文档内容
2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一个是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣ ＜x＜ }，则（ ）
A．A∩B=∅ B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B
【考点】1D：并集及其运算；73：一元二次不等式及其应用．
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【专题】59：不等式的解法及应用；5J：集合．
【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A
∪B．
【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，
∴A∩B={x|2＜x＜ 或﹣ ＜x＜0}，A∪B=R，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题．
2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（ ）
A．﹣4 B． C．4 D．
【考点】A5：复数的运算．
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【专题】5N：数系的扩充和复数．
【分析】由题意可得
z= = ，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为
+ i，由此可得z的虚部．
【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z= = = = +
i，
第1页 | 共25页故z的虚部等于 ，
故选：D．
【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应
用，属于基础题．
3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取
部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生
的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中
，最合理的抽样方法是（ ）
A．简单的随机抽样 B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样 D．系统抽样
【考点】B3：分层抽样方法．
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【专题】21：阅读型．
【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽
样．
【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，
而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差
异，而男女生视力情况差异不大．
了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比
较合理．
故选：C．
【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．
4．（5分）已知双曲线C： （a＞0，b＞0）的离心率为 ，则C的渐
近线方程为（ ）
A．y= B．y= C．y=±x D．y=
第2页 | 共25页【考点】KC：双曲线的性质．
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【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=± x，代入可得
答案．
【解答】解：由双曲线C： （a＞0，b＞0），
则离心率e= = = ，即4b2=a2，
故渐近线方程为y=± x= x，
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．
5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（ ）
A．[﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5]
【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；EF：程序框图．
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【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．
【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，
第3页 | 共25页再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数
值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条
分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．
【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：
函数分为两段，即t＜1与t≥1，
又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；
不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2
故分段函数的解析式为：s= ，
如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，
则输出的s属于[﹣3，4]．
故选：A．
【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图
的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断
框中的条件，设置分类标准；③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，
分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式
．
6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将
第4页 | 共25页一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm
，如不计容器的厚度，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】LG：球的体积和表面积．
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【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面
正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣
2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，
用球的体积公式即可算出该球的体积．
【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，
则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．
设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，
而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，
解出R=5，
∴根据球的体积公式，该球的体积V= = = ．
故选：A．
第5页 | 共25页【点评】本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的
性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题．
7．（5分）设等差数列{a }的前n项和为S ，若S =﹣2，S =0，S =3，则m=
n n m﹣1 m m+1
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．
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【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．
【分析】由a 与S 的关系可求得a 与a ，进而得到公差d，由前n项和公式及S
n n m+1 m m
=0可求得a ，再由通项公式及a =2可得m值．
1 m
【解答】解：a =S ﹣S =2，a =S ﹣S =3，
m m m﹣1 m+1 m+1 m
所以公差d=a ﹣a =1，
m+1 m
S = =0，
m
m﹣1＞0，m＞1，因此m不能为0，
得a =﹣2，
1
所以a =﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，
m
另解：等差数列{a }的前n项和为S ，即有数列{ }成等差数列，
n n
则 ， ， 成等差数列，
可得2• = + ，
即有0= + ，
解得m=5．
又一解：由等差数列的求和公式可得 （m﹣1）（a +a ）=﹣2，
1 m﹣1
m（a +a ）=0， （m+1）（a +a ）=3，
1 m 1 m+1
可得a =﹣a ，﹣2a +a +a = + =0，
1 m m m+1 m+1
解得m=5．
故选：C．
第6页 | 共25页【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a 与S 的关系，考
n n
查学生的计算能力．
8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
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【专题】16：压轴题；27：图表型．
【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图
的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．
【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，
其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长
为4．
∴长方体的体积=4×2×2=16，
半个圆柱的体积= ×22×π×4=8π
所以这个几何体的体积是16+8π；
故选：A．
第7页 | 共25页【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系
，柱体体积计算公式，空间想象能力
9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y
）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】DA：二项式定理．
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【专题】5P：二项式定理．
【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程1
3a=7b求得m的值．
