纯虚数，
故


2
2
4
i
3
m
m
m
z
m





，则
2
2
4
3
0
0
m
m
m
m








，解得
3
m 
.
故选：B
8.已知a，b 均为实数，复数：
2
(
2 )i
z
a
b
b
a




，其中i 为虚数单位，若
3
z 
，则a 的取值范围为（
）
A．

1,3

B．(
, 1)
(3,
)



C．(
, 3)
(1,
)



D．

3,1

【答案】A
【详解】由题


2
2
i
3
z
a
b
b
a




，所以z 为实数，即
2
2
0
3
b
a
a
b







，
则有
2
2
3
0
a
a



，解得1
3
a


，即a 的取值范围为

1,3

.
故选：A
9.已知复数
1z 和
2z ，则“
1
2
z
z

”是“
1
2
0
z
z

”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
1
2
z
z


，复数
1z 和
2z 是实数，
1
2
0
z
z



成立，
当
1
2
0
z
z

时，例如(2
3i)
( 5
3i)
7
0




，推不出2
3i
5
3i


，
所以“
1
2
z
z

”是“
1
2
0
z
z

”的充分不必要条件.
故选：A
10.已知a ，bR ，若


2
2
a
b
a
b i




（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（
）
A．
2
a 
或
1
a 
B．
1
a 或
2
a 
C．1
2
a


D．2
1
a


【答案】A
【详解】由题意，


2
2
a
b
a
b i




故


2
a
b
a
b i



为实数
2
0
2
a
b
a
b







2
2
0
(
2)(
1)
0
a
a
a
a









2
a 
或
1
a 
故选：A
11.（多选）对于复数


i
,
z
a
b a b


R ，下列结论错误的是（
）
A．若
0
a 
，则
i
a
b

为纯虚数
B．若
i=3+2i
a
b

，则
3,
2
a
b


C．若
0
b 
，则
i
a
b

为实数
D．
2i
1

【答案】AB
【详解】对于A：当
0
a 
，
i
i
a
b
b


，当
0
b 
时为实数，A 错误；
对于B：若
i=3+2i
a
b

，则
3,
2
a
b

，B 错误；
对于C：若
0
b 
，则
i
a
b
a


为实数，C 正确；
对于D：2i
1
，D 正确.
故选：AB.
12.（多选）下列命题不正确的是（
）
A．复数


i
,
R
a
b a b


不可能是纯虚数
B．若
1
x ，则复数
(
1)
(
1)i
z
x
x




为纯虚数
C．若
2
2
(
4)
(
3
2)i
x
x
x




是纯虚数，则实数
2
x 
D．若复数
i
z
a
b


，则当且仅当
0
b 
时，z 为虚数
【答案】ACD
【详解】选项A 中，当=0
a
，
0
b 
时，复数a
bi

是纯虚数，错误；
选项B 中，
1
x 时，
(
1)
(
1)i
2i
z
x
x





为纯虚数，正确；
选项C 中，若


2
2
4
3
2 i
x
x
x




是纯虚数，则
2
2
4
0
3
2
0
x
x
x








，即
2
1
2
x
x
x





且
，
所以
2
x 
，错误；
选项D 中，没有给出,a b 是实数，当
i(
0,
R),
0
a
x x
x
b




时，
i
z
a
b


也是虚数，错误.
故选：ACD
13.已知i 为虚数单位，复数



2
2
 
2
3
12 i
z
a
a
a
a






，
R
a 
，若z 为纯虚数，则

a
.
【答案】1

【详解】由复数z 为纯虚数，可知，
2
2
2
3
0
12
0
a
a
a
a









，得
1
a .
故答案为：1

14.已知复数






2
1
2
1
2 i
R ,
sin
2sin
4 i
z
m
m m
z
a









，


0,



，若
1
2
z
z

，求实数a 的取值范
围
.
【答案】

10,
【详解】
2
1
2,
sin
1,2sin
4
2
z
z
a
m
m









，
2
4
sin
sin
4sin
5,
sin
5
sin
a
a














0,π ,
0
sin
1






，令


sin
0,1
t



，
根据对勾函数单调性可知函数
4
5
a
t
t


在

0,1 上严格单调递减，
min
4
1
5
10
1
a




，
所以a 的范围为

10,.
故答案为：

10,.
15.当m 为何实数时，复数


2
2
2
1 i
z
m
m
m





分别是：
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数：
(4)0？
【答案】(1)
1
m 
(2)
1
m 
(3)
2
m 
(4)
1
m 
【详解】（1）当
2
1
0
m 
，即
1
m 时，复数z 是实数；
（2）当
2
1
0
m 
，即
1
m 时，复数是虚数；
（3）当
2
2
0
m
m



且
2
1
0
m 
，即
2
m 时，复数z 是纯虚数；
（4）当
2
2
0
m
m



且
2
1
0
m 
，即
1
m 时，复数
0
z 
．
16.已知复数
1
sin2
i
z
x



，


2
3 cos 2
i
z
m
m
x



，（，m ，xR ），且
1
2
z
z

．
(1)若
0

且0
π
x


，求x 的值；
(2)设

f
x

，关于x 的方程

f x
k

在

0,π 上恰有3 解，求实数k 的值以及方程的解集．
【答案】(1)
π
6
x 
或2π
3
(2)
3
k 
，解集为
π π 5π
,
,
3 2
6






【详解】（1）因为
1
2
z
z

，所以
sin 2
3 cos2
x
m
m
x






，
所以
sin 2
3 cos2
0
x
x


，所以tan 2
3
x 
，
因为0
π
x


，所以
π 4π
2
,
3
3
x 
，即
π
6
x 
或2π
3 ．
（2）因为



π
sin 2
3 cos2
2sin 2
3
f x
x
x
x





，
关于x 的方程

f x
k

在

0,π 上恰有3解，则
3
k 
，如图所示，
此时


3
sin 2
3
2
x



，
1
π
3
x 
，
2
π
2
x 
，
3
5π
6
x 
，故解集为
π π 5π
,
,
3 2
6





．