【解答】解：∵m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以
及二项式系数的性质可得a= ，
同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b= = ．
再由13a=7b，可得13 =7 ，即 13× =7× ，
即 13=7× ，即 13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，
故选：B．
【点评】本题主要考查二项式系数的性质的应用，组合数的计算公式，属于中
档题．
10．（5分）已知椭圆E： 的右焦点为F（3，0），过点F的
直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（
第8页 | 共25页）
A． B．
C． D．
【考点】K3：椭圆的标准方程．
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【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设A（x ，y ），B（x ，y ），代入椭圆方程得 ，利用“点
1 1 2 2
差法”可得 ．利用中点坐标公式可得x +x =2，y +y
1 2 1 2
=﹣2，利用斜率计算公式可得 = = ．于是得到
，化为a2=2b2，再利用c=3= ，即可解得a2，b2．进而得
到椭圆的方程．
【解答】解：设A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
代入椭圆方程得 ，
相减得 ，
∴ ．
∵x +x =2，y +y =﹣2， = = ．
1 2 1 2
第9页 | 共25页∴ ，
化为a2=2b2，又c=3= ，解得a2=18，b2=9．
∴椭圆E的方程为 ．
故选：D．
【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．
11．（5分）已知函数f（x）= ，若|f（x）|≥ax，则a的取值范
围是（ ）
A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]
【考点】7E：其他不等式的解法．
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【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用．
【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|
的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合
可得a的范围．
【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，
由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意
，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x
2﹣2x，
第10页 | 共25页求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，
故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]
故选：D．
【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题
．
12．（5分）设△A B C 的三边长分别为a ，b ，c ，△A B C 的面积为S ，n=1，
n n n n n n n n n n
2，3…若b ＞c ，b +c =2a ，a =a ， ， ，则（
1 1 1 1 1 n+1 n
）
A．{S }为递减数列
n
B．{S }为递增数列
n
C．{S }为递增数列，{S }为递减数列
2n﹣1 2n
D．{S }为递减数列，{S }为递增数列
2n﹣1 2n
【考点】82：数列的函数特性；8H：数列递推式．
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【专题】16：压轴题；54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学
归纳法．
【分析】由a =a 可知△A B C 的边B C 为定值a ，由b +c ﹣2a =
n+1 n n n n n n 1 n+1 n+1 1
及b +c =2a 得b +c =2a ，则在△A B C 中边长B C =a 为定值
1 1 1 n n 1 n n n n n 1
，另两边A C 、A B 的长度之和b +c =2a 为定值，
n n n n n n 1
由此可知顶点A 在以B 、C 为焦点的椭圆上，根据b ﹣c = ，得b
n n n n+1 n+1 n
﹣c = ，可知n→+∞时b →c ，据此可判断△A B C 的边B C
n n n n n n n n
的高h 随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．
n
【解答】解：b =2a ﹣c 且b ＞c ，∴2a ﹣c ＞c ，∴a ＞c ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴b ﹣a =2a ﹣c ﹣a =a ﹣c ＞0，∴b ＞a ＞c ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
又b ﹣c ＜a ，∴2a ﹣c ﹣c ＜a ，∴2c ＞a ，∴ ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
由题意， +a ，∴b +c ﹣2a = （b +c ﹣2a ），
n n+1 n+1 n n n n
第11页 | 共25页∴b +c ﹣2a =0，∴b +c =2a =2a ，∴b +c =2a ，
n n n n n n 1 n n 1
由此可知顶点A 在以B 、C 为焦点的椭圆上，
n n n
又由题意，b ﹣c = ，∴ =a ﹣b ，
n+1 n+1 1 n
∴b ﹣a = ，∴b ﹣a = ，
n+1 1 n 1
∴ ，c =2a ﹣b = ，
n 1 n
∴ [ ][
]
= [ ﹣ ]单调递增（可证当n=1时 ＞0
）
故选：B．
【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合
考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，是本年度全国高考试
题中的“亮点”之一．
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）已知两个单位向量 ， 的夹角为60°， =t +（1﹣t） ．若 • =0
，则t= 2 ．
【考点】9H：平面向量的基本定理；9O：平面向量数量积的性质及其运算．
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【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】由于 • =0，对式子 =t +（1﹣t） 两边与 作数量积可得
=0，经过化简即可得出．
【解答】解：∵ ， ，∴ =0，
∴tcos60°+1﹣t=0，∴1 =0，解得t=2．
故答案为2．
第12页 | 共25页【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．
14．（5分）若数列{a }的前n项和为S = a + ，则数列{a }的通项公式是a =
n n n n n
（﹣2）n﹣1 ．
【考点】88：等比数列的通项公式．
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【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a =S ﹣S ，可得数
n n n﹣1
列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．
【解答】解：当n=1时，a =S = ，解得a =1
1 1 1
当n≥2时，a =S ﹣S =（ ）﹣（ ）= ，
n n n﹣1
整理可得 ，即 =﹣2，
故数列{a }从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，
n
故当n≥2时，a =（﹣2）n﹣1，
n
经验证当n=1时，上式也适合，
故答案为：（﹣2）n﹣1
【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题．
15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ= ﹣
．
【考点】GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．
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【专题】16：压轴题；56：三角函数的求值．
【分析】f（x）解析式提取 ，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的
正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ= ，与sin2θ
+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．
【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx= （ sinx﹣ cosx）= sin（x﹣α）（
第13页 | 共25页其中cosα= ，sinα= ），
∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，
∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ= ，
又sin2θ+cos2θ=1，
联立得（2cosθ+ ）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣ ．
故答案为：﹣
【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系
，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．
16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，
则f（x）的最大值为 16 ．
【考点】57：函数与方程的综合运用；6E：利用导数研究函数的最值．
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【专题】11：计算题；16：压轴题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合
应用．
【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b
=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性
，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣ ）、（﹣2，﹣2+ ）上是增函数，在
区间（﹣2﹣ ，﹣2）、（﹣2+ ，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣ ）
=f（﹣2+ ）=16，即可得到f（x）的最大值．
【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，
∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，
即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣
5）+b]=0，
解之得 ，
因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，
求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，
令f′（x）=0，得x =﹣2﹣ ，x =﹣2，x =﹣2+ ，
1 2 3
第14页 | 共25页当x∈（﹣∞，﹣2﹣ ）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣ ，﹣2）时，f′（x）＜
0；
当x∈（﹣2，﹣2+ ）时，f′（x）＞0； 当x∈（﹣2+ ，+∞）时，f′（x）＜0
∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣ ）、（﹣2，﹣2+ ）上是增函数，在区间（﹣
2﹣ ，﹣2）、（﹣2+ ，+∞）上是减函数．
又∵f（﹣2﹣ ）=f（﹣2+ ）=16，
∴f（x）的最大值为16．
故答案为：16．
【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=﹣2对称，求函数的最大值．着重考
查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，
属于中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB= ，BC=1，P为△ABC内一点
，∠BPC=90°．
（1）若PB= ，求PA；
（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．
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【专题】58：解三角形．
【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．
在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．
（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得
，即 ，化简即可求出．
第15页 | 共25页【解答】解：（I）在Rt△PBC中， = ，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．
在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°=
= ．
∴PA= ．
（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．
在△PBA中，由正弦定理得 ，即
，
化为 ．∴ ．
【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键
．
18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A B C 中，CA=CB，AB=AA ，∠BAA =60°．
1 1 1 1 1
（Ⅰ）证明AB⊥A C；
1
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA B B，AB=CB=2，求直线A C与平面BB C C所成角的正
1 1 1 1 1
弦值．
【考点】LW：直线与平面垂直；LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的
角．
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【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA ，A B，由已知可证OA ⊥AB，AB⊥
1 1 1
平面OA C，进而可得AB⊥A C；
1 1
（Ⅱ）易证OA，OA ，OC两两垂直．以O为坐标原点， 的方向为x轴的正向，
1
第16页 | 共25页| |为单位长，建立坐标系，可得 ， ， 的坐标，设 =（x，y，z）
为平面BB C C的法向量，则 ，可解得 =（ ，1，﹣1），可求|c
1 1
os＜ ， ＞|，即为所求正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA ，A B，
1 1
因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA ，∠BAA =60°，
1 1
所以△AA B为等边三角形，所以OA ⊥AB，
1 1
又因为OC∩OA =O，所以AB⊥平面OA C，
1 1
又A C⊂平面OA C，故AB⊥A C；
1 1 1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA ⊥AB，又平面ABC⊥平面AA B B，交线为AB，
1 1 1
所以OC⊥平面AA B B，故OA，OA ，OC两两垂直．
1 1 1
以O为坐标原点， 的方向为x轴的正向，| |为单位长，建立如图所示的坐标
系，
可得A（1，0，0），A （0， ，0），C（0，0， ），B（﹣1，0，0），
1
则 =（1，0， ）， =（﹣1， ，0）， =（0，﹣ ， ），
设 =（x，y，z）为平面BB C C的法向量，则 ，即 ，
1 1
可取y=1，可得 =（ ，1，﹣1），故cos＜ ， ＞= = ，
又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，
故直线A C与平面BB C C所成角的正弦值为： ．
1 1 1
【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与
第17页 | 共25页平面垂直的判定，属难题．
19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4
件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任
取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产
品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这
批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是
优质品的概率都为 ，且各件产品是否为优质品相互独立．
（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；
（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批
产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．
【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差
．
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【专题】5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A ，第一次取
1
出的4件产品全是优质品为事件A ，第二次取出的4件产品全是优质品为事件
2
B ，第二次取出的1件产品是优质品为事件B ，这批产品通过检验为事件A，
1 2
依题意有A=（A B ）∪（A B ），且A B 与A B 互斥，由概率得加法公式和条
1 1 2 2 1 1 2 2
件概率，代入数据计算可得；
（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得
期望值．
【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A ，第一
1
次取出的4件产品全是优质品为事件A ，
2
第二次取出的4件产品全是优质品为事件B ，第二次取出的1件产品是优质品为
1
事件B ，
2
这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A B ）∪（A B ），且A B 与A B 互斥
1 1 2 2 1 1 2 2
，
所以P（A）=P（A B ）+P（A B ）=P（A ）P（B |A ）+P（A ）P（B |A ）
1 1 2 2 1 1 1 2 2 2
第18页 | 共25页= =
（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）= ，P（X=500）= ，
P（X=400）=1﹣ ﹣ = ，故X的分布列如下：
X 400 500 800
P
故EX=400× +500× +800× =506.25
【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列涉及数学期望的求解，属中档题
．
20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外
切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半
径最长时，求|AB|．
【考点】J3：轨迹方程；J9：直线与圆的位置关系．
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【专题】5B：直线与圆．
【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|
PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹
是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；
（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R
≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）
2+y2=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角
不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根
据 ，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联
立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．
【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x
第19页 | 共25页﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3．
设动圆的半径为R，
∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，
而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的
椭圆，
∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．
∴曲线C的方程为 （x≠﹣2）．
（II）设曲线C上任意一点P（x，y），
由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=
2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．
①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|= ．
②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，
设l与x轴的交点为Q，则 ，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4）
，
由l于M相切可得： ，解得 ．
当 时，联立 ，得到7x2+8x﹣8=0．
∴ ， ．
∴|AB|= = =
由于对称性可知：当 时，也有|AB|= ．
综上可知：|AB|= 或 ．
【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及
其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公
式等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法．
第20页 | 共25页21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲线y=f（x）和
曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．
（Ⅰ）求a，b，c，d的值；
（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．
【考点】3R：函数恒成立问题；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
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【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲
线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；
（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通
过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从
而求出k的范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，
而f′（x）=2x+a，g′（x）=ex（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，
从而a=4，b=2，c=2，d=2；
（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2ex（x+1）
设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2kex（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，
则F′（x）=2kex（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（kex﹣1），
由题设得F（0）≥0，即k≥1，
令F′（x）=0，得x =﹣lnk，x =﹣2，
1 2
①若1≤k＜e2，则﹣2＜x ≤0，从而当x∈（﹣2，x ）时，F′（x）＜0，当x∈（x
1 1 1
，+∞）时，F′（x）＞0，
即F（x）在（﹣2，x ）上减，在（x ，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上
1 1
的最小值为F（x ），
1
而F（x ）=﹣x （x +2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．
1 1 1
②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（ex﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x
）＞0，
即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f
（x）≤kg（x）恒成立．
第21页 | 共25页③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（ex﹣e﹣2），
而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，
综上，k的取值范围是[1，e2]．
【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，
考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题
是一道中档题．
四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的
题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂
的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.
22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点
E，DB垂直BE交圆于D．
（Ⅰ）证明：DB=DC；
（Ⅱ）设圆的半径为1，BC= ，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
【考点】NC：与圆有关的比例线段．
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【专题】5B：直线与圆．
【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平
分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知D
E为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB
．
（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG= ．设DE的中点为O
，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而
得到Rt△BCF的外接圆的半径= ．
第22页 | 共25页【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．
由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，
∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．
又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．
∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．
（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．
故DG是BC的垂直平分线，∴BG= ．
设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．
从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．
∴CF⊥BF．
∴Rt△BCF的外接圆的半径= ．
【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形
全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解
决问题的能力．
23．已知曲线C 的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，x
1
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2sinθ．
2
（1）把C 的参数方程化为极坐标方程；
1
（2）求C 与C 交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．
1 2
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）曲线C 的参数方程消去参数t，得到普通方程，再由
1
，能求出C 的极坐标方程．
1
第23页 | 共25页（2）曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，与C 的普通方程联立，求出C 与
2 1 1
C 交点的直角坐标，由此能求出C 与C 交点的极坐标．
2 1 2
【解答】解：（1）将 ，消去参数t，化为普通方程（x﹣4）2+（y﹣
5）2=25，
即C ：x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，
1
将 代入x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，
得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．
∴C 的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．
1
（2）∵曲线C 的极坐标方程为ρ=2sinθ．
2
∴曲线C 的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0，
2
联立 ，
解得 或 ，
∴C 与C 交点的极坐标为（ ）和（2， ）．
1 2
【点评】本题考查曲线极坐标方程的求法，考查两曲线交点的极坐标的求法，
考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论
证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题
．
24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．
（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣ ， ]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．
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【分析】（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x
﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，画出函数y的图象，数形结合可得结
论．
（Ⅱ）不等式化即
第24页 | 共25页1+a≤x+3，故x≥a﹣2对x∈[﹣ ， ]都成立，分析可得﹣ ≥a﹣2，由此解得a
的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|
﹣x﹣3＜0．
设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则 y= ，它的图象如图所示：
结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣ ， ]时，f（x）=1+a，不等式化为 1+a≤x+3，
故 x≥a﹣2对x∈[﹣ ， ]都成立．
故﹣ ≥a﹣2，
解得 a≤ ，
故a的取值范围为（﹣1， ]．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法与绝对值不等式的性质，关键是利用零
点分段讨论法分析函数的解析式．
第25页 | 共25页
